السبب غير القابل للاختزال

Casus irreducibilis (مناللاتينية'الحالة غير القابلة للاختزال') هو الاسم الذي أطلقه علماء الرياضيات في القرن السادس عشر علىالمعادلات التكعيبيةالتي لا يمكن حلها بدلالةالجذور الحقيقية، أي تلك المعادلات التي لا يمكناختزالإلى حسابالجذور التربيعيةوالتكعيبية.

تم اكتشاف صيغة كاردانو لحل المعادلة التكعيبية باستخدام الجذور في ذلك الوقت. وهي تنطبق على حالة عدم الاختزال ، ولكنها تتطلب في هذه الحالة حساب الجذر التربيعي لعدد سالب ، الأمر الذي يستلزم معرفة الأعداد المركبة ، التي كانت مجهولة آنذاك.

يحدث السبب غير القابل للاختزال عندما تكون الحلول الثلاثة حقيقية ومتميزة، أو بشكل مكافئ، عندما يكون المميز موجبًا.

لم يثبت بيير وانتزل أنه لا يمكن أن يوجد أي حل في الجذور الحقيقية في الحالة غير القابلة للاختزال إلا في عام 1843. ^{[ 1 ]}

الحالات الثلاث للتمييز

يترك

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

لتكن معادلة تكعيبية مع $a\neq 0$ ثم يُعطى المميز بواسطة

D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.

يظهر هذا في الحل الجبري وهو مربع حاصل الضرب

{\displaystyle \Delta

اختلافات الجذور الثلاثة $x_{1},x_{2},x_{3}$ . (علامة ⁠ $\Delta$ يعتمد ذلك على اختيار ترتيب الجذور.

إذا كانت $D < 0$ ، فإن لكثير الحدود جذرًا حقيقيًا واحدًا وجذرين مركبين غير حقيقيين. تتضمن صيغة كاردانو جذورًا تكعيبية لأعداد حقيقية. وهذا ليس سببًا غير قابل للاختزال، إذ يمكن التعبير عن الجذر الحقيقي الوحيد باستخدام الجذور التربيعية والتكعيبية الحقيقية.
إذا كانت $D = 0$ ، فإن $\Delta =0$ وجذران من هذه الجذور متساويان. هذان الجذران هما أيضًا جذر لمشتقة كثيرة الحدود. لذا، فهما أيضًا جذر للقاسم المشترك الأكبر لكثيرة الحدود ومشتقتها، والذي يمكن حسابه باستخدام خوارزمية إقليدس لكثيرات الحدود . يترتب على ذلك أن الجذور الثلاثة حقيقية، وإذا كانت المعاملات أعدادًا نسبية ، فإن الأمر نفسه ينطبق على الجذور. أي أن جميع الجذور قابلة للتعبير عنها بدون جذور.
إذا كانت $D > 0$ ، فإن $\Delta \in \mathbb {R} ^{\times }$ عدد حقيقي غير صفري، وله ثلاثة جذور حقيقية مختلفة تُعبّر عنها صيغة كاردانو كمجموع جذرين تكعيبيين مترافقين . سُمّيت هذه الحالة "حالة غير قابلة للاختزال" ، لأن الأعداد المركبة لم تكن معروفة في القرن السادس عشر، ولم يكن بالإمكان اختزال حساب الجذور إلى حساب الجذرين التربيعي والتكعيبي. ^{[ 2 ]}
باستخدام نظرية غالوا ، تبيّن في القرن التاسع عشر أنه إذا كانت معاملات كثيرة الحدود نسبية وغير قابلة للاختزال على الأعداد النسبية، فلا يمكن التعبير عن جذورها بدلالة الجذور التربيعية والتكعيبية الحقيقية. (أما إذا كانت كثيرة الحدود قابلة للاختزال على الأعداد النسبية، فإن أحد جذورها نسبي، ويمكن التعبير عن الجذرين الآخرين بدلالة الجذر التربيعي).

بيان رسمي وإثبات

بشكل أعم، لنفترض أن $F$ حقل حقيقي شكليًا ، وأن $p (x) \in F [x]$ متعددة حدود تكعيبية ، غير قابلة للاختزال على $F$ ، ولكن لها ثلاثة جذور حقيقية (جذور في إغلاق حقيقي $R$ لـ $F$ ). عندئذٍ ، تنص قاعدة عدم الاختزال على أنه من المستحيل التعبير عن حل للمعادلة $p (x) = 0$ بجذور في R.

لإثبات ذلك، ^{[ 3 ]} لاحظ أن المميز $D$ موجب. كوّن امتداد الحقل $F (\sqrtD) = F (∆)$ . بما أن هذا هو $F$ أو امتداد تربيعي لـ $F$ (بحسب ما إذا كان $D$ مربعًا في $F$ أم لا )، فإن $p (x)$ يبقى غير قابل للاختزال فيه. بالتالي، فإن زمرة غالوا لـ $p (x)$ على $F (\sqrtD)$ هي الزمرة الدورية $C3 .$ لنفترض أن $p (x) = 0$ يمكن حله باستخدام الجذور الحقيقية. عندئذٍ يمكن تقسيم $p (x)$ بواسطة سلسلة من الامتدادات الدورية $.$

F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})

في الخطوة الأخيرة من البرج، $يكون$ $p (x)$ غير قابل للاختزال في الحقل قبل الأخير $K$ ، ولكنه ينقسم في $K (3\sqrtα)$ لبعض $قيم$ $α$ . ولكن هذا امتداد حقل دوري، وبالتالي يجب أن يحتوي على $مرافق 3\sqrtα$ ، وبالتالي جذر $ثالث$ أولي للوحدة $.$

مع ذلك، لا توجد جذور ثالثة أولية للوحدة في حقل مغلق حقيقي، لأن الجذور الثالثة الأولية للوحدة هي جذور المعادلة التربيعية . $x^{2}+x+1=0$ والتي لها مميز سلبي.

الحل في الجذور غير الحقيقية

حل كاردانو

يمكن اختزال المعادلة $ax³ + bx² + cx + d = 0 إلى ثلاثية$ حدود أحادية عن طريق القسمة على $a$ وبالتعويض عن $x = t - b / 3 a$ ( تحويل تشيرنهاوس ) $، نحصل$ $على$ المعادلة $t 3 + pt + q = 0$ حيث

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

وبغض النظر عن عدد الجذور الحقيقية، فإن حل كاردانو يُعطي الجذور الثلاثة على النحو التالي:

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

أين $\omega _{k}$ ( k = 1، 2، 3) هو الجذر التكعيبي للعدد 1 ( $\omega _{1}=1$ ، $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ ، و $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ (حيث $i$ هي الوحدة التخيلية ). هنا، إذا كانت الجذور تحت الجذور التكعيبية غير حقيقية، فإن الجذور التكعيبية المعبر عنها بالجذور تُعرَّف بأنها أي زوج من الجذور التكعيبية المترافقة المركبة، بينما إذا كانت حقيقية، فإن هذه الجذور التكعيبية تُعرَّف بأنها الجذور التكعيبية الحقيقية.

يحدث الشرط غير القابل للاختزال $عندما$ $لا$ $يكون أي من الجذور عددًا نسبيًا ،$ وعندما تكون الجذور الثلاثة مختلفة وحقيقية. وتحدث حالة الجذور الحقيقية الثلاثة المختلفة إذا وفقط إذا كان $q²$ $/$ $4$ $+$ $p³$ $/$ $27$ $<$ $0$ $، وفي هذه الحالة$ $،$ تتضمن صيغة كاردانو أولًا أخذ الجذر التربيعي لعدد سالب، وهو عدد تخيلي ، ثم أخذ الجذر التكعيبي لعدد مركب (لا يمكن وضع الجذر التكعيبي نفسه على الصورة $α$ $+$ $βi$ بتعبيرات محددة في الجذور الحقيقية لـ $α$ و $β$ ، لأن القيام بذلك يتطلب حل المعادلة التكعيبية الأصلية بشكل مستقل). حتى في الحالة القابلة للاختزال التي يكون فيها أحد الجذور الحقيقية الثلاثة نسبيًا، وبالتالي يمكن استخراجه كعامل مشترك عن طريق القسمة المطولة لكثير الحدود ، فإن صيغة كاردانو (دون داعٍ في هذه الحالة) تعبر عن هذا الجذر (والجذور الأخرى) بدلالة جذور غير حقيقية.

مثال

المعادلة التكعيبية

2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0

هي معادلة غير قابلة للاختزال، لأنه لو أمكن تحليلها إلى عوامل، لكان هناك عامل خطي يُعطي حلاً كسريًا، بينما لا يوجد أي من الجذور الممكنة التي يُعطيها اختبار الجذر الكسري كجذر حقيقي. ولأن مميزها موجب، فإن لها ثلاثة جذور حقيقية، لذا فهي مثال على حالة غير قابلة للاختزال. ويمكن التعبير عن هذه الجذور كما يلي:

t_{k}={\frac {3+\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}

ل $k\in \left\{1,2,3\right\}$ الحلول موجودة في الجذور وتتضمن الجذور التكعيبية للأعداد المركبة المترافقة .

الحل المثلثي بدلالة الكميات الحقيقية

على الرغم من أنه لا يمكن حل مشكلة عدم الاختزال باستخدام الجذور بدلالة الكميات الحقيقية، إلا أنه يمكن حلها حسابيًا باستخدام الكميات الحقيقية. ^{[ 4 ]} تحديدًا، المعادلة التكعيبية أحادية المعامل المخفضة $t^{3}+pt+q=0$ يتم حلها بواسطة

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.

تكون هذه الحلول بدلالة كميات حقيقية إذا وفقط إذا ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$ أي، إذا وفقط إذا كان هناك ثلاثة جذور حقيقية. تتضمن الصيغة البدء بزاوية معلوم جيب تمامها، ثم تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية بضربها في 1/3، ثم حساب جيب تمام الزاوية الناتجة وتعديلها وفقًا للمقياس.

على الرغم من أن دالة جيب التمام ودالتها العكسية (جيب التمام العكسي) دالتان متساميتان ، إلا أن هذا الحل جبري بمعنى أن $\cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]$ هي دالة جبرية ، تعادل تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية .

العلاقة بتثليث الزاوية

يرتبط التمييز بين حالتي التكعيب القابلة للاختزال وغير القابلة للاختزال بثلاثة جذور حقيقية بمسألة ما إذا كانت الزاوية قابلة للتقسيم إلى ثلاثة أجزاء متساوية باستخدام الوسائل التقليدية كالفرجار والمسطرة غير المدرجة . لأي زاوية $θ$ ، يكون لثلث هذه الزاوية جيب تمام يمثل أحد الحلول الثلاثة للمعادلة التربيعية.

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

وبالمثل، $فإن$ $θ$ $/$ $3$ $لها$ دالة جيبية تمثل أحد الحلول الحقيقية الثلاثة لـ

4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.

في كلتا الحالتين، إذا كشف اختبار الجذر النسبي عن حل نسبي، يمكن استخراج $x$ أو $y$ ناقص ذلك الجذر من كثير الحدود على الجانب الأيسر، تاركًا معادلة تربيعية يمكن حلها لإيجاد الجذرين المتبقيين بدلالة الجذر التربيعي؛ عندئذٍ تكون جميع هذه الجذور قابلة للإنشاء كلاسيكيًا لأنها قابلة للتعبير عنها بدلالة لا تتجاوز الجذور التربيعية، لذلك على وجه الخصوص $يمكن$ إنشاء $cos(θ / 3) أو$ sin $(θ / 3)$ $،$ وكذلك الزاوية $المرتبطة$ $بها$ $θ$ $/$ $3$ $.$ من ناحية أخرى، إذا أظهر اختبار الجذر النسبي أنه لا يوجد جذر نسبي، فإن السبب غير القابل للاختزال ينطبق، $و cos($ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ $)$ أو $sin($ $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ $)$ غير قابل للإنشاء، والزاوية $⁠$ $θ$ $/$ $3$ $⁠$ غير قابلة للإنشاء، والزاوية $θ$ غير قابلة للتثليث الكلاسيكي.

على سبيل المثال، بينما يمكن تقسيم زاوية قياسها 180° إلى ثلاث زوايا قياس كل منها 60°، لا يمكن تقسيم زاوية قياسها 60° باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. باستخدام $صيغ الزوايا الثلاثية، نجد أن cos π/$ $3$ = $4x³$ - $3x ، حيث x = cos (20$ ° $) .$ بإعادة ترتيب المعادلة، نحصل على $8x³ - 6x - 1 = 0$ ، وهو ما لا يفي بشرط الجذر النسبي، إذ لا يوجد أي عدد نسبي في المعادلة يُمثل جذرًا. لذلك، فإن الحد الأدنى لكثير الحدود لـ $cos$ $(20°)$ من الدرجة 3، بينما يجب أن تكون درجة الحد الأدنى لكثير الحدود لأي عدد قابل للإنشاء قوةً للعدد 2 .

ينتج عن التعبير عن $cos(20°)$ بصيغة الجذور الحرة ما يلي:

\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}

وهذا يتضمن إيجاد الجذر التكعيبي للأعداد المركبة. لاحظ التشابه مع $e$ $^$ $(iπ$ $/3)$ $=$ $1$ $+$ $i\sqrt3$ $/$ $2$ $و$ e $^(-$ $iπ$ $/$ $3$ $)$ $=$ $1$ $-$ $i\sqrt3$ $/$ $2$ $.$

يمكن توسيع العلاقة بين الجذور النسبية وقابلية التثليث لتشمل بعض الحالات التي يكون فيها جيب وجيب تمام الزاوية المعطاة عددًا غير نسبي. لنأخذ على سبيل المثال حالة الزاوية $θ$ المعطاة ، وهي زاوية رأس لخماسي منتظم، وهو مضلع يمكن إنشاؤه بالطريقة التقليدية. في هذه الحالة $، 5θ/3$ تساوي 180°، ومن ثم تُعطي المتطابقات المثلثية القياسية

\cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )

هكذا

\cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).

يتم تمثيل جيب تمام الزاوية المقسمة إلى ثلاثة أجزاء كتعبير نسبي بدلالة جيب تمام الزاوية المعطاة، لذلك يمكن تقسيم زاوية رأس الشكل الخماسي المنتظم إلى ثلاثة أجزاء (ميكانيكيًا، ببساطة عن طريق رسم قطري).

تعميم

يمكن تعميم السبب غير القابل للاختزال (Casus irreducibilis) على كثيرات الحدود ذات الدرجات الأعلى كما يلي: ليكن $p \in F [x]$ كثير حدود غير قابل للاختزال ينقسم إلى امتداد حقيقي شكلي $R$ لـ $F$ (أي أن $p$ له جذور حقيقية فقط). افترض أن $p$ له جذر في $K\subseteq R$ وهو امتداد لـ $F$ بواسطة الجذور. عندئذٍ، تكون درجة $p$ قوةً للعدد 2، ويكون حقل تجزئة هذا الحقل امتدادًا تربيعيًا متكررًا لـ $F.$ ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{: 571-572}

وبالتالي، بالنسبة لأي كثيرة حدود غير قابلة للاختزال، درجتها ليست قوة للعدد 2، وجميع جذورها حقيقية، لا يمكن التعبير عن أي جذر بدلالة الجذور الحقيقية فقط، أي أنها حالة غير قابلة للاختزال بالمعنى المقصود في هذا المقال (القرن السادس عشر). علاوة على ذلك، إذا كانت درجة كثيرة الحدود قوة للعدد 2، وكانت جميع جذورها حقيقية، فإنه إذا وُجد جذر يمكن التعبير عنه بجذور حقيقية، فيمكن التعبير عنه بدلالة الجذور التربيعية فقط، دون أي جذور من درجات أعلى، كما هو الحال مع الجذور الأخرى، وبالتالي فإن هذه الجذور قابلة للإنشاء بالطريقة الكلاسيكية .

ناقش دوميت السبب غير القابل للاختزال لكثيرات الحدود من الدرجة الخامسة . ^{[ 7 ]}^{: 17}

العلاقة بتقسيم الزاوية الخماسي (الخماسي) وما فوق

يرتبط التمييز بين حالتي المعادلة الخماسية القابلة للاختزال وغير القابلة للاختزال ذات الجذور الحقيقية الخمسة بمسألة ما إذا كانت الزاوية ذات جيب التمام أو الجيب النسبي قابلة للتقسيم إلى خمسة أجزاء متساوية باستخدام الأدوات التقليدية كالفرجار والمسطرة غير المدرجة. لأي زاوية $θ$ ، يكون لخُمس هذه الزاوية جيب تمام يُمثل أحد الجذور الحقيقية الخمسة للمعادلة.

16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.

وبالمثل، $فإن θ$ $/$ $5$ $لها$ $دالة$ جيبية تمثل أحد الجذور الحقيقية الخمسة للمعادلة

16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.

في كلتا الحالتين، إذا أظهر اختبار الجذر النسبي وجود جذر نسبي x1 _، فإنّ المقدار من الدرجة الخامسة قابل للاختزال لأنه يمكن كتابته كعامل ( x - x1 ₎ مضروبًا في كثير حدود من الدرجة الرابعة . أما إذا أظهر الاختبار عدم وجود جذر نسبي، فقد يكون كثير الحدود غير قابل للاختزال، وفي هذه الحالة ينطبق قانون عدم القابلية للاختزال ، ولا يمكن إنشاء $cos(θ = 5)$ و $sin(θ = 5)$ ، ولا يمكن إنشاء الزاوية $θ$ $=$ $5$ ، ولا يمكن تقسيم الزاوية $θ$ إلى خمسة أجزاء بالطرق التقليدية. مثال على ذلك محاولة إنشاء مضلع ذي 25 ضلعًا (مضلع خماسي عشري) باستخدام الفرجار والمسطرة. فبينما يُعدّ إنشاء المضلع الخماسي سهلًا نسبيًا، يتطلب المضلع ذو 25 ضلعًا استخدام أداة تقسيم الزوايا الخماسية، لأنّ أقل كثير حدود لـ $cos(14.4°)$ من الدرجة 10.

{\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}

هكذا،

{\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}

ملحوظات

^ وانتزل ، بيير (1843)، “تصنيف الأسماء غير القابلة للقياس من أصل الجبر” (PDF) ، سجلات الرياضيات الجديدة (بالفرنسية)، 2 : 117– 127

↑ جيمس بيربونت في حوليات الرياضيات 1900-1901 ، صفحة 38: "بالنسبة لكاردان ومعاصريه الذين لم يكن لديهم أدنى فكرة عن كيفية إيجاد هذه الجذور التكعيبية، كانت هذه الحالة متناقضة للغاية. منذ ذلك الحين، حاول علماء الرياضيات تقديم هذه الجذور الحقيقية كمجموع جذور حقيقية. ولأن جهودهم لم تنجح، عُرفت الحالة التي يكون فيها D > 0 باسم "الحالة غير القابلة للاختزال". أرتور إيكرت، كتاب " كاردانو المعقد وغير المتوقع " يأخذ مثال كاردانو

x^{3}-15x-4=0

إي

{\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}

ويكتب في الصفحة 9: "كان كاردانو يعلم أن

x=4

كان أحد الحلول، ومع ذلك كان سببًا غير قابل للاختزال . هذا يدل على أن مصطلح "غير قابل للاختزال" في القرن السادس عشر كان يعني شيئًا مثل "غير قابل للاختزال إلى جذور حقيقية". من ناحية أخرى، يمكن استخدام مثال كاردانو لتوضيح كيف يمكن أن تنشأ الجذور الحقيقية من الجذور التكعيبية لأعداد غير حقيقية.

لدينا	$p=-15,\;q=-4$ ،
مما ينتج عنه	$d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ،
منها	$-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
في القرن السادس عشر، كان من الصعب العثور على ذلك.
	${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
و	${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ،
لهذا السبب.	$t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
	$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
وهذا يعني بالتفصيل:
الجذر الأول	$t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
	$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
	$=4$ ،
الجذر الثاني	$t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2-{\sqrt {3}}$ ،
الجذر الثالث	$t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2+{\sqrt {3}}$ .

قد يُلاحظ أن

{\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}

ليس التمييز

D

؛ إنها

D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}

مع عكس الإشارة. ومن المثير للاهتمام

{\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}

يظهر في صيغة كاردانو (وكذلك الجذور الثالثة الأولية للوحدة)

\omega _{2,3}

مع

i{\sqrt {3}}

)، بالرغم من

{\sqrt {D}}~,

وليس

{\sqrt {d}}~,

هو بالضرورة عنصر من عناصر حقل التقسيم.

↑ BL van der Waerden, Modern Algebra (ترجمة من الألمانية بواسطة فريد بلوم)، Frederick Ungar Publ. Co.، 1949، ص 180.
↑ Cox (2012) ، القسم 1.3B الحل المثلثي للتكعيب ، الصفحات 18-19.
↑ Cox (2012) ، النظرية 8.6.5، ص. 222.
↑ آي إم إسحاق، "حل كثيرات الحدود بواسطة الجذور الحقيقية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 92 (8)، أكتوبر 1985، 571-575،
↑ ديفيد س. دوميت، حل المعادلات الخماسية القابلة للحل، مؤرشف بتاريخ 7 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت

مراجع

كوكس، ديفيد أ. (2012)، نظرية غالوا ، الرياضيات البحتة والتطبيقية ( الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده، doi : 10.1002/9781118218457 ، ISBN 978-1-118-07205-9انظر على وجه الخصوص القسم 1.3 المعادلات التكعيبية على الأعداد الحقيقية (الصفحات 15-22) والقسم 8.6 الحالة غير القابلة للاختزال (الصفحات 220-227).
فان دير وايردن، بارتل ليندرت (2003)، الجبر الحديث الأول ، ف. بلوم، جي آر شولينبيرج، سبرينغر، ISBN 978-0-387-40624-4

روابط خارجية

سبب عدم الاختزال في PlanetMath .

[Wantzel-1] وانتزل ، بيير (1843)، “تصنيف الأسماء غير القابلة للقياس من أصل الجبر” (PDF) ، سجلات الرياضيات الجديدة (بالفرنسية)، 2 : 117– 127

[2] جيمس بيربونت في حوليات الرياضيات 1900-1901 ، صفحة 38: "بالنسبة لكاردان ومعاصريه الذين لم يكن لديهم أدنى فكرة عن كيفية إيجاد هذه الجذور التكعيبية، كانت هذه الحالة متناقضة للغاية. منذ ذلك الحين، حاول علماء الرياضيات تقديم هذه الجذور الحقيقية كمجموع جذور حقيقية. ولأن جهودهم لم تنجح، عُرفت الحالة التي يكون فيها D > 0 باسم "الحالة غير القابلة للاختزال". أرتور إيكرت، كتاب " كاردانو المعقد وغير المتوقع " يأخذ مثال كاردانو $x^{3}-15x-4=0$ إي ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ ويكتب في الصفحة 9: "كان كاردانو يعلم أن $x=4$ كان أحد الحلول، ومع ذلك كان سببًا غير قابل للاختزال . هذا يدل على أن مصطلح "غير قابل للاختزال" في القرن السادس عشر كان يعني شيئًا مثل "غير قابل للاختزال إلى جذور حقيقية". من ناحية أخرى، يمكن استخدام مثال كاردانو لتوضيح كيف يمكن أن تنشأ الجذور الحقيقية من الجذور التكعيبية لأعداد غير حقيقية.
لدينا $p=-15,\;q=-4$ ،
مما ينتج عنه $d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ،
منها $-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
في القرن السادس عشر، كان من الصعب العثور على ذلك.
${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
و ${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ،
لهذا السبب. $t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
وهذا يعني بالتفصيل:
الجذر الأول $t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
$=4$ ،
الجذر الثاني $t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
$=-2-{\sqrt {3}}$ ،
الجذر الثالث $t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
$=-2+{\sqrt {3}}$ .
قد يُلاحظ أن ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ ليس التمييز $D$ ؛ إنها $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ مع عكس الإشارة. ومن المثير للاهتمام ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ يظهر في صيغة كاردانو (وكذلك الجذور الثالثة الأولية للوحدة) $\omega _{2,3}$ مع $i{\sqrt {3}}$ )، بالرغم من ${\sqrt {D}}~,$ وليس ${\sqrt {d}}~,$ هو بالضرورة عنصر من عناصر حقل التقسيم.

[3] BL van der Waerden, Modern Algebra (ترجمة من الألمانية بواسطة فريد بلوم)، Frederick Ungar Publ. Co.، 1949، ص 180.

[4] Cox (2012) ، القسم 1.3B الحل المثلثي للتكعيب ، الصفحات 18-19.

[5] Cox (2012) ، النظرية 8.6.5، ص. 222.

[Isaacs-6] آي إم إسحاق، "حل كثيرات الحدود بواسطة الجذور الحقيقية"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 92 (8)، أكتوبر 1985، 571-575،

[7] ديفيد س. دوميت، حل المعادلات الخماسية القابلة للحل، مؤرشف بتاريخ 7 مارس 2012 في أرشيف الإنترنت

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗