مساحة فيينا الكلاسيكية

الفضاء المتجهي${\displaystyle C}$يمكن تجهيزها بالمعيار الموحد

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

تحويله إلى فضاء متجهي معياري (في الواقع فضاء باناخ لأن${\displaystyle [0,T]}$(مضغوط). هذا المعيار يُنشئ مقياسًا على${\displaystyle C}$بالطريقة المعتادة:${\displaystyle d(f,g):=\|fg\|}$إن الطوبولوجيا المولدة بواسطة المجموعات المفتوحة في هذا المقياس هي طوبولوجيا التقارب المنتظم على${\displaystyle [0,T],}$أو الطوبولوجيا الموحدة .

التفكير في المجال${\displaystyle [0,T]}$باعتباره "وقتًا" ونطاقًا${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$باعتبارها "مساحة"، فإن النظرة البديهية للطوبولوجيا المنتظمة هي أن دالتين تكونان "متقاربتين" إذا استطعنا "تحريك المساحة قليلاً" والحصول على الرسم البياني لـ${\displaystyle f}$أن تقع فوق الرسم البياني لـ${\displaystyle g}$، مع إبقاء الزمن ثابتًا. قارن هذا بطوبولوجيا سكوروهود ، التي تسمح لنا "بالتلاعب" بكل من المكان والزمان.

إذا نظرنا إلى المجال الأكثر عمومية${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$مع

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

عندئذٍ، لم يعد فضاء وينر فضاءً باناخياً، ولكن يمكن تحويله إلى واحد إذا تم تعريف فضاء وينر في ظل القيد الإضافي.

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

فيما يتعلق بالمقياس الموحد،${\displaystyle C}$هو فضاء قابل للفصل وفضاء كامل في آن واحد :

• إن قابلية الفصل هي نتيجة لنظرية ستون-ويرستراس ؛
• إن الاكتمال هو نتيجة لحقيقة أن النهاية المنتظمة لتسلسل من الدوال المتصلة هي نفسها متصلة.

بما أنه قابل للفصل وكامل في آن واحد،${\displaystyle C}$هو فضاء بولندي .

تذكر أن معامل الاستمرارية لدالة ما${\displaystyle f:[0,T]\to \mathbb {R} ^{n}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|st|\leq \delta \right\}.}$

هذا التعريف منطقي حتى لو${\displaystyle f}$ليست متصلة، ويمكن إثبات ذلك.${\displaystyle f}$تكون الدالة متصلة إذا وفقط إذا كان معامل اتصالها يؤول إلى الصفر عندما${\displaystyle \delta \to 0:}$

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0}$.

بتطبيق نظرية أرزيلا-أسكولي ، يمكن إثبات أن متتالية${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$مقاييس الاحتمالية على فضاء وينر الكلاسيكي${\displaystyle C}$تكون الحالة ضيقة إذا وفقط إذا تحققت الشروط التالية:

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C:|f(0)|\geq a\}=0,}$و

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty}\mu _{n}\{f\in C:\omega _{f}(\delta )\geq \varepsilon \}=0}$للجميع${\displaystyle \varepsilon >0.}$

يوجد مقياس "قياسي" بشأن${\displaystyle C_{0},}$يُعرف باسم مقياس وينر الكلاسيكي (أو ببساطة مقياس وينر ). يحتوي مقياس وينر على (على الأقل) وصفين متكافئين:

إذا عرّفنا الحركة البراونية بأنها عملية ماركوف عشوائية${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} ^{n},}$بدءاً من نقطة الأصل، مع مسارات متصلة بشكل شبه مؤكد وزيادات مستقلة

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {Normal} \left(0,|ts|\right),}$

ثم مقياس فيينا الكلاسيكي${\displaystyle \gamma }$هو قانون العملية${\displaystyle B.}$

بدلاً من ذلك، يمكن استخدام بناء فضاء وينر المجرد ، والذي يكون فيه مقياس وينر الكلاسيكي${\displaystyle \gamma }$هو تحويل مقياس مجموعة أسطوانات غاوسية المتعارف عليه إلى مقياس رادوني على فضاء كاميرون-مارتن هيلبرت المقابل لـ${\displaystyle C_{0}.}$

مقياس وينر الكلاسيكي هو مقياس غاوسي : على وجه الخصوص، هو مقياس احتمالية موجب تمامًا .

بالنظر إلى مقياس وينر الكلاسيكي${\displaystyle \gamma }$على${\displaystyle C_{0},}$مقياس المنتج${\displaystyle \gamma ^{n}\times \gamma }$هو مقياس احتمالي على${\displaystyle C}$، أين${\displaystyle \gamma ^{n}}$يرمز إلى المقياس الغاوسي القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

بالنسبة للعملية العشوائية${\displaystyle \{X_{t},t\in [0,T]\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (M,{\mathcal {B}})}$ومساحة الدالة${\displaystyle M^{E}\equiv \{E\to M\}}$من جميع الوظائف من${\displaystyle E}$ل${\displaystyle M}$ينظر المرء إلى الخريطة${\displaystyle \varphi$ :\Omega \to M^{E}} . يمكن بعد ذلك تحديد خرائط الإحداثيات أو النسخ المتعارف عليها${\displaystyle Y_{t}:M^{E}\to M}$محدد بواسطة${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$. ال${\displaystyle \{Y_{t},t\in E\}}$تشكيل عملية أخرى. لـ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$و${\displaystyle E=\mathbb {R} _{+}}$إذن ، يُعد مقياس وينر هو المقياس الفريد على${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$بحيث تكون عملية الإحداثيات حركة براونية. ^{[ 1 ]}

يترك${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$ليكن فضاء هيلبرت مضمنًا بشكل مستمر ، وليكن${\displaystyle \gamma }$فليكن مقياس وينر إذن${\displaystyle \gamma (H)=0}$وقد أثبت ذلك سموليانوف وأوغلانوف عام 1973، وفي العام نفسه أثبته غيركين بشكل مستقل. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ومع ذلك، يوجد فضاء هيلبرت${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$بطوبولوجيا أضعف بحيث${\displaystyle \gamma (H)=1}$وقد أثبت ذلك أوغلانوف في عام 1993. ^{[ 4 ]}