عدد قابل للإنشاء

في الهندسة والجبر ، العدد الحقيقي${\displaystyle r}$يمكن إنشاء قطعة مستقيمة إذا وفقط إذا، عند إعطاء قطعة مستقيمة طولها وحدة واحدة، قطعة مستقيمة طولها${\displaystyle |r|}$يمكن إنشاء الشكل باستخدام الفرجار والمسطرة في عدد محدود من الخطوات. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle r}$يمكن إنشاء ذلك إذا وفقط إذا كان هناك تعبير مغلق الشكل لـ${\displaystyle r}$باستخدام الأعداد الصحيحة فقط وعمليات الجمع والطرح والضرب والقسمة والجذور التربيعية .

يُحفز التعريف الهندسي للأعداد القابلة للإنشاء تعريفًا مماثلًا للنقاط القابلة للإنشاء ، والتي يمكن وصفها هندسيًا أو جبريًا. تُعتبر النقطة قابلة للإنشاء إذا أمكن إنتاجها كإحدى نقاط إنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة (نقطة نهاية قطعة مستقيمة أو نقطة تقاطع خطين أو دائرتين)، بدءًا من قطعة مستقيمة معطاة طولها وحدة واحدة. وبعبارة أخرى، إذا اعتبرنا نقطتي نهاية القطعة المستقيمة المعطاة هما النقطتان (0، 0) و(1، 0) في نظام إحداثيات ديكارتية ، فإن النقطة قابلة للإنشاء إذا وفقط إذا كانت إحداثياتها الديكارتية أعدادًا قابلة للإنشاء. ^{[ 1 ]} وقد سُميت الأعداد والنقاط القابلة للإنشاء أيضًا بأعداد الفرجار والمسطرة ونقاط الفرجار والمسطرة ، لتمييزها عن الأعداد والنقاط التي يمكن إنشاؤها باستخدام عمليات أخرى. ^{[ 2 ]}

تشكل مجموعة الأعداد القابلة للإنشاء حقلاً : تطبيق أي من العمليات الحسابية الأساسية الأربع على عناصر هذه المجموعة ينتج عنه عدد قابل للإنشاء آخر. هذا الحقل هو امتداد حقلي للأعداد النسبية ، وهو بدوره مُحتوى في حقل الأعداد الجبرية . ^{[ 3 ]} وهو الإغلاق الإقليدي للأعداد النسبية ، وأصغر امتداد حقلي للأعداد النسبية يشمل الجذور التربيعية لجميع أعدادها الموجبة. ^{[ 4 ]}

إن إثبات التكافؤ بين التعريفين الجبري والهندسي للأعداد القابلة للإنشاء يُحوّل المسائل الهندسية المتعلقة بالإنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة إلى مسائل جبرية ، بما في ذلك العديد من المسائل الشهيرة في الرياضيات اليونانية القديمة . وقد أدى الصياغة الجبرية لهذه المسائل إلى براهين تُثبت أن حلولها غير قابلة للإنشاء، بعد أن صمدت الصياغة الهندسية للمسائل نفسها أمام محاولات حلها لقرون.

لو${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت أطوال القطع الهندسية غير الصفرية، فيمكن استخدام الإنشاءات الهندسية البسيطة باستخدام الفرجار والمسطرة للحصول على قطع هندسية بأطوال محددة.${\displaystyle a+b}$،${\displaystyle |ab|}$،${\displaystyle ab}$، و${\displaystyle a/b}$يمكن إنجاز العمليتين الأخيرتين باستخدام طريقة تعتمد على نظرية التقاطع . وهناك طريقة أخرى أقل بساطة باستخدام هذه الأدوات تعتمد على نظرية المتوسط ​​الهندسي، وستقوم بإنشاء قطعة مستقيمة طولها${\displaystyle {\sqrt {a}}}$من قطعة مُنشأة طولها${\displaystyle a}$ويترتب على ذلك أن كل عدد قابل للإنشاء جبرياً قابل للإنشاء هندسياً أيضاً، وذلك باستخدام هذه التقنيات لترجمة صيغة العدد إلى طريقة إنشائه. ^{[ 16 ]}

إنشاءات باستخدام الفرجار والمسطرة للأعداد القابلة للإنشاء

${\displaystyle ab}$استنادًا إلى نظرية التقاطع

${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$استنادًا إلى نظرية التقاطع

${\displaystyle {\sqrt {p}}}$استنادًا إلى نظرية المتوسط ​​الهندسي

في الاتجاه الآخر، يمكن تحديد مجموعة من الأشكال الهندسية بواسطة أعداد حقيقية قابلة للإنشاء جبريًا: إحداثيات النقاط، والميل، و${\displaystyle y}$نقطة التقاطع مع المحور الصادي للخطوط، والمركز ونصف القطر للدوائر. من الممكن (وإن كان ذلك شاقًا) اشتقاق صيغ رياضية بدلالة هذه القيم، باستخدام العمليات الحسابية والجذور التربيعية فقط، لكل عنصر إضافي يمكن إضافته في خطوة واحدة من عملية الإنشاء باستخدام الفرجار والمسطرة. ويترتب على هذه الصيغ أن كل عدد قابل للإنشاء هندسيًا قابل للإنشاء جبريًا أيضًا. ^{[ 17 ]}

يشمل تعريف الأعداد القابلة للإنشاء جبريًا مجموع وفرق وضرب ومعكوس ضرب أي من هذه الأعداد، وهي العمليات نفسها التي تُعرّف حقلًا في الجبر المجرد . وبالتالي، تُشكّل الأعداد القابلة للإنشاء (المُعرّفة بأي من الطرق المذكورة أعلاه) حقلًا. وبشكل أكثر تحديدًا، تُشكّل الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء حقلًا إقليديًا مُرتبًا ، وهو حقل مُرتب يحتوي على الجذر التربيعي لكل عنصر من عناصره الموجبة. ^{[ 18 ]} يؤدي فحص خصائص هذا الحقل وحقوله الفرعية إلى شروط ضرورية لكي يكون العدد قابلًا للإنشاء، والتي يُمكن استخدامها لإثبات أن أعدادًا مُحددة تظهر في مسائل الإنشاء الهندسي الكلاسيكية غير قابلة للإنشاء.

من الملائم النظر، بدلاً من مجال الأعداد القابلة للإنشاء بأكمله، إلى المجال الفرعي${\displaystyle \mathbb {Q} (\gamma )}$يتم توليدها بواسطة أي عدد قابل للإنشاء معين${\displaystyle \gamma }$واستخدام البناء الجبري لـ${\displaystyle \gamma }$لتحليل هذا الحقل. إذا${\displaystyle \gamma }$إذا كان عددًا حقيقيًا قابلًا للإنشاء، فيمكن استخدام القيم التي تظهر داخل صيغة إنشائه لإنتاج متتالية منتهية من الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}=\gamma }$بحيث يكون لكل${\displaystyle i}$،${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i})}$هو امتداد لـ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha _{1},\dots ,\alpha _{i-1})}$من الدرجة 2. ^{[ 19 ]} باستخدام مصطلحات مختلفة قليلاً، يمكن إنشاء عدد حقيقي إذا وفقط إذا كان يقع في حقل في قمة برج محدود من الامتدادات التربيعية الحقيقية ، $${\displaystyle \mathbb {Q} =K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \dots \subseteq K_{n},}$$ بدءاً من الحقل العقلاني${\displaystyle \mathbb {Q} }$أين${\displaystyle \gamma }$هو في${\displaystyle K_{n}}$وللجميع${\displaystyle 0<j\leq n}$،${\displaystyle [K_{j}:K_{j-1}]=2}$[ ^{20 ]} ويترتب على هذا التفكيك أن ^درجة امتداد المجال${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$يكون${\displaystyle 2^{r}}$، أين${\displaystyle r}$يحسب عدد خطوات التمديد التربيعي. ^{[ 21 ]}

على غرار الحالة الحقيقية، يمكن إنشاء عدد مركب إذا وفقط إذا كان يقع في حقل في قمة برج منتهٍ من الامتدادات التربيعية المركبة. ^{[ 22 ]} بتعبير أدق،${\displaystyle \gamma }$يمكن بناء برج من الحقول إذا وفقط إذا كان هناك برج من الحقول $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n},}$$ أين${\displaystyle \gamma }$هو في${\displaystyle F_{n}}$ولجميع${\displaystyle 0<j\leq n}$،${\displaystyle [F_{j}:F_{j-1}]=2}$الفرق بين هذا التوصيف وتوصيف الأعداد الحقيقية القابلة للإنشاء هو فقط أن الحقول في هذا البرج لا تقتصر على كونها حقيقية. وبالتالي، إذا كان عددًا مركبًا${\displaystyle \gamma }$إذا كان قابلاً للإنشاء، فإن التوصيف المذكور أعلاه يعني أن${\displaystyle [\mathbb {Q} (\gamma ):\mathbb {Q} ]}$هي قوة للعدد اثنين. ومع ذلك، فإن هذا الشرط غير كافٍ - توجد امتدادات حقلية درجتها قوة للعدد اثنين، ولكن لا يمكن تحليلها إلى متتالية من الامتدادات التربيعية. ^{[ 23 ]}

للحصول على شرط كافٍ لإمكانية الإنشاء، يجب بدلاً من ذلك النظر في حقل التقسيم${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\gamma ,\gamma ',\gamma '',\dots )}$تم الحصول عليها عن طريق ضم جميع جذور متعددة الحدود الدنيا لـ${\displaystyle \gamma }$إذا كانت درجة هذا الامتداد قوة للعدد اثنين، فإن زمرة غالوا الخاصة به${\displaystyle G=\mathrm {Gal} (K/\mathbb {Q} )}$هي مجموعة ثنائية ، وبالتالي تقبل تسلسلًا تنازليًا من المجموعات الفرعية. $${\displaystyle G=G_{n}\supseteq G_{n-1}\supseteq \cdots \supseteq G_{0}=1,}$$ مع${\displaystyle |G_{k}|=2^{k}}$ل${\displaystyle 0\leq k\leq n.}$بحسب النظرية الأساسية لنظرية غالوا ، يوجد برج مماثل من الامتدادات التربيعية. $${\displaystyle \mathbb {Q} =F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \dots \subseteq F_{n}=K,}$$ يحتوي حقله العلوي على${\displaystyle \gamma ,}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \gamma }$قابل للتنفيذ.

الحقول التي يمكن توليدها من أبراج الامتدادات التربيعية لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$تُسمى هذه الامتدادات التربيعية المتكررة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$حقول الأعداد الحقيقية والمركبة القابلة للإنشاء هي اتحادات جميع الامتدادات التربيعية المتكررة الحقيقية أو المركبة لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{24 ]​}

الأعداد المثلثية هي جيوب أو تمام الزوايا التي هي مضاعفات نسبية لـ${\displaystyle \pi }$هذه الأعداد جبرية دائمًا، ولكن قد لا يكون من الممكن إنشاؤها. جيب تمام أو جيب الزاوية${\displaystyle 2\pi /n}$لا يمكن بناؤها إلا لأعداد خاصة معينة${\displaystyle n}$[ ^{25 ]​}

• قوى العدد اثنين
• أعداد فيرما الأولية ، وهي أعداد أولية تتكون من واحد زائد قوة من قوى العدد اثنين
• حاصل ضرب قوى العدد اثنين في أي عدد من أعداد فيرما الأولية المختلفة.

وهكذا، على سبيل المثال،${\displaystyle \cos(\pi /15)}$يمكن إنشاء هذا العدد لأن 15 هو حاصل ضرب العددين الأوليين 3 و 5 من أعداد فيرما؛ ولكن${\displaystyle \cos(\pi /9)}$لا يمكن إنشاء هذا العدد (لأنه ليس ناتج ضرب أعداد أولية مختلفة من فيرما)، وكذلك ليس${\displaystyle \cos(\pi /7)}$(كونه عددًا أوليًا غير فيرما).

مكعب وضعفه

الزاوية وتثليثها

دائرة ومربع متساويان في المساحة

اعتقد الإغريق القدماء أن بعض مسائل الإنشاء باستخدام المسطرة والفرجار التي لم يتمكنوا من حلها كانت ببساطة مسائل مستعصية، وليست مستحيلة الحل. ^{[ 26 ]} ومع ذلك، فإن عدم إمكانية إنشاء بعض الأعداد يثبت أن هذه الإنشاءات مستحيلة منطقيًا. ^{[ 27 ]} (لكن هذه المسائل نفسها قابلة للحل باستخدام طرق تتجاوز قيد العمل بالمسطرة والفرجار فقط، وقد عرف الإغريق كيفية حلها بهذه الطريقة. ومن الأمثلة على ذلك حل أرخميدس لمسألة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء باستخدام طريقة نيوسيس .) ^{[ 28 ]}

وعلى وجه الخصوص، تؤدي الصياغة الجبرية للأعداد القابلة للإنشاء إلى إثبات استحالة مسائل الإنشاء التالية:

مضاعفة المكعب

تُحل مشكلة مضاعفة المربع الواحد عن طريق إنشاء مربع آخر على قطر المربع الأول، بطول ضلع يبلغ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$والمنطقة${\displaystyle 2}$وبالمثل، تتطلب مسألة مضاعفة المكعب بناء الطول${\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}$جانب مكعب حجمه${\displaystyle 2}$لا يمكن إنشاء هذا النموذج، لأن الحد الأدنى لكثير الحدود بهذا الطول،${\displaystyle x^{3}-2}$، لديه درجة 3 على${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{29 ]} بما أن هذه كثيرة حدود تكعيبية جذرها الحقيقي الوحيد غير نسبي، فلا بد أن تكون غير قابلة للاختزال، لأنه لو كان لها جذر حقيقي تربيعي، فإن ^{المرافق} التربيعي سيوفر جذرًا حقيقيًا ثانيًا. ^{[ 30 ]}

تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء

في هذه المسألة، من زاوية معينة${\displaystyle \theta }$ينبغي للمرء أن يرسم زاوية${\displaystyle \theta /3}$جبريًا، يمكن تمثيل الزوايا بدوالها المثلثية ، مثل الجيب أو جيب التمام ، والتي تعطي الإحداثيات الديكارتية لنقطة نهاية قطعة مستقيمة تشكل الزاوية المعطاة مع القطعة الأصلية. وبالتالي، فإن الزاوية${\displaystyle \theta }$يمكن بناؤه عندما${\displaystyle x=\cos \theta }$هو عدد قابل للإنشاء، ويمكن صياغة مسألة تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية على أنها مسألة إنشاء${\displaystyle \cos({\tfrac {1}{3}}\arccos x)}$على سبيل المثال، الزاوية${\displaystyle \theta =\pi /3=60^{\circ }}$يمكن إنشاء مثلث متساوي الأضلاع باستخدام الفرجار والمسطرة، مع${\displaystyle x=\cos \theta ={\tfrac {1}{2}}}$ومع ذلك، فإن تقسيمه إلى ثلاثة أجزاء${\displaystyle \theta /3=\pi /9=20^{\circ }}$لا يمكن بناؤها، لأن${\displaystyle \cos \pi /9}$له متعدد حدود أدنى${\displaystyle 8x^{3}-6x-1}$من الدرجة 3 على${\displaystyle \mathbb {Q} }$ولأن هذه الحالة المحددة من مسألة التثليث لا يمكن حلها باستخدام الفرجار والمسطرة، فإن المسألة العامة لا يمكن حلها أيضاً. ^{[ 31 ]}

تربيع الدائرة

مربع مساحته${\displaystyle \pi }$، والتي لها نفس مساحة دائرة الوحدة ، سيكون لها طول ضلع${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$، وهو عدد متسامٍ . لذلك، لا يمكن إنشاء هذا المربع وطول ضلعه، لأنه ليس جبريًا على${\displaystyle \mathbb {Q} }$[ ^{32 ]​}

المضلعات المنتظمة

إذا كان منتظمًا${\displaystyle n}$يتم إنشاء شكل هندسي ذي ستة أضلاع مركزه عند نقطة الأصل، وتكون الزوايا بين القطع المستقيمة من المركز إلى الرؤوس المتتالية هي${\displaystyle 2\pi /n}$لا يمكن إنشاء المضلع إلا إذا كان جيب تمام هذه الزاوية عددًا مثلثيًا. فعلى سبيل المثال، يمكن إنشاء مضلع ذي 15 ضلعًا، لكن لا يمكن إنشاء مضلع سباعي منتظم، لأن 7 عدد أولي ولكنه ليس عددًا أوليًا من أعداد فيرما. ^{[ 33 ]} ولإثبات عدم إمكانية إنشائه بشكل مباشر، يمكن تمثيل رؤوس المضلع السباعي المنتظم بالجذور المركبة لكثير الحدود${\displaystyle x^{7}-1}$إزالة العامل${\displaystyle x-1}$، بالقسمة على${\displaystyle x^{3}}$واستبدالها${\displaystyle y=x+1/x}$يعطي متعدد الحدود الأبسط${\displaystyle y^{3}+y^{2}-2y-1}$، مصفوفة تكعيبية غير قابلة للاختزال بثلاثة جذور حقيقية، كل منها يساوي ضعف الجزء الحقيقي لرأس من الأعداد المركبة. جذورها غير قابلة للإنشاء، لذا فإن المضلع السباعي غير قابل للإنشاء أيضًا. ^{[ 34 ]}

مشكلة ابن الهيثم

إذا عُلمت نقطتان ومرآة دائرية، فأين على الدائرة ترى إحدى النقطتين المعطيتين صورة منعكسة للأخرى؟ هندسيًا، تتقاطع الخطوط الواصلة من كل نقطة معطاة إلى نقطة الانعكاس مع الدائرة بزوايا متساوية وأوتار متساوية الطول. مع ذلك، يستحيل رسم نقطة انعكاس باستخدام الفرجار والمسطرة. على وجه الخصوص، بالنسبة لدائرة الوحدة التي تحتوي على النقطتين${\displaystyle ({\tfrac {1}{6}},{\tfrac {1}{6}})}$و${\displaystyle (-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})}$يحتوي الحل بداخله على إحداثيات تشكل جذورًا لكثير حدود غير قابل للاختزال من الدرجة الرابعة${\displaystyle x^{4}-2x^{3}+4x^{2}+2x-1}$على الرغم من أن درجتها قوة للعدد اثنين، فإن حقل التقسيم لهذه متعددة الحدود درجته قابلة للقسمة على ثلاثة، لذا فهي لا تنتج عن امتداد تربيعي متكرر، وبالتالي فإن مسألة ابن الهيثم ليس لها حل باستخدام الفرجار والمسطرة. ^{[ 35 ]}

يرتبط نشأة مفهوم الأعداد القابلة للإنشاء ارتباطًا وثيقًا بتاريخ الإنشاءات الهندسية الثلاثة المستحيلة باستخدام الفرجار والمسطرة: مضاعفة المكعب، وتثليث الزاوية، وتربيع الدائرة. يُنسب تقييد استخدام الفرجار والمسطرة فقط في الإنشاءات الهندسية غالبًا إلى أفلاطون استنادًا إلى فقرة في كتابات بلوتارخ . ووفقًا لبلوتارخ، فقد أسند أفلاطون مسألة مضاعفة المكعب (المسألة الديلية) إلى إيودوكسوس وأرخيتاس ومينايخموس ، الذين حلّوا المسألة باستخدام الوسائل الميكانيكية، مما عرّضهم لتوبيخ من أفلاطون لعدم حلّهم المسألة باستخدام الهندسة البحتة . ^{[ 36 ]} ومع ذلك، فإن هذه النسبة محلّ شك، ^{[ 37 ]} ويعود ذلك جزئيًا إلى وجود رواية أخرى (منسوبة إلى إراتوستينس من قِبل يوتوكيوس الأسكالوني ) تقول إن الثلاثة وجدوا حلولًا، لكنها كانت مجردة للغاية بحيث لا تُجدي نفعًا عمليًا. ^{[ 38 ]} نسب بروكلس ، نقلاً عن يوديموس الرودسي ، إلى أوينوبيدس ( حوالي 450 قبل الميلاد) ابتكار طريقتين للرسم باستخدام المسطرة والفرجار، مما دفع بعض المؤلفين إلى افتراض أن أوينوبيدس هو من وضع هذا القيد. ^{[ 39 ]} يُعدّ الاقتصار على الفرجار والمسطرة أساسيًا لاستحالة حلّ مسائل الرسم الكلاسيكية. فعلى سبيل المثال، يمكن تقسيم الزاوية إلى ثلاثة أجزاء متساوية بطرق عديدة، بعضها معروف لدى الإغريق القدماء. وقد استُخدمت طريقة المربع لهيباس الإليسي ، والمخاريط لمينائيخموس، أو طريقة المسطرة المحددة ( نيوسيس ) لأرخميدس ، بالإضافة إلى طريقة حديثة تعتمد على طي الورق . ^{[ 40 ]}

على الرغم من أنها ليست من بين مسائل البناء الكلاسيكية الثلاث، إلا أن مسألة إنشاء المضلعات المنتظمة باستخدام المسطرة والفرجار تُعالج غالبًا جنبًا إلى جنب معها. كان الإغريق يعرفون كيفية إنشاء المضلعات المنتظمة${\displaystyle n}$-gons مع${\displaystyle n=2^{h}}$(لأي عدد صحيح)${\displaystyle h\geq 2}$)، 3، 5، أو حاصل ضرب أي اثنين أو ثلاثة من هذه الأرقام، ولكن الأعداد المنتظمة الأخرى${\displaystyle n}$استعصت عليهم المضلعات ذات 17 ضلعًا . في عام 1796، أعلن كارل فريدريش غاوس ، الطالب البالغ من العمر آنذاك ثمانية عشر عامًا، في إحدى الصحف أنه أنشأ مضلعًا منتظمًا ذا 17 ضلعًا باستخدام المسطرة والفرجار. ^{[ 41 ]} كان أسلوب غاوس جبريًا لا هندسيًا؛ في الواقع، لم ينشئ المضلع فعليًا، بل أثبت أن جيب تمام الزاوية المركزية عدد قابل للإنشاء. عُممت هذه الحجة في كتابه " Disquisitiones Arithmeticae" الصادر عام 1801، حيث قدم الشرط الكافي لإنشاء مضلع منتظم.${\displaystyle n}$ادعى غاوس ، دون أن يثبت، أن الشرط ضروري أيضًا، ونسب إليه العديد من المؤلفين، ولا سيما فيليكس كلاين ، ^{[ 42 ] هذا الجزء من البرهان. [ 43 ]} كما أن مسألة ابن الهيثم ليست من المسائل الثلاث الكلاسيكية، ولكن على الرغم من تسميتها نسبةً إلى ابن الهيثم ، عالم الرياضيات الإسلامي في العصور الوسطى ، إلا أنها تظهر بالفعل في كتاب بطليموس عن البصريات من القرن الثاني. ^{[ 21 ]}

أثبت بيير وانتزل جبريًا أن مسألتي مضاعفة المكعب وتثليث الزاوية لا يمكن حلهما باستخدام الفرجار والمسطرة فقط. وفي الورقة البحثية نفسها، حلّ أيضًا مسألة تحديد المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء: المضلع المنتظم قابل للإنشاء إذا وفقط إذا كان عدد أضلاعه حاصل ضرب قوة للعدد اثنين في أي عدد من أعداد فيرما الأولية المختلفة (أي أن الشروط الكافية التي وضعها غاوس ضرورية أيضًا). ^{[ 44 ]} وقدّم جيمس غريغوري محاولة لإثبات استحالة تربيع الدائرة في كتابه "التربيع الحقيقي للدائرة والقطع الزائد" ( Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura ) عام 1667. ورغم أن برهانه كان معيبًا، إلا أنه كان أول بحث يحاول حل المسألة باستخدام الخصائص الجبرية للعدد π . لم يُثبت استحالة حل مسألة ابن الهيثم بشكل قاطع إلا في عام 1882، عندما قام فرديناند فون ليندمان بتوسيع عمل تشارلز هيرميت وإثبات أن π عدد متسامٍ . ^{[ 45 ] [ 46 ]} ولم يُثبت استحالة حل مسألة ابن الهيثم باستخدام الفرجار والمسطرة إلا من خلال عمل جاك إلكين. ^{[ 47 ]}

بدأ رينيه ديكارت دراسة الأعداد القابلة للإنشاء، في حد ذاتها، في كتابه "الهندسة" ، وهو ملحق لكتابه " مقال في المنهج" الذي نُشر عام 1637. ربط ديكارت الأعداد بقطع مستقيمة هندسية لإظهار قوة منهجه الفلسفي من خلال حل مسألة بناء قديمة باستخدام المسطرة والفرجار طرحها بابوس . ^{[ 48 ]}

• عدد قابل للحساب
• عدد حقيقي قابل للتحديد

• وايسشتاين، إريك دبليو ، "العدد القابل للإنشاء" ، عالم الرياضيات
• الأعداد القابلة للإنشاء في Cut-the-knot