نظام أويلر

في الرياضيات ، وتحديدًا في نظرية الأعداد ، يُعرف نظام أويلر بأنه مجموعة من العناصر المتوافقة لمجموعات غالوا المتماثلة، مُفهرسة بواسطة الحقول . وقد قدّمها كوليفاجين ( 1990 ) في بحثه حول نقاط هيغنر على المنحنيات الإهليلجية المعيارية ، والذي استند إلى بحثه السابق (كوليفاجين، 1988) وعمل ثاين (1988) . سُميت أنظمة أويلر نسبةً إلى ليونارد أويلر، لأن العوامل التي تربط بين عناصر نظام أويلر المختلفة تُشبه عوامل أويلر في جداء أويلر . 

يمكن استخدام أنظمة أويلر لبناء مُبيدات زمر الفئات المثالية أو زمر سيلمر ، مما يُعطي حدودًا لرتبها، الأمر الذي أدى بدوره إلى نظريات عميقة مثل محدودية بعض زمر تيت-شافاريفيتش . وقد أدى ذلك إلى برهان كارل روبين الجديد للتخمين الرئيسي لنظرية إيواساوا ، والذي يُعتبر أبسط من البرهان الأصلي الذي قدمه باري مازور وأندرو وايلز .

على الرغم من وجود تعريفات متعددة لأنواع خاصة من أنظمة أويلر، إلا أنه لا يبدو أن هناك تعريفًا منشورًا لنظام أويلر يشمل جميع الحالات المعروفة. ولكن يمكن القول بشكل عام ما هو نظام أويلر، على النحو التالي:

• يُعرَّف نظام أويلر بمجموعة من العناصر c ∈ _F. غالبًا ما تُفهرس هذه العناصر بواسطة حقول عددية معينة F تحتوي على حقل عددي ثابت K ، أو بواسطة شيء وثيق الصلة بها مثل الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات. عادةً ما تكون العناصر c ∈ _F عناصر من زمرة غالوا للتماثل، مثل H ^∈ ( F , T )، حيث T هو تمثيل p-adic لزمرة غالوا المطلقة لـ K.
• الشرط الأهم هو أن العنصرين c _F و c _G لحقلين مختلفين F  ⊆ G مرتبطان بصيغة بسيطة، مثل: 

${\displaystyle {\rm {cor}}_{G/F}(c_{G})=\prod _{q\in \Sigma (G/F)}P(\mathrm {Fr} _{q}^{-1}|{\rm {Hom}}_{O}(T,O(1));\mathrm {Fr} _{q}^{-1})c_{F}}$

هنا يتم تعريف "عامل أويلر" P ( τ | B ; x ) على أنه العنصر det(1- τ x | B ) الذي يعتبر عنصرًا من O[ x ] ، والذي عندما يحدث أن يؤثر x على B لا يكون هو نفسه det(1- τ x | B ) الذي يعتبر عنصرًا من O.

• قد تكون هناك شروط أخرى يجب أن تستوفيها c _F ، مثل شروط التطابق.

يشير كازويا كاتو إلى العناصر في نظام أويلر على أنها "تجسيدات حسابية لزيتا"، ويصف خاصية كونها نظام أويلر بأنها "انعكاس حسابي لحقيقة أن هذه التجسيدات مرتبطة بقيم خاصة لمنتجات أويلر". ^{[ 1 ]}

• باناسزاك، غريغورز (2001) [1994]، "أنظمة أويلر لحقول الأعداد" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• بيلينسون، ألكسندر (1984)، "المنظمات العليا وقيم دوال L"، في آر في غامكريليدزه (محرر)، المشكلات الحالية في الرياضيات (باللغة الروسية)، المجلد  24، الصفحات 181-238 ، MR 0760999  
• كوتس، جيه إتش ؛ غرينبيرغ، آر؛ ريبيت، كيه إيه ؛ روبين، كيه (1999)، النظرية الحسابية للمنحنيات الإهليلجية ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  1716، سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 3-540-66546-3
• كوتس، ج .؛ سوجاثا، ر. (2006)، "أنظمة أويلر"، الحقول الدائرية وقيم زيتا ، سلسلة دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر-فيرلاغ، ص 71-87 ، ISBN  3-540-33068-2
• كاتو، كازويا (2004)، “ نظرية هودج p -adic وقيم وظائف زيتا للأشكال المعيارية”، في بيير بيرثيلوت ؛ جان مارك فونتين ؛ لوك إيلوسي ؛ كازويا كاتو؛ مايكل رابوبورت (محرران)، Cohomologies p-adiques et apps arithmétiques. ثالثا. ، النجمية، المجلد.  295، باريس: Société Mathématique de France، الصفحات من 117 إلى 290، السيد 2104361  
• كاتو، كازويا (2007)، “نظرية إيواساوا والتعميمات”، في مارتا سانز سولي ؛ خافيير سوريا؛ خوان لويس فارونا؛ وآخرون  . (محرران)، المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات (PDF) ، المجلد.  أنا، زيورخ: الجمعية الرياضية الأوروبية، الصفحات من 335 إلى 357، MR 2334196 ، تم استرجاعه في 12/08/2010  وقائع المؤتمر الذي عُقد في مدريد، في الفترة من 22 إلى 30 أغسطس 2006
• Kolyvagin، VA (1988)، “مجموعات Mordell-Weil وShafarevich-Tate لمنحنيات Weil الإهليلجية”، Izvestiya Akademii Nauk SSSR. سيريا ماتماتشيسكايا ، 52 (6): 1154-1180 ، ISSN 0373-2436 ، السيد 0984214  
• Kolyvagin، VA (1990)، “Euler Systems”، The Grothendieck Festschrift، Vol. الثاني , برنامج. الرياضيات، المجلد.  87، بوسطن، ماساتشوستس: بيركهاوزر بوسطن، الصفحات من 435 إلى 483، دوى : 10.1007/978-0-8176-4575-5_11 ، ISBN  978-0-8176-3428-5MR 1106906​ 
• مازور، باري ؛ روبين، كارل (2004)، "أنظمة كوليفاجين" ، مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية ، 168 (799)، doi : 10.1090/memo/0799 ، ISSN 0065-9266 ، MR 2031496 ، ISBN   978-0-8218-3512-8
• روبين، كارل (2000)، أنظمة أويلر ، حوليات دراسات الرياضيات، المجلد  147، مطبعة جامعة برينستون ، MR 1749177 
• شول، أ. ج. (1998)، "مقدمة لأنظمة أويلر لكاتو"، تمثيلات غالوا في الهندسة الجبرية الحسابية (دورهام، 1996) ، سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية، المجلد  254، مطبعة جامعة كامبريدج ، الصفحات 379-460 ، ISBN  978-0-521-64419-8MR 1696501​ 
• ثاين، فرانسيسكو (1988)، "حول مجموعات الفئات المثالية لحقول الأعداد الأبيلية الحقيقية" ، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 128 (1): 1-18 ، doi : 10.2307/1971460 ، ISSN 0003-486X ، JSTOR 1971460 ، MR 0951505   

• تتوفر العديد من الأوراق البحثية حول أنظمة كوليفاجين على صفحة الويب الخاصة بـ باري مازور، مؤرشفة في 17-05-2011 على موقع Wayback Machine (اعتبارًا من يوليو 2005).