بندول فوكو

بندول فوكو، أو بندول فوكو، هو جهاز بسيط سُمّي نسبةً إلى الفيزيائي الفرنسي ليون فوكو ، وقد صُمّم كتجربة لإثبات دوران الأرض . عند مراقبة بندول طويل وثقيل مُعلّق من سقف مرتفع فوق منطقة دائرية لفترة طويلة، يبدو أن مستوى تذبذبه يتغير تلقائيًا مع دوران الأرض حول محورها كل 24 ساعة . يكون هذا التأثير في أقصى حالاته عند القطبين ، ويتناقص كلما انخفضت خطوط العرض حتى يختفي تمامًا عند خط استواء الأرض .

قدّم فوكو بندوله عام 1851 في أول تجربة تُقدّم دليلاً بسيطاً ومباشراً على دوران الأرض، وهو ما برهن عليه لاحقاً عام 1852 بتجربة الجيروسكوب . وقد أصبحت بندولات فوكو شائعة في متاحف العلوم والجامعات. ^{[ 1 ]}

استلهم فوكو فكرته من خلال ملاحظة قضيب مرن رفيع على محور مخرطة ، والذي كان يهتز في نفس المستوى على الرغم من دوران الإطار الداعم للمخرطة. ^{[ 2 ]}

أُقيم أول عرض عام لبندول فوكو في فبراير 1851 في خط الزوال بمرصد باريس . وبعد بضعة أسابيع، صنع فوكو بندوله الأكثر شهرة عندما علّق ثقلاً من الرصاص المطلي بالنحاس يزن 28 كيلوغراماً (62 رطلاً) بسلك طوله 67 متراً (220 قدماً) من قبة البانثيون في باريس .  

لأن خط عرض موقعها كان${\displaystyle \phi =\mathrm {48^{\circ }52'N} }$، أكمل مستوى تأرجح البندول دورة كاملة في حوالي${\textstyle {\frac {\mathrm {23h56'} }{\sin \phi }}\approx \mathrm {31.8\,h} \;(\mathrm {31\,h\,50\,min} )}$يدور البندول باتجاه عقارب الساعة بمعدل 11.3 درجة تقريبًا في الساعة. وكان زمن الدورة الصحيح للبندول تقريبًا${\textstyle 2\pi {\sqrt {l/g}}\approx 16.5\,\mathrm {s} }$لذلك، مع كل تذبذب، يدور البندول بمقدار حوالي${\displaystyle 9.05\times 10^{-4}\mathrm {rad} }$. أفاد فوكو أنه لاحظ انحرافًا بمقدار 2.3 ملم على حافة البندول في كل تذبذب، وهو ما يتحقق إذا كانت زاوية تأرجح البندول 2.1 درجة. ^{[ 2 ]}

شرح فوكو نتائجه في ورقة بحثية نُشرت عام 1851 بعنوان " إثبات مادي لحركة دوران الأرض بواسطة البندول" ، في مجلة " Comptes rendus de l'Académie des Sciences" . وكتب أنه عند القطب الشمالي: ^{[ 3 ]}

...تتبع الحركة التذبذبية لكتلة البندول قوسًا من دائرة معروفة المستوى، ويضمن قصور المادة ثبات موقعها في الفضاء. إذا استمرت هذه التذبذبات لفترة معينة، فإن حركة الأرض، التي تستمر في الدوران من الغرب إلى الشرق، ستصبح حساسة مقارنةً بثبات مستوى التذبذب، الذي سيبدو أثره على الأرض وكأنه يتحرك بحركة تتوافق مع الحركة الظاهرية للكرة السماوية؛ وإذا أمكن استمرار التذبذبات لمدة أربع وعشرين ساعة، فإن أثر مستواها سيكمل دورة كاملة حول الإسقاط الرأسي لنقطة التعليق.

تم نقل المجسم الأصلي المستخدم في عام 1851 في البانثيون عام 1855 إلى معهد الفنون والحرف في باريس. وتم تركيب مجسم مؤقت ثانٍ بمناسبة الذكرى الخمسين عام 1902. ^{[ 4 ]}

خلال أعمال ترميم المتحف في تسعينيات القرن الماضي، عُرض البندول الأصلي مؤقتًا في البانثيون (1995)، ثم أُعيد لاحقًا إلى متحف الفنون والحرف قبل إعادة افتتاحه عام 2000. ^{[ 5 ]} في 6 أبريل 2010، انقطع الكابل الذي يُعلق ثقل البندول في متحف الفنون والحرف، مما تسبب في أضرار لا يمكن إصلاحها لثقل البندول ولأرضية المتحف الرخامية. ^{[ 6 ] [ 7 ]} يُعرض ثقل البندول الأصلي، المتضرر الآن، في خزانة عرض منفصلة بجوار عرض البندول الحالي.

^{[ 8 ]} تعمل نسخة طبق الأصل من البندول الأصلي تحت قبة البانثيون في باريس منذ عام 1995.

رسم متحرك لبندول فوكو في نصف الكرة الشمالي، مع تضخيم كبير لمعدل دوران الأرض وسعته. يُظهر الخط الأخضر مسار كرة البندول فوق الأرض (إطار مرجعي دوار)، بينما تتحرك الكرة في المستويات الرأسية المقابلة. يبدو مستوى التأرجح الفعلي وكأنه يدور بالنسبة للأرض: عند الجلوس على الكرة كما لو كانت أرجوحة، تختفي قوة كوريوليس الوهمية: يكون المراقب في إطار مرجعي "دوراني حر". يجب أن يكون السلك أطول ما يمكن - الأطوال الشائعة هي من 12 إلى 30  مترًا (40 إلى 100  قدم). ^{[ 9 ]}

بندول فوكو متحرك، لكن مساره على الأرض لا يتوافق مع مسار كرة تم إطلاقها بدون سرعة ابتدائية.

بندول فوكو عند القطب الشمالي: يتأرجح البندول ضمن مستوى واحد بينما تدور الأرض تحته

يُظهر هذا الرسم المتحرك حركة بندول فوكو عند خط عرض 30° شمالاً. يدور مستوى التذبذب بزاوية -180° خلال يوم واحد، لذا بعد يومين، يعود المستوى إلى وضعه الأصلي.

سواء عند القطب الشمالي الجغرافي أو القطب الجنوبي الجغرافي ، يبقى مستوى تذبذب البندول ثابتًا بالنسبة للكتل البعيدة في الكون بينما تدور الأرض تحته، مستغرقةً يومًا فلكيًا واحدًا لإكمال دورة كاملة. لذا، بالنسبة للأرض، يدور مستوى تذبذب البندول عند القطب الشمالي (عند النظر إليه من الأعلى) دورة كاملة باتجاه عقارب الساعة خلال يوم واحد؛ بينما يدور البندول عند القطب الجنوبي عكس اتجاه عقارب الساعة.

عندما يُعلق بندول فوكو عند خط الاستواء ، يظل مستوى التذبذب ثابتًا بالنسبة للأرض. عند خطوط العرض الأخرى، يتقدم مستوى التذبذب بالنسبة للأرض، ولكن ببطء أكبر مما هو عليه عند القطب؛ السرعة الزاوية، ω (مقاسة بالدرجات في اتجاه عقارب الساعة لكل يوم فلكي)، تتناسب مع جيب خط العرض ، φ :

$${\displaystyle \omega =360^{\circ }\sin \varphi \ /\mathrm {day} ,}$$

حيث تُعرَّف خطوط العرض شمال وجنوب خط الاستواء بأنها موجبة وسالبة على التوالي. يُعرَّف "يوم البندول" بأنه الوقت اللازم لمستوى بندول فوكو المعلق بحرية لإكمال دورة ظاهرية حول الخط الرأسي المحلي. وهو يساوي يومًا نجميًا مقسومًا على جيب خط العرض. ^{[ 10 ] [ 11 ]} على سبيل المثال، يدور بندول فوكو عند خط عرض 30° جنوبًا، كما يراه مراقب من أعلى على سطح الأرض، عكس اتجاه عقارب الساعة 360° في يومين.

باستخدام طول سلك كافٍ، يمكن أن تكون الدائرة الموصوفة واسعة بما يكفي بحيث يمكن رؤية الإزاحة المماسية على طول دائرة القياس بين تذبذبين بالعين المجردة، مما يجعل بندول فوكو تجربة مذهلة: على سبيل المثال، يتحرك بندول فوكو الأصلي في البانثيون بشكل دائري، بسعة بندول تبلغ 6 أمتار، بحوالي 5  ملم في كل دورة.

يتطلب بندول فوكو عناية فائقة عند تركيبه، لأن عدم دقة التركيب قد يتسبب في انحراف إضافي يحجب التأثير الأرضي. أجرى هايك كامرلينغ أونيس (الحائز على جائزة نوبل عام 1913) تجارب دقيقة وطوّر نظرية أكثر شمولاً لبندول فوكو في أطروحته للدكتوراه (1879). لاحظ أن البندول ينتقل من التذبذب الخطي إلى التذبذب الإهليلجي في غضون ساعة. ومن خلال تحليل الاضطراب ، بيّن أن العيوب الهندسية للنظام أو مرونة سلك الدعم قد تتسبب في حدوث خفقان بين نمطين أفقيين من التذبذب. ^{[ 12 ]} كما أن إطلاق البندول الأولي بالغ الأهمية؛ والطريقة التقليدية للقيام بذلك هي استخدام لهب لحرق خيط يثبت ثقل البندول مؤقتًا في موضعه الابتدائي، وبالتالي تجنب الحركة الجانبية غير المرغوب فيها (انظر تفاصيل الإطلاق في الذكرى الخمسين عام 1902 ).

والجدير بالذكر أن انحراف البندول قد لوحظ بالفعل في عام 1661 من قبل فينتشنزو فيفياني ، وهو أحد طلاب غاليليو ، ولكن لا يوجد دليل على أنه ربط التأثير بدوران الأرض؛ بل اعتبره مصدر إزعاج في دراسته يجب التغلب عليه بتعليق الثقل على حبلين بدلاً من حبل واحد.

تُخمد مقاومة الهواء التذبذب، لذا تتضمن بعض بندولات فوكو في المتاحف محركًا كهرومغناطيسيًا أو غيره للحفاظ على تأرجح الثقل؛ بينما يُعاد تشغيل بعضها الآخر بانتظام، وأحيانًا مع حفل إطلاق كعنصر جذب إضافي. إلى جانب مقاومة الهواء (يُستخدم ثقل متناظر ثقيل لتقليل قوى الاحتكاك، وخاصة مقاومة الهواء الناتجة عن ثقل متناظر وانسيابي)، يُقال إن المشكلة الهندسية الرئيسية الأخرى في تصميم بندول فوكو بطول متر واحد في الوقت الحاضر هي ضمان عدم وجود اتجاه مفضل للتأرجح. ^{[ 13 ]}

تتحرك العديد من الأنظمة الفيزيائية بطريقة مشابهة لبندول فوكو. ففي عام 1836، ابتكر عالم الرياضيات الاسكتلندي إدوارد سانغ آلية لحركة البلبل الدوار وشرحها. ^{[ 14 ]} وفي عام 1851، وصف تشارلز ويتستون ^{[ 15 ]} جهازًا يتكون من نابض مهتز مثبت أعلى قرص بحيث يصنع زاوية ثابتة φ مع القرص. يُضرب النابض فيتذبذب في مستوى. وعند تدوير القرص، يتغير مستوى التذبذب تمامًا كما هو الحال في بندول فوكو عند خط العرض φ .

وبالمثل، تخيل عجلة دراجة ثابتة ومتوازنة تمامًا مثبتة على قرص بحيث يصنع محور دورانها زاوية φ مع القرص. عندما يدور القرص دورة كاملة باتجاه عقارب الساعة، لن تعود عجلة الدراجة إلى موضعها الأصلي، بل ستكون قد دارت دورة صافية مقدارها 2π sin φ .

تُلاحظ ظاهرة التبادر الشبيهة بظاهرة فوكو في المذبذبات غير المتناحية ^{[ 16 ]} وفي نظام افتراضي حيث يتم تقييد جسيم عديم الكتلة بالبقاء على مستوى دوار مائل بالنسبة لمحور الدوران. ^{[ 17 ]}

يدور جسيم نسبي في مدار دائري، ^ويتحرك بحركة ترنح مشابهة لحركة مستوى تأرجح بندول فوكو. يمكن اعتبار فضاء السرعة النسبية في زمكان مينكوفسكي بمثابة كرة S³ في فضاء إقليدي رباعي الأبعاد بنصف قطر تخيلي وإحداثي زمني تخيلي. يؤدي النقل المتوازي لمتجهات الاستقطاب على طول هذه الكرة إلى ترنح توماس ^، وهو مماثل لدوران مستوى تأرجح بندول فوكو نتيجة النقل المتوازي على طول كرة S² في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. ^{[ 18 ]}

في الفيزياء، يتحدد تطور هذه الأنظمة بالأطوار الهندسية . ^{[ 19 ] [ 20 ]} أما رياضياً، فيتم فهمها من خلال النقل المتوازي.

تُحلل حركة البندول، مثل بندول فوكو، عادةً بالنسبة إلى إطار مرجعي قصوري ، يُقارب بـ"النجوم الثابتة". ^{[ 21 ]} تُظهر هذه النجوم، نظرًا لبُعدها الشاسع عن الأرض، حركةً ضئيلةً بالنسبة لبعضها البعض على فترات زمنية قصيرة، مما يجعلها معيارًا عمليًا للحسابات الفيزيائية. في حين أن النجوم الثابتة كافية للتحليلات الفيزيائية، فإن مفهوم الإطار المرجعي المطلق يُدخل اعتبارات فلسفية ونظرية.

الفضاء المطلق النيوتوني

• اقترح إسحاق نيوتن وجود "الفضاء المطلق"، وهو إطار مرجعي عالمي ثابت مستقل عن أي أجسام مادية. وفي كتابه " الأصول الرياضية للفلسفة الطبيعية" ، وصف نيوتن الفضاء المطلق بأنه الخلفية التي تحدث عليها الحركة الحقيقية. ^{[ 22 ]}
• تعرض هذا المفهوم لانتقادات من قبل مفكرين لاحقين، مثل إرنست ماخ، الذين جادلوا بأن الحركة يجب أن تُعرَّف فقط بالنسبة للكتل الأخرى في الكون. ^{[ 22 ]}

الخلفية الكونية الميكروية (CMB)

• يُعدّ إشعاع الخلفية الكونية الميكروي، وهو الإشعاع المتبقي من الانفجار العظيم، مرجعًا عالميًا للرصد الكوني. فمن خلال قياس الحركة بالنسبة لهذا الإشعاع، يستطيع العلماء تحديد سرعة الأجرام السماوية، بما فيها الأرض، مقارنةً بحالتها في بدايات الكون. وقد دفع هذا البعض إلى اعتبار إشعاع الخلفية الكونية الميكروي نظيرًا حديثًا لإطار مرجعي مطلق. ^{[ 23 ]}

مبدأ ماخ والكتل البعيدة

• اقترح إرنست ماخ أن القصور الذاتي ينشأ من تفاعل جسم ما مع الكتل البعيدة في الكون. ووفقًا لهذا الرأي، يمكن تحديد إطار مرجعية البندول من خلال توزيع كل المادة في الكون، بدلاً من فضاء مطلق مجرد. ^{[ 22 ]}
• تلعب "الكتل البعيدة في الكون" دورًا حاسمًا في تحديد الإطار المرجعي العطالي، مما يشير إلى أن الحركة الظاهرية للبندول قد تتأثر بالتأثير الجاذبي الجماعي لهذه الكتل. يتوافق هذا المنظور مع مبدأ ماخ، مؤكدًا على الترابط بين الظواهر المحلية والكونية. ^{[ 22 ] [ 23 ]}
• ومع ذلك، لا تزال العلاقة بين مبدأ ماخ والنسبية العامة لأينشتاين غير محسومة. كان أينشتاين يأمل في البداية في دمج أفكار ماخ، لكنه أقر لاحقاً بصعوبات القيام بذلك. ^{[ 24 ]}

النسبية العامة والزمكان

• تشير النسبية العامة إلى أن الزمكان نفسه يمكن أن يكون بمثابة إطار مرجعي. ويمكن فهم حركة البندول على أنها نسبية لانحناء الزمكان، الذي يتأثر بالكتل القريبة والبعيدة. ويتوافق هذا الرأي مع مفهوم الخطوط الجيوديسية في الزمكان المنحني. ^{[ 23 ]}
• يشير تأثير لينس -ثيرينغ ، ^{[ 25 ]} وهو أحد تنبؤات النسبية العامة، إلى أن الأجسام الدوارة الضخمة كالأرض قادرة على "سحب" الزمكان بشكل طفيف، ^{[ 26 ]} مما قد يؤثر على تذبذب البندول. هذا التأثير، على الرغم من أهميته النظرية، ضئيل للغاية حاليًا بحيث لا يمكن قياسه باستخدام بندول فوكو.

لنمذجة بندول فوكو، نعتبر بندولًا طوله L وكتلته m ، يتذبذب بسعات صغيرة. في إطار مرجعي يدور مع الأرض بسرعة زاوية Ω، يجب تضمين قوة كوريوليس . معادلات الحركة في المستوى الأفقي ( x , y ) هي:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x&=2\Omega \sin(\varphi ){\dot {y}},\\{\ddot {y}}+\omega _{0}^{2}y&=-2\Omega \sin(\varphi ){\dot {x}},\end{aligned}}}$

أين:

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{L}}}}$هي التردد الزاوي الطبيعي للبندول،
• ${\displaystyle \varphi }$هو خط العرض،
• ${\displaystyle g}$هو التسارع الناتج عن الجاذبية.

تصف هذه المعادلات التفاضلية المترابطة حركة البندول، مع تضمين تأثير كوريوليس الناتج عن دوران الأرض. ^{[ 27 ]}

توجد العديد من بندولات فوكو في الجامعات ومتاحف العلوم وغيرها حول العالم. ويضم مبنى الجمعية العامة للأمم المتحدة في مقر الأمم المتحدة بمدينة نيويورك بندولًا. ويُزعم أن بندول مركز مؤتمرات أوريغون هو الأكبر، إذ يبلغ طوله حوالي 27 مترًا (89 قدمًا) ، ^{[ 31 ] [ 32 ]} ومع ذلك، توجد بندولات أكبر مذكورة في المقال، مثل بندول برج غاموف في جامعة كولورادو الذي يبلغ طوله 39.3 مترًا (129 قدمًا) . وكانت توجد في السابق بندولات أطول بكثير، مثل بندول كاتدرائية القديس إسحاق في سانت بطرسبرغ ، روسيا ، الذي يبلغ طوله 98 مترًا (322 قدمًا) . ^{[ 33 ] [ 34 ]}      

أُجريت التجربة أيضًا في القطب الجنوبي ، حيث افترض الباحثون أن دوران الأرض سيكون له التأثير الأقصى. ^{[ 35 ] [ 36 ]} وُضع بندول في درج مكون من ستة طوابق في محطة جديدة قيد الإنشاء في محطة أموندسن-سكوت بالقطب الجنوبي . بلغ طول البندول 33 مترًا (108 قدمًا) ووزن ثقله 25 كيلوغرامًا (55 رطلًا) . كان الموقع مثاليًا، إذ لم يكن هناك هواء متحرك قادر على التأثير على حركة البندول. وقد أكد الباحثون أن دورة دوران مستوى التذبذب تبلغ حوالي 24 ساعة.    

• الدوران المطلق – الدوران المستقل عن أي مرجع خارجي 
• قوة كوريوليس – القوة الظاهرية في إطار مرجعي دوار 
• تجربة Eötvös – تجربة فيزيائية 
• المرحلة الهندسية – مرحلة من مراحل الدورة 
• الجيروسكوب – جهاز لقياس أو الحفاظ على الاتجاه 
• الإطار المرجعي العطالي – مفهوم أساسي في الميكانيكا الكلاسيكية 
• سلسلة لاريات - عرض توضيحي علمي 
• التبادر – تغيير دوري في اتجاه محور الدوران 

• أرنولد، السادس ( 1989). الأساليب الرياضية للميكانيكا الكلاسيكية . سبرينغر. ص 123. ISBN  978-0-387-96890-2.
• ماريون، جيري ب.؛ ثورنتون، ستيفن ت. (1995). الديناميكا الكلاسيكية للجسيمات والأنظمة (الطبعة الرابعة  ). بروكس كول. الصفحات 398-401 . ISBN  978-0-03-097302-4.
• بيرسون، أندرس أو. (2005). "تأثير كوريوليس: أربعة قرون من الصراع بين المنطق السليم والرياضيات، الجزء الأول: تاريخ حتى عام 1885" (ملف PDF) . تاريخ الأرصاد الجوية . 2. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 11 أبريل 2014. تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 أبريل 2006 .

• وولف، جو، " اشتقاق لتقدم بندول فوكو ".
• " بندول فوكو "، اشتقاق التبادر في الإحداثيات القطبية.
• " بندول فوكو " بقلم جو وولف، مع مقطع فيلم ورسوم متحركة.
• " بندول فوكو " من تأليف ينس بير كوسكا مع جيف براينت، مشروع عروض وولفرام : نموذج حاسوبي للبندول يسمح بالتلاعب بتردد البندول، وتردد دوران الأرض، وخط العرض، والوقت.
• “ Webcam Kirchhoff-Institut für Physik, Universität Heidelberg أرشفة 2020-09-24 في آلة Wayback .”.
• أكاديمية كاليفورنيا للعلوم، كاليفورنيا. مؤرشف في 25 مايو 2016 في الأرشيف البرتغالي للويب. شرح بندول فوكو، بصيغة سهلة الفهم.
• نموذج بندول فوكو: معرض يتضمن جهازًا يُوضع على سطح الطاولة يُظهر تأثير فوكو في ثوانٍ.
• فوكو، إم إل، برهان مادي على دوران الأرض بواسطة البندول ، معهد فرانكلين، 2000، تم الاطلاع عليه بتاريخ 31-10-2007. ترجمة لورقته البحثية حول بندول فوكو.
• توبين، ويليام. "حياة وعلم ليون فوكو" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 12 سبتمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أغسطس 2018 .
• باولي، روجر (2010). "بندول فوكو" . ستون رمزاً . برادي هاران لجامعة نوتنغهام .
• Pendolo nel Salone بندول فوكو داخل قصر ديلا راجيوني في بادوفا، إيطاليا
• تشيسين، أ.س. (1895). "حول بندول فوكو". المجلة الأمريكية للرياضيات 17 ( 1): 81-88 . doi : 10.2307/2369710 . JSTOR 2369710 . 
• برومويتش، تي جيه آي إيه. (1914). "حول نظرية بندول فوكو، والبندول الجيروسكوبي" . وقائع الجمعية الرياضية بلندن . المجلد 2-13 (1): 222-235 . doi : 10.1112/plms/s2-13.1.222 . تاريخ الاسترجاع: 30 مايو 2025 .
• ماكميلان، ويليام دنكان (1915). " حول بندول فوكو". المجلة الأمريكية للرياضيات 37 ( 1): 95-106 . doi : 10.2307/2370259 . JSTOR 2370259. S2CID 123717776 .  
• نوبل، ويليام ج. (1952). "معالجة مباشرة لبندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء 20 ( 6): 334-336 . Bibcode : 1952AmJPh..20..334N . doi : 10.1119/1.1933230 .
• شولز-دوبوا، إي أو (1970). "تجربة بندول فوكو لكامرلينغ أونيس ونظرية الاضطراب المنحط". المجلة الأمريكية للفيزياء 38 ( 2): 173. Bibcode : 1970AmJPh..38..173S . doi : 10.1119/1.1976270 .
• سومرفيل، دبليو بي (1972). "وصف بندول فوكو". المجلة الفصلية للجمعية الفلكية 13 : 40-62 . رمز Bibcode : 1972QJRAS..13...40S .
• براغينسكي، فلاديمير ب.؛ بولناريف، ألكسندر ج.؛ ثورن، كيب س. (1984). "بندول فوكو عند القطب الجنوبي: اقتراح لتجربة للكشف عن المجال المغناطيسي الجاذبي النسبي العام للأرض" (ملف PDF) . مجلة Physical Review Letters ، 53 (9): 863. Bibcode : 1984PhRvL..53..863B . doi : 10.1103/PhysRevLett.53.863 .
• هارد، جون ب.؛ ميلر، ريموند إي. (1987). "نموذج هندسي بسيط لتصور حركة بندول فوكو". المجلة الأمريكية للفيزياء 55 ( 1): 67. Bibcode : 1987AmJPh..55...67H . doi : 10.1119/1.14972 .
• كرين، إتش. ريتشارد (1995). "ساعة حائط بندول فوكو"". Am. J. Phys . 63 (1): 33– 39. Bibcode : 1995AmJPh..63...33C . doi : 10.1119/1.17765 .
• داس، يو.؛ تالوكدار، ب.؛ شامانا، ج. (2002). "التمثيل التحليلي غير المباشر لبندول فوكو". المجلة التشيكوسلوفاكية للفيزياء . 52 (12): 1321-1327 . Bibcode : 2002CzJPh..52.1321D . doi : 10.1023/A:1021819627736 . S2CID 118592240 . 
• سلفا، هوراسيو ر.؛ بينافيدس، روبين إي؛ بيريز، خوليو سي. كوسكويتا، دييغو J. (2010). “تصميم بندول فوكو”. القس العلوم. أداة . 81 (11): 115102–115102–4. بيب كود : 2010RScI...81k5102S . دوى : 10.1063/1.3494611 . بميد 21133496 . 
• دي إيكازا-هيريرا، م.؛ كاستانو، ف.م. (2011). "لاغرانجية معممة لبندول فوكو البارامتري مع قوى تبديدية". أكتا ميكانيكا . 218 ( 1-2 ): 45-64 . doi : 10.1007/s00707-010-0392-8 .
• داليغا، ك.؛ برزيبورسكي، م.؛ شولويتش، ج. (2015). "بندول فوكو: أداة بسيطة في دراسة الجيوديسيا ورسم الخرائط" . وقائع مؤتمر EDULEARN15 - المؤتمر الدولي السابع للتعليم وتقنيات التعلم الجديدة، برشلونة، إسبانيا . أكاديمية IATED. ISBN 978-84-606-8243-1.
• كارتميل، ماثيو ب.؛ فالر، جيمس إي.؛ لوكربي، نيكولاس أ.؛ هاندوس، إيفا (2020). "حول نمذجة واختبار بندول فوكو على نطاق المختبر كخطوة تمهيدية لتصميم أداة قياس عالية الأداء" . وقائع الجمعية الملكية أ . 476 (2238) 20190680. Bibcode : 2020RSPSA.47690680C . doi : 10.1098 / rspa.2019.0680 . PMC 7428043. PMID 32821234 .