العملية الثنائية

في الرياضيات ، العملية الثنائية أو العملية الثنائية هي قاعدة لدمج عنصرين (يُطلق عليهما المعاملان ) لإنتاج عنصر آخر. وبشكل أكثر دقة، العملية الثنائية هي عملية ذات معاملين .

بتعبير أدق، العملية الثنائية على مجموعة هي دالة ثنائية تربط كل زوج من عناصر المجموعة بعنصر من عناصرها. تشمل الأمثلة العمليات الحسابية المألوفة كالجمع والطرح والضرب ، وعمليات المجموعات كالاتحاد والمتممة والتقاطع. ويمكن إيجاد أمثلة أخرى بسهولة في مجالات مختلفة من الرياضيات، مثل جمع المتجهات وضرب المصفوفات والمرافقة في الزمر .

تُسمى الدالة الثنائية التي تتضمن عدة مجموعات أحيانًا بالعملية الثنائية . على سبيل المثال، يتطلب الضرب القياسي للفضاءات المتجهة عددًا قياسيًا ومتجهًا لإنتاج متجه، ويتطلب الضرب القياسي متجهين لإنتاج عدد قياسي.

تُعد العمليات الثنائية حجر الزاوية لمعظم الهياكل التي يتم دراستها في الجبر ، وخاصة في أنصاف المجموعات ، والمجموعات الأحادية ، والمجموعات ، والحلقات ، والحقول ، والفضاءات المتجهة .

وبشكل أدق، عملية ثنائية على مجموعة${\displaystyle S}$هو تمثيل لعناصر الضرب الديكارتي${\displaystyle S\times S}$ل${\displaystyle S}$: ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

${\displaystyle \,f\colon S\times S\rightarrow S.}$

لو${\displaystyle f}$إذن، ليس هذا تعيينًا كاملاً بل تعيينًا جزئيًا .${\displaystyle f}$تُسمى هذه العملية عملية ثنائية جزئية . على سبيل المثال، القسمة هي عملية ثنائية جزئية على مجموعة جميع الأعداد الحقيقية ، لأنه لا يمكن القسمة على صفر .${\displaystyle {\frac {a}{0}}}$غير مُعرَّف لكل عدد حقيقي${\displaystyle a}$في كل من نظرية النماذج والجبر الشامل الكلاسيكي ، يلزم تعريف العمليات الثنائية على جميع عناصر${\displaystyle S\times S}$ومع ذلك، في الجبر الشامل ، لا يتطلب هيكل الجبر الجزئي سوى عمليات جزئية. ^{[ 4 ]}

في بعض الأحيان، وخاصة في علوم الحاسوب ، يُستخدم مصطلح العملية الثنائية لأي دالة ثنائية .

من الأمثلة النموذجية للعمليات الثنائية الجمع (${\displaystyle +}$) والضرب (${\displaystyle \times }$) من الأعداد والمصفوفات بالإضافة إلى تركيب الدوال على مجموعة واحدة. على سبيل المثال ،

• على مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$،${\displaystyle f(a,b)=a+b}$هي عملية ثنائية لأن مجموع عددين حقيقيين هو عدد حقيقي.
• على مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$،${\displaystyle f(a,b)=a+b}$هي عملية ثنائية لأن مجموع عددين طبيعيين هو عدد طبيعي. هذه عملية ثنائية مختلفة عن العملية السابقة لأن المجموعات مختلفة.
• في موقع التصوير${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات ذات المدخلات الحقيقية،${\displaystyle f(A,B)=A+B}$هي عملية ثنائية لأن مجموع مصفوفتين من هذا النوع هو${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة.
• في موقع التصوير${\displaystyle M(2,\mathbb {R} )}$ل${\displaystyle 2\times 2}$المصفوفات ذات المدخلات الحقيقية،${\displaystyle f(A,B)=AB}$هي عملية ثنائية لأن حاصل ضرب مصفوفتين من هذا النوع هو${\displaystyle 2\times 2}$مصفوفة.
• بالنسبة لمجموعة معينة${\displaystyle C}$، يترك${\displaystyle S}$لتكن مجموعة جميع الدوال${\displaystyle h\colon C\rightarrow C}$. يُعرِّف${\displaystyle f\colon S\times S\rightarrow S}$بواسطة${\displaystyle f(h_{1},h_{2})(c)=(h_{1}\circ h_{2})(c)=h_{1}(h_{2}(c))}$للجميع${\displaystyle c\in C}$، تركيب الدالتين${\displaystyle h_{1}}$و${\displaystyle h_{2}}$في${\displaystyle S}$. ثم${\displaystyle f}$هي عملية ثنائية لأن تركيب الدالتين هو أيضاً دالة على المجموعة${\displaystyle C}$(أي عضو في${\displaystyle S}$).

العديد من العمليات الثنائية ذات الأهمية في كل من الجبر والمنطق الصوري هي عمليات تبادلية ، تحقق الشروط التالية:${\displaystyle f(a,b)=f(b,a)}$لجميع العناصر${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في${\displaystyle S}$أو ترابطي ، مُرضٍ${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c))}$للجميع${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$في${\displaystyle S}$كما أن العديد منها يحتوي على عناصر محايدة وعناصر معكوسة .

الأمثلة الثلاثة الأولى أعلاه تبادلية، وجميع الأمثلة المذكورة أعلاه تجميعية.

على مجموعة الأعداد الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$، أي الطرح${\displaystyle f(a,b)=a-b}$، هي عملية ثنائية غير تبديلية، لأنه بشكل عام،${\displaystyle a-b\neq b-a}$كما أنها ليست ترابطية، لأنه بشكل عام،${\displaystyle a-(b-c)\neq (a-b)-c}$؛ على سبيل المثال،${\displaystyle 1-(2-3)=2}$لكن${\displaystyle (1-2)-3=-4}$.

على مجموعة الأعداد الطبيعية${\displaystyle \mathbb {N} }$، عملية الأس الثنائية ،${\displaystyle f(a,b)=a^{b}}$، ليست عملية تبديلية لأن،${\displaystyle a^{b}\neq b^{a}}$(انظر المعادلة x ^y = y ^x )، وهي أيضًا غير تجميعية لأن${\displaystyle f(f(a,b),c)\neq f(a,f(b,c))}$على سبيل المثال، مع${\displaystyle a=2}$،${\displaystyle b=3}$، و${\displaystyle c=2}$،${\displaystyle f(2^{3},2)=f(8,2)=8^{2}=64}$، لكن${\displaystyle f(2,3^{2})=f(2,9)=2^{9}=512}$عن طريق تغيير المجموعة${\displaystyle \mathbb {N} }$إلى مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$تصبح هذه العملية الثنائية عملية ثنائية جزئية لأنها غير معرفة الآن عندما${\displaystyle a=0}$و${\displaystyle b}$أي عدد صحيح سالب. بالنسبة لأي من المجموعتين، لهذه العملية عنصر محايد أيمن (وهو${\displaystyle 1}$) منذ${\displaystyle f(a,1)=a}$للجميع${\displaystyle a}$في المجموعة، وهو ليس عنصرًا محايدًا (عنصر محايد ذو جانبين) لأن${\displaystyle f(1,b)\neq b}$على العموم.

قسم (${\displaystyle \div }$عملية التكرار الجزئي ( ) هي عملية ثنائية جزئية على مجموعة الأعداد الحقيقية أو النسبية، وهي ليست تبديلية ولا تجميعية. ${\displaystyle \uparrow \uparrow }$)، كعملية ثنائية على الأعداد الطبيعية، ليست تبديلية ولا تجميعية وليس لها عنصر محايد.

تُكتب العمليات الثنائية غالبًا باستخدام تدوين الوسط مثل:${\displaystyle a\ast b}$،${\displaystyle a+b}$،${\displaystyle a\cdot b}$أو (عن طريق التجاور بدون رمز)${\displaystyle ab}$بدلاً من استخدام الترميز الوظيفي من الشكل${\displaystyle f(a,b)}$. عادةً ما تُكتب القوى أيضًا بدون عامل، ولكن مع الوسيط الثاني كرمز علوي .

تُكتب العمليات الثنائية أحيانًا باستخدام تدوين البادئة أو تدوين اللاحقة، وكلاهما لا يتطلب استخدام الأقواس. ويُطلق عليهما أيضًا، على التوالي، التدوين البولندي .${\displaystyle \ast ab}$والتدوين البولندي العكسي${\displaystyle ab\ast }$.

عملية ثنائية${\displaystyle f}$على مجموعة${\displaystyle S}$يمكن اعتبارها علاقة ثلاثية على${\displaystyle S}$أي مجموعة الثلاثيات${\displaystyle (a,b,f(a,b))}$في${\displaystyle S\times S\times S}$للجميع${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في${\displaystyle S}$.

على سبيل المثال، الضرب القياسي في الجبر الخطي . هنا${\displaystyle K}$هو حقل و${\displaystyle S}$هو فضاء متجهي فوق ذلك الحقل.

وكذلك حاصل الضرب النقطي لخريطتين متجهتين${\displaystyle S\times S}$ل${\displaystyle K}$، أين${\displaystyle K}$هو حقل و${\displaystyle S}$هو فضاء متجهي على${\displaystyle K}$يعتمد الأمر على المؤلفين فيما إذا كان يعتبر عملية ثنائية أم لا.

• التصنيف: خصائص العمليات الثنائية
• العملية الثنائية المتكررة – تطبيق عملية ما بشكل متكرر على سلسلة من العمليات 
• الجبر (Magma) – بنية جبرية ذات عملية ثنائية 
• المُشغِّل (البرمجة) – بنية أساسية في لغة البرمجة. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• العملية الثلاثية – عملية رياضية تجمع ثلاثة عناصر لإنتاج عنصر آخر 
• جدول الحقيقة §  العمليات الثنائية
• العملية الأحادية – عملية حسابية ذات معامل واحد فقط 

• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي، رقم ISBN 0-201-01984-1
• هول، مارشال الابن (1959)، نظرية المجموعات ، نيويورك: ماكميلان
• هاردي، داريل دبليو؛ ووكر، كارول إل (2002)، الجبر التطبيقي: الرموز والشفرات والخوارزميات المنفصلة ، ​​أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: برنتيس هول، ISBN 0-13-067464-8
• روتمان، جوزيف ج. (1973)، نظرية المجموعات: مدخل (  الطبعة الثانية)، بوسطن: ألين وبيكون

• وايسشتاين، إريك دبليو. "العملية الثنائية" . عالم الرياضيات .