خوارزمية القيم الذاتية

في التحليل العددي ، تُعدّ إحدى أهم المشكلات تصميم خوارزميات فعّالة ومستقرة لإيجاد القيم الذاتية للمصفوفة . وقد تجد هذه الخوارزميات أيضًا المتجهات الذاتية.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية

بالنظر إلى مصفوفة مربعة من الرتبة $n \times n$ من الأعداد الحقيقية أو المركبة $، فإن$ القيمة الذاتية $λ$ والمتجه الذاتي المعمم المرتبط بها $v$ يشكلان زوجًا يخضع للعلاقة ^[¹^].

\left(A-\lambda I\right)^{k}{\mathbf {v} }=0,

حيث $v$ متجه عمودي غير صفري من الرتبة $n \times 1$ ، $وI$ مصفوفة الوحدة من الرتبة n $\times n ،$ و $k$ عدد صحيح موجب، ويُسمح لكل من $λ$ و $v بأن يكونا عددين مركبين حتى عندما تكون$ $A$ عدداً حقيقياً. عندما $k$ $= 1$ ، يُسمى المتجه ببساطة متجهًا ذاتيًا ، ويُسمى الزوج زوجًا ذاتيًا . في هذه الحالة، $A$ $v$ $=$ $λ$ $v$ . أي قيمة ذاتية $λ$ للمصفوفة $A$ لها متجهات ذاتية عادية مرتبطة بها ^[^{ملاحظة 1}^] $، لأنه إذا كان k$ أصغر عدد صحيح بحيث يكون $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $v$ $= 0$ لمتجه ذاتي معمّم $v$ ، فإن $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $k$ $-1$ $v$ هو متجه ذاتي عادي. يمكن دائمًا اختيار قيمة $k$ أصغر من أو تساوي $n$ . على وجه الخصوص، $($ $A$ $-$ $λI$ $)$ $n$ $v$ $= 0$ لجميع المتجهات الذاتية المعمّمة $v$ المرتبطة بـ $λ$ .

لكل قيمة ذاتية $λ$ للمصفوفة $A$ ، تتكون النواة $ker(A - λI) من جميع المتجهات الذاتية المرتبطة بـ$ $λ$ (بالإضافة إلى 0)، وتُسمى الفضاء الذاتي لـ $λ$ ، بينما يتكون الفضاء المتجهي $ker((A - λI) n)$ من جميع المتجهات الذاتية المعممة، ويُسمى الفضاء الذاتي المعمم . التعدد الهندسي لـ $λ$ هو بُعد فضاءها الذاتي. أما التعدد الجبري لـ $λ$ فهو بُعد فضاءها الذاتي المعمم. ويُبرر هذا المصطلح الأخير بالمعادلة التالية:

p_{A}\left(z\right)=\det \left(zI-A\right)=\prod _{i=1}^{k}(z-\lambda _{i})^{\alpha _{i}},

حيث $det$ هي دالة المحدد ، و $λᵢ$ $هي$ جميع القيم الذاتية المختلفة للمصفوفة $A$ $،$ و $αᵢ$ هي التعددات الجبرية المقابلة. الدالة $pA (z)$ هي متعددة الحدود المميزة للمصفوفة $A. لذا$ $،$ فإن التعدد الجبري هو تعدد القيمة الذاتية كصفر لمتعددة الحدود المميزة. وبما أن أي متجه ذاتي هو أيضًا متجه ذاتي معمّم، فإن التعدد الهندسي أقل من أو يساوي التعدد الجبري. مجموع التعددات الجبرية يساوي $n ،$ $وهي$ درجة متعددة الحدود المميزة. تُسمى المعادلة $pA (z) = 0$ بالمعادلة المميزة ، لأن جذورها هي بالضبط القيم الذاتية للمصفوفة $A.$ وبحسب نظرية كايلي-هاميلتون ، فإن $المصفوفة$ $A$ نفسها تخضع للمعادلة نفسها: $pA (A) = 0.$ [ ^{ملاحظة 2 ]} ونتيجة لذلك، فإن أعمدة المصفوفة ${\textstyle \prod _{i\neq j}(A-\lambda _{i}I)^{\alpha _{i}}}$ يجب أن تكون إما صفرًا أو متجهات ذاتية معممة للقيمة الذاتية $λ j$ ، لأنها تُفنى بواسطة $(A-\lambda _{j}I)^{\alpha _{j}}$ في الواقع، فضاء الأعمدة هو الفضاء الذاتي المعمم لـ $λ j$ .

$أي مجموعة من المتجهات الذاتية المعممة ذات القيم الذاتية المتميزة مستقلة خطيًا ،$ لذا يمكن اختيار أساس لجميع عناصر $Cⁿ$ $يتكون$ $من المتجهات الذاتية المعممة. وبشكل أكثر تحديدًا، يمكن اختيار هذا الأساس {vi} ⁿᵢ = 1 وتنظيمه$ بحيث

إذا كان للمتجهين $v i$ و $v j$ نفس القيمة الذاتية، فإن المتجه $v k$ له نفس القيمة الذاتية لكل قيمة $k$ بين $i$ و $j$ ، و
إذا لم يكن $v i$ متجهًا ذاتيًا عاديًا، وإذا كانت $λ i$ هي قيمته الذاتية، فإن $(A - λ i I) v i = v i -1$ (على وجه الخصوص، يجب أن يكون $v 1$ متجهًا ذاتيًا عاديًا).

إذا تم وضع متجهات الأساس هذه كمتجهات عمودية لمصفوفة $V = [v 1 v 2 \dots v n]$ ، فيمكن استخدام $V$ لتحويل $A$ إلى شكلها الطبيعي لجوردان :

V^{-1}AV={\begin{bmatrix}\lambda _{1}&\beta _{1}&0&\ldots &0\\0&\lambda _{2}&\beta _{2}&\ldots &0\\0&0&\lambda _{3}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &\lambda _{n}\end{bmatrix}},

حيث $λ i$ هي القيم الذاتية، $β i = 1$ إذا كان $(A - λ i +1) v i +1 = v i$ و $β i = 0$ خلاف ذلك.

بشكلٍ أعم، إذا كانت $W$ أي مصفوفة قابلة للعكس ، و $λ$ قيمة ذاتية للمصفوفة $A$ $ذات$ متجه ذاتي معمّم $v$ $،$ فإن $(W⁻¹AW - λI) kW - kv = 0.$ وبالتالي، $فإن$ $λ$ قيمة ذاتية للمصفوفة $W⁻¹AW$ $ذات متجه$ $ذاتي$ معمّم $W$ $-$ $kv$ . أي أن $المصفوفات$ $المتشابهة$ لها نفس القيم الذاتية .

المصفوفات العادية، والهرميتية، والمصفوفات المتناظرة الحقيقية

المصفوفة المرافقة $M *$ للمصفوفة المركبة $M$ هي منقولة مرافق $M$ : $M * = MT$ . تُسمى المصفوفة المربعة $A$ طبيعية إذا كانت تبادلية مع مصفوفتها المرافقة: $A$ $* A = AA * .$ وتُسمى هيرميتية إذا كانت مساوية لمصفوفتها المرافقة: $A * = A.$ جميع المصفوفات الهيرميتية طبيعية. إذا كانت $A$ تحتوي على عناصر حقيقية فقط، فإن المصفوفة المرافقة هي ببساطة منقولتها، وتكون $A$ هيرميتية إذا وفقط إذا كانت متناظرة . عند تطبيقها على متجهات الأعمدة، يمكن استخدام المصفوفة المرافقة لتعريف الضرب الداخلي القانوني على $Cⁿ$ : $w \cdot v = w * v$ . ^{[ ملاحظة 3 ]} تتمتع المصفوفات الطبيعية والهيرميتية والمتناظرة حقيقيًا بعدة خصائص مفيدة $:$

كل متجه ذاتي معمّم لمصفوفة عادية هو متجه ذاتي عادي.
أي مصفوفة عادية تشبه المصفوفة القطرية، لأن شكلها العادي لجوردان قطري.
المتجهات الذاتية للقيم الذاتية المختلفة للمصفوفة العادية متعامدة.
الفضاء الصفري وصورة (أو فضاء الأعمدة) للمصفوفة العادية متعامدان مع بعضهما البعض.
لأي مصفوفة طبيعية $A$ ، $فإن C n$ لها أساس متعامد يتكون من المتجهات الذاتية لـ $A.$ المصفوفة المقابلة للمتجهات الذاتية هي مصفوفة وحدوية .
القيم الذاتية للمصفوفة الهرميتية حقيقية، لأن $(λ - λ) v = (A * - A) v = (A - A) v = 0$ لمتجه ذاتي غير صفري $v$ .
إذا كان $A$ حقيقيًا، فهناك أساس متعامد لـ $R n$ يتكون من المتجهات الذاتية لـ $A$ إذا وفقط إذا كان $A$ متناظرًا.

من الممكن أن تمتلك مصفوفة حقيقية أو مركبة جميع قيمها الذاتية حقيقية دون أن تكون هيرميتية. على سبيل المثال، المصفوفة المثلثية الحقيقية لها قيمها الذاتية على طول قطرها، ولكنها عمومًا ليست متناظرة.

رقم الحالة

يمكن النظر إلى أي مسألة حسابية عددية على أنها تقييم دالة $f$ لمدخل $x$ . يُعرَّف رقم الحالة $κ (f, x)$ للمسألة بأنه نسبة الخطأ النسبي في ناتج الدالة إلى الخطأ النسبي في المدخل، ويتغير بتغير كلٍّ من الدالة والمدخل. يصف رقم الحالة كيفية تزايد الخطأ أثناء الحساب. ويُشير لوغاريتمه العشري إلى عدد الأرقام الأقل دقة في النتيجة مقارنةً بالمدخل. يُمثل رقم الحالة أفضل سيناريو ممكن، فهو يعكس عدم الاستقرار المتأصل في المسألة، بغض النظر عن طريقة حلها. لا يمكن لأي خوارزمية أن تُنتج نتائج أكثر دقة مما يُشير إليه رقم الحالة، إلا بالصدفة. مع ذلك، قد تُنتج خوارزمية مصممة بشكل سيئ نتائج أسوأ بكثير. على سبيل المثال، كما ذُكر أدناه، فإن مسألة إيجاد القيم الذاتية للمصفوفات العادية تكون دائمًا جيدة التكييف. بينما قد تكون مسألة إيجاد جذور متعددة الحدود سيئة التكييف للغاية . وبالتالي فإن خوارزميات القيم الذاتية التي تعمل عن طريق إيجاد جذور متعددة الحدود المميزة يمكن أن تكون سيئة التكييف حتى عندما لا تكون المشكلة كذلك.

لحل المعادلة الخطية $A v = b$ حيث $A$ قابلة للعكس، يُعطى عدد شرط المصفوفة $κ (A -1, b) بالعلاقة$ $|| A || op || A -1 || op$ ، حيث || || _op هو معيار المؤثر التابع للمعيار الإقليدي الطبيعي على $C n$ . ولأن هذا العدد مستقل عن $b$ وهو نفسه للمصفوفتين $A$ و $A -1$ ، يُطلق عليه عادةً عدد شرط المصفوفة $A ،$ $κ (A)$ . هذه القيمة $κ$ $($ $A$ $)$ هي أيضًا القيمة المطلقة لنسبة أكبر قيمة مفردة للمصفوفة $A$ إلى أصغرها. إذا كانت $A$ مصفوفة وحدوية ، فإن $||$ $A$ $||$ $op$ $= ||$ $A$ $-1$ $||$ $op$ $= 1$ ، وبالتالي $κ$ $($ $A$ $) = 1.$ بالنسبة للمصفوفات العامة، غالبًا ما يكون حساب معيار المؤثر صعبًا. لهذا السبب، تُستخدم معايير مصفوفات أخرى لتقدير عدد الشرط.

في مسألة القيم الذاتية، أثبت باور وفيك أنه إذا كانت $λ$ قيمة ذاتية لمصفوفة $A$ قابلة للتقطير من الرتبة $n \times n$ ذات مصفوفة متجهات ذاتية $V$ ، فإن الخطأ المطلق في حساب $λ$ يكون محدودًا بحاصل ضرب $κ$ $($ $V$ $)$ والخطأ المطلق في $A.$ ^[²^] ونتيجة لذلك ، فإن رقم الشرط لإيجاد $λ$ هو $κ$ $($ $λ$ $,$ $A$ $) =$ $κ$ ( $V$ $) = ||$ $V$ $||$ $op$ $||$ $V$ $-1$ $||$ $op$ . إذا كانت $A$ مصفوفة طبيعية، فإن $V$ مصفوفة وحدوية، و $κ$ $($ $λ$ $,$ $A$ $)$ $= 1.$ وبالتالي، فإن مسألة القيم الذاتية لجميع المصفوفات الطبيعية تكون جيدة التكييف.

لقد ثبت أن رقم الحالة لمسألة إيجاد الفضاء الذاتي لمصفوفة عادية $A$ المناظرة لقيمة ذاتية $λ يتناسب عكسيًا مع أقصر مسافة بين$ $λ$ والقيم الذاتية الأخرى المختلفة لـ A. $[$ ^{3 ] وعلى} وجه الخصوص، فإن مسألة الفضاء الذاتي للمصفوفات العادية تكون جيدة التكييف في حالة القيم الذاتية المنفردة. أما عندما لا تكون القيم الذاتية منفردة، فإن أفضل ما يمكن توقعه هو تحديد مدى جميع المتجهات الذاتية للقيم الذاتية المجاورة.

الخوارزميات

تعتبر خوارزمية QR التي وضعها جون جي إف فرانسيس وفيرا إن كوبلانوفسكايا من أكثر الخوارزميات موثوقية واستخدامًا على نطاق واسع لحساب القيم الذاتية ، وتعتبر واحدة من أفضل عشر خوارزميات في القرن العشرين. ^[⁴^]

أي متعددة حدود أحادية هي متعددة الحدود المميزة لمصفوفتها المرافقة . لذا، يمكن استخدام خوارزمية عامة لإيجاد القيم الذاتية لإيجاد جذور متعددات الحدود. تُبين نظرية أبيل-روفيني أن أي خوارزمية من هذا القبيل للأبعاد الأكبر من 4 إما أن تكون لانهائية، أو تتضمن دوالًا ذات تعقيد أكبر من العمليات الحسابية الأساسية والقوى الكسرية. لهذا السبب، لا توجد خوارزميات تحسب القيم الذاتية بدقة في عدد محدود من الخطوات إلا لفئات خاصة قليلة من المصفوفات. أما بالنسبة للمصفوفات العامة، فإن الخوارزميات تكرارية ، مما ينتج عنه حلول تقريبية أفضل مع كل تكرار.

تُنتج بعض الخوارزميات جميع القيم الذاتية، بينما تُنتج أخرى عددًا قليلًا منها، أو قيمة ذاتية واحدة فقط. مع ذلك، يمكن استخدام حتى الخوارزميات الأخيرة لإيجاد جميع القيم الذاتية. بمجرد تحديد قيمة ذاتية $λ$ للمصفوفة $A$ ، يمكن استخدامها إما لتوجيه الخوارزمية نحو حل مختلف في المرة القادمة، أو لاختزال المسألة إلى مسألة لا تحتوي على $λ$ كحل.

عادةً ما تتم إعادة التوجيه عن طريق الإزاحة: استبدال المصفوفة $A$ بالمصفوفة $A - μI$ حيث $μ$ ثابت. يجب إضافة $μ$ إلى القيمة الذاتية المحسوبة لـ $A - μI$ للحصول على قيمة ذاتية للمصفوفة $A.$ على سبيل المثال، في طريقة التكرار الأسي ، $μ$ $=$ $λ$ . تُحدد طريقة التكرار الأسي أكبر قيمة ذاتية بالقيمة المطلقة، لذا حتى عندما تكون $λ$ قيمة ذاتية تقريبية فقط، فمن غير المرجح أن تجدها طريقة التكرار الأسي مرة أخرى. في المقابل، تُحدد الطرق القائمة على التكرار العكسي أصغر قيمة ذاتية، لذا يتم اختيار $μ$ بعيدًا عن $λ،$ ونأمل أن تكون أقرب إلى قيمة ذاتية أخرى.

يمكن تحقيق الاختزال بتقييد المصفوفة $A$ إلى فضاء أعمدة المصفوفة $A - λI$ ، التي تحملها $A$ إلى نفسها. ولأن $A - λI$ مصفوفة منفردة، فإن فضاء الأعمدة يكون ذا بُعد أقل. بعد ذلك، يمكن تطبيق خوارزمية القيم الذاتية على المصفوفة المقيّدة. ويمكن تكرار هذه العملية حتى يتم العثور على جميع القيم الذاتية.

إذا لم تُنتج خوارزمية القيم الذاتية متجهات ذاتية، فمن الممارسات الشائعة استخدام خوارزمية تعتمد على التكرار العكسي مع ضبط قيمة $μ$ على قيمة تقريبية قريبة من القيمة الذاتية. سيؤدي ذلك إلى تقارب سريع نحو المتجه الذاتي لأقرب قيمة ذاتية إلى $μ$ . بالنسبة للمصفوفات الصغيرة، يتمثل البديل في النظر إلى فضاء أعمدة حاصل ضرب $A - λ' I$ لكل قيمة ذاتية أخرى $λ'$ .

اكتشف روبرت طومسون في عام 1966 صيغةً لمعيار مركبات المتجهات الذاتية الوحدوية للمصفوفات العادية، وأعاد اكتشافها بشكل مستقل عدد من الباحثين الآخرين. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} إذا كانت $A مصفوفة عادية$ ${\textstyle n\times n}$ $لنفترض$ $أن$ $لدينا$ مصفوفة طبيعية ذات قيم ذاتية $λᵢ (A)$ ومتجهات ذاتية وحدوية مقابلة $vᵢ$ عناصرها هي $vᵢ,j$ ، ولتكن $Aⱼ$ هي ${\textstyle n-1\times n-1}$ $لنفترض أن$ المصفوفة الناتجة عن إزالة الصف والعمود $رقم i من$ $المصفوفة$ $A$ ، ولتكن $λk (Aj)$ قيمتها الذاتية $رقم k$ . $|v_{i,j}|^{2}\prod _{k=1,k\neq i}^{n}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A))=\prod _{k=1}^{n-1}(\lambda _{i}(A)-\lambda _{k}(A_{j}))$

لو $p,p_{j}$ هي كثيرات الحدود المميزة لـ $A$ و $A_{j}$ يمكن إعادة كتابة الصيغة على النحو التالي $|v_{i,j}|^{2}={\frac {p_{j}(\lambda _{i}(A))}{p'(\lambda _{i}(A))}}$ بافتراض المشتقة $p'$ لا يساوي صفرًا عند $\lambda _{i}(A)$ .

مصفوفات هيسنبرغ والمصفوفات ثلاثية الأقطار

لأن القيم الذاتية للمصفوفة المثلثية هي عناصر قطرها الرئيسي، فلا توجد طريقة محددة، مثل طريقة الحذف الغاوسي، لتحويل المصفوفة إلى شكل مثلثي مع الحفاظ على القيم الذاتية. ولكن من الممكن الوصول إلى شكل قريب من المثلثي. مصفوفة هيسنبرغ العليا هي مصفوفة مربعة جميع عناصرها أسفل القطر الفرعي تساوي صفرًا. أما مصفوفة هيسنبرغ السفلى فهي مصفوفة جميع عناصرها أعلى القطر الرئيسي تساوي صفرًا. المصفوفات التي تجمع بين خصائص هيسنبرغ العليا والسفلى هي مصفوفات ثلاثية الأقطار . تُعد مصفوفات هيسنبرغ والمصفوفات ثلاثية الأقطار نقطة انطلاق للعديد من خوارزميات القيم الذاتية، لأن العناصر الصفرية تُقلل من تعقيد المسألة. تُستخدم عدة طرق شائعة لتحويل أي مصفوفة إلى مصفوفة هيسنبرغ بنفس القيم الذاتية. إذا كانت المصفوفة الأصلية متناظرة أو هيرميتية، فإن المصفوفة الناتجة ستكون ثلاثية الأقطار.

عندما تكون القيم الذاتية فقط مطلوبة، فلا داعي لحساب مصفوفة التشابه، لأن المصفوفة المُحوَّلة لها نفس القيم الذاتية. أما إذا كانت المتجهات الذاتية مطلوبة أيضًا، فقد تكون مصفوفة التشابه ضرورية لتحويل المتجهات الذاتية لمصفوفة هيسنبرغ إلى متجهات ذاتية للمصفوفة الأصلية.

طريقة	ينطبق على	منتج	تكلفة بدون مصفوفة تشابه	التكلفة باستخدام مصفوفة التشابه	وصف
تحولات أصحاب المنازل	عام	هيسنبرغ	$2 ن 3 ⁄ 3 + أو (ن 2)$ ^{[ 10 ]}^{: 474}	$4 ن 3 ⁄ 3 + أو (ن 2)$ ^{[ 10 ]}^{: 474}	اعكس كل عمود من خلال فضاء فرعي لتصفير إدخالاته السفلية.
دورانات جيفنز	عام	هيسنبرغ	$4 ن 3 ⁄ 3 + أو (ن 2)$ ^{[ 10 ]}^{: 470}		قم بتطبيق دورانات مستوية لتصفير كل مدخل على حدة. يتم ترتيب الدورانات بحيث لا تتسبب الدورانات اللاحقة في تحويل المدخلات الصفرية إلى قيم غير صفرية مرة أخرى.
تكرار أرنولدي	عام	هيسنبرغ			قم بإجراء عملية التعامد غرام-شميدت على فضاءات كريلوف الفرعية.
خوارزمية لانكزوس	المنعزل	ثلاثي الأقطار			تكرار أرنولدي للمصفوفات الهرميتية، مع اختصارات.

بالنسبة لمسائل القيم الذاتية ثلاثية الأقطار المتناظرة، يمكن حساب جميع القيم الذاتية (بدون المتجهات الذاتية) عدديًا في زمن O(n log(n))، باستخدام التنصيف على متعدد الحدود المميز. ^{[ 11 ]}

الخوارزميات التكرارية

تحل الخوارزميات التكرارية مسألة القيم الذاتية بإنتاج متواليات تتقارب نحو هذه القيم. كما تنتج بعض الخوارزميات متواليات من المتجهات تتقارب نحو المتجهات الذاتية. في أغلب الأحيان، تُعبَّر متواليات القيم الذاتية كمتواليات من المصفوفات المتشابهة التي تتقارب نحو شكل مثلثي أو قطري، مما يُسهِّل قراءة القيم الذاتية. أما متواليات المتجهات الذاتية فتُعبَّر كمصفوفات التشابه المناظرة لها.

طريقة	ينطبق على	منتج	التكلفة لكل خطوة	التقارب	وصف
خوارزمية لانكزوس	المنعزل	أكبر/أصغر أزواج القيم الذاتية $m$
تكرار الطاقة	عام	الزوج الذاتي ذو القيمة الأكبر	$O (n 2)$	خطي	يقوم بتطبيق المصفوفة بشكل متكرر على متجه ابتدائي عشوائي ويعيد تطبيعها.
التكرار العكسي	عام	الزوج الذاتي ذو القيمة الأقرب إلى μ		خطي	تكرار القوة لـ $(A - μI) -1$
تكرار حاصل قسمة رايلي	المنعزل	أي زوج ذاتي		مكعب	تكرار القوة لـ $(A - μi I) -1$ $،$ حيث $μi$ لكل تكرار هو حاصل قسمة رايلي للتكرار السابق $.$
التكرار العكسي المُهيأ مسبقًا ^{[ 12 ]} أو خوارزمية LOBPCG	متماثل حقيقي موجب التحديد	الزوج الذاتي ذو القيمة الأقرب إلى μ			التكرار العكسي باستخدام مُهيئ مسبق (معكوس تقريبي لـ $A$ ).
طريقة التنصيف	ثلاثي الأقطار الحقيقي المتناظر	أي قيمة ذاتية		خطي	يستخدم طريقة التنصيف لإيجاد جذور متعددة الحدود المميزة، مدعومة بمتتالية ستورم.
تكرار لاغير	ثلاثي الأقطار الحقيقي المتناظر	أي قيمة ذاتية		مكعب ^{[ 13 ]}	يستخدم طريقة لاغير لإيجاد جذور متعددة الحدود المميزة، مدعومة بمتتالية ستورم.
خوارزمية رمز الاستجابة السريعة	هيسنبرغ	جميع القيم الذاتية	$O (n 2)$	مكعب	العوامل A = QR ، حيث Q متعامد و R مثلثي، ثم يطبق التكرار التالي على RQ .
خوارزمية رمز الاستجابة السريعة	هيسنبرغ	جميع أزواج القيم الذاتية	$6 n 3 + O (n 2)$	مكعب
خوارزمية جاكوبي للقيم الذاتية	حقيقي متناظر	جميع القيم الذاتية	$O (n 3)$	التربيعي	يستخدم تدويرات جيفنز لمحاولة إزالة جميع العناصر غير القطرية. يفشل هذا، ولكنه يقوي القطر.
فرق تسد	ثلاثي الأقطار الهرميتي	جميع القيم الذاتية	$O (n 2)$		يقسم المصفوفة إلى مصفوفات فرعية يتم تحويلها إلى مصفوفات قطرية ثم إعادة تجميعها.
فرق تسد	ثلاثي الأقطار الهرميتي	جميع أزواج القيم الذاتية	$(4 ⁄ 3) n 3 + O (n 2)$
طريقة التماثل	ثلاثي الأقطار الحقيقي المتناظر	جميع أزواج القيم الذاتية	$O (n 2) [14]$		يقوم بإنشاء مسار تماثل قابل للحساب من مسألة القيم الذاتية القطرية.
طريقة الطيف المطوي	حقيقي متناظر	الزوج الذاتي ذو القيمة الأقرب إلى μ			تم تطبيق التكرار العكسي المُهيأ مسبقًا على $(A - μI) 2$
خوارزمية MRRR ^{[ 15 ]}	ثلاثي الأقطار الحقيقي المتناظر	بعض أو كل أزواج القيم الذاتية	$O (n 2)$		"تمثيلات متعددة قوية نسبيًا" - يقوم بإجراء تكرار عكسي على تحليل LDL ^T للمصفوفة المزاحة.
تكرار غرام ^{[ 16 ]}	عام	زوج ذاتي ذو قيمة ذاتية أكبر		خطي فائق	يقوم بحساب ناتج غرام بشكل متكرر وإعادة ضبط المقياس، بشكل حتمي.

الحساب المباشر

على الرغم من عدم وجود خوارزمية بسيطة لحساب القيم الذاتية للمصفوفات العامة بشكل مباشر، إلا أن هناك العديد من الفئات الخاصة من المصفوفات التي يمكن حساب القيم الذاتية فيها مباشرة. وتشمل هذه الفئات ما يلي:

المصفوفات المثلثية

بما أن محدد المصفوفة المثلثية هو حاصل ضرب عناصر قطرها، فإذا كانت T مثلثية، فإن ${\textstyle \det(\lambda IT)=\prod _{i}(\lambda -T_{ii})}$ وبالتالي فإن القيم الذاتية لـ T هي عناصرها القطرية.

المعادلات متعددة الحدود القابلة للتحليل

إذا كانت $p$ أي كثيرة حدود وكان $p (A) = 0،$ فإن القيم الذاتية لـ $A$ تحقق المعادلة نفسها. وإذا كانت $p$ لها تحليل معروف، فإن القيم الذاتية لـ $A$ تقع بين جذورها.

على سبيل المثال، الإسقاط هو مصفوفة مربعة $P$ تحقق $المعادلة P²$ $= P. جذور$ معادلة كثير الحدود العددية المناظرة، $λ² = λ$ ، هي 0 و1 . بالتالي $،$ أي إسقاط له قيم ذاتية 0 و1. تكرار القيمة الذاتية 0 هو ما يُعرف بصفرية P $،$ بينما تكرار القيمة الذاتية 1 هو ما يُعرف برتبة $P.$

مثال آخر هو المصفوفة $A$ التي تحقق $المعادلة A² = α²I$ لبعض القيم العددية $α$ $.$ $يجب$ أن تكون القيم الذاتية $\pm α$ . عوامل الإسقاط

P_{+}={\frac {1}{2}}\left(I+{\frac {A}{\alpha }}\right)

P_{-}={\frac {1}{2}}\left(I-{\frac {A}{\alpha }}\right)

مُرضٍ

AP_{+}=\alpha P_{+}\quad AP_{-}=-\alpha P_{-}

و

P_{+}P_{+}=P_{+}\quad P_{-}P_{-}=P_{-}\quad P_{+}P_{-}=P_{-}P_{+}=0.

إن فضاءات الأعمدة لـ $P +$ و $P -$ هي الفضاءات الذاتية لـ $A$ المقابلة لـ $+ α$ و $- α$ ، على التوالي.

مصفوفات 2×2

بالنسبة للمصفوفات ذات الأبعاد من 2 إلى 4، توجد صيغ تتضمن الجذور يمكن استخدامها لإيجاد القيم الذاتية. ورغم شيوع هذه الطريقة مع المصفوفات من الرتبة 2×2 و3×3، إلا أن تعقيد صيغ الجذور المتزايد في المصفوفات من الرتبة 4×4 يجعل هذا الأسلوب أقل جاذبية.

بالنسبة للمصفوفة 2×2

A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}},

متعددة الحدود المميزة هي

\det {\begin{bmatrix}\lambda -a&-b\\-c&\lambda -d\end{bmatrix}}=\lambda ^{2}\,-\,\left(a+d\right)\lambda \,+\,\left(ad-bc\right)=\lambda ^{2}\,-\,\lambda \,{\rm {tr}}(A)\,+\,\det(A).

وبالتالي يمكن إيجاد القيم الذاتية باستخدام الصيغة التربيعية :

\lambda ={\frac {{\rm {tr}}(A)\pm {\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}{2}}.

تعريف ${\textstyle {\rm {gap}}\left(A\right)={\sqrt {{\rm {tr}}^{2}(A)-4\det(A)}}}$ لكي تكون المسافة بين القيمتين الذاتيتين، فمن السهل حسابها

{\frac {\partial \lambda }{\partial a}}={\frac {1}{2}}\left(1\pm {\frac {ad}{{\rm {gap}}(A)}}\right),\qquad {\frac {\partial \lambda }{\partial b}}={\frac {\pm c}{{\rm {gap}}(A)}}

وبصيغ مماثلة لـ $c$ و $d$ . ومن هذا يتبين أن الحساب يكون مشروطًا جيدًا إذا كانت القيم الذاتية معزولة.

$يمكن إيجاد المتجهات الذاتية$ باستخدام نظرية كايلي-هاميلتون . إذا كانت $λ₁ و λ₂$ قيمتين ذاتيتين، فإن $(A$ $-$ $λ₁I$ $)$ $($ $A$ $-$ $λ₂I$ $)$ $= ($ $A$ $-$ $λ₂I$ $)$ $($ $A$ $-$ $λ₁I$ $)$ $= 0$ $، وبالتالي$ $فإن$ أعمدة $(A$ $-$ $λ₂I$ $)$ تُلغى بواسطة $(A$ $-$ $λ₁I$ $) والعكس صحيح$ $. بافتراض$ $أن أيًا من المصفوفتين$ $لا يساوي صفرًا،$ $يجب أن تحتوي أعمدة كل منهما على متجهات ذاتية للقيمة$ $الذاتية$ $الأخرى. (إذا كانت أي من$ المصفوفتين تساوي صفرًا، فإن $A$ تكون مضاعفًا لمصفوفة الوحدة، وأي متجه غير صفري فيها هو متجه ذاتي) $.$

على سبيل المثال، لنفترض

A={\begin{bmatrix}4&3\\-2&-3\end{bmatrix}},

إذن $، tr(A) = 4 - 3 = 1$ و $det(A) = 4(-3) - 3(-2) = -6$ ، وبالتالي فإن المعادلة المميزة هي

0=\lambda ^{2}-\lambda -6=(\lambda -3)(\lambda +2),

والقيم الذاتية هي 3 و -2. الآن،

A-3I={\begin{bmatrix}1&3\\-2&-6\end{bmatrix}},\qquad A+2I={\begin{bmatrix}6&3\\-2&-1\end{bmatrix}}.

في كلتا المصفوفتين، تكون الأعمدة مضاعفات لبعضها البعض، لذا يمكن استخدام أي عمود. وبالتالي، يمكن اعتبار $(1، -2)$ متجهًا ذاتيًا مرتبطًا بالقيمة الذاتية -2، و $(3، -1)$ متجهًا ذاتيًا مرتبطًا بالقيمة الذاتية 3، كما يمكن التحقق من ذلك بضربهما في $A.$

المصفوفات المتناظرة 3×3

المعادلة المميزة للمصفوفة المتناظرة $A$ من الرتبة 3 × 3 هي:

\det \left(\alpha I-A\right)=\alpha ^{3}-\alpha ^{2}{\rm {tr}}(A)-\alpha {\frac {1}{2}}\left({\rm {tr}}(A^{2})-{\rm {tr}}^{2}(A)\right)-\det(A)=0.

يمكن حل هذه المعادلة باستخدام طريقتي كاردانو أو لاغرانج ، لكن التحويل الأفيني إلى $A$ سيبسط التعبير بشكل كبير، ويؤدي مباشرةً إلى حل مثلثي . إذا كان $A = pB + qI$ ، فإن $A$ و $B$ لهما نفس المتجهات الذاتية، و $β$ قيمة ذاتية لـ $B$ إذا وفقط إذا كانت $α = pβ + q$ قيمة ذاتية لـ $A.$ ${\textstyle q={\rm {tr}}(A)/3}$ و ${\textstyle p=\left({\rm {tr}}\left((A-qI)^{2}\right)/6\right)^{1/2}}$ ، يعطي

\det \left(\beta I-B\right)=\beta ^{3}-3\beta -\det(B)=0.

يؤدي التعويض $β = 2cos θ$ وبعض التبسيط باستخدام المتطابقة $cos 3 θ = 4cos 3 θ - 3cos θ$ إلى اختزال المعادلة إلى $cos 3 θ = det(B) / 2$ . وبالتالي

\beta =2{\cos }\left({\frac {1}{3}}{\arccos }\left(\det(B)/2\right)+{\frac {2k\pi }{3}}\right),\quad k=0,1,2.

إذا كان $محدد (B)$ عددًا مركبًا أو أكبر من 2 في القيمة المطلقة، فيجب حساب معكوس جيب التمام على نفس الفرع لجميع قيم $k$ الثلاث . لا تظهر هذه المشكلة عندما تكون $A$ عددًا حقيقيًا ومتناظرًا، مما ينتج عنه خوارزمية بسيطة: ^{[ 17 ]}

% بفرض وجود مصفوفة حقيقية متناظرة من الرتبة 3×3، احسب القيم الذاتية % لاحظ أن دالتي acos و cos تعملان على الزوايا بالراديانp1 = A ( 1 , 2 ) ^ 2 + A ( 1 , 3 ) ^ 2 + A ( 2 , 3 ) ^ 2 إذا كانت ( p1 == 0 ) % A مصفوفة قطرية. eig1 = A ( 1 , 1 ) eig2 = A ( 2 , 2 ) eig3 = A ( 3 , 3 ) وإلا q = trace ( A ) / 3 % trace(A) هو مجموع جميع القيم القطرية p2 = ( A ( 1 , 1 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 2 , 2 ) - q ) ^ 2 + ( A ( 3 , 3 ) - q ) ^ 2 + 2 * p1 p = sqrt ( p2 / 6 ) B = ( 1 / p ) * ( A - q * I ) % I هي مصفوفة الوحدة r = det ( B ) / 2في الحساب الدقيق للمصفوفة المتناظرة، يكون -1 ≤ r ≤ 1، ولكن قد يخرج خطأ الحساب قليلاً عن هذا النطاق. إذا كان ( r ≤ -1 ) فإن φ = π / 3، وإذا كان ( r ≥ 1 ) فإن φ = 0، وإلا فإن φ = acos ( r ) / 3 .% القيم الذاتية تحقق الشرط eig3 <= eig2 <= eig1 eig1 = q + 2 * p * cos ( φ ) eig3 = q + 2 * p * cos ( φ + ( 2 * pi / 3 )) eig2 = 3 * q - eig1 - eig3 % بما أن trace(A) = eig1 + eig2 + eig3 end

مرة أخرى، يمكن الحصول على المتجهات الذاتية للمصفوفة $A$ بالرجوع إلى نظرية كايلي-هاميلتون $.$ إذا كانت $α₁ و α₂ و α₃$ قيمًا ذاتية مختلفة للمصفوفة $A$ ، فإن $(A - α₁I) (A - α₂I)(A - α₃I) = 0. وبالتالي$ $،$ $فإن$ أعمدة حاصل ضرب أي مصفوفتين من هذه المصفوفات ستحتوي على متجه $ذاتي$ $للقيمة$ $الذاتية$ $الثالثة$ $.$ $أما$ $إذا$ $كانت$ $α₃$ $=$ $α₁$ $،$ فإن $(A - α₁I$ $)$ $²$ $($ $A$ $-$ $α₂I$ $)$ $=$ $0$ و $($ $A$ $-$ $α₂I$ $)$ $($ $A$ $-$ $α₁I$ $)$ $²$ $=$ $0$ $.$ وبالتالي، فإن $الفضاء$ $الذاتي$ المعمم لـ $α₁$ يمتد بواسطة أعمدة $A - α₂I ،$ بينما يمتد الفضاء الذاتي العادي بواسطة أعمدة $($ A $- α₁I) (A - α₂I) . ويمتد$ $الفضاء$ الذاتي العادي $لـ$ $α₂$ $بواسطة$ $أعمدة$ $(A -$ $α₁I$ $)$ $₂$ $.$

على سبيل المثال، لنفترض

A={\begin{bmatrix}3&2&6\\2&2&5\\-2&-1&-4\end{bmatrix}}.

المعادلة المميزة هي

0=\lambda ^{3}-\lambda ^{2}-\lambda +1=(\lambda -1)^{2}(\lambda +1),

بقيم ذاتية 1 (من التعددية 2) و-1. حساب،

A-I={\begin{bmatrix}2&2&6\\2&1&5\\-2&-1&-5\end{bmatrix}},\qquad A+I={\begin{bmatrix}4&2&6\\2&3&5\\-2&-1&-3\end{bmatrix}}

و

(A-I)^{2}={\begin{bmatrix}-4&0&-8\\-4&0&-8\\4&0&8\end{bmatrix}},\qquad (A-I)(A+I)={\begin{bmatrix}0&4&4\\0&2&2\\0&-2&-2\end{bmatrix}}

وبالتالي، فإن $(-4, -4, 4)$ هو متجه ذاتي للعدد −1، و $(4, 2, -2)$ هو متجه ذاتي للعدد 1. أما $(2, 3, -1)$ و $(6, 5, -3)$ فهما متجهان ذاتيان معممان مرتبطان بالعدد 1، ويمكن دمج أي منهما مع $(-4, -4, 4)$ و $(4, 2, -2)$ لتكوين أساس للمتجهات الذاتية المعممة للمصفوفة $A.$ وبمجرد إيجاد هذه المتجهات، يمكن تطبيعها إذا لزم الأمر.

المتجهات الذاتية للمصفوفات العادية 3×3

إذا كانت مصفوفة 3×3 $A$ إذا كان التوزيع طبيعيًا، فيمكن استخدام الضرب الاتجاهي لإيجاد المتجهات الذاتية. $\lambda$ هي قيمة ذاتية لـ $A$ ثم الفضاء الصفري لـ $A-\lambda I$ يكون عموديًا على فضاء أعمدته. حاصل الضرب الاتجاهي لعمودين مستقلين من $A-\lambda I$ سيكون في الفضاء الصفري. أي أنه سيكون متجهًا ذاتيًا مرتبطًا بـ $\lambda$ بما أن فضاء الأعمدة ثنائي الأبعاد في هذه الحالة، فإن الفضاء الذاتي يجب أن يكون أحادي البعد، لذا فإن أي متجه ذاتي آخر سيكون موازياً له.

لو $A-\lambda I$ إذا لم تحتوي على عمودين مستقلين ولكنها لا تساوي $صفرًا$ ، فلا يزال من الممكن استخدام الضرب الاتجاهي. في هذه الحالة $\lambda$ هي قيمة ذاتية من الرتبة 2، لذا فإن أي متجه عمودي على فضاء الأعمدة سيكون متجهًا ذاتيًا. لنفترض $\mathbf {v}$ هو عمود غير صفري من $A-\lambda I$ اختر متجهًا عشوائيًا $\mathbf {u}$ غير موازٍ لـ $\mathbf {v}$ . ثم $\mathbf {v} \times \mathbf {u}$ و $(\mathbf {v} \times \mathbf {u} )\times \mathbf {v}$ سيكون عموديًا على $\mathbf {v}$ وبالتالي ستكون متجهات ذاتية لـ $\lambda$ .

هذا لا ينجح عندما $A$ ليس طبيعياً، حيث لا يلزم أن يكون الفضاء الصفري وفضاء الأعمدة متعامدين لمثل هذه المصفوفات.

انظر أيضاً

قائمة خوارزميات القيم الذاتية

ملحوظات

↑ يُستخدم مصطلح "عادي" هنا فقط للتأكيد على التمييز بين "المتجه الذاتي" و "المتجه الذاتي المعمم".
↑ حيثيتم ضرب الحد الثابت بمصفوفة الوحدة $I.$
↑ يُفضّل الفيزيائيون هذا الترتيب للجداء الداخلي (مع وضع المرافق الخطي على اليسار). أما الجبريون، فيضعون عادةً المرافق الخطي على اليمين: $w \cdot v = v * w$ .

مراجع

↑ أكسلر، شيلدون (1995)، "لا للمحددات!" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 102 (2): 139-154 ، doi : 10.2307/2975348 ، JSTOR 2975348 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 13 سبتمبر 2012 ، تم استرجاعه في 31 يوليو 2012
↑ ف. ل. باور؛ س. ت. فايك (1960)، "المعايير ونظريات الاستبعاد"، الرياضيات العددية ، 2 : 137-141 ، doi : 10.1007/bf01386217 ، S2CID 121278235
↑ إس سي أيزنستات؛ آي سي إف إيبسن (1998)، "نتائج الاضطراب النسبي للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات القطرية" ، BIT ، 38 (3): 502-509 ، doi : 10.1007/bf02510256 ، S2CID 119886389
^ ج. دونجارا و ف. سوليفان (2000). “أفضل عشر خوارزميات في القرن”. الحوسبة في العلوم والهندسة . 2 : 22-23. دوى : 10.1109/MCISE.2000.814652 .
↑ تومسون، آر سي (يونيو 1966). "المصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية" . مجلة إلينوي للرياضيات . 10 (2): 296-308 . doi : 10.1215/ijm/1256055111 .
↑ بيتر نايلن؛ تين-ياو تام؛ فرانك أوليغ (1993). "حول القيم الذاتية للمصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية والمتماثلة". الجبر الخطي والمتعدد الخطوط . 36 (1): 69-78 . doi : 10.1080/03081089308818276 .
^ بيبيانو إن، فورتادو إس، دا بروفيدنسيا جي (2011). "على القيم الذاتية للمصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات J العادية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 435 (12): 3101–3114 . دوى : 10.1016/j.laa.2011.05.033 .
↑ فورستر، بي. جيه.، وتشانغ، جيه. (2021). "إسقاطات كورانك-1 ومسألة هورن العشوائية". المجلة التونسية للرياضيات . 3 : 55-73 . arXiv : 1905.05314 . doi : 10.2140/tunis.2021.3.55 . S2CID 153312446 .
↑ دينتون، ب. ب.، بارك، س. ج.، تاو، ت.، تشانغ، إكس. (2021). "المتجهات الذاتية من القيم الذاتية: دراسة استقصائية لهوية أساسية في الجبر الخطي". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 : 1. arXiv : 1908.03795 . doi : 10.1090/bull/1722 . S2CID 213918682 .
1 2 3 بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (1992). وصفات عددية بلغة سي ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-43108-8.
↑ كوكلي، إد س. (مايو 2013)، "خوارزمية سريعة للتجزئة والتغلب لحساب أطياف المصفوفات الثلاثية القطرية المتناظرة الحقيقية."، التحليل التوافقي التطبيقي والحسابي ، 34 (3): 379-414 ، doi : 10.1016/j.acha.2012.06.003
↑ نيمير، ك. (2006)، "نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط مسبقًا IV: حول حالات التقارب الأسرع."، تطبيقات الجبر الخطي ، 415 (1): 114-139 ، doi : 10.1016/j.laa.2005.06.022
↑ لي، تي واي؛ زينغ، تشونغ قانغ (1992)، "تكرار لاغير في حل مسألة القيم الذاتية ثلاثية الأقطار المتناظرة - إعادة النظر"، مجلة SIAM للحوسبة العلمية
↑ تشو، مودي ت. (1988)، "ملاحظة حول طريقة التماثل لمسائل القيم الذاتية في الجبر الخطي"، تطبيقات الجبر الخطي ، 105 : 225-236 ، doi : 10.1016/0024-3795(88)90015-8
↑ ديلون، إندرجيت س.؛ بارليت، بيريسفورد ن.؛ فوميل، كريستوف (2006)، "تصميم وتنفيذ خوارزمية MRRR" (ملف PDF) ، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية ، 32 (4): 533-560 ، doi : 10.1145/1186785.1186788 ، S2CID 2410736
↑ ديلاتر، ب.؛ بارتيليمي، ك.؛ أراوجو، أ.؛ ألاوزين، أ. (2023)، " الحد الفعال لثابت ليبشيتز للطبقات الالتفافية بواسطة تكرار غرام" ، وقائع المؤتمر الدولي الأربعين للتعلم الآلي : 7513-7532
↑ سميث، أوليفر ك. (أبريل 1961)، "القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة 3 × 3."، اتصالات ACM ، 4 (4): 168، doi : 10.1145/355578.366316 ، S2CID 37815415

للمزيد من القراءة

بويانتشيك، آدم و.؛ آدم لوتوبورسكي (يناير 1991). "حساب زوايا أويلر لمصفوفة متناظرة 3×3" . مجلة SIAM لتحليل المصفوفات وتطبيقاتها . 12 (1): 41-48 . doi : 10.1137/0612005 .

[2] يُستخدم مصطلح "عادي" هنا فقط للتأكيد على التمييز بين "المتجه الذاتي" و "المتجه الذاتي المعمم".

[3] حيثيتم ضرب الحد الثابت بمصفوفة الوحدة $I.$

[4] يُفضّل الفيزيائيون هذا الترتيب للجداء الداخلي (مع وضع المرافق الخطي على اليسار). أما الجبريون، فيضعون عادةً المرافق الخطي على اليمين: $w \cdot v = v * w$ .

[Axler-1] أكسلر، شيلدون (1995)، "لا للمحددات!" (ملف PDF) ، المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، 102 (2): 139-154 ، doi : 10.2307/2975348 ، JSTOR 2975348 ، مؤرشف من الأصل (ملف PDF) في 13 سبتمبر 2012 ، تم استرجاعه في 31 يوليو 2012

[5] ف. ل. باور؛ س. ت. فايك (1960)، "المعايير ونظريات الاستبعاد"، الرياضيات العددية ، 2 : 137-141 ، doi : 10.1007/bf01386217 ، S2CID 121278235

[6] إس سي أيزنستات؛ آي سي إف إيبسن (1998)، "نتائج الاضطراب النسبي للقيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفات القطرية" ، BIT ، 38 (3): 502-509 ، doi : 10.1007/bf02510256 ، S2CID 119886389

[t10-7] ج. دونجارا و ف. سوليفان (2000). “أفضل عشر خوارزميات في القرن”. الحوسبة في العلوم والهندسة . 2 : 22-23. دوى : 10.1109/MCISE.2000.814652 .

[8] تومسون، آر سي (يونيو 1966). "المصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية" . مجلة إلينوي للرياضيات . 10 (2): 296-308 . doi : 10.1215/ijm/1256055111 .

[9] بيتر نايلن؛ تين-ياو تام؛ فرانك أوليغ (1993). "حول القيم الذاتية للمصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات العادية والهرميتية والمتماثلة". الجبر الخطي والمتعدد الخطوط . 36 (1): 69-78 . doi : 10.1080/03081089308818276 .

[10] بيبيانو إن، فورتادو إس، دا بروفيدنسيا جي (2011). "على القيم الذاتية للمصفوفات الفرعية الرئيسية للمصفوفات J العادية" . الجبر الخطي وتطبيقاته . 435 (12): 3101–3114 . دوى : 10.1016/j.laa.2011.05.033 .

[11] فورستر، بي. جيه.، وتشانغ، جيه. (2021). "إسقاطات كورانك-1 ومسألة هورن العشوائية". المجلة التونسية للرياضيات . 3 : 55-73 . arXiv : 1905.05314 . doi : 10.2140/tunis.2021.3.55 . S2CID 153312446 .

[12] دينتون، ب. ب.، بارك، س. ج.، تاو، ت.، تشانغ، إكس. (2021). "المتجهات الذاتية من القيم الذاتية: دراسة استقصائية لهوية أساسية في الجبر الخطي". نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . 59 : 1. arXiv : 1908.03795 . doi : 10.1090/bull/1722 . S2CID 213918682 .

[NumericalRecipes-13] 1 2 3 بريس، ويليام هـ.؛ تيوكولسكي، شاول أ.؛ فيترلينغ، ويليام ت.؛ فلاني، برايان ب. (1992). وصفات عددية بلغة سي ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-43108-8.

[CoakleyRokhlin-14] كوكلي، إد س. (مايو 2013)، "خوارزمية سريعة للتجزئة والتغلب لحساب أطياف المصفوفات الثلاثية القطرية المتناظرة الحقيقية."، التحليل التوافقي التطبيقي والحسابي ، 34 (3): 379-414 ، doi : 10.1016/j.acha.2012.06.003

[15] نيمير، ك. (2006)، "نظرية هندسية للتكرار العكسي المشروط مسبقًا IV: حول حالات التقارب الأسرع."، تطبيقات الجبر الخطي ، 415 (1): 114-139 ، doi : 10.1016/j.laa.2005.06.022

[16] لي، تي واي؛ زينغ، تشونغ قانغ (1992)، "تكرار لاغير في حل مسألة القيم الذاتية ثلاثية الأقطار المتناظرة - إعادة النظر"، مجلة SIAM للحوسبة العلمية

[17] تشو، مودي ت. (1988)، "ملاحظة حول طريقة التماثل لمسائل القيم الذاتية في الجبر الخطي"، تطبيقات الجبر الخطي ، 105 : 225-236 ، doi : 10.1016/0024-3795(88)90015-8

[18] ديلون، إندرجيت س.؛ بارليت، بيريسفورد ن.؛ فوميل، كريستوف (2006)، "تصميم وتنفيذ خوارزمية MRRR" (ملف PDF) ، معاملات ACM في البرمجيات الرياضية ، 32 (4): 533-560 ، doi : 10.1145/1186785.1186788 ، S2CID 2410736

[19] ديلاتر، ب.؛ بارتيليمي، ك.؛ أراوجو، أ.؛ ألاوزين، أ. (2023)، " الحد الفعال لثابت ليبشيتز للطبقات الالتفافية بواسطة تكرار غرام" ، وقائع المؤتمر الدولي الأربعين للتعلم الآلي : 7513-7532

[Smith-20] سميث، أوليفر ك. (أبريل 1961)، "القيم الذاتية لمصفوفة متناظرة 3 × 3."، اتصالات ACM ، 4 (4): 168، doi : 10.1145/355578.366316 ، S2CID 37815415

[

[

ملاحظة 2 ]

[ ملاحظة 3 ]

[

3 ] وعلى

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗