الرسم البياني الدوري (الجبر)

في نظرية الزمر ، وهي فرع من فروع الجبر المجرد ، يُعدّ الرسم البياني الدوري للزمرة رسمًا بيانيًا غير موجه يوضح الدورات المختلفة لتلك الزمرة، بمعلومية مجموعة من مولدات الزمرة. وتُعدّ الرسوم البيانية الدورية مفيدة بشكل خاص في تصور بنية الزمر الصغيرة المنتهية .

الدورة هي مجموعة قوى عنصر معين من عناصر المجموعة a ، حيث يُعرَّف aⁿ ، ^القوة النونية للعنصر a ، بأنها حاصل ضرب a في نفسه n مرة. يُقال إن العنصر a يُولِّد الدورة. في المجموعة المنتهية، يجب أن تكون إحدى قوى a غير الصفرية هي عنصر محايد المجموعة ، والذي نرمز إليه إما بـ e أو 1؛ وأصغر هذه القوى هو رتبة العنصر a ، أي عدد العناصر المختلفة في الدورة التي يُولِّدها. في رسم بياني للدورة، تُمثَّل الدورة بمضلع، حيث تُمثِّل رؤوسه عناصر المجموعة، وتُشير حوافه إلى كيفية ارتباطها معًا لتشكيل الدورة.

يُمثَّل كل عنصر من عناصر المجموعة بعقدة في الرسم البياني للدورات، ويتم تمثيل عدد كافٍ من الدورات كمضلعات في الرسم البياني بحيث تقع كل عقدة على دورة واحدة على الأقل. تمر جميع هذه المضلعات عبر العقدة التي تمثل العنصر المحايد، وقد تقع بعض العقد الأخرى على أكثر من دورة واحدة.

لنفترض أن عنصر المجموعة a يُولّد دورة من الرتبة 6 ( أي أن رتبته 6)، بحيث تكون العقد a₁، a₂، a₃، ^{a₄، a₅} ، و a₆ = e ^رؤوسًا لسداسي ^في الرسم البياني للدورة . عندئذٍ ، تكون رتبة العنصر ^a₂ هي 3 ^؛ ولكن جعل العقد a₂ ^، a₄ ^، و e رؤوسًا لمثلث في الرسم البياني لن يُضيف أي معلومات جديدة. لذا، لا نحتاج إلا ^إلى النظر في الدورات الأولية ، أي تلك التي ليست مجموعات جزئية من دورة أخرى. كذلك، تُولّد العقدة a₅ ، التي رتبتها أيضًا 6، نفس الدورة التي يُولّدها a نفسه؛ لذا لدينا على الأقل خياران للعنصر الذي نستخدمه في توليد دورة، وغالبًا ما يكون لدينا أكثر من ذلك ^.

لبناء مخطط دوري لمجموعة، نبدأ بعقدة لكل عنصر من عناصر المجموعة. لكل دورة أولية، نختار عنصرًا ما a يُولّد تلك الدورة، ونربط عقدة e بعقدة a ، و a بعقدة a₂ ^، وهكذا، و ^{aₖ₋₁ بعقدة} aₖ ^، حتى نعود إلى e . والنتيجة هي مخطط دوري للمجموعة.

عندما يكون لعنصر المجموعة a رتبة 2 (بحيث يكون الضرب في a عملية عكسية )، فإن القاعدة المذكورة أعلاه تربط e بـ a بضلعين، أحدهما للخارج والآخر للداخل. باستثناء الحالات التي يكون فيها القصد هو إبراز ضلعي هذه الدورة، فإنها تُرسَم عادةً ^{[ 1 ]} كخط واحد بين العنصرين.

لاحظ أن هذه العلاقة بين المجموعات والرسوم البيانية ليست علاقة تناظرية أحادية في أي من الاتجاهين: فقد تشترك مجموعتان مختلفتان في نفس الرسم البياني الدوري، وقد يكون رسمان بيانيان مختلفان رسمين دوريين لمجموعة واحدة. نقدم أمثلة على كل حالة في قسم عدم التفرد .

منظار كاليدوسكوب Dih 4 مزود بمرآة حمراء ومولدات دوران رباعية

رسم بياني دوري لمجموعة ثنائية السطوح Dih 4 .

كمثال على رسم بياني لدورة المجموعة، ضع في اعتبارك المجموعة ثنائية السطوح Dih _4. يظهر جدول الضرب لهذه المجموعة على اليسار، ويظهر الرسم البياني للدورة على اليمين، مع تحديد e للعنصر المحايد.

لاحظ الدورة { e, a, a₂, a₃} في جدول الضرب، حيث a₄ = e . المعكوس a⁻¹ = a₃ هو ^أيضًا مولد ^لهذه الدورة ^: ( a₃ ) ₂ = a₂ ، (a₃)₃ = a، و(a₃)₄ = e ^{. وبالمثل} ، تحتوي ^أي دورة في ^{أي زمرة} على مولدين على الأقل ، ويمكن ^{اجتيازها في} أي اتجاه ^. وبشكل أعم ، يُعطى عدد مولدات دورة مكونة من ⁿ عنصرًا بدالة أويلر φ لـ n ، ويمكن كتابة أي من هذه المولدات كأول عقدة في الدورة (بجوار العنصر المحايد e )؛ أو، وهو الأكثر شيوعًا، تُترك العقد بدون علامة. لا يمكن لدورتين مختلفتين أن تتقاطعا في مولد واحد.

تحتوي الدورات التي تضم عددًا غير أولي من العناصر على مجموعات فرعية دورية غير موضحة في الرسم البياني. بالنسبة للمجموعة Dih ₄ المذكورة أعلاه، يمكننا رسم خط بين a ² و e لأن ( a ² ) ² = e ، ولكن بما أن a ² جزء من دورة أكبر، فإن هذا الخط ليس ضلعًا في الرسم البياني للدورة.

قد يحدث لبسٌ عندما تشترك دورتان في عنصر غير عنصر محايد. على سبيل المثال، تحتوي مجموعة الكواترنيون ذات الثمانية عناصر على رسم بياني للدورات كما هو موضح على اليمين. كل عنصر من عناصر الصف الأوسط، عند ضربه بنفسه، يعطي -1 (حيث 1 هو العنصر المحايد). في هذه الحالة، يمكننا استخدام ألوان مختلفة لتمييز الدورات، مع العلم أن مراعاة التناظر كافية أيضًا.

كما ذكرنا سابقاً، يتم تمثيل الحافتين لدورة مكونة من عنصرين عادةً بخط واحد.

معكوس العنصر هو العقدة المتناظرة معه في دورته، بالنسبة للانعكاس الذي يحدد الهوية.

لا يُحدد الرسم البياني الدوري لمجموعة ما بشكل فريد حتى تماثل الرسوم البيانية ؛ كما أنه لا يُحدد المجموعة نفسها بشكل فريد حتى تماثل المجموعات . أي أن الرسم البياني الناتج يعتمد على مجموعة المولدات المختارة، ويمكن لمجموعتين مختلفتين (بمجموعات مولدات مختارة) أن تُنتجا نفس الرسم البياني الدوري. ^{[ 2 ]}

يمكن أن يكون للمجموعة الواحدة رسوم بيانية دورية مختلفة

بالنسبة لبعض المجموعات، قد يؤدي اختيار عناصر مختلفة لتوليد الدورات الأولية المختلفة لتلك المجموعة إلى رسوم بيانية مختلفة للدورات. يوجد مثال على ذلك في المجموعة الأبيلية.${\displaystyle C_{5}\times C_{2}\times C_{2}}$، والتي رتبتها 20. ^{[ 2 ]} نرمز إلى عنصر من تلك المجموعة بثلاثية من الأعداد${\displaystyle (i;j,k)}$، أين${\displaystyle 0\leq i<5}$وكل واحد من${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$إما أن تكون قيمتها 0 أو 1. الثلاثية${\displaystyle (0;0,0)}$هو عنصر الهوية. في الرسومات أدناه،${\displaystyle i}$يظهر أعلاه${\displaystyle j}$و${\displaystyle k}$.

تحتوي هذه المجموعة على ثلاث دورات أولية، كل منها من الرتبة 10. في الرسم البياني للدورة الأولى، نختار العقد كمولدات لتلك الدورات الثلاث.${\displaystyle (1;1,0)}$،${\displaystyle (1;0,1)}$، و${\displaystyle (1;1,1)}$في الثانية، نُنشئ الدورة الثالثة من تلك الدورات - الدورة الزرقاء - بالبدء بدلاً من ذلك بـ${\displaystyle (2;1,1)}$.

الرسمان البيانيان الناتجين ليسا متماثلين لأن قطريهما 5 و 4 على التوالي.

يمكن أن يكون للمجموعات المختلفة نفس الرسم البياني الدوري

يمكن أن تمتلك مجموعتان مختلفتان (غير متماثلتين) رسومًا بيانية دورية متماثلة ، حيث يتجاهل التماثل الأخير تسميات عقد الرسوم البيانية. ويترتب على ذلك أن بنية المجموعة لا تُحدد بشكل فريد من خلال الرسم البياني الدوري الخاص بها.

يوجد مثال على ذلك بالفعل بالنسبة للمجموعات من الرتبة 16، وهما المجموعتان التاليتان:${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$و${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$المجموعة الأبيلية​${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$هو الناتج المباشر للمجموعات الدورية من الرتبتين 8 و2. المجموعة غير التبديلية${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$هل هذا هو الناتج شبه المباشر لـ${\displaystyle C_{8}}$و${\displaystyle C_{2}}$حيث يكون عنصر عدم الهوية${\displaystyle C_{2}}$الخرائط إلى التشاكل الذاتي للضرب في 5 لـ${\displaystyle C_{8}}$.

عند رسم مخططات الدورات لهاتين المجموعتين، نأخذ${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$يتم توليدها بواسطة العنصرين s و t مع

${\displaystyle s^{8}=t^{2}=1\quad {\text{and}}\quad ts=st,}$

حيث تجعل تلك العلاقة الأخيرة${\displaystyle C_{8}\times C_{2}}$أبيلية. ونحن نأخذ${\displaystyle C_{8}\rtimes _{5}C_{2}}$يتم توليدها بواسطة العنصرين 𝜎 و 𝜏 مع

${\displaystyle \sigma ^{8}=\tau ^{2}=1\quad {\text{and}}\quad \tau \sigma =\sigma ^{5}\tau .}$

فيما يلي رسوم بيانية دورية لهاتين المجموعتين، حيث نختار${\displaystyle st}$لتوليد الدورة الخضراء على اليسار و${\displaystyle \sigma \tau }$لتوليد تلك الدورة على اليمين:

في الرسم البياني على اليمين، الدورة الخضراء، بعد الانتقال من 1 إلى${\displaystyle \sigma \tau }$، ينتقل إلى${\displaystyle \sigma ^{6},}$لأن

${\displaystyle (\sigma \tau )(\sigma \tau )=\sigma (\tau \sigma )\tau =\sigma (\sigma ^{5}\tau )\tau =\sigma ^{6}.}$

درس عالم نظرية الأعداد دانيال شانكس الرسوم البيانية الدورية في أوائل الخمسينيات من القرن العشرين كأداة لدراسة الزمر الضربية لفئات البواقي . ^{[ 3 ]} نشر شانكس الفكرة لأول مرة في الطبعة الأولى من كتابه " مسائل محلولة وغير محلولة في نظرية الأعداد" عام 1962. ^{[ 4 ]} في هذا الكتاب، يبحث شانكس في الزمر التي لها رسوم بيانية دورية متماثلة، ومتى يكون الرسم البياني الدوري مستويًا . ^{[ 5 ]} في الطبعة الثانية عام 1978، يتأمل شانكس في بحثه حول زمر الفئات وتطوير طريقة الخطوة الصغيرة والخطوة العملاقة . ^{[ 6 ]}

لقد أثبتت الرسوم البيانية الدورية فائدتها عند العمل مع مجموعات أبيلية منتهية؛ وقد استخدمتها بشكل متكرر في إيجاد طريقي حول بنية معقدة [77، ص 852]، وفي الحصول على علاقة ضربية مطلوبة [78، ص 426]، أو في عزل مجموعة فرعية مطلوبة [79].

تُستخدم الرسوم البيانية الدورية كأداة تعليمية في كتاب ناثان كارتر التمهيدي لعام 2009 بعنوان نظرية المجموعة المرئية . ^{[ 7 ]}

تُعطي أنواع معينة من المجموعات رسومًا بيانية نموذجية:

المجموعات الدورية Z _n ، من الرتبة n ، هي دورة واحدة يتم تمثيلها بيانيًا ببساطة على شكل مضلع ذي n ضلعًا مع العناصر الموجودة عند الرؤوس:

Z 1	Z 2 = Dih 1	Z 3	Z 4	Z 5	Z 6 = Z 3 × Z 2	Z 7	Z 8
Z 9	Z 10 = Z 5 × Z 2	Z 11	Z 12 = Z 4 × Z 3	Z 13	Z 14 = Z 7 × Z 2	Z 15 = Z 5 × Z 3	Z 16
Z 17	Z 18 = Z 9 × Z 2	Z 19	Z 20 = Z 5 × Z 4	Z 21 = Z 7 × Z 3	Z 22 = Z 11 × Z 2	Z 23	Z 24 = Z 8 × Z 3

عندما يكون n عددًا أوليًا ، فإن المجموعات من الشكل (Z _n ) ^m سيكون لها ( n ^m − 1)/( n − 1) دورات مكونة من n عنصرًا تشترك في العنصر المحايد:

Z 2 2 = Dih 2	Z 2 3 = Dih 2 × Dih 1	Z 2 4 = Dih 2 2	Z 3 2

تتكون المجموعات ثنائية السطوح Dih _n ، من الرتبة 2 n من دورة مكونة من n عنصر ودورات مكونة من n عنصر:

Dih 1 = Z 2	Dih 2 = Z 2 2	Dih 3 = S 3	ديه 4	ديه 5	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	ديه 7	ديه 8	ديه 9	Dih 10 = Dih 5 × Z 2

المجموعات ثنائية الحلقة ، Dic _n = Q _{4 n} ، الرتبة 4 n :

Dic 2 = Q 8	Dic 3 = Q 12	ديك 4 = س 16	Dic 5 = Q 20	ديك 6 = س 24

منتجات مباشرة أخرى :

Z 4 × Z 2	Z 4 × Z 2 2	Z 6 × Z 2	Z 8 × Z 2	Z 4 2

الزمر المتناظرة - تحتوي الزمرة المتناظرة S_{_n} ، لأي زمرة من الرتبة n ، على زمرة جزئية متماثلة معها. وبالتالي، يمكن إيجاد مخطط الدورة لأي زمرة من الرتبة n في مخطط الدورة لـ S_{_n} . انظر المثال: الزمر الجزئية لـ S _{_n}

S ₄ × Z ₂

A ₄ × Z ₂

Dih ₄ × Z ₂

S ₃ × Z ₂

المجموعة الثمانية السطوح الكاملة هي الناتج المباشر${\displaystyle S_{4}\times Z_{2}}$من المجموعة المتناظرة S ₄ والمجموعة الدورية Z 2. _رتبتها 48، ولها مجموعات فرعية من كل رتبة تقسم 48.

في الأمثلة أدناه، يتم وضع العقد المرتبطة ببعضها البعض بجوار بعضها البعض، لذلك فإن هذه ليست أبسط رسوم بيانية ممكنة للدورات لهذه المجموعات (مثل تلك الموجودة على اليمين).

S 4 × Z 2 (الترتيب 48)	A 4 × Z 2 (الرتبة 24)	Dih 4 × Z 2 (الترتيب 16)	S 3 × Z 2 = Dih 6 (الرتبة 12)
S 4 (الترتيب 24)	A 4 (الترتيب 12)	Dih 4 (الطلب 8)	S 3 = Dih 3 (الرتبة 6)

كما هو الحال مع جميع الرسوم البيانية، يمكن تمثيل الرسم البياني الدوري بطرق مختلفة لإبراز خصائص مختلفة. ويُعدّ التمثيلان الموضحان للرسم البياني الدوري للمجموعة S4 _مثالاً على ذلك.

يوضح الرسم البياني الدوري لـ S 4 الموضح أعلاه المجموعات الفرعية الثلاث Dih 4 .

يؤكد هذا التمثيل المختلف على التناظر الذي يظهر في مجموعات الانعكاس على اليمين.

• قائمة المجموعات الصغيرة
• رسم بياني لكايلي

• سكينا، س. (1990). الدورات والنجوم والعجلات. تطبيق الرياضيات المنفصلة: التوافقية ونظرية الرسم البياني باستخدام Mathematica (ص 144-147).
• شانكس، دانيال (1978) [1962]، مسائل محلولة وغير محلولة في نظرية الأعداد (الطبعة الثانية  )، نيويورك: شركة تشيلسي للنشر، ISBN 0-8284-0297-3
• بيماراجو، س.، وسكينا، س. (2003). الدورات والنجوم والعجلات. الرياضيات المنفصلة الحاسوبية: التوافقية ونظرية الرسم البياني باستخدام ماثيماتيكا (ص 248-249). مطبعة جامعة كامبريدج.

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مخطط دورة المجموعة" . عالم الرياضيات .