صنف أبيليان مزدوج

في الرياضيات ، يمكن تعريف التنوع الأبلي الثنائي من تنوع أبيلي A ، معرف على حقل k . التنوع الأبلي أحادي البعد هو منحنى إهليلجي ، وكل منحنى إهليلجي متماثل مع ثنائيه، لكن هذا لا ينطبق على التنوعات الأبيلية ذات الأبعاد الأعلى، لذا يصبح مفهوم الثنائي أكثر أهمية في الأبعاد الأعلى.

ليكن A صنفًا تبديليًا على حقل k . نُعرّف${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)\subset \operatorname {Pic} (A)}$أن تكون المجموعة الفرعية من مجموعة بيكارد التي تتكون من حزم خطية L بحيث${\displaystyle m^{*}L\cong p^{*}L\otimes q^{*}L}$، أين${\displaystyle m,p,q}$هما خرائط الضرب والإسقاط${\displaystyle A\times _{k}A\to A}$على التوالي. عنصر من${\displaystyle \operatorname {Pic} ^{0}(A)}$يُطلق عليه اسم حزمة خطية ^من الدرجة 0 على A. ^{[ 1} ]

يُربط بـ A تنوع أبيلي ثنائي A ^v (على نفس الحقل)، وهو حل لمسألة المعاملات التالية . تُعرَّف عائلة من حزم الخطوط من الدرجة 0، المُعَلمة بتنوع k - T، بأنها حزمة خطوط L على A × T بحيث

1. للجميع${\displaystyle t\in T}$، إن تقييد L على A × { t } هو حزمة خطية من الدرجة 0،
2. إن تقييد L إلى {0}× T هو حزمة خطية تافهة (هنا 0 هو عنصر الهوية لـ A ).

ثم هناك نوعان مختلفان: A و ^v وحزمة خطية${\displaystyle P\to A\times A^{\vee }}$تُسمى هذه المجموعة حزمة بوانكاريه، وهي عائلة من حزم الخطوط من الدرجة صفر، مُعَلمة بواسطة A ^v وفقًا للتعريف المذكور أعلاه. ^{[ 2 ]} علاوة على ذلك، فإن هذه العائلة شاملة، أي أنه لكل عائلة L مُعَلمة بواسطة T، يوجد تشاكل وحيد f : T → A ^v بحيث تكون L متماثلة مع السحب العكسي لـ P على طول التشاكل 1 _A × f : A × T → A × A ^v . بتطبيق هذا على الحالة التي تكون فيها T نقطة، نرى أن نقاط A ^v تُقابل حزم خطوط من الدرجة صفر على A ، وبالتالي توجد عملية زمرة طبيعية على A ^v مُعطاة بواسطة حاصل الضرب الموتري لحزم الخطوط، مما يجعلها صنفًا أبيليًا.

بلغة الدوال القابلة للتمثيل، يمكن صياغة النتيجة السابقة على النحو التالي: الدالة المتغيرة عكسيًا، التي تربط كل صنف من الرتبة k ، T، بمجموعة عائلات حزم الخطوط من الدرجة 0 المُعَلمة بواسطة T، وكل تشاكل من الرتبة k، f : T → T'، بالتطبيق الناتج عن السحب العكسي مع f ، هي دالة قابلة للتمثيل. العنصر الشامل الذي يمثل هذه الدالة هو الزوج ( A ^v , P ).

هذا الارتباط هو ازدواجية بمعنى وجود تماثل طبيعي بين الازدواجية المزدوجة A ^vv و A (المعرفة عبر حزمة بوانكاريه)، وهو ارتباط دالي متغاير ، أي أنه يربط جميع التشكلات f : A → B بالتشكلات المزدوجة f ^v : B ^v → A ^v بطريقة متوافقة. يكون الالتواء من الرتبة n لمتنوعة أبيلية والالتواء من الرتبة n لمتناظرها متناظرين عندما يكون n أوليًا نسبيًا مع خاصية القاعدة. بشكل عام - لجميع قيم n - تكون مخططات زمرة الالتواء من الرتبة n للمتنوعات الأبيلية المزدوجة متناظرة كارتييه لبعضها البعض. هذا يعمم اقتران ويل للمنحنيات الإهليلجية.

وُضِعَت النظرية في شكلها الصحيح لأول مرة عندما كان K حقل الأعداد المركبة . في هذه الحالة، يوجد شكل عام للازدواجية بين منوع ألبانيز لمنوع كامل V ، ومنوع بيكارد الخاص به ؛ وقد تحقق ذلك، بالنسبة للتعريفات بدلالة الطارات المركبة ، بمجرد أن قدم أندريه ويل تعريفًا عامًا لمنوع ألبانيز. بالنسبة لمنوع أبيلي A ، فإن منوع ألبانيز هو A نفسه، لذا يجب أن يكون نظيره Pic ⁰ ( A )، وهو المكون المتصل لعنصر الهوية لما يُعرف في المصطلحات المعاصرة بمخطط بيكارد .

في حالة المتنوع اليعقوبي J لسطح ريمان مضغوط C ، يؤدي اختيار استقطاب رئيسي لـ J إلى تعريف J بمتنوع بيكارد الخاص به. وهذا، بمعنى ما، مجرد نتيجة لنظرية أبيل . بالنسبة للمتنوعات الأبيلية العامة، التي لا تزال على الأعداد المركبة، فإن A تنتمي إلى نفس فئة التماثل الثنائي. يمكن إنشاء تماثل صريح باستخدام حزمة قابلة للعكس L على A (أي في هذه الحالة حزمة خطية هولومورفية )، عندما تكون المجموعة الفرعية

K ( L )

عدد الترجمات على L التي تحوّل L إلى نسخة متماثلة هو نفسه محدود. في هذه الحالة، يكون ناتج القسمة

أ / ك ( ل )

متماثل مع التنوع الأبلي المزدوج A ^v .

يمتد هذا البناء لـ A ^{v إلى أي حقل} K ذي خاصية صفرية . ^{[ 3 ]} وفقًا لهذا التعريف، يمكن تعريف حزمة بوانكاريه ، وهي حزمة خطية شاملة، على

أ × أ ^مقابل​

يستخدم بناء K عندما يكون لها الخاصية p نظرية المخططات . يجب أن يكون تعريف K ( L ) بدلالة مخطط مجموعة يعمل كمثبت نظري للمخططات ، ويكون ناتج القسمة الناتج ناتج قسمة على مخطط مجموعة جزئية. ^{[ 4 ]}

يترك${\displaystyle f:A\to B}$أن تكون تماثلًا بين أصناف أبيلية. (أي،${\displaystyle f}$(محدود إلى واحد وشامل). سنقوم بإنشاء تماثل.${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$باستخدام الوصف الوظيفي لـ${\displaystyle A^{\vee }}$، مما يعني أن بيانات الخريطة${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$وهو ما يعادل إعطاء مجموعة من حزم الخطوط من الدرجة الصفرية على${\displaystyle A}$، مُعَلمة بواسطة${\displaystyle B^{\vee }}$.

ولتحقيق هذه الغاية، ضع في اعتبارك التماثل.${\displaystyle f\times 1_{B^{\vee }}:A\times B^{\vee }\to B\times B^{\vee }}$و${\displaystyle (f\times 1_{B^{\vee }})^{*}P_{B}}$أين${\displaystyle P_{B}}$هل مجموعة منتجات بوانكير هي لـ${\displaystyle B}$إذن، هذه هي العائلة المطلوبة من حزم الخطوط من الدرجة الصفرية على${\displaystyle A}$.

وبناءً على الوصف الوظيفي المذكور آنفاً، يوجد حينها تشاكل${\displaystyle f^{\vee }:B^{\vee }\to A^{\vee }}$لهذا السبب.${\displaystyle (f^{\vee }\times 1_{A})^{*}P_{A}\cong (f\times 1_{B^{\vee }})^{*}P_{B}}$يمكن للمرء أن يثبت باستخدام هذا الوصف أن هذه الخريطة هي تماثل من نفس الدرجة مثل${\displaystyle f}$وذلك${\displaystyle f^{\vee \vee }=f}$[ ^{5 ]​}

وبالتالي، نحصل على دالة داخلية متغايرة على فئة الأصناف الأبيلية التي تربيعها يساوي دالة الوحدة. يُطلق على هذا النوع من الدوال غالبًا اسم دالة الازدواجية . ^{[ 6 ]}

تنص إحدى النظريات الشهيرة لموكاي ^{[ 7 ]} على وجود تماثل بين الفئات المشتقة${\displaystyle D^{b}(A)\cong D^{b}(A^{\vee })}$، أين${\displaystyle D^{b}(X)}$يشير إلى الفئة المشتقة المحدودة للحزم المتماسكة على X. تاريخيًا، كان هذا هو الاستخدام الأول لتحويل فورييه-موكاي ، ويُظهر أن الفئة المشتقة المحدودة لا يمكنها بالضرورة التمييز بين الأصناف غير المتماثلة.

تذكر أنه إذا كان X و Y نوعين، و${\displaystyle {\mathcal {K}}\in D^{b}(X\times Y)}$إذا كانت مجموعة من الحزم المتماسكة، فإننا نُعرّف تحويل فورييه-موكاي${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}:D^{b}(X)\to D^{b}(Y)}$أن تكون هي التركيبة${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{X\to Y}(\cdot )=Rq_{*}({\mathcal {K}}\otimes _{L}Lp^{*}(\cdot ))}$، حيث يمثل p و q الإسقاطات على X و Y على التوالي.

لاحظ أن${\displaystyle p}$مسطح وبالتالي${\displaystyle p^{*}}$دقيق على مستوى الحزم المتماسكة، وفي التطبيقات${\displaystyle {\mathcal {K}}}$غالبًا ما تكون حزمة خطية، لذا يمكن عادةً ترك الدوال المشتقة اليسرى غير مشتقة في التعبير أعلاه. لاحظ أيضًا أنه يمكن تعريف تحويل فورييه-موكاي بشكل مماثل.${\displaystyle \Phi _{\mathcal {K}}^{Y\to X}}$باستخدام نفس النواة، عن طريق تبديل خرائط الإسقاط في الصيغة فقط.

إذن، نص نظرية موكاي هو كما يلي.

نظرية: ليكن A صنفًا أبيليًا ذا بُعد g و${\displaystyle P_{A}}$مجموعة منتجات بوانكاريه على${\displaystyle A\times A^{\vee }}$. ثم،${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A^{\vee }\to A}\circ \Phi _{P_{A}}^{A\to A^{\vee }}\cong \iota ^{*}[-g]}$، أين${\displaystyle \iota :A\to A}$هي خريطة الانعكاس، و${\displaystyle [-g]}$هو دالة الإزاحة. على وجه الخصوص،${\displaystyle \Phi _{P_{A}}^{A\to A^{\vee }}}$هو تماثل. ^{[ 8 ]}

• ميلن، جيمس س. (2008). أصناف أبيليان (الإصدار 2.00) (ملف PDF) .
• مامفورد، ديفيد (1985). أصناف أبيلية (  الطبعة الثانية). مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 978-0-19-560528-0.
• بهات ، بهارجاف (2017). أصناف أبيليان (PDF) .

تتضمن هذه المقالة مواد من Dual isogeny على PlanetMath ، وهي مرخصة بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .