قانون القوة

في الرياضيات والعلوم ، يُعرف قانون القوة بأنه علاقة وظيفية بين كميتين، حيث يؤدي التغير النسبي في إحداهما إلى تغير نسبي في الأخرى يتناسب مع التغير مرفوعًا إلى أس ثابت: أي أن إحدى الكميتين تتغير كقوة للأخرى. ويكون هذا التغير مستقلاً عن القيمة الابتدائية لهاتين الكميتين.

فعلى سبيل المثال، ترتبط مساحة المربع بعلاقة أسية مع طول ضلعه، فإذا تضاعف الطول، تتضاعف المساحة بمقدار 2² ^، وإذا تضاعف الطول ثلاث مرات، تتضاعف المساحة بمقدار 3² ^، وهكذا. ^{[ 1 ]}

تتبع توزيعات طيف واسع من الظواهر الفيزيائية والبيولوجية والبشرية تقريبًا قانون القوة ضمن نطاق واسع من المقادير، وتشمل هذه الظواهر أحجام الفوهات على سطح القمر والتوهجات الشمسية ، [ ^{2 ] وأحجام} السحب، ^{[ 3 ]} وأنماط البحث عن الغذاء لدى مختلف الأنواع، ^{[ 4 ]} وأحجام أنماط نشاط الخلايا العصبية، ^{[ 5 ]} وتواتر الكلمات في معظم اللغات، وتواتر أسماء العائلات ، وتنوع الأنواع في مجموعات الكائنات الحية، ^{[ 6 ]} وأحجام انقطاعات التيار الكهربائي ، والانفجارات البركانية، ^{[ 7 ]} وتقييمات الإنسان لشدة المؤثرات ^{، [ 8 ] [ 9 ]} والعديد من الكميات الأخرى. ^{[ 10 ]} لا يمكن للتوزيعات التجريبية أن تتوافق مع قانون القوة إلا ضمن نطاق محدود من القيم، لأن قانون القوة البحت يسمح بقيم كبيرة أو صغيرة بشكل تعسفي. ويتبع التوهين الصوتي قوانين القوة الترددية ضمن نطاقات ترددية واسعة للعديد من الوسائط المعقدة. تُعد قوانين القياس الألومتري للعلاقات بين المتغيرات البيولوجية من بين أفضل دوال قانون القوة المعروفة في الطبيعة.

ينبع الاهتمام العلمي بعلاقات قانون القوة جزئيًا من سهولة توليدها بواسطة فئات عامة معينة من الآليات. ^{[ 15 ]} ويمكن أن يشير إثبات وجود علاقة قانون القوة في بعض البيانات إلى أنواع محددة من الآليات التي قد تكمن وراء الظاهرة الطبيعية قيد الدراسة، كما يمكن أن يدل على وجود صلة وثيقة بأنظمة أخرى تبدو غير ذات صلة؛ ^{[ 16 ]} انظر أيضًا إلى الشمولية أعلاه. ويعود انتشار علاقات قانون القوة في الفيزياء جزئيًا إلى القيود البُعدية ، بينما في الأنظمة المعقدة ، غالبًا ما يُعتقد أن قوانين القوة هي مؤشرات على التسلسل الهرمي أو على عمليات عشوائية محددة . ومن الأمثلة البارزة على قوانين القوة: قانون باريتو لتوزيع الدخل، والتشابه الذاتي الهيكلي للكسور الهندسية ، وقوانين القياس في الأنظمة البيولوجية ، وقوانين القياس في المدن . يُعد البحث في أصول علاقات قانون القوة، والجهود المبذولة لملاحظتها والتحقق منها في العالم الحقيقي، موضوعًا نشطًا للبحث في العديد من مجالات العلوم، بما في ذلك الفيزياء وعلوم الكمبيوتر واللغويات والجيوفيزياء وعلم الأعصاب وعلم التصنيف وعلم الاجتماع والاقتصاد وغيرها .

مع ذلك، ينبع جزء كبير من الاهتمام الحديث بقوانين القوة من دراسة التوزيعات الاحتمالية : إذ يبدو أن توزيعات مجموعة واسعة من الكميات تتبع شكل قانون القوة، على الأقل في ذيلها العلوي (الأحداث الكبيرة). ويربط سلوك هذه الأحداث الكبيرة هذه الكميات بدراسة نظرية الانحرافات الكبيرة (وتسمى أيضًا نظرية القيم المتطرفة )، التي تُعنى بدراسة تواتر الأحداث النادرة للغاية مثل انهيارات سوق الأسهم والكوارث الطبيعية الكبرى . ويُستخدم مصطلح "قانون القوة" بشكل أساسي في دراسة التوزيعات الإحصائية.

في السياقات التجريبية، تقريب لقانون القوة${\displaystyle o(x^{k})}$غالباً ما يتضمن مصطلح انحراف${\displaystyle \varepsilon }$، والتي يمكن أن تمثل عدم اليقين في القيم المرصودة (ربما أخطاء القياس أو أخذ العينات) أو توفر طريقة بسيطة لانحراف الملاحظات عن دالة قانون القوة (ربما لأسباب عشوائية):

$${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .}$$

رياضياً، لا يمكن أن يكون قانون القوة الصارم توزيعًا احتماليًا، ولكن من الممكن أن يكون التوزيع عبارة عن دالة قوة مقطوعة :${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$ل${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$حيث الأس${\displaystyle \alpha }$(الحرف اليوناني ألفا ، لا ينبغي الخلط بينه وبين عامل القياس)${\displaystyle a}$إذا كانت القيمة المستخدمة أعلاه أكبر من 1 (وإلا فإن مساحة الذيل ستكون لانهائية)، فإن القيمة الدنيا${\displaystyle x_{\text{min}}}$يلزم ذلك، وإلا فإن التوزيع سيكون ذا مساحة لانهائية عندما تقترب x من 0، والثابت C هو عامل قياس لضمان أن تكون المساحة الكلية 1، كما هو مطلوب في توزيع الاحتمالات. في أغلب الأحيان، يُستخدم قانون القوة التقاربي - وهو قانون صحيح فقط في النهاية؛ انظر توزيعات الاحتمالات لقانون القوة أدناه لمزيد من التفاصيل. عادةً ما يقع الأس في النطاق${\displaystyle 2<\alpha <3}$، وإن لم يكن ذلك دائماً. ^{[ 10 ]}

المتغيرات

قانون القوة المخالف

قانون القوة المكسور هو دالة متعددة الأجزاء ، تتكون من قانونين أو أكثر من قوانين القوة، بالإضافة إلى عتبة. على سبيل المثال، مع قانونين للقوة: ^{[ 49 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha _{1}}}$$ل${\displaystyle x<x_{\text{th}}}$، $${\displaystyle f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}{\text{ for }}x>x_{\text{th}}.}$$

قانون القوة المكسور بسلاسة

يمكن دمج أجزاء قانون القوة المكسور بسلاسة معًا لتكوين قانون قوة مكسور بسلاسة.

توجد طرق مختلفة لدمج قوانين القوة. أحد الأمثلة على ذلك هو التالي: ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \ln \left({\frac {y}{y_{0}}}+a\right)=c_{0}\ln \left({\frac {x}{x_{0}}}\right)+\sum _{i=1}^{n}{\frac {c_{i}-c_{i-1}}{f_{i}}}\ln \left(1+\left({\frac {x}{x_{i}}}\right)^{f_{i}}\right)}$$أين${\displaystyle 0<x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{n}}$.

عندما يتم رسم الدالة كرسم بياني لوغاريتمي مزدوج مع المحور الأفقي${\displaystyle \ln x}$والمحور الرأسي هو${\displaystyle \ln(y/y_{0}+a)}$، تتكون الحبكة من${\displaystyle n+1}$القطع المستقيمة ذات المنحدرات${\displaystyle c_{0},c_{1},\dots ,c_{n}}$، منفصلين عند${\displaystyle x=x_{1},\dots ,x_{n}}$، موصولة ببعضها بسلاسة. حجم${\displaystyle f_{i}}$يحدد مدى دقة الربط بين الأجزاء${\displaystyle i-1,i}$.

قانون القوة مع قطع أسي (قانون القوة المقتطع)

قانون القوة مع قطع أسي هو ببساطة قانون قوة مضروب في دالة أسية: ^{[ 10 ]}

$${\displaystyle f(x)\propto x^{-\alpha }e^{-\beta x}.}$$

قانون القوة المنحني

$${\displaystyle f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}}$$^{[ 51 ]}

بمعنى أوسع، فإن توزيع الاحتمال ذي قانون القوة هو توزيع تكون دالة كثافته (أو دالة كتلته في الحالة المنفصلة) على الشكل التالي، وذلك لقيم كبيرة من${\displaystyle x}$, ^{[ 52 ]}

$${\displaystyle P(X>x)\sim L(x)x^{-(\alpha -1)}}$$

أين${\displaystyle \alpha >1}$، و${\displaystyle L(x)}$هي دالة متغيرة ببطء ، وهي أي دالة تحقق الشرط التالي:${\textstyle \lim _{x\to \infty }L(rx)/L(x)=1}$لأي عامل إيجابي${\displaystyle r}$هذه الخاصية لـ${\displaystyle L(x)}$وينتج ذلك مباشرة عن الشرط الذي${\displaystyle p(x)}$أن تكون ثابتة المقياس تقاربياً؛ وبالتالي، فإن شكل${\displaystyle L(x)}$يتحكم فقط في شكل وامتداد الذيل السفلي. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle L(x)}$إذا كانت الدالة ثابتة، فسنحصل على قانون قوة ينطبق على جميع قيم${\displaystyle x}$في كثير من الحالات، يكون من الملائم افتراض حد أدنى${\displaystyle x_{\mathrm {min} }}$الذي يستند إليه القانون. بدمج هاتين الحالتين، وحيث${\displaystyle x}$إذا كان متغيرًا مستمرًا، فإن قانون القوة يأخذ شكل توزيع باريتو.

$${\displaystyle p(x)={\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}\left({\frac {x}{x_{\min }}}\right)^{-\alpha },}$$

حيث العامل المسبق لـ${\displaystyle {\frac {\alpha -1}{x_{\min }}}}$هو ثابت التوحيد . يمكننا الآن دراسة عدة خصائص لهذا التوزيع. على سبيل المثال، تُعطى عزومه بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \mathbb {E} \left(X^{m}\right)=\int _{x_{\min }}^{\infty }x^{m}p(x)\,\mathrm {d} x={\frac {\alpha -1}{\alpha -1-m}}x_{\min }^{m}}$$

وهو أمر محدد جيدًا فقط لـ${\displaystyle m<\alpha -1}$أي جميع اللحظات${\displaystyle m\geq \alpha -1}$يتباعد: عندما${\displaystyle \alpha \leq 2}$، ويكون المتوسط ​​وجميع العزوم ذات الرتب الأعلى لانهائية؛ عندما${\displaystyle 2<\alpha <3}$يوجد المتوسط، لكن التباين والعزوم ذات الرتب العليا لا نهائية، وهكذا. بالنسبة للعينات ذات الحجم المحدود المسحوبة من هذا التوزيع، يشير هذا السلوك إلى أن مُقدِّرات العزم المركزي (مثل المتوسط ​​والتباين) للعزوم المتباعدة لن تتقارب أبدًا - فمع تراكم المزيد من البيانات، تستمر في النمو. تُسمى توزيعات الاحتمال ذات قانون القوة هذه أيضًا بتوزيعات باريتو، أو التوزيعات ذات ذيول باريتو، أو التوزيعات ذات الذيول المتغيرة بانتظام.

التعديل الذي لا يفي بالشكل العام أعلاه، مع قطع أسي، ^{[ 10 ]} هو

$${\displaystyle p(x)\propto L(x)x^{-\alpha }\mathrm {e} ^{-\lambda x}.}$$

في هذا التوزيع، حد الاضمحلال الأسي${\displaystyle \mathrm {e} ^{-\lambda x}}$وفي النهاية، يتغلب على سلوك قانون القوة عند قيم كبيرة جدًا لـ${\displaystyle x}$لا يتناسب هذا التوزيع مع المقياس ، وبالتالي لا يتقارب مع قانون القوة؛ ومع ذلك، فإنه يتناسب تقريبًا مع المقياس ضمن منطقة محدودة قبل نقطة القطع. الشكل النقي المذكور أعلاه هو مجموعة فرعية من هذه العائلة، مع${\displaystyle \lambda =0}$يُعد هذا التوزيع بديلاً شائعاً لتوزيع قانون القوة التقاربي لأنه يلتقط بشكل طبيعي تأثيرات الحجم المحدود.

تُعدّ توزيعات تويدي عائلة من النماذج الإحصائية التي تتميز بالانغلاق تحت الالتفاف الجمعي والتكراري، وكذلك تحت تحويل المقياس. ونتيجةً لذلك، تُعبّر هذه النماذج جميعها عن علاقة أسية بين التباين والمتوسط. وتلعب هذه النماذج دورًا أساسيًا كبؤر للتقارب الرياضي ، على غرار دور التوزيع الطبيعي كبؤرة في نظرية النهاية المركزية . يُفسّر تأثير التقارب هذا سبب ظهور قانون القوة بين التباين والمتوسط ​​على نطاق واسع في العمليات الطبيعية، كما هو الحال مع قانون تايلور في علم البيئة، ومع قياس التذبذب ^{[ 53 ]} في الفيزياء. ويمكن أيضًا إثبات أن قانون القوة هذا، عند إثباته باستخدام طريقة توسيع الفئات ، يُشير إلى وجود ضوضاء 1/ f ، وأن هذه الضوضاء قد تنشأ كنتيجة لتأثير تقارب تويدي هذا. ^{[ 54 ]}

الأساليب البيانية للتعرف

على الرغم من اقتراح طرق أكثر تطورًا ودقة، فإن أكثر الطرق البيانية استخدامًا لتحديد توزيعات الاحتمالية ذات قانون القوة باستخدام عينات عشوائية هي مخططات باريتو الكمية-الكمية (أو مخططات باريتو Q-Q ) ^{[ 55 ]} ، ومخططات متوسط ​​العمر المتبقي ^{[ 56 ] [ 57 ]} ، ومخططات اللوغاريتم-اللوغاريتم . وهناك طريقة بيانية أخرى أكثر دقة تستخدم حزمًا من دوال الكمية المتبقية ^{[ 58 ]} . (يُرجى ملاحظة أن توزيعات قانون القوة تُسمى أيضًا توزيعات من نوع باريتو). يُفترض هنا الحصول على عينة عشوائية من توزيع احتمالي، وأننا نريد معرفة ما إذا كان ذيل التوزيع يتبع قانون القوة (بمعنى آخر، نريد معرفة ما إذا كان للتوزيع "ذيل باريتو"). وتُسمى العينة العشوائية هنا "البيانات".

مخططات باريتو Q-Q

تقارن مخططات باريتو Q-Q كميات البيانات المحولة لوغاريتميًا بالكميات المقابلة لتوزيع أسي بمتوسط ​​1 (أو بكميات توزيع باريتو القياسي) عن طريق رسم الأولى مقابل الأخيرة. إذا أشار مخطط التشتت الناتج إلى أن النقاط المرسومة تتقارب تقاربًا مقاربًا إلى خط مستقيم، فينبغي الاشتباه في توزيع قانون القوة. من عيوب مخططات باريتو Q-Q أنها لا تُظهر أداءً جيدًا عندما يكون مؤشر الذيل كبيرًا.${\displaystyle \alpha }$(يُسمى أيضًا مؤشر باريتو) يقترب من الصفر، لأن مخططات باريتو Q-Q ليست مصممة لتحديد التوزيعات ذات الذيول المتغيرة ببطء. ^{[ 58 ]}

مخططات متوسط ​​العمر المتبقي

من جهة أخرى، في نسختها الخاصة بتحديد توزيعات الاحتمالية ذات قانون القوة، تتألف مخططات متوسط ​​العمر المتبقي من تحويل البيانات لوغاريتميًا أولًا، ثم رسم متوسط ​​تلك البيانات المحولة لوغاريتميًا التي تتجاوز إحصائية الرتبة i مقابل إحصائية الرتبة i ، وذلك لـ i  =  1،  ...، n ، حيث n هو حجم العينة العشوائية. إذا أشارت مخططات التشتت الناتجة إلى أن النقاط المرسومة تميل إلى الاستقرار حول خط مستقيم أفقي، فينبغي الاشتباه في وجود توزيع ذي قانون قوة. ولأن مخطط متوسط ​​العمر المتبقي حساس جدًا للقيم الشاذة (فهو ليس قويًا)، فإنه عادةً ما ينتج مخططات يصعب تفسيرها؛ ولهذا السبب، تُسمى هذه المخططات عادةً بمخططات هيل المرعبة. ^{[ 59 ]} 

مخططات لوغاريتمية

تُعدّ الرسوم البيانية اللوغاريتمية طريقة بديلة لفحص ذيل التوزيع بيانيًا باستخدام عينة عشوائية. يتم ذلك بأخذ لوغاريتم قانون القوة بالشكل التالي:${\displaystyle f(x)=ax^{k}}$النتائج: ^{[ 60 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log(f(x))&=\log(ax^{k})\\&=\log(a)+\log(x^{k})\\&=\log(a)+k\cdot \log(x),\end{aligned}}}$$

والذي يشكل خطًا مستقيمًا بميل${\displaystyle k}$على مقياس لوغاريتمي مزدوج. مع ذلك، يجب توخي الحذر، إذ أن الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج ضروري ولكنه غير كافٍ لإثبات وجود علاقة قانون القوة، حيث ستظهر العديد من التوزيعات غير الخاضعة لقانون القوة كخطوط مستقيمة على هذا المقياس. ^{[ 10 ] [ 61 ]} تتضمن هذه الطريقة رسم لوغاريتم مُقدِّر احتمالية ظهور عدد معين من التوزيع مقابل لوغاريتم ذلك العدد. عادةً، يكون هذا المُقدِّر هو نسبة تكرار ظهور العدد في مجموعة البيانات. إذا مالت النقاط في الرسم البياني إلى التقارب نحو خط مستقيم للأعداد الكبيرة على المحور السيني، يستنتج الباحث أن التوزيع له ذيل قانون القوة. نُشرت أمثلة على تطبيق هذا النوع من الرسوم البيانية. ^{[ 62 ]} من عيوب هذه الرسوم البيانية أنها تتطلب كميات هائلة من البيانات للحصول على نتائج موثوقة. إضافةً إلى ذلك، فهي مناسبة فقط للبيانات المنفصلة (أو المُجمَّعة).

مخططات الحزم

تم اقتراح طريقة بيانية أخرى لتحديد توزيعات الاحتمال ذات قانون القوة باستخدام عينات عشوائية. ^{[ 58 ]} تتكون هذه المنهجية من رسم حزمة للعينة المحولة لوغاريتميًا . وقد طُرحت في الأصل كأداة لاستكشاف وجود العزوم ودالة توليد العزوم باستخدام عينات عشوائية، وتعتمد منهجية الحزمة على دوال الكمية المتبقية (RQFs) ^{، والتي تُسمى أيضًا دوال النسبة المئوية المتبقية، [63] [64] [65] [66] [67] [68 ] [69]} والتي ^{توفر توصيفًا كاملاً لسلوك ذيل العديد من توزيعات الاحتمال المعروفة ، بما في ذلك توزيعات قانون القوة ، والتوزيعات} ذات الأنواع الأخرى من الذيول الثقيلة، وحتى التوزيعات غير الثقيلة الذيل. لا تعاني رسومات الحزمة من عيوب رسومات باريتو Q-Q، ورسومات متوسط ​​العمر المتبقي، ورسومات اللوغاريتم-اللوغاريتم المذكورة أعلاه (فهي قوية في مواجهة القيم الشاذة، وتسمح بتحديد قوانين القوة بصريًا ذات القيم الصغيرة).${\displaystyle \alpha }$ولا تتطلب جمع الكثير من البيانات). بالإضافة إلى ذلك، يمكن تحديد أنواع أخرى من سلوك الذيل باستخدام مخططات الحزم.

على الرغم من جاذبية علاقات قانون القوة لأسباب نظرية عديدة، فإن إثبات أن البيانات تتبع بالفعل علاقة قانون القوة يتطلب أكثر من مجرد ملاءمة نموذج معين للبيانات. ^{[ 34 ]} وهذا مهم لفهم الآلية التي تُنشئ التوزيع: فقد تنشأ توزيعات متشابهة ظاهريًا لأسباب مختلفة جوهريًا، وتُنتج النماذج المختلفة تنبؤات مختلفة، مثل الاستقراء.

على سبيل المثال، غالبًا ما يُخلط بين التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية وتوزيعات قانون القوة: ^{[ 72 ]} . عند حساب لوغاريتم دالة كثافة الاحتمال، يحتوي التوزيع اللوغاريتمي الطبيعي على حدود ثابتة، ولوغاريتمية، ولوغاريتمية تربيعية. عندما يكون المتوسط ​​صغيرًا والتباين كبيرًا، يكون الثابت أمام الحد اللوغاريتمي التربيعي صغيرًا جدًا. في هذه الحالة، يكون التوزيع خطيًا على الرسم البياني اللوغاريتمي-اللوغاريتمي في معظمه. فقط عند القيم المتطرفة يبرز الحد اللوغاريتمي التربيعي، مما يدل على أنه ليس توزيعًا لقانون القوة.

على سبيل المثال، ينتج عن قانون جبرات المتعلق بعمليات النمو النسبي توزيعات لوغاريتمية طبيعية، على الرغم من أن رسوماتها البيانية اللوغاريتمية تبدو خطية ضمن نطاق محدود. يُعزى ذلك إلى أنه على الرغم من أن لوغاريتم دالة الكثافة اللوغاريتمية الطبيعية هو دالة تربيعية في لوغاريتم ( س ) ، مما ينتج عنه شكل "مقوس" في الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج، إلا أنه إذا كان الحد التربيعي صغيرًا نسبيًا مقارنةً بالحد الخطي، فقد تبدو النتيجة خطية تقريبًا، ولا يظهر السلوك اللوغاريتمي الطبيعي إلا عندما يهيمن الحد التربيعي، وهو ما قد يتطلب بيانات أكثر بكثير. لذلك، فإن الرسم البياني اللوغاريتمي المزدوج المنحني قليلًا نحو الأسفل قد يعكس توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا - وليس قانون قوة.

بشكل عام، قد تبدو العديد من الصيغ الوظيفية البديلة وكأنها تتبع قانون القوة إلى حد ما. ^{[ 73 ]} اقترح ستامبف وبورتر (2012) رسم دالة التوزيع التراكمي التجريبية في المجال اللوغاريتمي، وأكدا أن قانون القوة المرشح يجب أن يغطي على الأقل رتبتين من حيث الحجم. ^{[ 74 ]} كما يواجه الباحثون عادةً مشكلة تحديد ما إذا كان توزيع الاحتمالات في العالم الحقيقي يتبع قانون القوة أم لا. كحل لهذه المشكلة، اقترح دياز ^{[ 58 ]} منهجية بيانية تعتمد على عينات عشوائية تسمح بالتمييز البصري بين أنواع مختلفة من سلوك الذيل. تستخدم هذه المنهجية حزمًا من دوال الكمية المتبقية، والتي تُسمى أيضًا دوال العمر المتبقي المئوي، والتي تُميز أنواعًا عديدة من ذيول التوزيع، بما في ذلك الذيول الثقيلة وغير الثقيلة. مع ذلك، أكد ستامبف وبورتر (2012) على ضرورة وجود خلفية إحصائية ونظرية لدعم قانون القوة في الآلية الأساسية التي تحرك عملية توليد البيانات. ^{[ 74 ]}

إحدى طرق التحقق من صحة علاقة قانون القوة هي اختبار العديد من التنبؤات المتعامدة لآلية توليد معينة مقابل البيانات. ولا يُعدّ مجرد ملاءمة علاقة قانون القوة لنوع معين من البيانات نهجًا منطقيًا. ولذلك، يبقى التحقق من صحة ادعاءات قانون القوة مجالًا بحثيًا نشطًا للغاية في العديد من مجالات العلوم الحديثة. ^{[ 10 ]}

ملحوظات

فهرس

• ألبرت، جيه إس؛ ريس، آر إي، محرران. (2011). الجغرافيا الحيوية التاريخية لأسماك المياه العذبة في المناطق الاستوائية الجديدة . بيركلي: مطبعة جامعة كاليفورنيا.
• باك، بير (1997). كيف تعمل الطبيعة . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-850164-1.
• بوكانان، مارك (2000). الوجود في كل مكان . ويدنفيلد ونيكولسون. رقم ISBN 0-297-64376-2.
• كلاوسيت، أ.؛ شاليزي، سي آر؛ نيومان، إم إي جيه (2009). "توزيعات قانون القوة في البيانات التجريبية". مجلة SIAM Review . 51 (4): 661-703 . arXiv : 0706.1062 . Bibcode : 2009SIAMR..51..661C . doi : 10.1137/070710111 . S2CID 9155618 . 
• لاهيرير، ج.؛ سورنيت، د. (1998). "التوزيعات الأسية الممتدة في الطبيعة والاقتصاد: "ذيول سميكة" ذات مقاييس مميزة". المجلة الأوروبية للفيزياء ب . 2 (4): 525-539 . arXiv : cond-mat/9801293 . Bibcode : 1998EPJB....2..525L . doi : 10.1007/s100510050276 . S2CID 119467988 . 
• ميتزنماخر، م. (2004). "تاريخ موجز للنماذج التوليدية لتوزيعات قانون القوة والتوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية" (ملف PDF) . رياضيات الإنترنت . 1 (2): 226-251 . doi : 10.1080/15427951.2004.10129088 . S2CID 1671059 . 
• سايتشيف، ألكسندر؛ ماليفيرن، يانيك؛ سورنيت، ديدييه (2009). نظرية قانون زيبف وما بعده . سلسلة محاضرات في الاقتصاد والأنظمة الرياضية. المجلد  632. سبرينغر. ISBN 978-3-642-02945-5.
• سايمون، هـ. أ. (1955). "حول فئة من دوال التوزيع المائل". بيومتريكا . 42 (3/4): 425-440 . doi : 10.2307/2333389 . JSTOR 2333389 . 
• سورنيت، ديدييه (2006). الظواهر الحرجة في العلوم الطبيعية: الفوضى، والكسور، والتنظيم الذاتي، والاضطراب: مفاهيم وأدوات . سلسلة سبرينغر في علم التآزر (  الطبعة الثانية). هايدلبرغ: سبرينغر. ISBN 978-3-540-30882-9.
• ستامبف، ماجستير في الصحة العامة؛ بورتر، ماجستير في الآداب (2012). "حقائق حاسمة حول قوانين القوة". مجلة ساينس . 335 (6069): 665-666 . رمز Bibcode : 2012Sci...335..665S . doi : 10.1126/science.1216142 . PMID 22323807. S2CID 206538568 .  

• زيبف، وقوانين القوة، وباريتو – دليل تصنيفي ( مؤرشف بتاريخ 26 أكتوبر 2007 في أرشيف الإنترنت)
• مورفولوجيا مجرى النهر وقوانين هورتون
• "كيف يخطئ خبراء المال في تقدير المخاطر" بقلم بينوا ماندلبروت ونسيم نيكولاس طالب. مجلة فورتشن ، 11 يوليو 2005.
• "موراي المليون دولار" : توزيعات قانون القوة في التشرد والمشاكل الاجتماعية الأخرى؛ بقلم مالكولم غلادويل . مجلة نيويوركر ، 13 فبراير 2006.
• بينوا ماندلبروت وريتشارد هدسون: سوء سلوك الأسواق (2004)
• فيليب بول: الكتلة الحرجة: كيف يؤدي شيء إلى آخر (2005)
• استبداد قانون القوة من مدونة الاقتصاد الفيزيائي
• إذن أنت تعتقد أن لديك قانون قوة - أليس هذا مميزًا؟ من مدونة "الكسلان ذو الأصابع الثلاثة" لكوزما شاليزي ، أستاذ الإحصاء في جامعة كارنيجي ميلون.
• برنامج MATLAB بسيط يقوم بتصنيف البيانات لتوضيح توزيعات قانون القوة (إن وجدت) في البيانات.
• يعرض خادم Erdős Webgraph توزيع درجات الرسم البياني للويب على صفحة التنزيل .