المعادلة x y = y x

تُعطى مجموعة لانهائية من الحلول التافهة في الأعداد الحقيقية الموجبة بالصيغة التالية:${\displaystyle x=y.}$يمكن كتابة الحلول غير التافهة بشكل صريح باستخدام دالة لامبرت W. الفكرة هي كتابة المعادلة على النحو التالي:${\displaystyle ae^{b}=c}$وحاول أن تتطابق${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$بضرب طرفي المعادلة ورفعهما إلى نفس القيمة. ثم تطبيق تعريف دالة لامبرت W${\displaystyle a'e^{a'}=c'\Rightarrow a'=W(c')}$لعزل المتغير المطلوب.

${\displaystyle {\begin{aligned}y^{x}&=x^{y}=\exp \left(y\ln x\right)&\\y^{x}\exp \left(-y\ln x\right)&=1&\left({\mbox{الضرب في }}\exp \left(-y\ln x\right)\right)\\y\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&=1&\left({\mbox{الرفع في }}1/x\right)\\-y{\frac {\ln x}{x}}\exp \left(-y{\frac {\ln x}{x}}\right)&={\frac {-\ln x}{x}}&\left({\mbox{الضرب في }}{\frac {-\ln x}{x}}\right)\end{aligned}}}$

${\displaystyle \Rightarrow -y{\frac {\ln x}{x}}=W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\frac {-x}{\ln x}}\cdot W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)=\exp \left(-W\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)}$

حيث استخدمنا الهوية في الخطوة الأخيرة${\displaystyle W(x)/x=\exp(-W(x))}$.

هنا نقسم الحل إلى فرعين من دالة لامبرت W ونركز على كل فترة ذات أهمية، ونطبق المتطابقات التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{لـ }}&0<x\leq e,\\W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)&=-\ln x\quad &{\text{لـ }}&x\geq e.\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 0<x\leq 1}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}\geq 0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Rightarrow y&=\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\&=\exp \left(-(-\ln x)\right)\\&=x\end{aligned}}}$

• ${\displaystyle 1<x<e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x=e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-\ln x}{x}}={\frac {-1}{e}}}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

• ${\displaystyle x>e}$:

${\displaystyle \Rightarrow {\frac {-1}{e}}<{\frac {-\ln x}{x}}<0}$

${\displaystyle \Rightarrow y={\begin{cases}\exp \left(-W_{0}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)\\\exp \left(-W_{-1}\left({\frac {-\ln x}{x}}\right)\right)=x\end{cases}}}$

وبالتالي فإن الحلول غير التافهة هي:

يمكن إيجاد حلول غير تافهة بسهولة أكبر بافتراض${\displaystyle x\neq y}$والسماح${\displaystyle y=vx.}$ ثم

${\displaystyle (vx)^{x}=x^{vx}=(x^{v})^{x}.}$

رفع كلا الجانبين إلى السلطة${\displaystyle {\tfrac {1}{x}}}$والقسمة على${\displaystyle x}$، نحصل

${\displaystyle v=x^{v-1}.}$

ثم تُعبّر الحلول غير التافهة في الأعداد الحقيقية الموجبة عن طريق المعادلة البارامترية

الحل الكامل هو${\displaystyle \{(x,y):y=x\}\cup \{\left(v^{1/(v-1)},v^{v/(v-1)}\right):v>0,v\neq 1\}.}$

بناءً على الحل المذكور أعلاه، فإن المشتقة${\displaystyle dy/dx}$يكون${\displaystyle 1}$لـ${\displaystyle (x,y)}$أزواج على الخط${\displaystyle y=x,}$أما بالنسبة للآخر${\displaystyle (x,y)}$يمكن العثور على الأزواج بواسطة${\displaystyle (dy/dv)/(dx/dv),}$والتي تعطيها حسابات التفاضل والتكامل المباشرة على النحو التالي:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=v^{2}\left({\frac {v-1-\ln v}{v-1-v\ln v}}\right)}$

ل${\displaystyle v>0}$و${\displaystyle v\neq 1.}$

جلسة${\displaystyle v=2}$أو${\displaystyle v={\tfrac {1}{2}}}$يُنتج الحل غير التافه في الأعداد الصحيحة الموجبة،${\displaystyle 4^{2}=2^{4}.}$

توجد أزواج أخرى تتكون من أعداد جبرية ، مثل${\displaystyle {\sqrt {3}}}$و${\displaystyle 3{\sqrt {3}}}$، إلى جانب${\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}$و${\displaystyle 4{\sqrt[{3}]{4}}}$.

تؤدي المعلمات المذكورة أعلاه إلى خاصية هندسية لهذا المنحنى. ويمكن إثبات ذلك.${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$يصف منحنى التساوي حيث تكون الدوال الأسية على الشكل${\displaystyle x^{v}}$لها ميل${\displaystyle v^{2}}$لبعض الخيارات الإيجابية الحقيقية لـ${\displaystyle v\neq 1}$. على سبيل المثال،${\displaystyle x^{8}=y}$له ميل قدره${\displaystyle 8^{2}}$في${\displaystyle ({\sqrt[{7}]{8}},{\sqrt[{7}]{8}}^{8}),}$وهي أيضاً نقطة على المنحنى${\displaystyle x^{y}=y^{x}.}$

تتقاطع الحلول التافهة وغير التافهة عندما${\displaystyle v=1}$لا يمكن تقييم المعادلات المذكورة أعلاه بشكل مباشر عند${\displaystyle v=1}$لكن يمكننا اعتبار الحد كما يلي${\displaystyle v\to 1}$يتم ذلك بسهولة عن طريق الاستبدال${\displaystyle v=1+1/n}$والسماح${\displaystyle n\to \infty }$، لذا

${\displaystyle x=\lim _{v\to 1}v^{1/(v-1)}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=e.}$

وهكذا، الخط${\displaystyle y=x}$والمنحنى لـ${\displaystyle x^{y}-y^{x}=0,\,\,y\neq x}$يتقاطعان عند x = y = e .

مثل${\displaystyle x\to \infty }$، الحل غير التافه يقترب من الخط${\displaystyle y=1}$. الصيغة التقاربية الأكثر اكتمالاً هي

${\displaystyle y=1+{\frac {\ln x}{x}}+{\frac {3}{2}}{\frac {(\ln x)^{2}}{x^{2}}}+\cdots .}$

المعادلة${\displaystyle {\sqrt[{x}]{y}}={\sqrt[{y}]{x}}}$ينتج رسمًا بيانيًا يتقاطع فيه الخط والمنحنى عند${\displaystyle 1/e}$. وينتهي المنحنى أيضًا عند (0،  1) و (1،  0)، بدلاً من الاستمرار إلى ما لا نهاية.

يمكن كتابة المقطع المنحني بشكل صريح على النحو التالي

${\displaystyle y=e^{W_{0}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 0<x<1/e,}$

${\displaystyle y=e^{W_{-1}(\ln(x^{x}))}\quad \mathrm {for} \quad 1/e<x<1.}$

تصف هذه المعادلة منحنى التساوي حيث يكون ميل الدوال الأسية 1، وهو ما يشابه الخاصية الهندسية لـ${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$كما هو موضح أعلاه.

المعادلة مكافئة لـ${\displaystyle y^{y}=x^{x},}$كما يتضح من رفع كلا الجانبين إلى السلطة${\displaystyle xy.}$وبالمثل، يمكن إثبات ذلك أيضًا لإظهار أن المعادلة${\displaystyle {\sqrt[{y}]{y}}={\sqrt[{x}]{x}}}$يعادل${\displaystyle x^{y}=y^{x}}$.

المعادلة${\displaystyle \log _{x}(y)=\log _{y}(x)}$ينتج رسمًا بيانيًا يتقاطع فيه المنحنى والخط عند النقطة (1،  1). يصبح المنحنى مقاربًا للصفر، بدلاً من  الواحد؛ وهو في الواقع الجزء الموجب من y  =  1/ x .