توزيع الثقة

تقليديًا، يُعرَّف توزيع الثقة بعكس الحدود العليا لسلسلة من فترات الثقة ذات الجانب الأدنى. ^{[ 15 ] [ 16 ]} على وجه الخصوص،

ذكر إيفرون أن هذا التوزيع "يُسند احتمال 0.05 لقيمة θ الواقعة بين الحدين العلويين لفترة الثقة 0.90 و0.95، إلخ ." و"يتمتع بجاذبية بديهية قوية". ^{[ 16 ]} في الأدبيات الكلاسيكية، ^{[ 3 ]} تُفسَّر دالة توزيع الثقة على أنها دالة توزيع للمعلمة θ ، وهو أمر مستحيل ما لم يُستخدَم الاستدلال الموثوق، لأنه في السياق التكراري، تكون المعلمات ثابتة وغير عشوائية.

يُعدّ تفسير دالة توزيع الثقة (CD) من منظور إحصائي تقليدي بحت، بدلاً من تفسيرها كدالة توزيع لمعلمة (ثابتة/غير عشوائية)، أحد أبرز التحولات في التطورات الحديثة مقارنةً بالنهج الكلاسيكي. ومن مزايا التعامل مع توزيعات الثقة كمفهوم إحصائي تقليدي بحت (على غرار مُقدِّر النقطة) أنها أصبحت الآن متحررة من القيود التقييدية، إن لم تكن المثيرة للجدل، التي وضعها فيشر على التوزيعات المرجعية. ^{[ 6 ] [ 14 ]}

ينطبق التعريف التالي؛ ^{[ 12 ] [ 17 ] [ 18 ]} Θ هي فضاء المعلمات للمعلمة المجهولة محل الاهتمام θ ، و χ هي فضاء العينة المقابل للبيانات X _n = { X ₁ , ..., X _n }:

أيضًا، الدالة H هي CD تقاربي ( aCD )، إذا كان شرط U [0, 1] صحيحًا فقط تقاربيًا وتم إسقاط  شرط الاستمرارية على H _{n (•).}

بصورة مبسطة، يُعدّ توزيع الثقة دالةً لكلٍّ من المعلمة والعينة العشوائية، وله شرطان. الشرط الأول (R1) ينصّ ببساطة على أن يكون توزيع الثقة توزيعًا على فضاء المعلمات. أما الشرط الثاني (R2) فيفرض قيدًا على هذه الدالة لضمان تمتع الاستدلالات (كتقديرات النقاط، وفترات الثقة، واختبار الفرضيات، إلخ) المستندة إلى توزيع الثقة بالخصائص التكرارية المطلوبة. وهذا يُشابه القيود المفروضة في تقدير النقاط لضمان خصائص معينة مرغوبة، مثل عدم التحيز، والاتساق، والكفاءة، وما إلى ذلك. ^{[ 6 ] [ 19 ]}

إن توزيع الثقة المشتق عن طريق عكس الحدود العليا لفترات الثقة (التعريف الكلاسيكي) يفي أيضاً بالمتطلبات الواردة في التعريف أعلاه، وهذه الصيغة من التعريف متسقة مع التعريف الكلاسيكي. ^{[ 18 ]}

على عكس الاستدلال الموثوق التقليدي، قد تتوفر أكثر من توزيع ثقة واحد لتقدير معلمة ما في أي سياق محدد. كذلك، على عكس الاستدلال الموثوق التقليدي، لا يُعدّ الأمثل شرطًا أساسيًا. فبحسب السياق والمعيار المستخدم، قد يوجد أحيانًا توزيع ثقة "أفضل" (من حيث الأمثلية). ولكن في بعض الأحيان، لا يتوفر توزيع ثقة أمثل، أو في حالات استثنائية، قد لا نتمكن حتى من إيجاد توزيع ثقة ذي دلالة. وهذا لا يختلف عن ممارسة التقدير النقطي.

توزيع الثقة ^{[ 20 ]}${\displaystyle C}$لمعامل​${\displaystyle \gamma }$في حيز قابل للقياس يوجد مقدر توزيع مع${\displaystyle C(A_{p})=p}$لعائلة من مناطق الثقة${\displaystyle A_{p}}$ل${\displaystyle \gamma }$مع مستوى${\displaystyle p}$لجميع المستويات${\displaystyle 0<p<1}$إن نطاقات الثقة ليست فريدة من نوعها. ^{[ 21 ]} إذا${\displaystyle A_{p}}$لا يوجد إلا لـ${\displaystyle p\in I\subset (0,1)}$، ثم${\displaystyle C}$هو توزيع ثقة مع مجموعة مستوى${\displaystyle I}$. كلاهما${\displaystyle C}$وكل شيء${\displaystyle A_{p}}$هي دوال قابلة للقياس للبيانات. وهذا يعني أن${\displaystyle C}$هو مقياس عشوائي و${\displaystyle A_{p}}$هي مجموعة عشوائية. إذا كان الشرط المحدد${\displaystyle P(\gamma \in A_{p})\geq p}$إذا تحققت المساواة، فإن توزيع الثقة يكون دقيقًا بحكم التعريف. وإذا، بالإضافة إلى ذلك،${\displaystyle \gamma }$إذا كان معاملًا حقيقيًا، فإن التعريف النظري للقياس يتطابق مع التعريف الكلاسيكي المذكور أعلاه.

لنفترض أن عينة طبيعية X _i  ~ N ( μ , σ ² ), i = 1, 2, ..., n معطاة.       

لنفترض أن ρ يرمز إلى معامل الارتباط لمجتمع طبيعي ثنائي المتغيرات . من المعروف أن قيمة z لفيشر تُعرَّف بتحويل فيشر :

$${\displaystyle z={\frac {1}{2}}\ln {1+r \over 1-r}}$$

له التوزيع المحدود${\textstyle N{\left({1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }},{1 \over n-3}\right)}}$بمعدل تقارب سريع ، حيث r هو ارتباط العينة و n هو حجم العينة.

الوظيفة

$${\displaystyle H_{n}(\rho )=1-{\mathit {\Phi }}\left({\sqrt {n-3}}\left({1 \over 2}\ln {1+r \over 1-r}-{1 \over 2}\ln {{1+\rho } \over {1-\rho }}\right)\right)}$$

^{[ 22 ]} هو توزيع ثقة تقاربي لـ ρ .

كثافة الثقة الدقيقة لـ ρ هي ^{[ 23 ] [ 24 ]}

$${\displaystyle \pi (\rho \mid r)={\frac {\nu (\nu -1)\Gamma (\nu -1)}{{\sqrt {2\pi }}\Gamma (\nu +{\frac {1}{2}})}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot \left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {\nu -2}{2}}\cdot \left(1-r\rho \right)^{-\nu +{\frac {1}{2}}}F{\left({\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}};\nu +{\frac {1}{2}};{\frac {1+r\rho }{2}}\right)}}$$

أين ${\displaystyle F}$هي دالة غاوسية فائقة الهندسة و${\displaystyle \nu =n-1>1}$وهذا أيضاً هو الكثافة الاحتمالية اللاحقة لتوزيع بايزي المطابق المسبق للمعاملات الخمسة في التوزيع ثنائي الطبيعي. ^{[ 25 ]}

الصيغة الأخيرة في كتاب فيشر الكلاسيكي تعطي

$${\displaystyle \pi (\rho |r)={\frac {(1-r^{2})^{\frac {\nu -1}{2}}\cdot (1-\rho ^{2})^{\frac {\nu -2}{2}}}{\pi (\nu -2)!}}\partial _{\rho r}^{\nu -2}\left\{{\frac {\theta -{\frac {1}{2}}\sin 2\theta }{\sin ^{3}\theta }}\right\}}$$

أين${\displaystyle \cos \theta =-\rho r}$و${\displaystyle 0<\theta <\pi }$تم اشتقاق هذه الصيغة بواسطة سي آر راو . ^{[ 26 ]}

لنفترض أن البيانات يتم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle Y=\gamma +U}$أين${\displaystyle \gamma }$هو متجه مجهول في المستوى و${\displaystyle U}$له توزيع ثنائي طبيعي ومعروف في المستوى. توزيع${\displaystyle \Gamma ^{y}=y-U}$يُحدد توزيع الثقة لـ${\displaystyle \gamma }$مناطق الثقة${\displaystyle A_{p}}$يمكن اختيارها كداخلية للقطع الناقص المتمركز عند${\displaystyle \gamma }$والمحاور المعطاة بواسطة المتجهات الذاتية لمصفوفة التغاير لـ${\displaystyle \Gamma ^{y}}$يكون توزيع الثقة في هذه الحالة ثنائيًا طبيعيًا بمتوسط${\displaystyle \gamma }$ويمكن اختيار مناطق الثقة بطرق أخرى عديدة. ^{[ 21 ]} يتطابق توزيع الثقة في هذه الحالة مع التوزيع الاحتمالي الخلفي البايزي باستخدام التوزيع الاحتمالي المسبق الصحيح لهار. ^{[ 27 ]} ويمكن تعميم هذه الحجة لتشمل حالة المتوسط ​​غير المعروف.${\displaystyle \gamma }$في فضاء هيلبرت ذي أبعاد لا نهائية ، ولكن في هذه الحالة، لا يكون توزيع الثقة توزيعًا خلفيًا بايزيًا. ^{[ 28 ]}

من تعريف القرص المضغوط، يتضح أن الفاصل الزمني${\displaystyle (-\infty ,H_{n}^{-1}(1-\alpha )],[H_{n}^{-1}(\alpha ),\infty )}$و${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha /2),H_{n}^{-1}(1-\alpha /2)]}$قم بتوفير فترات ثقة بمستوى 100(1 − α )% من أنواع مختلفة، لـ θ ، لأي α ∈ (0, 1). كذلك     ${\displaystyle [H_{n}^{-1}(\alpha _{1}),H_{n}^{-1}(1-\alpha _{2})]}$هو مستوى الثقة 100(1 − α ₁ − α ₂ )% للمعلمة θ لأي α ₁ > 0، α ₂ > 0 و α ₁ + α ₂ < 1. هنا،            ${\displaystyle H_{n}^{-1}(\beta )}$يمثل النسبة المئوية 100 β من${\displaystyle H_{n}(\theta )}$أو أنها تحل المعادلة لإيجاد قيمة θ${\displaystyle H_{n}(\theta )=\beta }$وينطبق الأمر نفسه على التوزيع التراكمي، حيث يتم الوصول إلى مستوى الثقة ضمن حد معين. وقد اقترح بعض الباحثين استخدامها لعرض قيم المعلمات المتوافقة مع البيانات بيانيًا، بدلاً من استخدامها لأغراض التغطية أو الأداء. ^{[ 29 ] [ 30 ]}

يمكن أيضًا إنشاء مُقدِّرات نقطية بمعرفة مُقدِّر توزيع الثقة للمعلمة محل الاهتمام. على سبيل المثال، بمعرفة H _{_n} ( θ ) توزيع الثقة للمعلمة θ ، تشمل الخيارات الطبيعية للمُقدِّرات النقطية الوسيط M _{_n}  = H _{_n} ^{- 1} (1/2)، والمتوسط. ${\textstyle {\bar {\theta }}_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }t\,\mathrm {d} H_{n}(t)}$، ونقطة الذروة لكثافة القرص المضغوط

$${\displaystyle {\widehat {\theta }}_{n}=\arg \max _{\theta }h_{n}(\theta ),h_{n}(\theta )=H'_{n}(\theta ).}$$

في ظل شروط معينة، من بين خصائص أخرى، يمكن إثبات أن جميع هذه المقدرات النقطية متسقة. ^{[ 6 ] [ 22 ]} يمكن لبعض توزيعات الثقة أن تعطي مقدرات إحصائية تكرارية مثلى. ^{[ 28 ]}

يمكن استخلاص قيمة p لاختبار، سواء كان من جانب واحد أو من جانبين، يتعلق بالمعلمة θ ، من توزيع الثقة H _{_n} ( θ ). ^{[ 6 ] [ 22 ]} لنرمز بـ إلى كتلة الاحتمال لمجموعة C تحت دالة توزيع الثقة. ${\textstyle p_{s}(C)=H_{n}(C)=\int _{C}\mathrm {d} H(\theta ).}$يُطلق على هذا الاحتمال p _s (C) اسم "الدعم" في استدلال CD، ويُعرف أيضًا باسم "الاعتقاد" في أدبيات الائتمان. ^{[ 31 ]} لدينا

1. بالنسبة للاختبار أحادي الجانب K ₀ : θ  ∈ C مقابل K ₁ : θ ∈ C ^c ، حيث C من النوع ( − ∞, b ] أو [ b , ∞ )، يمكن إثبات من تعريف CD أن sup _{θ ∈ C} P _θ ( p _s ( C ) ≤ α ) = α . وبالتالي، فإن p _s ( C ) = H _n ( C ) هي قيمة p المقابلة للاختبار.             
2. في اختبار المجموعة المفردة K₀ _: θ  = b مقابل K₁ : θ ≠ b ، يمكن إثبات أن P { _{K₀ : θ = b } (} 2min { ps ( C₀₀ ) _{, ps} ( _C₀₁ ) _, 1 _{− HS} ( b _{) )، باستخدام تعريف} CD، ≤ α = α . وبالتالي، فإن 2min { ps ( C₀₀ ) _, ps ( _C₀₁ ) , ps ( C₀₁ ₎ , _≤ α هي قيمة p المقابلة للاختبار. هنا، C₀₀ = ₍ −∞ , b ] و C₀₁ = [ _b , ∞ ) .                     

انظر الشكل 1 من Xie و Singh (2011) ^{[ 6 ]} للحصول على رسم توضيحي لاستنتاج CD.