مجموعة الكواتيرنيون

في نظرية الزمر ، زمرة الكواترنيون Q ₈ (يُشار إليها أحيانًا بـ Q فقط) هي زمرة غير تبديلية من الرتبة ثمانية، متماثلة مع المجموعة الجزئية المكونة من ثمانية عناصر ${\displaystyle \{1,i,j,k,-1,-i,-j,-k\}}$من الأعداد الرباعية تحت عملية الضرب. يتم تمثيلها بواسطة تمثيل المجموعة

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle {\bar {e}},i,j,k\mid {\bar {e}}^{2}=e,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk={\bar {e}}\rangle ,}$

حيث يمثل e العنصر المحايد، ويتبادل e مع العناصر الأخرى للمجموعة. هذه العلاقات، التي اكتشفها دبليو آر هاميلتون ، تولد أيضًا الكواترنيونات كجبر على الأعداد الحقيقية.

عرض آخر للسؤال ₈ هو

${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}=\langle a,b\mid a^{4}=e,a^{2}=b^{2},ba=a^{-1}b\rangle .}$

ومثل العديد من المجموعات المنتهية الأخرى، يمكن تحقيقها كمجموعة غالوا لحقل معين من الأعداد الجبرية . ^{[ 1 ]}

تتمتع مجموعة الكواترنيون Q ₈ بنفس ترتيب مجموعة ثنائي السطوح D ₄ ، ولكن ببنية مختلفة، كما هو موضح في مخططات كايلي والدورات الخاصة بها:

	س 8	د 4
رسم بياني لكايلي	تربط الأسهم الحمراء بين g و gi ، بينما تربط الأسهم الخضراء بين g و gj .
الرسم البياني الدوري

في مخططات المجموعة D ₄ ، تُحدد عناصر المجموعة بتأثيرها على الحرف F في التمثيل المحدد R ^2. لا يمكن فعل الشيء نفسه مع المجموعة Q ₈ ، لعدم وجود تمثيل دقيق لها في R ² أو R ^3. يمكن تمثيل المجموعة D _{4 كمجموعة جزئية من} الرباعيات المنقسمة، بنفس الطريقة التي يمكن بها اعتبار المجموعة Q ₈ مجموعة جزئية من الرباعيات.

يُعطى جدول كايلي (جدول الضرب) للسؤال _{8 على النحو التالي:} ^{[ 2 ]}

جميع العناصر i و j و k لها رتبة أربعة في Q _8، وأي عنصرين منها يُولّدان المجموعة بأكملها. وهناك عرض آخر لـ Q ₈ ^{[ 3 ]} يعتمد على عنصرين فقط لتجنب هذا التكرار، وهو:

${\displaystyle \left\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\right\rangle .}$

فعلى سبيل المثال، عند كتابة عناصر المجموعة بأشكالها الطبيعية الدنيا المعجمية ، يمكن تحديد ما يلي:

${\displaystyle \{e,{\bar {e}},i,{\bar {i}},j,{\bar {j}},k,{\bar {k}}\}\leftrightarrow \{e,x^{2},x,x^{3},y,x^{2}y,xy,x^{3}y\}.}$

تتمتع مجموعة الكواترنيون بخاصية غير عادية وهي كونها هاميلتونية : Q⁸ _غير تبديلية، لكن كل مجموعة جزئية منها طبيعية. [ 4 ^{] تحتوي كل} مجموعة هاميلتونية على نسخة من _Q⁸ . ^{[ 5 ]}

تعتبر مجموعة الكواترنيون Q ₈ ومجموعة ثنائي السطوح D ₄ أصغر مثالين لمجموعة غير أبيلية عديمة القوة .

المركز ومجموعة التبديل الفرعية لـ Q ₈ هي المجموعة الفرعية${\displaystyle \{e,{\bar {e}}\}}$تُعطى مجموعة التشاكل الداخلي لـ Q ₈ بواسطة المجموعة modulo مركزها، أي مجموعة العوامل${\displaystyle \mathrm {Q} _{8}/\{e,{\bar {e}}\},}$وهو متماثل مع مجموعة كلاين الرباعية V. مجموعة التماثل الذاتي الكاملة لـ Q ₈ متماثلة مع S ₄ ، المجموعة المتناظرة على أربعة أحرف (انظر تمثيلات المصفوفة أدناه)، وبالتالي فإن مجموعة التماثل الذاتي الخارجية لـ Q ₈ هي S ₄ /V، وهي متماثلة مع S ₃ .

تحتوي مجموعة الكواترنيون Q ₈ على خمس فئات اقتران،${\displaystyle \{e\},\{{\bar {e}}\},\{i,{\bar {i}}\},\{j,{\bar {j}}\},\{k,{\bar {k}}\},}$وبالتالي خمسة تمثيلات غير قابلة للاختزال على الأعداد المركبة، بأبعاد 1، 1، 1، 1، 2:

تمثيل بسيط .

تمثيلات الإشارة ذات النواة i و j و k : تحتوي Q ₈ على ثلاث زمر جزئية طبيعية قصوى: الزمر الجزئية الدورية المولدة بواسطة i و j و k على التوالي. لكل زمرة جزئية طبيعية قصوى N ، نحصل على تمثيل أحادي البعد يمر عبر زمرة القسمة G / N المكونة من عنصرين . يُرسل هذا التمثيل عناصر N إلى 1، والعناصر خارج N إلى -1.

التمثيل ثنائي الأبعاد : موصوف أدناه في قسم تمثيلات المصفوفات . لا يمكن تحقيقه على الأعداد الحقيقية ، ولكنه تمثيل معقد: في الواقع، هو مجرد رباعيات.${\displaystyle \mathbb {H} }$يُعتبر جبرًا على${\displaystyle \mathbb {C} }$والفعل هو عملية الضرب من اليسار في${\displaystyle Q_{8}\subset \mathbb {H} }$.

تبين أن جدول خصائص السؤال ₈ هو نفسه جدول خصائص السؤال D ₄ :

ومع ذلك، فإن جميع الشخصيات التي لا يمكن اختزالها${\displaystyle \chi _{\rho }}$تحتوي الصفوف أعلاه على قيم حقيقية، وهذا يعطي تفكيك جبر المجموعة الحقيقية لـ${\displaystyle G=\mathrm {Q} _{8}}$إلى مُثُل ثنائية الجوانب دنيا :

${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]=\bigoplus _{\rho }(e_{\rho }),}$

حيث العناصر المتطابقة${\displaystyle e_{\rho }\in \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]}$تتوافق مع العناصر غير القابلة للاختزال:

${\displaystyle e_{\rho }={\frac {\dim(\rho )}{|G|}}\sum _{g\in G}\chi _{\rho }(g^{-1})g,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{\text{triv}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}+j+{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{i{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}+i+{\bar {i}}-j-{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{j{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}+j+{\bar {j}}-k-{\bar {k}})\\e_{k{\text{-ker}}}&={\tfrac {1}{8}}(e+{\bar {e}}-i-{\bar {i}}-j-{\bar {j}}+k+{\bar {k}})\\e_{2}&={\tfrac {2}{8}}(2e-2{\bar {e}})={\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})\end{aligned}}}$

كل من هذه المُثُل غير القابلة للاختزال متماثل مع جبر مركزي بسيط حقيقي ، أما الأربعة الأولى فهي متماثلة مع الحقل الحقيقي.${\displaystyle \mathbb {R} }$المثال الأخير${\displaystyle (e_{2})}$متماثل مع حقل الكواترنيونات المائلة${\displaystyle \mathbb {H} }$عن طريق المراسلة:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{2}}(e-{\bar {e}})&\longleftrightarrow 1,\\{\tfrac {1}{2}}(i-{\bar {i}})&\longleftrightarrow i,\\{\tfrac {1}{2}}(j-{\bar {j}})&\longleftrightarrow j,\\{\tfrac {1}{2}}(k-{\bar {k}})&\longleftrightarrow k.\end{aligned}}}$

علاوة على ذلك، فإن تماثل الإسقاط${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]\to (e_{2})\cong \mathbb {H} }$مقدم من${\displaystyle r\mapsto re_{2}}$يحتوي على نواة مثالية مولدة بواسطة العنصر المتكرر:

${\displaystyle e_{2}^{\perp }=e_{1}+e_{i{\text{-ker}}}+e_{j{\text{-ker}}}+e_{k{\text{-ker}}}={\tfrac {1}{2}}(e+{\bar {e}}),}$

لذا يمكن أيضًا الحصول على الكواترنيونات كحلقة قسمة${\displaystyle \mathbb {R} [\mathrm {Q} _{8}]/(e+{\bar {e}})\cong \mathbb {H} }$لاحظ أن هذا غير قابل للاختزال كتمثيل حقيقي لـ${\displaystyle Q_{8}}$لكنها تنقسم إلى نسختين من المجموعة غير القابلة للاختزال ثنائية الأبعاد عند تمديدها إلى الأعداد المركبة. في الواقع، جبر المجموعة المركبة هو${\displaystyle \mathbb {C} [\mathrm {Q} _{8}]\cong \mathbb {C} ^{\oplus 4}\oplus M_{2}(\mathbb {C} ),}$أين${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )\cong \mathbb {H} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$هو جبر الثنائيات الرباعية .

يُعطي التمثيل المركب غير القابل للاختزال ثنائي الأبعاد الموصوف أعلاه مجموعة الكواترنيون Q ₈ كمجموعة فرعية من المجموعة الخطية العامة${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )}$مجموعة الكواترنيون هي مجموعة فرعية ضربية من جبر الكواترنيون:

${\displaystyle \mathbb {H} =\mathbb {R} 1+\mathbb {R} i+\mathbb {R} j+\mathbb {R} k=1\mathbb {C} +j\mathbb {C} ,}$

والتي لها تمثيل منتظم${\displaystyle \rho$ :\mathbb {H} \to \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )} عن طريق الضرب من اليسار على نفسه باعتباره فضاء متجهي عقدي يميني ذو أساس${\displaystyle \{1,j\},}$لهذا السبب.${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$يتوافق مع${\displaystyle \mathbb {C} }$التحويل الخطي${\displaystyle \rho _{z}:a+jb\mapsto z\cdot (a+jb).}$التمثيل الناتج

${\displaystyle {\begin{cases}\rho$ :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {GL} (2,\mathbb {C} )\\g\longmapsto \rho _{g}\end{cases}}}

يُعطى بواسطة:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

بما أن جميع المصفوفات المذكورة أعلاه لها محدد يساوي واحدًا، فإن هذا يمثل تمثيلًا لـ Q ₈ في المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$[ ^{6 ]​}

يُعطي أحد المتغيرات تمثيلاً بواسطة المصفوفات الوحدوية (الجدول على اليمين). ليكن${\displaystyle g\in \mathrm {Q} _{8}}$يتوافق مع التحويل الخطي${\displaystyle \rho _{g}:a+bj\mapsto (a+bj)\cdot jg^{-1}j^{-1},}$لهذا السبب.${\displaystyle \rho$ :\mathrm {Q} _{8}\to \operatorname {SU} (2)} معطى بواسطة:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!\!-i\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-i&0\\0&i\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-i\\\!\!\!-i&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

تجدر الإشارة إلى أن الفيزيائيين يستخدمون اصطلاحًا مختلفًا بشكل حصري لـ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$تمثيل المصفوفة للتواصل مع مصفوفات باولي المعتادة :

${\displaystyle {\begin{matrix}&e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=\quad \,1_{2\times 2}&i\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-i\!\\\!\!-i\!\!&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{x}&j\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!-1\!\\1&0\end{pmatrix}}=-i\sigma _{y}&k\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-i\!\!&0\\0&i\end{pmatrix}}=-i\sigma _{z}\\&{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!-1\!&0\\0&\!\!\!-1\!\end{pmatrix}}=-1_{2\times 2}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{x}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!-1\!\!&0\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{y}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}i&0\\0&\!\!\!-i\!\end{pmatrix}}=\,\,\,\,i\sigma _{z}.\end{matrix}}}$

يُعد هذا الخيار تحديدًا مناسبًا وأنيقًا عند وصف حالات الدوران 1/2 في${\displaystyle ({\vec {J}}^{2},J_{z})}$ويعتمد على عوامل سلم الزخم الزاوي ويأخذ في الاعتبار${\displaystyle J_{\pm }=J_{x}\pm iJ_{y}.}$

يوجد أيضًا تأثير مهم لـ Q ₈ على الفضاء المتجهي ثنائي الأبعاد فوق الحقل المنتهي${\displaystyle \mathbb {F} _{3}=\{0,1,-1\}}$(الجدول على اليمين). تمثيل معياري${\displaystyle \rho$ يُعطى الرمز Q₈ → SL(2,3) بالعلاقة التالية:

${\displaystyle {\begin{matrix}e\mapsto {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}&i\mapsto {\begin{pmatrix}1&1\\1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&j\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&1\\1&1\end{pmatrix}}&k\mapsto {\begin{pmatrix}0&\!\!\!\!-1\\1&0\end{pmatrix}}\\{\overline {e}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&0\\0&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {i}}\mapsto {\begin{pmatrix}\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&1\end{pmatrix}}&{\overline {j}}\mapsto {\begin{pmatrix}1&\!\!\!\!-1\\\!\!\!-1&\!\!\!\!-1\end{pmatrix}}&{\overline {k}}\mapsto {\begin{pmatrix}0&1\\\!\!\!-1&0\end{pmatrix}}.\end{matrix}}}$

يمكن الحصول على هذا التمثيل من حقل الامتداد :

${\displaystyle \mathbb {F} _{9}=\mathbb {F} _{3}[k]=\mathbb {F} _{3}1+\mathbb {F} _{3}k,}$

أين${\displaystyle k^{2}=-1}$والمجموعة الضربية${\displaystyle \mathbb {F} _{9}^{\times }}$يحتوي على أربعة مولدات كهربائية،${\displaystyle \pm (k\pm 1),}$من الرتبة 8. لكل${\displaystyle z\in \mathbb {F} _{9},}$ثنائي الأبعاد${\displaystyle \mathbb {F} _{3}}$فضاء المتجهات${\displaystyle \mathbb {F} _{9}}$يقبل التحويل الخطي:

${\displaystyle {\begin{cases}\mu _{z}:\mathbb {F} _{9}\to \mathbb {F} _{9}\\\mu _{z}(a+bk)=z\cdot (a+bk)\end{cases}}}$

بالإضافة إلى ذلك، لدينا التشاكل الذاتي لفروبينيوس${\displaystyle \phi (a+bk)=(a+bk)^{3}}$مُرضٍ${\displaystyle \phi ^{2}=\mu _{1}}$و${\displaystyle \phi \mu _{z}=\mu _{\phi (z)}\phi .}$إذن، مصفوفات التمثيل المذكورة أعلاه هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho ({\bar {e}})&=\mu _{-1},\\\rho (i)&=\mu _{k+1}\phi ,\\\rho (j)&=\mu _{k-1}\phi ,\\\rho (k)&=\mu _{k}.\end{aligned}}}$

يُحقق هذا التمثيل Q ₈ كمجموعة فرعية طبيعية من GL(2, 3) . وبالتالي، لكل مصفوفة${\displaystyle m\in \operatorname {GL} (2,3)}$لدينا تماثل ذاتي للمجموعة

${\displaystyle {\begin{cases}\psi _{m}:\mathrm {Q} _{8}\to \mathrm {Q} _{8}\\\psi _{m}(g)=mgm^{-1}\end{cases}}}$

مع${\displaystyle \psi _{I}=\psi _{-I}=\mathrm {id} _{\mathrm {Q} _{8}}.}$في الواقع، تعطي هذه النتائج مجموعة التشاكل الذاتي الكاملة على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathrm {Q} _{8})\cong \operatorname {PGL} (2,3)=\operatorname {GL} (2,3)/\{\pm I\}\cong S_{4}.}$

هذا متماثل مع المجموعة المتناظرة S ₄ لأن التطبيقات الخطية${\displaystyle m:\mathbb {F} _{3}^{2}\to \mathbb {F} _{3}^{2}}$تبديل الفضاءات الفرعية الأربعة أحادية البعد لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$أي النقاط الأربع للفضاء الإسقاطي${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {F} _{3})=\operatorname {PG} (1,3).}$

كما أن هذا التمثيل يُبدّل المتجهات الثمانية غير الصفرية لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{2},}$إعطاء تضمين لـ Q ₈ في المجموعة المتناظرة S ₈ ، بالإضافة إلى التضمينات المعطاة بواسطة التمثيلات المنتظمة.

درس ريتشارد ديديكيند هذا المجال${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$في محاولة لربط مجموعة الكواترنيون بنظرية غالوا . ^{[ 7 ]} في عام 1936، نشر إرنست ويت منهجه في دراسة مجموعة الكواترنيون من خلال نظرية غالوا. ^{[ 8 ]}

في عام 1981، أظهر ريتشارد دين أن مجموعة الكواترنيون يمكن تمثيلها كمجموعة غالوا Gal(T/ Q )، حيث Q هو حقل الأعداد النسبية وT هو حقل تجزئة كثير الحدود

${\displaystyle x^{8}-72x^{6}+180x^{4}-144x^{2}+36}$.

يستخدم هذا التطوير النظرية الأساسية لنظرية غالوا في تحديد أربعة حقول وسيطة بين Q و T ومجموعات غالوا الخاصة بهما، بالإضافة إلى نظريتين حول التمديد الدوري من الدرجة الرابعة على حقل. ^{[ 1 ]}

يتم تعريف مجموعة الكواترنيون المعممة Q _{4 n} من الرتبة 4 n من خلال العرض ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle }$

لأي عدد صحيح n ≥ 2 ، مع مجموعة الكواترنيون المعتادة المعطاة بـ n = 2. ^{[ 9 ]} يُطلق كوكسيتر على Q _{4 n اسم} المجموعة ثنائية الدورة${\displaystyle \langle 2,2,n\rangle }$، حالة خاصة من المجموعة متعددة السطوح الثنائية${\displaystyle \langle \ell ,m,n\rangle }$ومرتبطة بالمجموعة متعددة السطوح${\displaystyle (p,q,r)}$ومجموعة الزوايا الثنائية${\displaystyle (2,2,n)}$يمكن تمثيل مجموعة الكواترنيون المعممة كمجموعة فرعية من${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$تم إنشاؤه بواسطة

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}\omega _{n}&0\\0&{\overline {\omega }}_{n}\end{array}}\right){\mbox{ and }}\left({\begin{array}{cc}0&-1\\1&0\end{array}}\right)}$

أين${\displaystyle \omega _{n}=e^{i\pi /n}}$[ ^{3 ]} ويمكن أيضًا تحقيق ذلك على أنه مجموعة فرعية من الكواترنيونات الوحدوية المتولدة ^{بواسطة [ 10 ]}${\displaystyle x=e^{i\pi /n}}$و${\displaystyle y=j}$.

تتميز زمر الكواترنيون المعممة بخاصية أن كل زمرة جزئية أبيلية فيها دورية. ^{[ 11 ]} ويمكن إثبات أن الزمرة p المنتهية التي تتمتع بهذه الخاصية (كل زمرة جزئية أبيلية فيها دورية) إما دورية أو زمرة كواترنيون معممة كما عُرّفت سابقًا. ^{[ 12 ]} ومن الخصائص الأخرى أن الزمرة p المنتهية التي تحتوي على زمرة جزئية وحيدة من الرتبة p إما دورية أو زمرة ثنائية متماثلة مع زمرة الكواترنيون المعممة. ^{[ 13 ]} وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لحقل منتهٍ F ذي خاصية فردية، فإن زمرة سيلو الثنائية لـ SL₂ ₍ F ) غير أبيلية ولها زمرة جزئية واحدة فقط من الرتبة 2، لذا يجب أن تكون زمرة سيلو الثنائية هذه زمرة كواترنيون معممة ( غورنشتاين 1980 ، ص 42) . بفرض أن p ^r هو حجم F ، حيث p عدد أولي ، فإن حجم المجموعة الفرعية 2-Sylow لـ SL ₂ ( F ) هو 2 ⁿ ، حيث n = ord ₂ ( p ² − 1) + ord ₂ ( r ) . 

تُظهر نظرية براور-سوزوكي أن المجموعات التي تكون مجموعاتها الفرعية من نوع سيلو 2 عبارة عن مجموعات رباعية معممة لا يمكن أن تكون بسيطة.

يُخصّص مصطلح آخر اسم "مجموعة الكواترنيون المعممة" لمجموعة ثنائية الدورة من الرتبة قوة للعدد 2، ^{[ 14 ]} والتي تسمح بالعرض

${\displaystyle \langle x,y\mid x^{2^{m}}=y^{4}=1,x^{2^{m-1}}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle .}$

• خلية ذات 16 خلية (تتوافق رؤوسها مع عناصر مجموعة الكواترنيون)
• مجموعة رباعية الأوجه ثنائية
• جبر كليفورد
• مجموعة ثنائية الحلقة
• رباعي هورويتز المتكامل
• قائمة المجموعات الصغيرة

• ارتين، مايكل (1991)، الجبر ، برنتيس هول، ISBN 978-0-13-004763-2
• براون، كينيث س. (1982)، علم التماثل للمجموعات (  الطبعة الثالثة)، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-90688-1
• Cartan, هنري ; إيلينبرغ ، صموئيل (1999)، الجبر المتماثل ، مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-04991-5
• كوكسيتر، إتش إس إم وموزر، دبليو أو جيه (1980). المولدات والعلاقات للمجموعات المنفصلة . نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. ISBN 0-387-09212-9.
• دين، ريتشارد أ. (1981) "متعدد الحدود العقلاني الذي تكون مجموعته هي الرباعيات"، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية 88:42 – 5.
• غورنشتاين، د. (1980)، المجموعات المنتهية ، نيويورك: تشيلسي، رقم ISBN 978-0-8284-0301-6، MR 0569209 
• جونسون، ديفيد ل. (1980)، موضوعات في نظرية العروض التقديمية الجماعية ، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 978-0-521-23108-4، MR 0695161 
• روتمان، جوزيف ج. (1995)، مقدمة في نظرية الزمر (  الطبعة الرابعة)، سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 978-0-387-94285-8
• PR Girard (1984) "مجموعة الكواترنيون والفيزياء الحديثة"، المجلة الأوروبية للفيزياء 5:25 – 32.
• هول، مارشال (1999)، نظرية المجموعات (  الطبعة الثانية)، مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 0-8218-1967-4
• كوروش، ألكسندر ج. (1979)، نظرية المجموعات ، مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات، رقم ISBN 0-8284-0107-1

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة الكواتيرنيون" . عالم الرياضيات .
• مجموعات الكواتيرنيون على أسماء المجموعات
• مجموعة الكواتيرنيون على GroupProps
• كونراد، كيث. "الرباعيات المعممة"