بديهية الحتمية

مجموعة استراتيجيات اللاعب الأول S1 في لعبة ω-game G لها نفس عدد عناصر مجموعة الاستمرارية . وينطبق الأمر نفسه على مجموعة استراتيجيات اللاعب الثاني S2 . لنفترض _أن SG هي مجموعة جميع التسلسلات الممكنة في G ، و A هي المجموعة الجزئية من تسلسلات SG التي تُمكّن اللاعب الأول من الفوز. باستخدام بديهية الاختيار، يُمكننا _ترتيب مجموعة الاستمرارية ترتيبًا جيدًا، بحيث يكون لأي جزء ابتدائي مناسب عدد عناصر أقل من مجموعة الاستمرارية. نستخدم المجموعة المرتبة J المُحصل عليها لفهرسة كل من _S1 و S2 ، _ونُنشئ A بحيث تكون مثالًا مضادًا.

نبدأ بمجموعتين فارغتين A و B. ليكن α  ∈ J دليل الاستراتيجيات في S1 و S2 . نحتاج إلى دراسة جميع استراتيجيات اللاعب الأول S1 = {s1 ₍ α ₎ } _{α ∈ J وجميع استراتيجيات اللاعب الثاني S2 = {s2(α)} α ∈ J للتأكد من وجود} استراتيجية _{لدى اللاعب} الآخر تتفوق _على كل استراتيجية من _{استراتيجيات اللاعب الأول} . لكل استراتيجية من استراتيجيات اللاعب الأول ، سنولد متتالية تُحقق الفوز للاعب الثاني. ليكن t الزمن الذي يبلغ طول محوره ℵ₀ _{ويُستخدم} خلال كل متتالية من متتاليات اللعبة. نُنشئ المثال المضاد A عن طريق الاستدعاء الذاتي المتسامي على α .     

1. ضع في اعتبارك الاستراتيجية s ₁ ( α ) للاعب الأول.
2. طبّق هذه الاستراتيجية على لعبة ω، لتوليد (بالإضافة إلى استراتيجية اللاعب الآخر) s1 ₍ α ) ) متتالية ⟨a1 , _b2 , a3 _, b4 _, ... , at _, bt + 1 _{, ...} ⟩، لا تنتمي إلى A. هذا ممكن، لأن عدد الخيارات لـ ⟨b2 , b4 _, b6 , ... ⟩ _{له نفس عدد عناصر المتصل، وهو أكبر من عدد} عناصر الجزء الأولي الصحيح { β ∈ J | β < α } من J.          
3. أضف هذا التسلسل إلى B للإشارة إلى أن s ₁ ( α ) يخسر (على ⟨ b ₂ , b ₄ , b ₆ ,  ...⟩).
4. ضع في اعتبارك الاستراتيجية s ₂ ( α ) للاعب الثاني.
5. قم بتطبيق هذه الاستراتيجية على لعبة ω، لتوليد (بالإضافة إلى استراتيجية اللاعب الآخر) s ₂ ( α )) متتالية ⟨ a ₁ , b ₂ , a ₃ , b ₄ ,  ..., a _t , b _{t +1} ,  ...⟩، والتي لا تنتمي إلى B. هذا ممكن، لأن عدد الخيارات لـ ⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ ,  ...⟩ له نفس عدد عناصر الاستمرارية، وهو أكبر من عدد عناصر الجزء الأولي الصحيح { β ∈ J | β ≤ α } من J.       
6. أضف هذا التسلسل إلى A للإشارة إلى أن s ₂ ( α ) يخسر (على ⟨ a ₁ , a ₃ , a ₅ ,  ...⟩).
7. قم بمعالجة جميع الاستراتيجيات الممكنة لـ S ₁ و S ₂ باستخدام الاستقراء المتجاوز على α. بالنسبة لجميع المتتاليات التي لا تنتمي إلى A أو B بعد ذلك، قرر بشكل تعسفي ما إذا كانت تنتمي إلى A أو إلى B، بحيث تكون B هي مكملة A.

بعد ذلك، استعد للعبة ω-game G. بالنسبة لاستراتيجية معينة s1 للاعب الأول، يوجد _α ∈  J بحيث s1 = s1 ₍ α ) ، وقد _تم بناء A بحيث تفشل s1 ( _α ) (في بعض الخيارات ⟨b2 , b4 _, b6 _, ... ⟩ للاعب الثاني). وبالتالي، تفشل _s1 . _{وبالمثل ، تفشل أي استراتيجية} أخرى لأي من اللاعبين.    

في هذا البناء، يشبه استخدام بديهية الاختيار اختيار الجوارب كما ورد في اقتباس برتراند راسل .

في لعبة ω، يقوم اللاعبان بتوليد المتتالية ⟨a₁ , _b₂ , _a₃ , b₄ _, ... ⟩ ، حيث يمثل كل عنصر في ω ^، مع العلم أن الصفر ليس عددًا طبيعيًا، وبالتالي لا يمكن لأي من _{اللاعبين} اختياره. لنُعرّف الدالة f : ω ^→ { 0, 1} بحيث تكون f ( r ) هي المتتالية الوحيدة ذات الطول ^ω بقيم تنتمي إلى {0, 1} والتي يكون حدها الأول مساويًا للصفر، ويكون طول سلسلة تكراراتها (انظر ترميز طول التكرار ) مساويًا للطول r. ( يمكن إثبات أن f دالة أحادية. الصورة هي مجموعة جزئية من {0, ¹ } من المتتاليات التي تبدأ بالصفر والتي لا تكون ثابتة في النهاية. رسميًا، f هي دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي ، ^و {0, 1} هي فضاء كانتور ، وω ^هي فضاء باير .)       

لاحظ علاقة التكافؤ على {0,  1} ^ω بحيث يكون متتاليتان متكافئتين إذا وفقط إذا اختلفتا في عدد محدود من الحدود. هذا يقسم المجموعة إلى فئات تكافؤ. ليكن T مجموعة فئات التكافؤ (بحيث يكون عدد عناصر T هو عدد عناصر المتصل). عرّف الدالة g :  {0,  1} ^ω  → T التي تأخذ متتالية إلى فئة تكافؤها. عرّف متممة أي متتالية s في {0, 1} ^ω بأنها المتتالية s التي تختلف في كل حد. عرّف الدالة _h : T → T بحيث أنه لأي متتالية s في {0, 1} ^ω ، فإن تطبيق h على فئة تكافؤ s يساوي فئة تكافؤ متممة s (وهي معرفة جيدًا لأنه إذا كانت s و s' متكافئتين، فإن متممتيهما تكونان متكافئتين). يمكن إثبات أن h دالة انعكاسية بدون نقاط ثابتة، وبالتالي لدينا تقسيم للمجموعة T إلى مجموعات جزئية ثنائية الحجم، بحيث تكون كل مجموعة جزئية على الصورة { t , h ( t )}. باستخدام بديهية الاختيار، يمكننا اختيار عنصر واحد من كل مجموعة جزئية. بعبارة أخرى، نختار "نصف" عناصر T، وهي مجموعة جزئية نرمز لها بـ U (حيث U ⊆ T) بحيث يكون t ∈ U إذا وفقط إذا كان h ( t ) ∉ U.             

بعد ذلك، نُعرّف المجموعة الجزئية A  ⊆  ω ^ω التي يفوز فيها اللاعب 1 : A هي مجموعة جميع قيم r التي تحقق g ( f ( r ))  ∈ U. ندّعي الآن أنه لا يمتلك أي من اللاعبين استراتيجية فائزة، باستخدام حجة سرقة الاستراتيجية . نرمز إلى حالة اللعبة الحالية بتسلسل منتهٍ من الأعداد الطبيعية (بحيث إذا كان طول هذا التسلسل زوجيًا، فإن اللاعب 1 هو التالي في اللعب؛ وإلا فإن اللاعب 2 هو التالي في اللعب). 

لنفترض أن q هي استراتيجية فوز (حتمية) للاعب 2. يستطيع اللاعب 1 بناء استراتيجية p تتفوق على q كما يلي: لنفترض أن رد اللاعب 2 ( وفقًا لـ q ) على ⟨1⟩ هو b1 . عندئذٍ _، يحدد اللاعب 1 في p أن a1 = ₁ + b1 _. (بمعنى آخر، يلعب اللاعب 1 الآن دور اللاعب 2 في لعبة موازية ثانية؛ مجموعة فوز اللاعب 1 في اللعبة الثانية تساوي مجموعة فوز اللاعب 2 في اللعبة الأصلية، وهذا تناقض. مع ذلك، سنتابع بشكل أكثر دقة. )    

لنفترض أن رد اللاعب 2 ( دائمًا وفقًا لـ q) على الحركة ⟨1 + b1⟩ هو b2، وردّه على الحركة ⟨1, b1, b2⟩ هو b3 . _عند حساب p للاعب 1 _، نهدف فقط إلى التغلب على _q ، وبالتالي علينا _فقط التعامل مع الرد b2 على الحركة الأولى للاعب 1. لذلك ، نُعرّف b3 _على أنه رد اللاعب 1 _{على الحركة} ⟨1 + b1 , b2⟩ . بشكل عام، بالنسبة لـ n الزوجي _، نرمز إلى رد اللاعب 2 على الحركة ⟨1 _{+ b1} , _... , bn ₋ 1⟩ _بـ bn ، وإلى _ردّه على الحركة ⟨1 _, b1 , ... , bn⟩ بـ bn + _{1 .} ثم نحدد في p أن استجابة 1 للتسلسل ⟨1 + b1 _, b2 _, ... , bn⟩ هي bn _{+ 1. يُفترض أن} الاستراتيجية q رابحة، ونتيجة اللعبة r في ω ^{المعطاة} بالتسلسل ⟨1, b1 , ... ⟩ هي إحدى التسلسلات الممكنة التي تسمح بها q، لذا يجب أن تكون r رابحة لـ 2، ويجب _{ألا تكون} g ( f ( r )) في U. نتيجة اللعبة r            إنّ ' في ω ^ω المعطاة بواسطة ⟨1  + b ₁ , b ₂ , ...⟩ هي أيضًا متتالية مسموح بها بواسطة q (وتحديدًا، q يلعب ضد p )، لذا g ( f ( r  لا يجب أن يكون ')) في U. ومع ذلك، f ( r ) و f ( rتختلف f ( r) و f(r) في جميع الحدود باستثناء الحد الأول (بسبب طبيعة ترميز طول التشغيل وإزاحة مقدارها 1)، لذا فإن f ( r ) و f ( r)') تنتمي إلى فئات متكافئة مكملة، لذا فإن g ( f ( r ))، g ( f ( rلا يمكن أن يكون كلاهما في U، مما يناقض الافتراض بأن q هي استراتيجية رابحة.

وبالمثل، لنفترض أن p استراتيجية رابحة لـ 1 ؛ الحجة مشابهة، لكنها تستخدم الآن حقيقة أن فئات التكافؤ عُرِّفت بالسماح لعدد محدود كبير من الحدود بالاختلاف. ولتكن a1 هي الحركة الأولى لـ 1. بشكل عام، بالنسبة لـ n الزوجي، نرمز إلى رد ₁ على ⟨a1 , _1⟩ (إذا كان n = 2) أو ⟨a1 , ₁ , a2 , ... , an − _1⟩ بـ an _، وإلى رد 1 على ⟨a1 , 1 ₊ a2 , _... , an⟩ بـ an + 1. _{عندئذٍ ، تكون} نتيجة اللعبة r المعطاة بـ ⟨a1 , ₁ , a2 , _a3 , ... _⟩ مسموحة بواسطة p بحيث يجب أن تكون g ( f ( r ₎ ) في U ؛ وكذلك نتيجة اللعبة r       إنّ الدالة المعطاة بواسطة ⟨ a ₁ , 1  + a ₂ , a ₃ , ...⟩ مسموح بها أيضًا بواسطة p بحيث g ( f ( r  يجب أن يكون ')) في U. ومع ذلك، فإن f ( r ) و f ( rتختلف الدالتان ') في جميع الحدود باستثناء أول حد من الحدود a ₁  +  1، لذا فهما تنتميان إلى فئات متكافئة مكملة، وبالتالي فإن g ( f ( r )) و g ( f ( rلا يمكن أن يكون كلاهما في U، مما يناقض كون p استراتيجية رابحة.