دائرة ليميت 3

📅 آخر تحديث: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

دائرة ليميت III ، 1959

"دائرة الحد الثالث" عبارة عن نقش خشبي أنجزه الفنان الهولندي إم سي إيشر عام 1959 ، وفيه "تنطلق خيوط من الأسماك كالصواريخ من مسافة بعيدة للغاية" ثم "تسقط عائدة من حيث أتت". [ 1 ]

هي إحدى سلسلة من أربع مطبوعات خشبية لإيشر تصور أفكارًا من الهندسة الزائدية . وقد وصفها الفيزيائي والرياضي الهولندي برونو إرنست بأنها "أفضلها من بين الأربع". [ 2 ]

إلهام

التبليط المثلثي الزائدي (6،4،2) الذي ألهم إيشر

أصبح إيشر مهتماً بتشكيلات الأشكال المستوية بعد زيارة قام بها عام 1936 إلى قصر الحمراء في غرناطة بإسبانيا، [ 3 ] [ 4 ] ومنذ عمله الفني "التحول الأول" عام 1937، بدأ في دمج أشكال بشرية وحيوانية مشكّلة في أعماله الفنية. [ 4 ]

في رسالةٍ كتبها إيشر إلى إتش إس إم كوكسيتر عام ١٩٥٨ ، ذكر إيشر أنه استلهم سلسلة "حدود الدائرة " من شكلٍ في مقال كوكسيتر "تناظر البلورات وتعميماته". [ ٢ ] [ ٣ ] يُصوّر شكل كوكسيتر تبليطًا للمستوى الزائدي بمثلثات قائمة الزاوية بزوايا ٣٠° و٤٥° و٩٠°؛ هذه المثلثات ممكنة في الهندسة الزائدية، لكنها غير ممكنة في الهندسة الإقليدية. يُمكن تفسير هذا التبليط على أنه يُصوّر خطوط الانعكاس والمجالات الأساسية لمجموعة المثلثات (٦، ٤، ٢) . [ ٥ ] قدّم كاسلمان (٢٠١٠) تحليلًا أوليًا لشكل كوكسيتر، كما قد يكون إيشر قد فهمه . [ ٦ ]

الهندسة

التبليط الثماني المتناوب ، وهو تبليط زائدي من المربعات والمثلثات متساوية الأضلاع، متراكب على صورة إيشر

يبدو أن إيشر كان يعتقد أن المنحنيات البيضاء في لوحته الخشبية، التي تقسم السمكة إلى نصفين، تمثل خطوطًا زائدية في نموذج قرص بوانكاريه للمستوى الزائدي، حيث يُنمذج المستوى الزائدي بأكمله كقرص في المستوى الإقليدي، وتُنمذج الخطوط الزائدة كأقواس دائرية عمودية على حدود القرص. في الواقع، كتب إيشر أن السمكة تتحرك "عموديًا على الحدود". [ 1 ] ومع ذلك، وكما أوضح كوكسيتر، لا يوجد ترتيب زائدي للخطوط التي تكون أوجهها بالتناوب مربعات ومثلثات متساوية الأضلاع، كما هو موضح في الشكل. بل إن المنحنيات البيضاء هي دورات زائدية تلتقي بدائرة الحدود بزوايا cos −1 ⁠ 2 1/4 − 2 −1/4 / 2 ⁠ ، أي ما يقارب  80 درجة. [ 2 ]

محاور التناظر للمثلثات والمربعات الواقعة بين الخطوط البيضاء هي خطوط زائدية حقيقية. تشبه المربعات والمثلثات في النقش الخشبي إلى حد كبير التبليط الثماني المتناوب للمستوى الزائدي، والذي يتميز أيضًا بتقاطع المربعات والمثلثات بنفس نمط التقاطع. ومع ذلك، فإن الهندسة الدقيقة لهذه الأشكال ليست متطابقة. ففي التبليط الثماني المتناوب، تكون أضلاع المربعات والمثلثات عبارة عن قطع مستقيمة زائدية، لا تتصل ببعضها البعض في منحنيات سلسة؛ بل تشكل سلاسل مضلعة ذات زوايا. أما في نقش إيشر الخشبي، فتتكون أضلاع المربعات والمثلثات من أقواس من دوائر زائدية، وهي ليست مستقيمة في الهندسة الزائدية، ولكنها تتصل ببعضها البعض بسلاسة دون زوايا.

تشكل النقاط الواقعة في مراكز المربعات، حيث تلتقي أربع سمكات عند زعانفها، رؤوس تبليط مثلثي من الرتبة 8 ، بينما تشكل النقاط التي تلتقي عندها ثلاث زعانف سمكية والنقاط التي تتقاطع عندها ثلاثة خطوط بيضاء رؤوس تبليطه الثماني، وهو شكله الثنائي . [ 2 ] يمكن إنشاء تبليطات مماثلة باستخدام خطوط السمك لتبليطات زائدية أخرى مكونة من مضلعات غير المثلثات والمربعات، أو مع أكثر من ثلاثة منحنيات بيضاء عند كل تقاطع. [ 7 ]

يمكن الحصول على الإحداثيات الإقليدية للدوائر التي تحتوي على المنحنيات البيضاء الثلاثة الأكثر بروزًا في النقش الخشبي عن طريق حسابات في مجال الأعداد النسبية الممتدة بالجذور التربيعية للعددين اثنين وثلاثة. [ 8 ]

التناظر

عند النظر إلى الرسم كنمط، مع تجاهل ألوان الأسماك، في المستوى الزائدي، نجد أن الرسم الخشبي يتمتع بتناظر دوراني ثلاثي ورباعي في مراكز مثلثاته ومربعاته على التوالي، وتناظر دوراني من الرتبة الثالثة عند نقاط تقاطع المنحنيات البيضاء. في تدوين جون كونواي للأشكال المدارية ، يُرمز إلى هذه المجموعة من التناظرات بالرمز 433. تُمثل كل سمكة منطقة أساسية لمجموعة التناظر هذه. على عكس ما يبدو، لا تتمتع الأسماك بتناظر ثنائي : فالمنحنيات البيضاء في الرسم ليست محاور تناظر انعكاسي. [ 9 ] [ 10 ] على سبيل المثال، تبلغ الزاوية عند الجزء الخلفي من الزعنفة اليمنى 90 درجة (حيث تلتقي أربع زعانف)، بينما تبلغ 120 درجة عند الجزء الخلفي من الزعنفة اليسرى الأصغر حجمًا (حيث تلتقي ثلاث زعانف).

تفاصيل الطباعة

تُصوَّر الأسماك في لوحة "الحد الدائري الثالث" بأربعة ألوان، بحيث يكون لكل صف من الأسماك لون واحد، ولكل سمكتين متجاورتين لونان مختلفان. ومع إضافة الحبر الأسود المستخدم لتحديد الأسماك، يصبح للنقش الخشبي خمسة ألوان. طُبع النقش باستخدام خمسة قوالب خشبية، يُوفر كل منها لونًا واحدًا ضمن ربع القرص، ليصبح المجموع 20 طبعة. يبلغ قطر الدائرة الخارجية، بعد الطباعة ، 41.5 سم ( 16 ¾ بوصة ) . [ 11 ]  

المعروضات

بالإضافة إلى كونها مدرجة في مجموعة متحف إيشر في لاهاي ، فإن نسخًا من Circle Limit III مدرجة في مجموعات المعرض الوطني للفنون [ 12 ] والمعرض الوطني الكندي . [ 13 ]

مراجع

  1. 1 2 إيشر، كما نقل عنه كوكسيتر (1979) .
  2. 1 2 3 4 كوكسيتر، إتش إس إم (1979)، "التناظر غير الإقليدي لصورة إيشر 'حدود الدائرة III'""، ليوناردو ، 12 (1): 19-25 ، دوى : 10.2307 / 1574078 ، JSTOR 1574078 .
  3. 1 2 إيمر، ميشيل (2006)، "إيشر، كوكسيتر والتناظر"، المجلة الدولية للأساليب الهندسية في الفيزياء الحديثة ، 3 ( 5-6 ): 869-879 ، Bibcode : 2006IJGMM..03..869E ، doi : 10.1142/S0219887806001594 ، MR 2264394 .
  4. 1 2 شاتشنايدر، دوريس (2010)، "الجانب الرياضي لـ MC Escher" (ملف PDF) ، إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات ، 57 ( 6): 706-718.
  5. ↑ قام كوكسيتر بتوسيع نطاق الرياضيات المتعلقة بتبليط مجموعات المثلثات، بما في ذلك هذا الجزء في كتاب كوكسيتر، إتش إس إم (1997)، "علم المثلثات للتبليط الزائدي"، النشرة الرياضية الكندية ، 40 (2): 158-168 ، doi : 10.4153/CMB-1997-019-0 ، MR 1451269 .
  6. ↑ كاسلمان، بيل (يونيو 2010)، كيف فعلها إيشر؟، عمود مميز في الجمعية الأمريكية للرياضيات.
  7. ↑ دونهام، دوغلاس، "المزيد من أنماط "الحد الدائري الثالث"، مؤتمر الجسور: الروابط الرياضية في الفن والموسيقى والعلوم، لندن، 2006 (PDF).
  8. ↑ كوكسيتر، إتش إس إم (2003)، "علم المثلثات في لوحة إيشر الخشبية " حدود الدائرة III "، إرث إم سي إيشر: احتفال بمرور مئة عام ، سبرينغر، ص 297-304 ، doi : 10.1007/3-540-28849-X_29 ، ISBN  978-3-540-20100-7.
  9. ↑ كونواي، جيه إتش (1992)، "ترميز المدارات لمجموعات الأسطح"، في ليبك، مارتن دبليو؛ ساكسل، جان (محرران)، المجموعات، التوافقية والهندسة (دورهام، 1990) ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد 165، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 438-447 ، doi : 10.1017/CBO9780511629259.038 ، ISBN   978-0-511-62925-9MR 1200280​ كتب كونواي أن "عمل Circle Limit III مثير للاهتمام بنفس القدر" (مقارنة بـ Circle Limit IV ، الذي له مجموعة تناظر مختلفة)، ويستخدمه كمثال على مجموعة التناظر هذه.
  10. ^ هيرفورد ، بيتر (1999) ، “هندسة دائرة MC Escher-Limit-Woodcuts”، Zentralblatt für Didaktik der Mathematik ، 31 (5): 144– 148، دوى : 10.1007 / BF02659805. ورقة بحثية قُدِّمت إلى المؤتمر الدولي الثامن للهندسة، ناحشوليم (إسرائيل)، 7-14 مارس 1999.
  11. ^ Escher، MC (2001)، MC Escher: العمل الجرافيكي ، تاشين ، ص. 10، ردمك  978-3-8228-5864-6.
  12. ↑ دائرة الحد الثالث ، المعرض الوطني للفنون ، تم استرجاعه في 2023-09-02.
  13. ↑ دائرة الحد الثالث ، المعرض الوطني الكندي ، تم استرجاعه في 2023-09-02.