توزيع ذو ذيل سميك

التوزيع ذو الذيل السميك هو توزيع احتمالي يتميز بانحراف أو تفرطح كبيرين ، مقارنةً بالتوزيع الطبيعي أو التوزيع الأسي . في الاستخدام الشائع، يُستخدم مصطلحا " ذو الذيل السميك" و "ذو الذيل الثقيل" أحيانًا بشكل مترادف، ولكن في بعض الأحيان يُعرَّف مصطلح " ذو الذيل السميك" على أنه مجموعة فرعية من "ذو الذيل الثقيل" . تفضل بعض الأوساط البحثية أحد المصطلحين على الآخر لأسباب تاريخية في الغالب، وقد تختلف في التعريف الدقيق لكل منهما.

تم رصد التوزيعات ذات الذيول السميكة تجريبياً في مجالات متنوعة: الفيزياء ، وعلوم الأرض ، والاقتصاد ، والعلوم السياسية . تشمل فئة التوزيعات ذات الذيول السميكة تلك التي تتلاشى ذيولها وفق قانون القوة ، وهو ما يُعد مرجعاً شائعاً في استخدامها في الأدبيات العلمية. مع ذلك، تشمل التوزيعات ذات الذيول السميكة أيضاً توزيعات أخرى بطيئة التلاشي، مثل التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي . ^{[ 1 ]}

إن النظير المقابل للتوزيع ذي الذيل السميك هو التوزيع ذو الذيل الرقيق ، والذي يتسم وصفه بالغموض المماثل.

تُعطى الحالة الأكثر تطرفاً للذيل السمين بواسطة توزيع يتلاشى ذيله مثل قانون القوة .

أي، إذا أمكن التعبير عن التوزيع التراكمي التكميلي لمتغير عشوائي X على النحو التالي

${\displaystyle \Pr \left\{\ X>x\ \right\}\sim x^{-\alpha }\quad }$مثل${\displaystyle \quad x\to \infty \quad }$ل${\displaystyle \quad \alpha >0\;,}$

عندئذٍ يُقال إن التوزيع له ذيل سميك إذا${\displaystyle \alpha <2}$بالنسبة لهذه القيم، يكون التباين والالتواء في الذيل غير مُعرّفين رياضيًا (وهي خاصية مميزة لتوزيع قانون القوة)، وبالتالي يكونان أكبر من أي توزيع طبيعي أو أسي. بالنسبة لقيم${\displaystyle \ \alpha >2\ ,}$إن الادعاء بوجود ذيل سميك أكثر غموضًا، لأنه في نطاق هذه المعلمة، يمكن أن يكون التباين والالتواء والتفرطح محدودًا، اعتمادًا على القيمة الدقيقة لـ${\displaystyle \ \alpha \ ,}$وبالتالي قد يكون أصغر من ذيل التوزيع الطبيعي أو الأسي ذي التباين العالي. غالبًا ما يؤدي هذا الغموض إلى خلافات حول ما يُعتبر توزيعًا ذا ذيل سميك، وما لا يُعتبر كذلك.${\displaystyle \ k>\alpha -1\ ,}$ال${\displaystyle \ k^{\mathsf {th}}\ }$العزم لانهائي، لذا بالنسبة لكل توزيع لقانون القوة، فإن بعض العزوم غير محددة. ^{[ 2 ]}

ملحوظة

هنا رمز التلدة "${\displaystyle \sim }$" يعني أن ذيل التوزيع يتلاشى مثل قانون القوة؛ وبشكل أكثر دقة، يشير إلى التكافؤ التقاربي للدوال - مما يعني أن نسبتها تميل تقاربياً إلى قيمة ثابتة.

بالمقارنة مع التوزيعات ذات الذيول السميكة، فإن احتمالية وقوع الأحداث التي تنحرف عن المتوسط ​​بخمسة انحرافات معيارية أو أكثر ("أحداث 5 سيجما") في التوزيع الطبيعي أقل، مما يعني أن الأحداث المتطرفة في التوزيع الطبيعي أقل احتمالية منها في التوزيعات ذات الذيول السميكة. تتميز التوزيعات ذات الذيول السميكة، مثل توزيع كوشي (وجميع التوزيعات المستقرة الأخرى باستثناء التوزيع الطبيعي )، بـ"سيجما غير مُعرَّفة" (بتعبير أدق، التباين غير مُعرَّف).

ونتيجةً لذلك، عندما تنشأ البيانات من توزيع ذي ذيول سميكة، فإنّ إقحام نموذج "التوزيع الطبيعي" للمخاطر - وتقدير الانحراف المعياري (سيجما) بناءً على حجم عينة محدود (بالضرورة) - من شأنه أن يقلل من شأن الصعوبة الحقيقية للتنبؤ (والمخاطر). وقد لاحظ العديد من الباحثين - ولا سيما بينوا ماندلبروت ونسيم طالب - هذا القصور في نموذج التوزيع الطبيعي، واقترحوا أن التوزيعات ذات الذيول السميكة، مثل التوزيعات المستقرة، هي التي تحكم عوائد الأصول الشائعة في مجال التمويل . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

يعتمد نموذج بلاك -شولز لتسعير الخيارات على التوزيع الطبيعي. إذا كان التوزيع في الواقع ذا ذيل سميك، فإن النموذج سيقلل من قيمة الخيارات البعيدة عن سعر التنفيذ ، لأن احتمالية وقوع حدث بانحراف معياري 5 أو 7 أكبر بكثير مما يتوقعه التوزيع الطبيعي. ^{[ 6 ]}

في مجال التمويل ، غالباً ما تظهر التوزيعات ذات الذيول السميكة، ولكنها تُعتبر غير مرغوب فيها لما تنطوي عليه من مخاطر إضافية . على سبيل المثال، قد يكون العائد المتوقع لاستراتيجية استثمارية، بعد عام واحد، خمسة أضعاف انحرافها المعياري. بافتراض التوزيع الطبيعي، فإن احتمال فشلها (العائد السلبي) أقل من واحد في المليون؛ وفي الواقع، قد يكون أعلى. تظهر التوزيعات الطبيعية في مجال التمويل عموماً لأن العوامل المؤثرة على قيمة الأصل أو سعره "تتسم بسلوك رياضي جيد"، وتنص نظرية النهاية المركزية على مثل هذا التوزيع. مع ذلك، فإن الأحداث الصادمة في "العالم الحقيقي" (مثل صدمة أسعار النفط، أو إفلاس شركة كبيرة، أو تغير مفاجئ في الوضع السياسي) عادةً لا تتسم بسلوك رياضي جيد .

تشمل الأمثلة التاريخية انهيار وول ستريت عام 1929 ، والاثنين الأسود (1987) ، وفقاعة الإنترنت ، والأزمة المالية لعام 2008 ، والانهيار المفاجئ لعام 2010 ، وانهيار سوق الأسهم عام 2020 ، وفك ارتباط بعض العملات. ^{[ 7 ]}

كما أن للذيول السميكة في توزيعات عائدات السوق بعض الأصول السلوكية (التفاؤل أو التشاؤم المفرط للمستثمر مما يؤدي إلى تحركات كبيرة في السوق) وبالتالي يتم دراستها في التمويل السلوكي .

في مجال التسويق ، تُعد قاعدة 80/20 المألوفة التي يتم العثور عليها بشكل متكرر (على سبيل المثال "20% من العملاء يمثلون 80% من الإيرادات") مظهراً من مظاهر التوزيع ذي الذيل السميك الكامن وراء البيانات. ^{[ 8 ]}

تُلاحظ ظاهرة "الذيول السميكة" أيضًا في صناعة التسجيلات الموسيقية ، وخاصةً في أسواق الفونوغراف . تتميز دالة كثافة الاحتمال للوغاريتم التغيرات الأسبوعية في مبيعات التسجيلات الموسيقية بتفرطح عالٍ، وقيمة عظمى أضيق وأكبر، وذيل أكثر سمكًا من التوزيع الطبيعي. ومن جهة أخرى، يحتوي هذا التوزيع على ذيل سميك واحد فقط مرتبط بزيادة المبيعات نتيجةً للترويج للتسجيلات الجديدة التي تدخل قوائم الأغاني الأكثر مبيعًا. ^{[ 9 ]}

• مخاطر الذيل
• نظرية البجعة السوداء
• سبع حالات من العشوائية
• توزيع طالب

• أمثلة على الذيول السمينة في السلاسل الزمنية المالية
• توزيع الذيل السمين – جون أ. روب، مؤرشف بتاريخ 17-03-2017 في أرشيف الإنترنت