قاعدة فيرمي الذهبية

تُعدّ القاعدة الذهبية نتيجة مباشرة لمعادلة شرودنغر ، التي تُحلّ إلى أدنى رتبة في اضطراب الهاميلتوني H' . الهاميلتوني الكلي هو مجموع هاميلتوني "أصلي" H ₀ واضطراب.${\displaystyle H=H_{0}+H'(t)}$في صورة التفاعل ، يمكننا توسيع التطور الزمني لحالة كمومية عشوائية بدلالة حالات الطاقة الذاتية للنظام غير المضطرب${\displaystyle |n\rangle }$، مع${\displaystyle H_{0}|n\rangle =E_{n}|n\rangle }$.

نبدأ بدراسة الحالة التي تكون فيها الحالات النهائية منفصلة. ويكون تمدد الحالة في النظام المضطرب عند الزمن t هو${\textstyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$المعاملات a _n ( t ) هي دوال غير معروفة للزمن، تُعطي سعات الاحتمال في صورة ديراك . تخضع هذه الحالة لمعادلة شرودنغر المعتمدة على الزمن.

$${\displaystyle H|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle .}$$

بتوسيع مفهوم الهاميلتوني والحالة، نرى أنه، من الدرجة الأولى، $${\displaystyle \left(H_{0}+H'-\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\right)\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle e^{-\mathrm {i} tE_{n}/\hbar }=0,}$$ حيث أن E _n و | n ⟩ هما القيم الذاتية الثابتة والدوال الذاتية لـ H ₀ .

يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كنظام من المعادلات التفاضلية التي تحدد التطور الزمني للمعاملات.${\displaystyle a_{n}(t)}$: $${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\sum _{n}\langle k|H'|n\rangle a_{n}(t)e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{n})/\hbar }.}$$ هذه المعادلة دقيقة، ولكن لا يمكن حلها عملياً في العادة.

بالنسبة لاضطراب ثابت ضعيف H' يبدأ عند t = 0 ، يمكننا استخدام نظرية الاضطراب. أي، إذا${\displaystyle H'=0}$من الواضح أن${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$وهذا يعني ببساطة أن النظام يبقى في الحالة الأولية${\displaystyle i}$.

بالنسبة للولايات${\displaystyle k\neq i}$،${\displaystyle a_{k}(t)}$يصبح غير صفري بسبب${\displaystyle H'\neq 0}$ويُفترض أن تكون هذه القيم صغيرة نظرًا لضعف الاضطراب. المعامل${\displaystyle a_{i}(t)}$والتي تمثل الوحدة في الحالة غير المضطربة، سيكون لها مساهمة ضعيفة من${\displaystyle H'}$وبالتالي، يمكن إدخال الصيغة من الرتبة الصفرية${\displaystyle a_{n}(t)=\delta _{n,i}}$أدخل في المعادلة أعلاه للحصول على التصحيح الأول للسعات${\displaystyle a_{k}(t)}$: $${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {da_{k}(t)}{dt}}=\langle k|H'|i\rangle e^{\mathrm {i} t(E_{k}-E_{i})/\hbar },}$$ ويمكن التعبير عن تكامله على النحو التالي $${\displaystyle \mathrm {i} \hbar a_{k}(t)=\int _{0}^{t}\langle k|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{ki}t'}dt'}$$ مع${\displaystyle \omega _{ki}\equiv (E_{k}-E_{i})/\hbar }$، بالنسبة لحالة يكون فيها i ₍ 0) = 1 ، k (0) = 0 _، الانتقال إلى حالة يكون _فيها k ( t ) .

احتمالية الانتقال من الحالة الابتدائية (الحالة i) إلى الحالة النهائية (الحالة f) تُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle w_{fi}=|a_{f}(t)|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\left|\int _{0}^{t}\langle f|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}dt'\right|^{2}}$$

من المهم دراسة اضطراب دوري بتردد معين${\displaystyle \omega }$بما أنه يمكن إنشاء اضطرابات عشوائية من اضطرابات دورية ذات ترددات مختلفة.${\displaystyle H'(t)}$لا بد أنه من أتباع هيرميت، هذا ما يجب أن نفترضه${\displaystyle H'(t)=Fe^{-\mathrm {i} \omega t}+F^{\dagger }e^{\mathrm {i} \omega t}}$، أين${\displaystyle F}$هو عامل مستقل عن الزمن. الحل لهذه الحالة هو ^{[ 7 ]}$${\displaystyle a_{f}(t)=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}-\langle f|F^{\dagger }|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}+\omega )t}}{\hbar (\omega _{fi}+\omega )}}.}$$ لا يكون هذا التعبير صحيحًا إلا عندما تكون المقامات في التعبير أعلاه غير صفرية، أي بالنسبة لحالة ابتدائية معينة ذات طاقة${\displaystyle E_{i}}$يجب أن تكون طاقة الحالة النهائية بحيث${\displaystyle E_{f}-E_{i}\neq \pm \hbar \omega .}$لا يكفي أن تكون المقامات غير صفرية، بل يجب ألا تكون صغيرة أيضاً، لأن${\displaystyle a_{f}}$من المفترض أن يكون صغيراً.

لنفترض الآن الحالة التي يكون فيها تردد الاضطراب بحيث${\displaystyle E_{k}-E_{n}=\hbar (\omega +\varepsilon )}$أين${\displaystyle \varepsilon }$هي كمية صغيرة. على عكس الحالة السابقة، لا تنطبق جميع الحدود في المجموع على${\displaystyle n}$في المعادلة الدقيقة أعلاه لـ${\displaystyle a_{k}(t)}$الأمر مهم، لكنه يعتمد فقط على${\displaystyle a_{n}(t)}$والعكس صحيح. وبالتالي، بحذف جميع المصطلحات الأخرى، يمكننا كتابة $${\displaystyle i\hbar {\frac {da_{k}}{dt}}=\langle k|F|n\rangle e^{i\varepsilon t}a_{n},\quad i\hbar {\frac {da_{n}}{dt}}=\langle n|F^{\dagger }|k\rangle e^{-i\varepsilon t}a_{k}.}$$

الحلان المستقلان هما $${\displaystyle a_{n}=Ae^{i\alpha _{1}t},\,a_{k}=-A\hbar \alpha _{1}e^{i\alpha _{1}t}/\langle n|F^{\dagger }|k\rangle }$$$${\displaystyle a_{n}=Be^{-i\alpha _{2}t},\,a_{k}=B\hbar \alpha _{2}e^{-i\alpha _{2}t}/\langle n|F^{\dagger }|k\rangle }$$ أين $${\displaystyle \alpha _{1}=-{\frac {1}{2}}\varepsilon +\Omega ,\quad \alpha _{2}={\frac {1}{2}}\varepsilon +\Omega ,\quad \Omega ={\sqrt {{\frac {1}{4}}\varepsilon ^{2}+|\eta |^{2}}},\quad \eta ={\frac {1}{\hbar }}\langle k|F|n\rangle }$$

والثوابت${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$يتم تحديدها بواسطة شرط التطبيع.

إذا كان النظام في${\displaystyle t=0}$موجود في${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$إذا كانت الحالة، فإن احتمال العثور على النظام في${\displaystyle |\psi _{n}\rangle }$الحالة معطاة بواسطة $${\displaystyle w_{kn}={\frac {|\eta |^{2}}{2\Omega ^{2}}}(1-\cos 2\Omega t)}$$ وهي دالة دورية ذات تردد${\displaystyle 2\Omega }$تختلف هذه الوظيفة بين${\displaystyle 0}$و${\displaystyle |\eta |^{2}/\Omega ^{2}}$عند الرنين الدقيق، أي${\displaystyle \varepsilon =0}$وبالتالي، تُختزل الصيغة أعلاه إلى $${\displaystyle w_{kn}={\frac {1}{2}}(1-\cos 2|\eta |t)}$$

والتي تختلف دوريا${\displaystyle 0}$و${\displaystyle 1}$أي أن النظام ينتقل دوريًا من حالة إلى أخرى. ويختلف الوضع إذا كانت الحالات النهائية ضمن الطيف المتصل.

بما أن الطيف المتصل يقع فوق الطيف المتقطع،${\displaystyle E_{f}-E_{i}>0}$ويتضح من القسم السابق أن الطاقات تلعب دوراً رئيسياً.${\displaystyle E_{f}}$يقع بالقرب من طاقة الرنين${\displaystyle E_{i}+\hbar \omega }$أي عندما${\displaystyle \omega _{fi}\approx \omega }$في هذه الحالة، يكفي الاحتفاظ بالحد الأول فقط لـ${\displaystyle a_{f}(t)}$بافتراض أن الاضطرابات يتم تشغيلها من وقت${\displaystyle t=0}$إذن لدينا $${\displaystyle a_{f}(t)=-{\frac {\mathrm {i} }{\hbar }}\int _{0}^{t}\langle f|H'(t')|i\rangle e^{\mathrm {i} \omega _{fi}t'}dt'=-\langle f|F|i\rangle {\frac {e^{\mathrm {i} (\omega _{fi}-\omega )t}-1}{\hbar (\omega _{fi}-\omega )}}}$$ معامل التربيع لـ${\displaystyle a_{f}}$يكون $${\displaystyle |a_{f}|^{2}=4|\langle f|F|i\rangle |^{2}{\frac {\sin ^{2}((\omega _{fi}-\omega )t/2)}{\hbar ^{2}(\omega _{fi}-\omega )^{2}}}}$$

وبالتالي، فإن احتمال الانتقال لكل وحدة زمنية، بالنسبة لقيم t الكبيرة، يُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\frac {dw_{fi}}{dt}}={\frac {d}{dt}}|a_{f}|^{2}={\frac {2\pi }{\hbar }}|\langle f|F|i\rangle |^{2}\delta (E_{f}-E_{i}-\hbar \omega )}$$

لاحظ أن دالة دلتا في التعبير أعلاه تنشأ بسبب الوسيط التالي. تعريف${\displaystyle \Delta =\omega _{fi}-\omega }$المشتق الزمني لـ${\displaystyle \sin ^{2}(\Delta t/2)/\Delta ^{2}}$يكون${\displaystyle \sin(\Delta t)/(2\Delta )}$، والتي تتصرف مثل دالة دلتا عند قيم t الكبيرة (لمزيد من المعلومات، يرجى الاطلاع على دالة Sinc#العلاقة بتوزيع دلتا ديراك ).

ويترتب على ذلك معدل اضمحلال ثابت وفقًا للقاعدة الذهبية. ^{[ 8 ]} وباعتباره ثابتًا، فإنه يُشكل أساس قوانين الاضمحلال الأسي للجسيمات في النشاط الإشعاعي. (مع ذلك، عند فترات زمنية طويلة جدًا، يؤدي النمو المطرد لحدود a _k ( t ) إلى إبطال نظرية الاضطراب من الرتبة الأدنى، والتي تتطلب أن يكون a _k ≪ a _i .)