نظرية القيم المتطرفة

نظرية القيم المتطرفة أو تحليل القيم المتطرفة ( EVA ) هي دراسة القيم المتطرفة في التوزيعات الإحصائية.

يُستخدم تحليل القيمة المتوقعة (EVA) على نطاق واسع في العديد من التخصصات، مثل الهندسة الإنشائية ، والتمويل ، والعلوم الاكتوارية ، والاقتصاد ، وعلوم الأرض ، والتنبؤ بحركة المرور، والهندسة الجيولوجية . على سبيل المثال، يُمكن استخدام تحليل القيمة المتوقعة في مجال الهيدرولوجيا لتقدير احتمالية حدوث فيضان كبير غير معتاد، مثل فيضان المئة عام . وبالمثل، عند تصميم حاجز أمواج ، يسعى مهندس السواحل  إلى تقدير موجة الخمسين عامًا وتصميم الهيكل وفقًا لذلك.

يوجد منهجان رئيسيان لتحليل القيم المتطرفة عملياً.

تعتمد الطريقة الأولى على استخلاص سلسلة القيم العظمى (الصغرى) لكل كتلة كخطوة تمهيدية. وفي كثير من الحالات، من المعتاد والملائم استخراج القيم العظمى (الصغرى) السنوية، مما يُنتج سلسلة القيم العظمى السنوية (AMS).

تعتمد الطريقة الثانية على استخراج القيم القصوى التي تم الوصول إليها خلال أي فترة تتجاوز فيها القيم عتبة معينة (أو تنخفض دون عتبة معينة) من سجل متواصل. وتُعرف هذه الطريقة عمومًا باسم طريقة تجاوز العتبة (POT). ^{[ 1 ]}

بالنسبة لبيانات مطياف الكتلة المعجل (AMS)، قد يعتمد التحليل جزئيًا على نتائج نظرية فيشر-تيبت-غنيدينكو ، مما يؤدي إلى اختيار توزيع القيمة القصوى المعمم للمطابقة. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ومع ذلك، عمليًا، تُطبق إجراءات متنوعة للاختيار من بين نطاق أوسع من التوزيعات. تتعلق النظرية هنا بالتوزيعات الحدية للحد الأدنى أو الأقصى لمجموعة كبيرة جدًا من المتغيرات العشوائية المستقلة من نفس التوزيع. نظرًا لأن عدد الأحداث العشوائية ذات الصلة خلال عام قد يكون محدودًا، فليس من المستغرب أن تؤدي تحليلات بيانات مطياف الكتلة المعجل المرصودة غالبًا إلى اختيار توزيعات أخرى غير توزيع القيمة القصوى المعمم (GEVD). ^{[ 4 ]}

بالنسبة لبيانات POT، قد يتضمن التحليل ملاءمة توزيعين: أحدهما لعدد الأحداث في فترة زمنية معينة، والآخر لحجم التجاوزات.

يفترض النموذج الأول عادةً توزيع بواسون ، بينما يُستخدم توزيع باريتو المعمم للقيم المتجاوزة. ويمكن إجراء عملية ملاءمة الذيل استنادًا إلى نظرية بيكاندز-بالكيما-دي هان . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

يخصص نوفاك (2011) مصطلح "طريقة POT" للحالة التي يكون فيها الحد غير عشوائي، ويميزها عن الحالة التي يتم فيها التعامل مع تجاوزات حد عشوائي. ^{[ 7 ]}

تشمل تطبيقات نظرية القيم المتطرفة التنبؤ بالتوزيع الاحتمالي لما يلي:

كان ل. تيبت (1902-1985) رائدًا في مجال نظرية القيم المتطرفة. عمل تيبت لدى الجمعية البريطانية لأبحاث صناعة القطن ، حيث سعى إلى تطوير خيوط القطن لزيادة متانتها. أدرك تيبت، خلال دراساته، أن قوة الخيط تعتمد على قوة أضعف أليافه. وبمساعدة آر. إيه. فيشر ، توصل تيبت إلى ثلاث نهايات تقاربية تصف توزيعات القيم المتطرفة بافتراض استقلال المتغيرات. قام إي. جيه. غامبل (1958) ^{[ 28 ]} بتقنين هذه النظرية. يمكن توسيع نطاق هذه النتائج لتشمل الارتباطات الطفيفة بين المتغيرات، إلا أن النظرية الكلاسيكية لا تشمل الارتباطات القوية من رتبة التباين. ومن بين فئات العمومية ذات الأهمية الخاصة، فئة الحقول المرتبطة لوغاريتميًا ، حيث تتلاشى الارتباطات لوغاريتميًا مع المسافة.

تخضع نظرية القيم المتطرفة لمتغير واحد لنظرية القيم المتطرفة ، والتي تسمى أيضًا نظرية فيشر-تيبت-غنيدينكو ، والتي تصف أيًا من التوزيعات الثلاثة الممكنة للقيم المتطرفة ينطبق على متغير إحصائي معين.${\displaystyle X}$.

تُثير نظرية القيم المتطرفة في أكثر من متغير واحد مسائل إضافية لا بد من معالجتها. إحدى هذه المسائل هي ضرورة تحديد ماهية الحدث المتطرف. ^{[ 29 ]} ورغم سهولة ذلك في حالة المتغير الواحد، إلا أنه لا توجد طريقة واضحة للقيام بذلك في حالة المتغيرات المتعددة. تكمن المشكلة الأساسية في أنه على الرغم من إمكانية ترتيب مجموعة من الأعداد الحقيقية، إلا أنه لا توجد طريقة طبيعية لترتيب مجموعة من المتجهات.

على سبيل المثال، في حالة المتغير الواحد، بالنظر إلى مجموعة من الملاحظات${\displaystyle \ x_{i}\ }$من السهل إيجاد الحدث الأكثر تطرفًا بمجرد أخذ القيمة القصوى (أو الدنيا) للملاحظات. ومع ذلك، في حالة المتغيرين، بالنظر إلى مجموعة من الملاحظات${\displaystyle \ (x_{i},y_{i})\ }$ليس من الواضح على الفور كيفية إيجاد الحدث الأكثر تطرفًا. لنفترض أن المرء قد قاس القيم${\displaystyle \ (3,4)\ }$في وقت محدد والقيم${\displaystyle \ (5,2)\ }$في وقت لاحق. أي من هذه الأحداث يُعتبر أكثر تطرفاً؟ لا توجد إجابة قاطعة لهذا السؤال.

تتمثل إحدى المشكلات الأخرى في حالة المتغيرات المتعددة في أن النموذج الحدي ليس محددًا بدقة كما هو الحال في حالة المتغيرات الأحادية. ففي حالة المتغيرات الأحادية، يحتوي النموذج ( توزيع GEV ) على ثلاثة معلمات لا تتنبأ النظرية بقيمها، ويجب الحصول عليها من خلال مطابقة التوزيع مع البيانات. أما في حالة المتغيرات المتعددة، فلا يحتوي النموذج على معلمات مجهولة فحسب، بل يحتوي أيضًا على دالة لا تحدد النظرية شكلها الدقيق. ومع ذلك، يجب أن تخضع هذه الدالة لقيود معينة. ^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ]} ولا يُعدّ تصميم مُقدِّرات تُراعي هذه القيود أمرًا يسيرًا، على الرغم من أنه تم بناء بعضها مؤخرًا. ^{[ 33 ] [ 34 ] [ 35 ]}

كمثال على التطبيق، تم تطبيق نظرية القيم المتطرفة ثنائية المتغيرات على أبحاث المحيطات. ^{[ 29 ] [ 36 ]}

طُوِّرت النماذج الإحصائية للسلاسل الزمنية غير المستقرة في تسعينيات القرن الماضي. ^{[ 37 ]} وقد طُرحت مؤخرًا طرقٌ للتعامل مع القيم المتطرفة متعددة المتغيرات غير المستقرة. ^{[ 38 ]} ويمكن استخدام هذه الطرق لتتبع كيفية تغير العلاقة بين القيم المتطرفة بمرور الوقت، أو تبعًا لمتغير مصاحب آخر. ^{[ 39 ] [ 40 ] [ 41 ] [ 42 ]}

• بيلزيل، إل آر؛ دوتانغ، سي؛ نورثروب، بي جيه؛ أوبيتز، تي. (2023). "دليل النمذجة لبرامج القيم المتطرفة". إكستريمز . 26 (4): 595-638 . arXiv : 2205.07714 . doi : 10.1007/s10687-023-00475-9 .
• "إحصاءات القيم المتطرفة في لغة البرمجة R" . cran.r-project.org (برنامج). 4 نوفمبر 2023.— حزمة لإحصاءات القيم المتطرفة في لغة البرمجة R.
• "Extremes.jl" . github.com (برنامج).— حزمة لإحصاءات القيم المتطرفة في لغة جوليا .
• "شفرة مصدرية لتحليل القيم المتطرفة الثابتة وغير الثابتة" . amir.eng.uci.edu (برنامج). إرفاين، كاليفورنيا: جامعة كاليفورنيا، إرفاين .