الجهد الجيوديناميكي

الموسوعة الحرة

الجهد الجيوبوتنشالي (رمزه W ) هو جهد مجال جاذبية الأرض . ووحدته في النظام الدولي للوحدات هي متر مربع لكل ثانية مربعة (م² / ث² ) . ولتسهيل الحساب، يُعرَّف غالبًا بأنه سالب طاقة الوضع لكل وحدة كتلة ، بحيث يُحسب متجه الجاذبية كتدرج للجهد الجيوبوتنشالي، دون الحاجة إلى عكسه. إضافةً إلى الجهد الفعلي (الجهد الجيوبوتنشالي)، يمكن أيضًا تعريف جهد عمودي نظري (رمزه U ) وفرقهما، أي الجهد المُسبب للاضطراب ( T = W − U ).

المفاهيم

في التطبيقات الجيوفيزيائية ، يُفرّق بين الجاذبية والجاذبية . تُعرَّف الجاذبية بأنها محصلة القوة الناتجة عن الجاذبية وقوة الطرد المركزي الناجمة عن دوران الأرض . وبالمثل، يمكن جمع الكمونين القياسيين ، كمون الجاذبية وكمون الطرد المركزي ، لتكوين كمون فعال يُسمى الكمون الجيوفيزيائي.دبليو{\displaystyle W}تُسمى أسطح الجهد الجيوبوتنشالي الثابت أو أسطح تساوي الجهد الجيوبوتنشالي بأسطح الجهد الجيوبوتنشالي المتساوي (يُختصر أحيانًا إلى geop )، [ 1 ] وتُعرف أيضًا بأسطح مستوى الجهد الجيوبوتنشالي ، أو أسطح الجهد المتساوي ، أو ببساطة أسطح المستوى . [ 2 ]

يبلغ متوسط ​​سطح البحر العالمي ما يقارب خطًا متساوي الجهد يُسمى الجيود . [ 3 ] يوضح الشكل (ليس وفقًا للمقياس) كيف تتجمع قوة الجاذبية وقوة الطرد المركزي لتشكلا قوة عمودية على الجيود. عند خط عرض 50 درجة، يكون الفرق بين قوة الجاذبية (الخط الأحمر في الشكل) والخط الرأسي المحلي (الخط الأخضر في الشكل) 0.098 درجة. بالنسبة لنقطة كتلة (الغلاف الجوي) متحركة، لا تتطابق قوة الطرد المركزي مع قوة الجاذبية، وبالتالي لا يكون المجموع الاتجاهي عموديًا تمامًا على سطح الأرض. هذا هو سبب تأثير كوريوليس في حركة الغلاف الجوي.

التوازن بين قوة الجاذبية وقوة الطرد المركزي على سطح الأرض

الجيود سطح متموج قليلاً نتيجة لتوزيع الكتلة غير المنتظم داخل الأرض؛ ويمكن تقريبه باستخدام شكل بيضاوي دوراني يُسمى الشكل البيضاوي المرجعي . الشكل البيضاوي المرجعي الأكثر استخدامًا حاليًا، وهو نظام الإسناد الجيوديسي لعام 1980 ( GRS80 )، يُقارب الجيود بدقة تزيد قليلاً عن ±100 متر. ويمكن إنشاء نموذج بسيط للجهد الجيوبوتنشالي.يو{\displaystyle U}والتي تحتوي على هذا الشكل الإهليلجي المرجعي كأحد أسطحها متساوية الجهد، بنفس جهد النموذجيو0{\displaystyle U_{0}}باعتبارها الإمكانات الحقيقيةدبليو0{\displaystyle W_{0}}من الجيود؛ يُطلق على هذا النموذج اسم الجهد الطبيعي . الفرقتي=دبليو-يو{\displaystyle T=WU}يُطلق عليه اسم الجهد المزعج . يمكن التعبير عن العديد من الكميات القابلة للملاحظة لحقل الجاذبية، مثل شذوذ الجاذبية وانحرافات الخط الرأسي ( خط الشاقول )، في هذا الجهد المزعج.

خلفية

رسم تخطيطي لكتلتين تتجاذبان

ينص قانون نيوتن للجاذبية الكونية على أن قوة الجاذبية F المؤثرة بين كتلتين نقطيتين m1 و m2 تفصل بينهما مسافة r تُعطى بالعلاقة التالية :F=-جيم1م2ر2ر^،{\displaystyle \mathbf {F} =-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} ,} حيث G هو ثابت الجاذبية ، و r̂ هو متجه الوحدة القطري . بالنسبة لجسم غير نقطي ذي توزيع كتلة مستمر، يمكن اعتبار كل عنصر كتلة dm كتلة موزعة على حجم صغير، وبالتالي فإن التكامل الحجمي على امتداد الجسم 2 يعطي

مع الجهد الجاذبي المقابل

حيث ρ 2 = ρ( x , y , z ) هي كثافة الكتلة عند عنصر الحجم وفي الاتجاه من عنصر الحجم إلى الكتلة النقطية 1.u{\displaystyle u}هي طاقة الوضع التثاقلية لكل وحدة كتلة.

يمكن اشتقاق مجال جاذبية الأرض من مجال جهد الجاذبية ( الجهد الجيوديسي ) على النحو التالي: ز=∇دبليو=خريج⁡دبليو=∂دبليو∂Xأنا+∂دبليو∂Yج+∂دبليو∂Zك،{\displaystyle \mathbf {g} =\nabla W=\operatorname {grad} W={\frac {\partial W}{\partial X}}\mathbf {i} +{\frac {\partial W}{\partial Y}}\mathbf {j} +{\frac {\partial W}{\partial Z}}\mathbf {k} ,} والذي يعبر عن متجه تسارع الجاذبية كتدرج لـدبليو{\displaystyle W}، إمكانية الجاذبية. ثلاثي المتجهات{أنا،ج،ك}{\displaystyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}}هي مجموعة المتجهات الأساسية المتعامدة في الفضاء، والتي تشير على طولX،Y،Z{\displaystyle X,Y,Z}محاور الإحداثيات. هنا،X{\displaystyle X}،Y{\displaystyle Y}وZ{\displaystyle Z}هي إحداثيات مركزية الأرض .

التركيبة

تحتوي كل من الجاذبية وجهدها على مساهمة من القوة الزائفة الطاردة المركزية الناتجة عن دوران الأرض. يمكننا كتابة دبليو=V+Φ،{\displaystyle W=V+\Phi ,} أينV{\displaystyle V}هو جهد المجال الجاذبي ،دبليو{\displaystyle W}ذلك الخاص بحقل الجاذبية ، وΦ{\displaystyle \Phi }ذلك الخاص بالمجال الطارد المركزي .

الجهد الطارد المركزي

تُعطى قوة الطرد المركزي لكل وحدة كتلة - أي التسارع - بالعلاقة التالية:زج=ω2ص،{\displaystyle \mathbf {g} _{c}=\أوميغا ^{2}\mathbf {p} ,} أين ص=Xأنا+Yج+0⋅ك{\displaystyle \mathbf {p} =X\mathbf {i} +Y\mathbf {j} +0\cdot \mathbf {k} } يمثل المتجه المتجه الذي يشير إلى النقطة التي تُعتبر مستقيمة من محور دوران الأرض. ويمكن إثبات أن مجال القوة الزائف هذا، في إطار مرجعي يدور مع الأرض، له جهد مرتبط به بدلالة معدل دوران الأرض ω: Φ=12ω2(X2+Y2).{\displaystyle \Phi ={\frac {1}{2}}\أوميغا ^{2}(X^{2}+Y^{2}).} يمكن التحقق من ذلك عن طريق حساب التدرج (∇{\displaystyle \nabla }) عامل هذا التعبير.

يمكن أيضًا التعبير عن الجهد الطارد المركزي بدلالة خط العرض الكروي φ ونصف القطر الجيومركزي r : Φ=0.5ω2ر2كوس2⁡ϕ،{\displaystyle \Phi =0.5\,\أوميغا ^{2}r^{2}\cos ^{2}\phi ,} أو من حيث المسافة العمودية ρ على محور الدوران: Φ=0.5ω2ρ2.{\displaystyle \Phi =0.5\,\أوميغا ^{2}\rho ^{2}.} لاحظ أن خط العرض الكروي يُقاس من خط الاستواء، وليس من القطب.

الجهد الطبيعي

الأرض بيضاوية الشكل تقريبًا . لذا، من الدقيق تقريب الجهد الجيوديسي بحقل يكون فيه شكل الأرض البيضاوي المرجعي أحد أسطحه متساوية الجهد.

ومثل مجال الجهد الجيوديسي الفعلي W ، يتم إنشاء المجال العمودي U (لا ينبغي الخلط بينه وبين طاقة الوضع ، والتي هي أيضًا U ) كمجموع من جزأين: يو=Ψ+Φ،{\displaystyle U=\Psi +\Phi ,} أينΨ{\displaystyle \Psi }هو الجهد التثاقلي الطبيعي ، وΦ{\displaystyle \Phi }هو الجهد الطارد المركزي.

يوجد تعبير دقيق مغلق الشكل بدلالة الإحداثيات التوافقية الإهليلجية (لا ينبغي الخلط بينها وبين الإحداثيات الجيوديسية ). [ 4 ] ويمكن التعبير عنه أيضًا كمتسلسلة بدلالة الإحداثيات الكروية؛ ويؤدي اقتطاع المتسلسلة إلى: [ 4 ]Ψ≈جيمر[1-(أر)2ج2(32كوس2⁡ϕ-12)]،{\displaystyle \Psi \approx {\frac {GM}{r}}\left[1-\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}J_{2}\left({\frac {3}{2}}\cos ^{2}\phi -{\frac {1}{2}}\right)\right],} حيث يمثل a المحور شبه الرئيسي ، و J2 هو عامل الشكل الديناميكي الثاني . [ 4 ]

أحدث إهليلج مرجعي للأرض هو GRS80 ، أو نظام الإسناد الجيوديسي لعام 1980، والذي يستخدمه نظام تحديد المواقع العالمي (GPS) كمرجع له. معلماته الهندسية هي: نصف المحور الأكبر a  =6378137.0 م ،  والتسطيح f = 1  /298.257 222 101. إذا اشترطنا أيضًا أن تكون الكتلة المحصورة M مساوية للكتلة المعروفة للأرض (بما في ذلك الغلاف الجوي)، كما هو الحال في معامل الجاذبية القياسي ، فإن GM =3 986 005 × 10 8  م 3 / ث 2 ، نحصل على الجهد عند القطع الناقص المرجعي : يو0=62636860.850 م2/s2.{\displaystyle U_{0}=62\,636\,860.850\ {\text{m}}^{2}/{\text{s}}^{2}.}

من الواضح أن هذه القيمة تعتمد على افتراض أن الجهد يؤول إلى الصفر بشكل مقارب عند اللانهاية (R→∞{\displaystyle R\to \infty }كما هو شائع في الفيزياء. ولأغراض عملية، من الأنسب اختيار نقطة الصفر للجاذبية العادية لتكون نقطة الصفر للقطع الناقص المرجعي ، وإحالة كمونات النقاط الأخرى إليها.

إمكانية مزعجة

حقل جيوبوتنشال نظيف وسلسيو{\displaystyle U}تم إنشاء هذا المجال، بحيث يطابق شكل القطع الناقص المرجعي المعروف GRS80 مع سطح متساوي الجهد (نسمي هذا المجال بالجهد الطبيعي )، ويمكن طرحه من الجهد الحقيقي (المقاس).دبليو{\displaystyle W}من الأرض الحقيقية. وتُعرَّف النتيجة بأنها T ، وهي القدرة المُسبِّبة للاضطراب : تي=دبليو-يو.{\displaystyle T=WU.}

إن الجهد المزعج T أصغر بكثير من U أو W من الناحية العددية ، وهو يلتقط الاختلافات التفصيلية والمعقدة لحقل الجاذبية الحقيقي للأرض الموجودة بالفعل من نقطة إلى أخرى، على عكس الاتجاه العالمي العام الذي يلتقطه القطع الناقص الرياضي السلس للجهد الطبيعي.

رقم الجهد الجيوديسي

في الأعمال الأرضية العملية، مثل التسوية ، يتم استخدام نسخة بديلة من الجهد الجيوديسي تسمى رقم الجهد الجيوديسيج{\displaystyle C}والتي يتم حسابها من الجيود إلى الأعلى: ج=-(دبليو-دبليو0)،{\displaystyle C=-(W-W_{0}),} أيندبليو0{\displaystyle W_{0}}هو الجهد الجيوديسي للجيود.

حالة بسيطة: كرة متناظرة غير دوارة

في الحالة الخاصة للكرة ذات الكثافة الكتلية المتناظرة كرويًا، ρ = ρ( s )؛ أي أن الكثافة تعتمد فقط على المسافة القطرية s=x2+y2+z2.{\displaystyle s={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.}

يمكن حساب هذه التكاملات تحليليًا. وهذه هي نظرية شيل التي تنص على أنه في هذه الحالة:

مع الإمكانات المقابلة

أينم=∫Vρ(s)دxدyدz{\displaystyle M=\int _{V}\rho (s)\,dx\,dy\,dz}هي الكتلة الإجمالية للكرة.

لأغراض ميكانيكا مدارات الأقمار الصناعية ، يُوصف الجهد الجيوديسي عادةً بتسلسل متسلسلة إلى توافقيات كروية (تمثيل طيفي). في هذا السياق، يُعتبر الجهد الجيوديسي جهد مجال جاذبية الأرض، أي مع استبعاد الجهد المركزي.

حل الجيوبوتنشال في الحالة البسيطة للكرة غير الدوارة، بوحدات [م 2 /س 2 ] أو [جول/كجم]: [ 5 ]Ψ(ح)=∫0حزدz،{\displaystyle \Psi (h)=\int _{0}^{h}g\,dz,}Ψ=∫0zجيم(أ+z)2دz.{\displaystyle \Psi =\int _{0}^{z}{\frac {Gm}{(a+z)^{2}}}\,dz.}

التكامل للحصول على Ψ=جيم(1أ-1أ+z)،{\displaystyle \Psi =Gm\left({\frac {1}{a}}-{\frac {1}{a+z}}\right),} أين

G =6.673 × 10 −11  نيوتن متر مربع / كيلوغرام مربع هو ثابت الجاذبية،
م = كتلة الأرض هي 5.975 × 10²⁴ كجم .
أ = يبلغ متوسط ​​نصف قطر الأرض 6.378 × 10⁶ متر .
يمثل z الارتفاع الهندسي بالأمتار.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ هويبرغ، م. (2007). الجيوديسيا الهندسية: استخدام تكنولوجيا المعلومات والحاسوب . سبرينغر برلين هايدلبرغ. ص  9. ISBN 978-3-540-68225-7تم الاطلاع عليه بتاريخ 11 سبتمبر 2023 .
  2. ↑ "الجهد الجيوديناميكي" . ametsoc.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 أبريل 2023 .
  3. ^ هيسكانين، ويكو ألكسانتيري ؛ موريتز، هيلموت (1967). الجيوديسيا الفيزيائية . دبليو إتش فريمان . رقم ISBN 0-7167-0233-9.
  4. 1 2 3 تورج، الجيوديسيا. الطبعة الثالثة. 2001.
  5. ↑ هولتون، جيمس ر. (2004). مقدمة في علم الأرصاد الجوية الديناميكي ( الطبعة الرابعة). بيرلينجتون: إلسيفير . ISBN  0-12-354015-1.