المنتج الخارجي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 60 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر الخطي ، يُعرف حاصل الضرب الخارجي لمتجهين إحداثيين بأنه مصفوفة عناصرها جميعها حاصل ضرب عنصر في المتجه الأول في عنصر في المتجه الثاني. إذا كان للمتجهين الإحداثيين بُعدان m و n ، فإن حاصل ضربهما الخارجي يكون مصفوفة من الرتبة m × n . وبشكل أعم، عند وجود موترين (مصفوفات متعددة الأبعاد من الأعداد)، فإن حاصل ضربهما الخارجي يكون موترًا. يُشار إلى حاصل الضرب الخارجي للموترات أيضًا باسم حاصل ضرب الموترات ، ويمكن استخدامه لتعريف جبر الموترات .

المنتج الخارجي يتناقض مع:

تعريف

بفرض وجود متجهين عموديين ،u{\displaystyle \mathbf {u} }من الحجمم×1{\displaystyle m\times 1}و​v{\displaystyle \mathbf {v} }من الحجمن×1{\displaystyle n\times 1}،u=[u1u2⋮uم]،v=[v1v2⋮vن]{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{m}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}} منتجهم الخارجيuvتي{\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}[ 1 ] [ 2 ] يُشار إليها أحيانًا بـu⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }، هو حاصل ضرب المصفوفة لمتجه العمود ⁠u{\displaystyle \mathbf {u} }مضروبًا في متجه الصفvتي{\displaystyle \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}}هذا​م×ن{\displaystyle m\times n}مصفوفة عناصرها هي كل ناتج ممكن لعنصر واحد من ⁠u{\displaystyle \mathbf {u} }مضروبًا في عنصر واحد منv{\displaystyle \mathbf {v} }⁠ : [ 3 ]u⊗v=uvتي=[u1u2...uم][v1v2...vن]=[u1v1u1v2...u1vنu2v1u2v2...u2vن⋮⋮⋱⋮uمv1uمv2...uمvن].{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}}={\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\dots \\u_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\dots &v_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}u_{1}v_{1}&u_{1}v_{2}&\dots &u_{1}v_{n}\\u_{2}v_{1}&u_{2}v_{2}&\dots &u_{2}v_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{m}v_{1}&u_{m}v_{2}&\dots &u_{m}v_{n}\end{bmatrix}}.} أو، باستخدام تدوين الفهرس، (u⊗v)أناج=uأناvج.{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{ij}=u_{i}v_{j}.}

يكون للجداء الخارجي لمتجهين رتبة دائمًا ⁠1{\displaystyle 1}، وعلى العكس من ذلك ، كل مصفوفة من الرتبة1{\displaystyle 1}يمكن كتابتها كحاصل ضرب خارجي.

بالنسبة للمتجهات المركبة ذات القيم، من الشائع تعريف الضرب الخارجي بدلالة منقولة المرافق لـv{\displaystyle \mathbf {v} }، المشار إليهv†{\displaystyle \mathbf {v} ^{\dagger }}،vح{\displaystyle \mathbf {v} ^{\textsf {H}}}، أوv*{\displaystyle \mathbf {v} ^{*}}: u⊗v=uv†.{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} =\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\dagger }.} ينتج عن منقولة المصفوفة المرافقة أخذ المرافق المركب لكل عنصر في منقولة المصفوفة.

قارن ذلك بالضرب الداخلي الإقليدي

لوم=ن،{\displaystyle m=n,}ثم يمكن للمرء أن يأخذ حاصل ضرب المصفوفة بالترتيب العكسي، أي ضرب متجه صف في متجه عمود، للحصول على قيمة عددية (أو1×1{\displaystyle 1\times 1}المصفوفة): ⟨u،v⟩=uتيv=u1v1+u2v2+⋯+uنvن.{\displaystyle \left\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \right\rangle =\mathbf {u} ^{\textsf {T}}\mathbf {v} =u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\dots +u_{n}v_{n}.}هذا هو الضرب الداخلي القياسي (أو الضرب النقطي) للفضاء المتجهي الإقليديRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}[ 2 ] الضرب الداخلي هو أثر الضرب الخارجي.[ 4 ] على عكس الضرب الداخلي، فإن الضرب الخارجي ليس تبديليًا .

ضرب متجهw{\displaystyle \mathbf {w} }بواسطة المصفوفةu⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }يمكن كتابتها بدلالة الضرب الداخلي، باستخدام العلاقة(u⊗v)w=(uvتي)w=u(vتيw)=u⟨v،w⟩{\displaystyle \left(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} \right)\mathbf {w} =(\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\mathsf {T}})\mathbf {w} =\mathbf {u} (\mathbf {v} ^{\mathsf {T}}\mathbf {w} )=\mathbf {u} \left\langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \right\rangle }.

الضرب الخارجي للموترات

بافتراض وجود موترينu،v{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }بأبعاد(ك1،ك2،...،كم){\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m})}و(ل1،ل2،...،لن){\displaystyle (l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}منتجهم الخارجيu⊗v{\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {v} }هو موتر ذو أبعاد(ك1،ك2،...،كم،ل1،ل2،...،لن){\displaystyle (k_{1},k_{2},\dots ,k_{m},l_{1},l_{2},\dots ,l_{n})}والمدخلات (u⊗v)أنا1،أنا2،...أنام،ج1،ج2،...،جن=uأنا1،أنا2،...،أنامvج1،ج2،...،جن{\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )_{i_{1},i_{2},\dots i_{m},j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}=u_{i_{1},i_{2},\dots ,i_{m}}v_{j_{1},j_{2},\dots ,j_{n}}}

على سبيل المثال، إذاأ{\displaystyle \mathbf {A} }هو من الرتبة 3 بأبعاد(3،5،7){\displaystyle (3,5,7)}وب{\displaystyle \mathbf {B} }هو من الرتبة 2 بأبعاد(10،100)،{\displaystyle (10,100),}ثم منتجهم الخارجيج{\displaystyle \mathbf {C} }هو من الرتبة 5 بأبعاد(3،5،7،10،100).{\displaystyle (3,5,7,10,100).}لوأ{\displaystyle \mathbf {A} }للمصفوفة A مكون A [2, 2, 4] = 11 وب{\displaystyle \mathbf {B} }إذا كان للمتجه مكون B [8, 88] = 13 ، فإن مكونج{\displaystyle \mathbf {C} }الناتج عن الضرب الخارجي هو C [2, 2, 4, 8, 88] = 143 .

الاتصال بمنتج كرونيكر

يرتبط كل من الضرب الخارجي وضرب كرونكر ارتباطًا وثيقًا؛ في الواقع، يُستخدم الرمز نفسه بشكل شائع للدلالة على كلتا العمليتين.

لوu=[123]تي{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1&2&3\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}وv=[45]تي{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}4&5\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}لدينا: u⊗كرونv=[458101215]،u⊗خارجيv=[458101215]{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4\\5\\8\\10\\12\\15\end{bmatrix}},&\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} &={\begin{bmatrix}4&5\\8&10\\12&15\end{bmatrix}}\end{aligned}}}

في حالة متجهات الأعمدة، يمكن اعتبار جداء كرونكر شكلاً من أشكال تحويل (أو تسطيح) الجداء الخارجي إلى متجه. على وجه الخصوص، بالنسبة لمتجهي عمودينu{\displaystyle \mathbf {u} }وv{\displaystyle \mathbf {v} }يمكننا أن نكتب: u⊗كرونv=متجه⁡(v⊗خارجيu){\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} =\operatorname {vec} (\mathbf {v} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {u} )}

(يتم عكس ترتيب المتجهات على الجانب الأيمن من المعادلة.)

ومن أوجه التشابه الأخرى التي تبرز التشابه بين العمليات ما يلي: u⊗كرونvتي=uvتي=u⊗خارجيv{\displaystyle \mathbf {u} \otimes _{\text{Kron}}\mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \mathbf {v} ^{\textsf {T}}=\mathbf {u} \otimes _{\text{outer}}\mathbf {v} }

حيث لا يلزم عكس ترتيب المتجهات. يستخدم التعبير الأوسط ضرب المصفوفات، حيث تُعتبر المتجهات مصفوفات عمودية/صفية.

العلاقة مع حاصل ضرب المصفوفات

بالنظر إلى زوج من المصفوفاتأ{\displaystyle \mathbf {A} }من الحجمم×ص{\displaystyle m\times p}وب{\displaystyle \mathbf {B} }من الحجمص×ن{\displaystyle p\times n}، ضع في اعتبارك ضرب المصفوفاتج=أب{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} }يتم تعريفها كالمعتاد كمصفوفة بحجمم×ن{\displaystyle m\times n}.

والآن لنبدأأككول{\displaystyle \mathbf {a} _{k}^{\text{col}}}كنك{\displaystyle k}متجه العمود رقم -th منأ{\displaystyle \mathbf {A} }ودعبكصف{\displaystyle \mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}كنك{\displaystyle k}متجه الصف رقم -th منب{\displaystyle \mathbf {B} }. ثمج{\displaystyle \mathbf {C} }يمكن التعبير عنها كمجموع حاصل ضرب الأعمدة في الصفوف: ج=أب=(∑ك=1صأأناكبكج)1≤أنا≤م1≤ج≤ن=[أ1كول⋯أصكول][ب1صف⋮بصصف]=∑ك=1صأككولبكصف{\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} =\left(\sum _{k=1}^{p}{A}_{ik}\,{B}_{kj}\right)_{\begin{matrix}1\leq i\leq m\\[-20pt]1\leq j\leq n\end{matrix}}={\begin{bmatrix}&&\\\mathbf {a} _{1}^{\text{col}}&\cdots &\mathbf {a} _{p}^{\text{col}}\\&&\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}&\mathbf {b} _{1}^{\text{row}}&\\&\vdots &\\&\mathbf {b} _{p}^{\text{row}}&\end{bmatrix}}=\sum _{k=1}^{p}\mathbf {a} _{k}^{\text{col}}\mathbf {b} _{k}^{\text{row}}}هذا التعبير له ازدواجية مع التعبير الأكثر شيوعًا باعتباره مصفوفة مبنية من مدخلات الضرب الداخلي صفًا بعمود (أو الضرب النقطي ):جأناج=⟨أأناصف،بجكول⟩{\displaystyle C_{ij}=\langle {\mathbf {a} _{i}^{\text{row}},\,\mathbf {b} _{j}^{\text{col}}}\rangle }

تُعد هذه العلاقة ذات صلة [ 5 ] في تطبيق تحليل القيم المفردة (SVD) ( والتحليل الطيفي كحالة خاصة). على وجه الخصوص، يمكن تفسير التحليل على أنه مجموع الضرب الخارجي لكل يسار (uك{\displaystyle \mathbf {u} _{k}}) واليمين (vك{\displaystyle \mathbf {v} _{k}}) المتجهات المفردة، مضروبة في القيمة المفردة غير الصفرية المقابلةσك{\displaystyle \sigma _{k}}: أ=يوΣVتي=∑ك=1رتبة⁡(أ)(uك⊗vك)σك{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {U\Sigma V^{T}} =\sum _{k=1}^{\operatorname {rank} (A)}(\mathbf {u} _{k}\otimes \mathbf {v} _{k})\,\sigma _{k}}

تشير هذه النتيجة إلى أنأ{\displaystyle \mathbf {A} }يمكن التعبير عنها كمجموع مصفوفات من الرتبة 1 ذات معيار طيفيσك{\displaystyle \sigma _{k}}بترتيب تنازلي. وهذا يفسر سبب مساهمة الحدود الأخيرة بشكل أقل عمومًا، مما يبرر استخدام تحليل القيم المفردة المقتطع كتقريب. الحد الأول هو مطابقة المربعات الصغرى لمصفوفة مع حاصل الضرب الخارجي للمتجهات.

ملكيات

يحقق حاصل الضرب الخارجي للمتجهات الخصائص التالية:

(u⊗v)تي=(v⊗u)(v+w)⊗u=v⊗u+w⊗uu⊗(v+w)=u⊗v+u⊗wج(v⊗u)=(جv)⊗u=v⊗(جu){\displaystyle {\begin{aligned}(\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )^{\textsf {T}}&=(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )\\(\mathbf {v} +\mathbf {w} )\otimes \mathbf {u} &=\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} +\mathbf {w} \otimes \mathbf {u} \\\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} +\mathbf {u} \otimes \mathbf {w} \\c(\mathbf {v} \otimes \mathbf {u} )&=(c\mathbf {v} )\otimes \mathbf {u} =\mathbf {v} \otimes (c\mathbf {u} )\end{aligned}}}

يحقق الضرب الخارجي للموترات خاصية التجميع الإضافية :

(u⊗v)⊗w=u⊗(v⊗w){\displaystyle (\mathbf {u} \otimes \mathbf {v} )\otimes \mathbf {w} =\mathbf {u} \otimes (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )}

رتبة المنتج الخارجي

إذا كانت قيمتا u و v غير صفريتين، فإن مصفوفة الضرب الخارجي uv T تكون دائمًا من الرتبة 1. في الواقع، جميع أعمدة الضرب الخارجي تتناسب مع u . وبالتالي، فهي جميعًا تعتمد خطيًا على هذا العمود، ومن ثم فإن المصفوفة من الرتبة 1.

(لا ينبغي الخلط بين رتبة المصفوفة و" ترتيب الموتر " أو "درجة الموتر"، والتي يشار إليها أحيانًا باسم "الرتبة".)

التعريف (الملخص)

ليكن V و W فضاءين متجهيين . الجداء الخارجي لـv∈V{\displaystyle \mathbf {v} \in V}وw∈دبليو{\displaystyle \mathbf {w} \in W}هو العنصرv⊗w∈V⊗دبليو{\displaystyle \mathbf {v} \otimes \mathbf {w} \in V\otimes W}.

إذا كان W فضاءً للجداء الداخلي ، فمن الممكن تعريف الجداء الخارجي كدالة خطية W → V. في هذه الحالة، الدالة الخطيةx↦⟨w،x⟩{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \rangle }هو عنصر من الفضاء الثنائي لـ W ، حيث يقوم هذا بتحويل متجه خطيًا إلى حقله الأساسي، الذي⟨w،x⟩{\displaystyle \langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \rangle }هو عنصر. يُعطى الضرب الخارجي W → V بالصيغة التالية:

(v⊗w)(x)=⟨w،x⟩v.{\displaystyle (\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )(\mathbf {x} )=\left\langle \mathbf {w} ,\mathbf {x} \right\rangle \mathbf {v} .}

وهذا يوضح سبب شيوع استخدام منقولة مترافقة لـ w في الحالة المركبة.

في لغات البرمجة

في بعض لغات البرمجة، عند إعطاء دالة ذات وسيطين f(أو عامل ثنائي)، يكون حاصل الضرب الخارجي fلمصفوفتين أحاديتي الأبعاد، Aو B، عبارة عن مصفوفة ثنائية الأبعاد Cبحيث C[i, j] = f(A[i], B[j]). يُعبَّر عن هذا التركيب النحوي بطرق مختلفة: في لغة APL ، كعامل ثنائي وسطي ; في لغة J ، كظرف لاحق ; في لغة R ، كدالة أو الخاص ; [ 6 ] في لغة Mathematica ، كـ . في MATLAB ، تُستخدم الدالة لهذا الضرب. غالبًا ما تُعمَّم هذه الطرق لتشمل وسائط متعددة الأبعاد، وأكثر من وسيطين.∘.ff/outer(A,B,f)%o%Outer[f,A,B]kron(A,B)

في مكتبة NumPy الخاصة بلغة بايثون ، يمكن حساب الضرب الخارجي باستخدام الدالة [ 7 ] . في المقابل، ينتج عن ذلك مصفوفة مسطحة. يمكن حساب الضرب الخارجي للمصفوفات متعددة الأبعاد باستخدام [ 7] .np.outer()np.kronnp.multiply.outer

التطبيقات

بما أن الضرب الخارجي يرتبط ارتباطًا وثيقًا بضرب كرونكر ، فإن بعض تطبيقات ضرب كرونكر تستخدم الضرب الخارجي. وتوجد هذه التطبيقات في نظرية الكم، ومعالجة الإشارات ، وضغط الصور . [ 8 ]

سبينورز

لنفترض أن s و t و w و z ∈ C بحيث يكون ( s و t ) و ( w و z ) في C 2. عندئذٍ يكون الضرب الخارجي لهذه المتجهات المركبة ثنائية الأبعاد عنصرًا من M(2, C ) ، وهي المصفوفات المركبة 2 × 2:

(swتwszتz).{\displaystyle {\begin{pmatrix}sw&tw\\sz&tz\end{pmatrix}}.}

محدد هذه المصفوفة هو swtz − sztw = 0 بسبب الخاصية التبادلية لـ C.

في نظرية السبينورات في ثلاثة أبعاد ، ترتبط هذه المصفوفات بالمتجهات المتناحية بسبب هذه الخاصية الصفرية. وصف إيلي كارتان هذا البناء في عام 1937، [ 9 ] ولكن تم تقديمه بواسطة فولفغانغ باولي في عام 1927 [ 10 ] ولذلك أصبح يُطلق على M(2, C ) اسم جبر باولي .

المفاهيم

يُعدّ الشكل الكتلي للمنتجات الخارجية مفيدًا في التصنيف. ويُعتبر تحليل المفاهيم دراسة تعتمد على منتجات خارجية محددة.

عندما يحتوي متجه على أصفار وواحدات فقط كمدخلات، يُسمى متجهًا منطقيًا ، وهو حالة خاصة من المصفوفة المنطقية . تحل العملية المنطقية " و" محل عملية الضرب. يُعطى حاصل الضرب الخارجي لمتجهين منطقيين ( uᵢ ) و ( vⱼ ) بواسطة المصفوفة المنطقية .(أأناج)=(uأنا∧vج){\displaystyle \left(a_{ij}\right)=\left(u_{i}\land v_{j}\right)}يُستخدم هذا النوع من المصفوفات في دراسة العلاقات الثنائية ، ويُطلق عليه اسم العلاقة المستطيلة أو المتجه المتقاطع . [ 11 ]

انظر أيضاً

منتجات

الازدواجية

مراجع

  1. ^ ليبشوتز، إس. ليبسون، م. (2009). الجبر الخطي . الخطوط العريضة لشوم (  الطبعة الرابعة). ماكجرو هيل. رقم ISBN 978-0-07-154352-1.
  2. 1 2 كيلر، فرانك (23 فبراير 2020). "الخواص الجبرية للمصفوفات؛ المنقول؛ الضرب الداخلي والخارجي" (ملف PDF) . inf.ed.ac.uk. مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 15 ديسمبر 2017. تم الاطلاع عليه بتاريخ 6 سبتمبر 2020 .
  3. ↑ ليرنر، آر جي ؛ تريج، جي إل (1991). موسوعة الفيزياء ( الطبعة الثانية). VHC. ISBN  0-89573-752-3.
  4. ↑ ستينجل، روبرت ف. (1994). التحكم الأمثل والتقدير . نيويورك: منشورات دوفر. ص 26. ISBN  0-486-68200-5.
  5. ↑ تريفثين، لويد ن .؛ باو الثالث، ديفيد (1997). الجبر الخطي العددي . فيلادلفيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. ISBN 978-0-89871-361-9.
  6. ↑ "الدالة الخارجية | توثيق لغة R" . rdocumentation.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 سبتمبر 2020 .
  7. ↑ "numpy.outer — دليل NumPy الإصدار 1.19" . numpy.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 7 سبتمبر 2020 .
  8. ↑ ستيب، ويلي-هانز؛ هاردي، يوريك (2011). "التطبيقات (الفصل 3)". حساب المصفوفات وضرب كرونكر: مدخل عملي للجبر الخطي والمتعدد الخطوط ( الطبعة الثانية). وورلد ساينتيفيك. ISBN  978-981-4335-31-7.
  9. ^ إيلي كارتان (1937) Lecons sur la theorie des spinurs ، تمت ترجمته عام 1966: نظرية المغزليين ، هيرمان، باريس
  10. ↑ بيرتي لونستو (1997) جبر كليفورد والسبينورات ، صفحة 51، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-59916-4
  11. ↑ كي-هانغ كيم (1982) نظرية المصفوفات البولية وتطبيقاتها ، صفحة 37، مارسيل ديكر، رقم ISBN 0-8247-1788-0

للمزيد من القراءة