ميكانيكا الكسر

طُوِّرت ميكانيكا الكسر خلال الحرب العالمية الأولى على يد مهندس الطيران الإنجليزي أ. أ. غريفيث - ومن هنا جاء مصطلح " شق غريفيث " - لشرح فشل المواد الهشة. ^{[ 5 ]} وقد استند عمل غريفيث إلى حقيقتين متناقضتين:

• يبلغ الإجهاد اللازم لكسر الزجاج الصلب حوالي 100 ميجا باسكال (15000 رطل لكل بوصة مربعة) .  
• يبلغ الإجهاد النظري اللازم لكسر الروابط الذرية للزجاج حوالي 10000 ميجا باسكال (1500000 رطل لكل بوصة مربعة) .  

كان لا بد من وضع نظرية للتوفيق بين هذه الملاحظات المتضاربة. كما أشارت التجارب التي أجراها غريفيث بنفسه على الألياف الزجاجية إلى أن إجهاد الكسر يزداد مع انخفاض قطر الليف. وبالتالي، فإن قوة الشد أحادية المحور، التي استُخدمت على نطاق واسع للتنبؤ بفشل المواد قبل غريفيث، لا يمكن أن تكون خاصية مستقلة عن العينة. اقترح غريفيث أن انخفاض قوة الكسر الملحوظ في التجارب، بالإضافة إلى اعتماد القوة على الحجم، يعود إلى وجود عيوب مجهرية في المادة الأساسية.

للتحقق من فرضية العيب، أدخل غريفيث عيبًا اصطناعيًا في عينات الزجاج التجريبية. كان العيب الاصطناعي على شكل شق سطحي أكبر بكثير من العيوب الأخرى في العينة. أظهرت التجارب أن حاصل ضرب الجذر التربيعي لطول العيب (${\displaystyle a}$) والإجهاد عند الكسر (${\displaystyle \sigma _{f}}$كانت ثابتة تقريبًا، وهو ما يُعبَّر عنه بالمعادلة التالية:

${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}\approx C}$

يُعدّ تفسير هذه العلاقة باستخدام نظرية المرونة الخطية أمرًا معقدًا. إذ تتنبأ هذه النظرية بأن الإجهاد (وبالتالي الانفعال) عند طرف عيب حاد في مادة مرنة خطية يكون لانهائيًا. ولتجنب هذه المشكلة، طوّر غريفيث منهجًا ديناميكيًا حراريًا لتفسير العلاقة التي لاحظها.

يتطلب نمو الشق، أي امتداد الأسطح على جانبي الشق، زيادة في طاقة السطح . وقد وجد غريفيث تعبيرًا للثابت.${\displaystyle C}$من حيث طاقة سطح الشق، وذلك بحل مسألة المرونة لشق محدود في صفيحة مرنة. باختصار، كان النهج كالتالي:

• احسب طاقة الوضع المخزنة في عينة مثالية تحت تأثير حمل شد أحادي المحور.
• ثبّت الحدود بحيث لا يبذل الحمل المطبق أي شغل، ثم أدخل شقًا في العينة. يُخفف الشق الإجهاد، وبالتالي يُقلل الطاقة المرنة بالقرب من سطحي الشق. من ناحية أخرى، يزيد الشق من إجمالي طاقة سطح العينة.
• احسب التغير في الطاقة الحرة (طاقة السطح - الطاقة المرنة) كدالة لطول الشق. يحدث الفشل عندما تصل الطاقة الحرة إلى ذروتها عند طول شق حرج، وبعد ذلك تبدأ الطاقة الحرة بالتناقص مع ازدياد طول الشق، أي بالتسبب في الكسر. باستخدام هذه الطريقة، وجد غريفيث أن

${\displaystyle C={\sqrt {\cfrac {2E\gamma }{\pi }}}}$

أين${\displaystyle E}$يمثل معامل يونغ للمادة و${\displaystyle \gamma }$تمثل كثافة طاقة السطح للمادة. بافتراض${\displaystyle E=62\ {\text{GPa}}}$و${\displaystyle \gamma =1\ {\text{J/m}}^{2}}$يُظهر توافقًا ممتازًا بين إجهاد الكسر المتوقع من قبل غريفيث والنتائج التجريبية للزجاج.

في الحالة البسيطة لصفيحة مستطيلة رقيقة بها شق عمودي على الحمل، يكون معدل إطلاق الطاقة،${\displaystyle G}$، يصبح:

${\displaystyle G={\frac {\pi \sigma ^{2}a}{E}}\,}$

أين ${\displaystyle \sigma }$هو الإجهاد المطبق،${\displaystyle a}$نصف طول الشق، و${\displaystyle E}$هو معامل يونغ ، والذي يجب قسمته على معامل صلابة الصفيحة في حالة الإجهاد المستوي${\displaystyle (1-\nu ^{2})}$يمكن فهم معدل إطلاق طاقة الإجهاد فيزيائيًا على أنه: المعدل الذي يتم به امتصاص الطاقة عن طريق نمو الشق .

لكن لدينا أيضاً ما يلي:

${\displaystyle G_{c}={\frac {\pi \sigma _{f}^{2}a}{E}}\,}$

لو${\displaystyle G}$≥${\displaystyle G_{c}}$هذا هو المعيار الذي سيبدأ عنده الشق بالانتشار.

بالنسبة للمواد المشوهة بشدة قبل انتشار الشقوق، فإن صياغة ميكانيكا الكسر المرنة الخطية لم تعد قابلة للتطبيق، ومن الضروري وجود نموذج معدل لوصف مجال الإجهاد والإزاحة بالقرب من طرف الشق، كما هو الحال عند كسر المواد اللينة .

تجاهل المجتمع الهندسي إلى حد كبير أعمال غريفيث حتى أوائل الخمسينيات من القرن العشرين. ويبدو أن أسباب ذلك هي: (أ) أن مستوى الطاقة اللازمة لإحداث الكسر في المواد الإنشائية الفعلية أعلى بكثير من طاقة السطح المقابلة، و(ب) أن هناك دائمًا في المواد الإنشائية بعض التشوهات غير المرنة حول جبهة الشق، مما يجعل افتراض الوسط المرن الخطي ذي الإجهادات اللانهائية عند طرف الشق غير واقعي إلى حد كبير. ^{[ 6 ]}

تُقدّم نظرية غريفيث توافقًا ممتازًا مع البيانات التجريبية للمواد الهشة مثل الزجاج. أما بالنسبة للمواد المطيلية مثل الفولاذ ، فعلى الرغم من أن العلاقة${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}=C}$لا يزال هذا صحيحًا، فطاقة السطح ( γ ) التي تتنبأ بها نظرية غريفيث عادةً ما تكون مرتفعة بشكل غير واقعي. وقد أدرك فريق عمل تحت إشراف جي آر إيروين ^{[ 7 ]} في مختبر الأبحاث البحرية الأمريكي (NRL) خلال الحرب العالمية الثانية أن اللدونة تلعب دورًا هامًا في كسر المواد المطيلية.

في المواد المطيلية (وحتى في المواد التي تبدو هشة ^{[ 8 ]} )، تتشكل منطقة لدنة عند طرف الشق. ومع ازدياد الحمل المطبق ، تتسع هذه المنطقة اللدنة حتى ينمو الشق وتفقد المادة المشوهة مرنًا خلف طرفه الحمل. وتؤدي دورة التحميل والتفريغ اللدنة قرب طرف الشق إلى تبديد الطاقة على شكل حرارة . لذا، يجب إضافة حد تبديدي إلى معادلة توازن الطاقة التي وضعها غريفيث للمواد الهشة. من الناحية الفيزيائية، يتطلب نمو الشقوق في المواد المطيلية طاقة إضافية مقارنةً بالمواد الهشة.

كانت استراتيجية إيروين هي تقسيم الطاقة إلى جزأين:

• طاقة الانفعال المرن المخزنة التي تنطلق مع نمو الشق. هذه هي القوة الدافعة الديناميكية الحرارية للكسر.
• الطاقة المبددة، والتي تشمل التبدد اللدن وطاقة السطح (وأي قوى تبديد أخرى قد تكون مؤثرة). توفر الطاقة المبددة المقاومة الديناميكية الحرارية للكسر.

إذن، الطاقة الكلية هي:

${\displaystyle G=2\gamma +G_{p}}$

أين${\displaystyle \gamma }$هي طاقة السطح و${\displaystyle G_{p}}$هو التبديد البلاستيكي (والتبديد من مصادر أخرى) لكل وحدة مساحة من نمو الشقوق.

يمكن كتابة النسخة المعدلة من معيار غريفيث للطاقة على النحو التالي:

${\displaystyle \sigma _{f}{\sqrt {a}}={\sqrt {\cfrac {E~G}{\pi }}}.}$

بالنسبة للمواد الهشة مثل الزجاج، يهيمن مصطلح طاقة السطح و${\displaystyle G\approx 2\gamma =2\,\,{\text{J/m}}^{2}}$بالنسبة للمواد المطيلية مثل الفولاذ، يهيمن مصطلح تبديد اللدونة و${\displaystyle G\approx G_{p}=1000\,\,{\text{J/m}}^{2}}$بالنسبة للبوليمرات القريبة من درجة حرارة التحول الزجاجي ، لدينا قيم متوسطة لـ${\displaystyle G}$بين 2 و 1000${\displaystyle {\text{جول/م}}^{2}}$.

ومن الإنجازات الهامة الأخرى لإيروين وزملائه إيجاد طريقة لحساب كمية الطاقة المتاحة للكسر بدلالة مجالات الإجهاد والإزاحة التقاربية حول جبهة الشق في جسم صلب مرن خطي. ^{[ 7 ]} ويرتبط هذا التعبير التقاربي لمجال الإجهاد في نمط التحميل الأول بمعامل شدة الإجهاد.${\displaystyle K_{I}}$فيما يلي: ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sigma _{ij}=\left({\cfrac {K_{I}}{\sqrt {2\pi r}}}\right)~f_{ij}(\theta )}$

أين${\displaystyle \sigma _{ij}}$هي ضغوط كوشي ،${\displaystyle r}$هي المسافة من طرف الشق،${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بالنسبة لمستوى الشق، و${\displaystyle f_{ij}}$هي دوال تعتمد على هندسة الشق وظروف التحميل. أطلق إيروين على هذه الكمية اسم${\displaystyle K}$عامل شدة الإجهاد. بما أن الكمية${\displaystyle f_{ij}}$بما أن معامل شدة الإجهاد لا بُعدي، فيمكن التعبير عنه بوحدات${\displaystyle {\text{MPa}}{\sqrt {\text{m}}}}$.

استُبدل مصطلح "شدة الإجهاد" بمعدل إطلاق طاقة الانفعال، واستُبدل مصطلح " صلابة الكسر " بطاقة ضعف السطح. ويرتبط كلا المصطلحين ببساطة بمصطلحات الطاقة التي استخدمها غريفيث.

${\displaystyle K_{I}=\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

و

${\displaystyle K_{c}={\begin{cases}{\sqrt {EG_{c}}}&{\text{للإجهاد المستوي}}\\\\{\sqrt {\cfrac {EG_{c}}{1-\nu ^{2}}}}&{\text{للانفعال المستوي}}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle K_{I}}$الوضع${\displaystyle I}$شدة الإجهاد،${\displaystyle K_{c}}$مقاومة الكسر، و${\displaystyle \nu }$هي نسبة بواسون.

يحدث الكسر عندما${\displaystyle K_{I}\geq K_{c}}$أما بالنسبة للحالة الخاصة لتشوه الإجهاد المستوي،${\displaystyle K_{c}}$يصبح${\displaystyle K_{Ic}}$ويُعتبر خاصية مادية.${\displaystyle I}$ينشأ هذا بسبب اختلاف طرق تحميل المادة التي تسمح بانتشار الشقوق . ويشير إلى ما يسمى "النمط".${\displaystyle I}$"التحميل بدلاً من الوضع"${\displaystyle II}$أو${\displaystyle III}$:

التعبير عن${\displaystyle K_{I}}$سيختلف الأمر بالنسبة للأشكال الهندسية الأخرى غير الصفيحة اللانهائية ذات الشق المركزي، كما نوقش في المقالة المتعلقة بمعامل شدة الإجهاد. وبالتالي، من الضروري إدخال معامل تصحيح لا بُعدي .${\displaystyle Y}$وذلك لتوصيف الشكل الهندسي. يُعطى عامل التصحيح هذا، والذي يُشار إليه غالبًا باسم عامل الشكل الهندسي ، بواسطة سلسلة مُحددة تجريبيًا، ويُراعي نوع وشكل الشق أو الثقب. وبالتالي، لدينا:

${\displaystyle K_{I}=Y\sigma {\sqrt {\pi a}}\,}$

أين${\displaystyle Y}$هي دالة لطول الشق وعرض الصفيحة المعطاة، بالنسبة لصفيحة ذات عرض محدود${\displaystyle W}$يحتوي على شق نافذ بطول${\displaystyle 2a}$، بواسطة:

${\displaystyle Y\left({\frac {a}{W}}\right)={\sqrt {\sec \left({\frac {\pi a}{W}}\right)}}\,}$

كان إيروين أول من لاحظ أنه إذا كان حجم المنطقة البلاستيكية المحيطة بالشق صغيرًا مقارنةً بحجم الشق نفسه، فإن الطاقة اللازمة لنمو الشق لن تعتمد بشكل حاسم على حالة الإجهاد (المنطقة البلاستيكية) عند طرف الشق. ^{[ 6 ]} بعبارة أخرى، يمكن استخدام حل مرن بحت لحساب كمية الطاقة المتاحة للكسر.

يمكن بعد ذلك حساب معدل إطلاق الطاقة لنمو الشقوق أو معدل إطلاق طاقة الإجهاد على أنه التغير في طاقة الإجهاد المرن لكل وحدة مساحة من نمو الشقوق، أي

${\displaystyle G:=\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{P}=-\left[{\cfrac {\partial U}{\partial a}}\right]_{u}}$

حيث U هي الطاقة المرنة للنظام و a هو طول الشق. ويكون إما الحمل P أو الإزاحة u ثابتين عند حساب التعبيرات المذكورة أعلاه.

أظهر إيروين أنه بالنسبة للشق من النوع الأول (نمط الفتح)، فإن معدل إطلاق طاقة الانفعال ومعامل شدة الإجهاد يرتبطان بما يلي:

${\displaystyle G=G_{I}={\begin{cases}{\cfrac {K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane stress}}\\{\cfrac {(1-\nu ^{2})K_{I}^{2}}{E}}&{\text{plane strain}}\end{cases}}}$

حيث E هو معامل يونغ ، وν هي نسبة بواسون ، و K _I هو عامل شدة الإجهاد في الوضع الأول. كما أظهر إيروين أن معدل إطلاق طاقة الانفعال لصدع مستوٍ في جسم مرن خطي يمكن التعبير عنه بدلالة عوامل شدة الإجهاد للوضع الأول، والوضع الثاني (وضع الانزلاق)، والوضع الثالث (وضع التمزق) لأكثر ظروف التحميل عمومية.

بعد ذلك، اعتمد إيروين فرضية إضافية مفادها أن حجم وشكل منطقة تبديد الطاقة يظلان ثابتين تقريبًا أثناء الكسر الهش. تشير هذه الفرضية إلى أن الطاقة اللازمة لتكوين سطح كسر موحد هي قيمة ثابتة تعتمد فقط على المادة. أُطلق على هذه الخاصية الجديدة للمادة اسم " صلابة الكسر" ورمز لها بـ G_{_Ic} . واليوم، يُعتبر عامل شدة الإجهاد الحرج K _{_Ic} ، الموجود في حالة الإجهاد المستوي، الخاصية الأساسية في ميكانيكا الكسر المرنة الخطية.

نظريًا، يميل الإجهاد عند طرف الشق، حيث يكون نصف القطر قريبًا من الصفر، إلى اللانهاية. يُعتبر هذا تفردًا إجهاديًا، وهو أمر غير ممكن في التطبيقات العملية. لهذا السبب، في الدراسات العددية في مجال ميكانيكا الكسور، غالبًا ما يكون من المناسب تمثيل الشقوق على أنها شقوق مستديرة الطرف، مع منطقة تركيز إجهاد تعتمد على الهندسة تحل محل التفرد عند طرف الشق. ^{[ 9 ]} في الواقع، وُجد أن تركيز الإجهاد عند طرف الشق داخل المواد الحقيقية له قيمة محدودة، ولكنه أكبر من الإجهاد الاسمي المُطبق على العينة.

مع ذلك، لا بد من وجود آلية أو خاصية ما في المادة تمنع هذا الشق من الانتشار تلقائيًا. ويُفترض أن التشوه اللدن عند طرف الشق يُضعفه فعليًا. يعتمد هذا التشوه بشكل أساسي على الإجهاد المُطبق في الاتجاه المُناسب (في معظم الحالات، يكون هذا هو الاتجاه y لنظام إحداثيات ديكارتية منتظم )، وطول الشق، وهندسة العينة. ^{[ 10 ]} ولتقدير مدى امتداد منطقة التشوه اللدن هذه من طرف الشق، ساوى إيروين بين مقاومة الخضوع للمادة والإجهادات البعيدة في الاتجاه y على طول الشق (الاتجاه x)، ثم حسب نصف القطر الفعال. انطلاقًا من هذه العلاقة، وبافتراض أن الشق مُحمّل بمعامل شدة الإجهاد الحرج، وضع إيروين الصيغة التالية لنصف القطر المثالي لمنطقة التشوه اللدن عند طرف الشق:

${\displaystyle r_{p}={\frac {K_{C}^{2}}{2\pi \sigma _{Y}^{2}}}}$

أظهرت نماذج المواد المثالية أن منطقة اللدونة هذه تتمركز عند طرف الشق. ^{[ 11 ]} تعطي هذه المعادلة نصف القطر المثالي التقريبي لتشوه منطقة اللدونة خارج طرف الشق، وهو أمر مفيد للعديد من علماء الإنشاءات لأنه يعطي تقديرًا جيدًا لكيفية تصرف المادة عند تعرضها للإجهاد. في المعادلة أعلاه، تمثل معلمات عامل شدة الإجهاد ومؤشر متانة المادة.${\displaystyle K_{C}}$، وإجهاد الخضوع،${\displaystyle \sigma _{Y}}$تُعدّ هذه البيانات ذات أهمية بالغة لأنها توضح العديد من الأمور المتعلقة بالمادة وخصائصها، بالإضافة إلى حجم المنطقة البلاستيكية. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle K_{c}}$إذا كانت النسبة عالية، فيمكن استنتاج أن المادة متينة، وإذا كانت${\displaystyle \sigma _{Y}}$إذا كانت قيمة معامل المرونة منخفضة، فهذا يعني أن المادة أكثر مرونة. وتُعد نسبة هذين المعاملين مهمة لنصف قطر المنطقة اللدنة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle \sigma _{Y}}$إذا كانت صغيرة، فإن النسبة التربيعية لـ${\displaystyle K_{C}}$ل${\displaystyle \sigma _{Y}}$تكون قيمة نصف قطر التشوه اللدن كبيرة، مما ينتج عنه نصف قطر أكبر. وهذا يعني أن المادة قادرة على التشوه اللدن، وبالتالي فهي متينة. ^{[ 10 ]} ويمكن استخدام هذا التقدير لحجم منطقة التشوه اللدن خارج طرف الشق لتحليل سلوك المادة بدقة أكبر عند وجود شق.

ينطبق نفس الإجراء الموصوف أعلاه للتحميل الفردي على التحميل الدوري أيضًا. إذا وُجد شق في عينة تخضع لتحميل دوري، فإن العينة ستتشوه لدنًا عند طرف الشق، مما يؤخر نموه. في حالة التحميل الزائد أو تجاوز الحمل، يتغير هذا النموذج قليلًا لاستيعاب الزيادة المفاجئة في الإجهاد عن تلك التي تعرضت لها المادة سابقًا. عند حمل عالٍ بما فيه الكفاية (حمل زائد)، ينمو الشق خارج المنطقة اللدنة التي كانت تحويه، تاركًا وراءه منطقة التشوه اللدن الأصلي. الآن، بافتراض أن إجهاد الحمل الزائد ليس عاليًا بما يكفي لكسر العينة تمامًا، فإن الشق سيخضع لمزيد من التشوه اللدن حول طرف الشق الجديد، مما يوسع منطقة الإجهادات اللدنة المتبقية. هذه العملية تزيد من صلابة المادة وتطيل عمرها لأن المنطقة اللدنة الجديدة أكبر مما ستكون عليه في ظل ظروف الإجهاد المعتادة. هذا يسمح للمادة بتحمل المزيد من دورات التحميل. يمكن توضيح هذه الفكرة بشكل أكبر من خلال الرسم البياني للألمنيوم ذي الشق المركزي الذي يتعرض لأحمال زائدة. ^{[ 12 ]}

لكنّ مشكلةً واجهت باحثي مختبر الأبحاث البحرية (NRL) تكمن في أن المواد البحرية، كالفولاذ المستخدم في بناء السفن، لا تتمتع بمرونة مثالية، بل تخضع لتشوه لدني كبير عند طرف الشق. أحد الافتراضات الأساسية في ميكانيكا الكسر المرنة الخطية لإيروين هو الخضوع على نطاق صغير، أي أن حجم المنطقة اللدنة صغير مقارنةً بطول الشق. مع ذلك، يُعدّ هذا الافتراض مُقيِّدًا للغاية لأنواع معينة من الفشل في الفولاذ الإنشائي، على الرغم من أن هذا النوع من الفولاذ قد يكون عرضةً للكسر الهش، الأمر الذي أدّى إلى عدد من حالات الفشل الكارثية.

تُعد ميكانيكا الكسر المرنة الخطية ذات فائدة عملية محدودة للفولاذ الإنشائي، ويمكن أن يكون اختبار صلابة الكسر مكلفًا.

تاريخيًا، كان أول معيار لتحديد مقاومة الكسر في المنطقة المرنة اللدنة هو إزاحة فتح طرف الشق (CTOD) أو "الفتح عند قمة الشق". وقد حدد ويلز هذا المعيار خلال دراساته على الفولاذ الإنشائي، الذي لم يكن من الممكن وصفه باستخدام نموذج ميكانيكا الكسر المرن الخطي نظرًا لمقاومته العالية. لاحظ ويلز أنه قبل حدوث الكسر، كانت جدران الشق تتفكك، وأن طرف الشق، بعد الكسر، يتراوح شكله بين الحاد والمستدير نتيجة التشوه اللدن. بالإضافة إلى ذلك، كان استدارة طرف الشق أكثر وضوحًا في أنواع الفولاذ ذات المقاومة العالية.

توجد عدة تعريفات بديلة لـ CTOD. في التعريفين الأكثر شيوعًا، يُعرَّف CTOD بأنه الإزاحة عند طرف الشق الأصلي وعند نقطة التقاطع بزاوية 90 درجة. وقد اقترح رايس التعريف الأخير، وهو شائع الاستخدام لاستنتاج CTOD في نماذج العناصر المحدودة. تجدر الإشارة إلى أن هذين التعريفين متكافئان إذا كان طرف الشق ينحني على شكل نصف دائرة.

أُجريت معظم القياسات المخبرية لـ CTOD على عينات ذات شقوق حافية مُعرَّضة لاختبار الانحناء ثلاثي النقاط. استخدمت التجارب المبكرة مقياسًا مسطحًا على شكل مجداف يُدخَل في الشق؛ ومع اتساع الشق، يدور المقياس، وتُرسَل إشارة إلكترونية إلى جهاز رسم بياني ثلاثي الأبعاد. إلا أن هذه الطريقة كانت غير دقيقة، لصعوبة الوصول إلى طرف الشق باستخدام المقياس. أما اليوم، فيُقاس الإزاحة V عند فتحة الشق، ويُستدل على CTOD بافتراض أن نصفي العينة صلبان ويدوران حول نقطة ارتكاز (طرف الشق).

كانت منحنى مقاومة امتداد الشقوق لإيروين ، أو منحنى مقاومة نمو الشقوق، أو منحنى R، من أوائل المحاولات في مجال ميكانيكا الكسر المرن اللدن . يُقر هذا المنحنى بأن مقاومة الكسر تزداد مع ازدياد حجم الشق في المواد المرنة اللدنة. يُمثل منحنى R رسمًا بيانيًا لمعدل تبديد الطاقة الكلي كدالة لحجم الشق، ويمكن استخدامه لدراسة عمليات نمو الشقوق البطيء المستقر والكسر غير المستقر. مع ذلك، لم يُستخدم منحنى R على نطاق واسع في التطبيقات حتى أوائل سبعينيات القرن العشرين. ويبدو أن السبب الرئيسي هو اعتماد منحنى R على هندسة العينة، وصعوبة حساب قوة دفع الشق. ^{[ 6 ]}

في منتصف ستينيات القرن الماضي، طوّر جيمس ر. رايس (الذي كان يعمل آنذاك في جامعة براون ) وجي بي تشيريبانوف، بشكل مستقل، مقياسًا جديدًا للمتانة لوصف الحالة التي يكون فيها تشوه طرف الشق كافيًا بحيث لا يعود الجزء خاضعًا لتقريب المرونة الخطية. يُطلق على تحليل رايس، الذي يفترض تشوهًا مرنًا غير خطي (أو تشوهًا لدنيًا وفقًا لنظرية التشوه الرتيب ) أمام طرف الشق، اسم التكامل J. ^{[ 13 ]} يقتصر هذا التحليل على الحالات التي لا يمتد فيها التشوه اللدن عند طرف الشق إلى الحافة الأبعد للجزء المُحمّل. كما يتطلب أن يكون السلوك المرن غير الخطي المفترض للمادة تقريبًا معقولًا من حيث الشكل والمقدار لاستجابة المادة الحقيقية للحمل. يُرمز إلى معامل الفشل المرن اللدن بالرمز J _Ic ، ويتم تحويله عادةً إلى K _Ic باستخدام المعادلة أدناه. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن نهج التكامل J يختزل إلى نظرية غريفيث للسلوك المرن الخطي.

التعريف الرياضي للتكامل J هو كما يلي:

${\displaystyle J=\int _{\Gamma }(w\,dy-T_{i}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x}}\,ds)\quad {\text{with}}\quad w=\int _{0}^{\varepsilon _{ij}}\sigma _{ij}\,d\varepsilon _{ij}}$

أين

${\displaystyle \Gamma }$هو مسار عشوائي باتجاه عقارب الساعة حول قمة الشق،

${\displaystyle w}$هي كثافة طاقة الانفعال،

${\displaystyle T_{i}}$هي مكونات متجهات الجر،

${\displaystyle u_{i}}$هي مكونات متجهات الإزاحة،

${\displaystyle ds}$يمثل طولاً متزايداً على طول المسار${\displaystyle \Gamma }$، و

${\displaystyle \sigma _{ij}}$و${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$هي موترات الإجهاد والانفعال.

منذ أن اعتاد المهندسون على استخدام K _Ic لتوصيف مقاومة الكسر، تم استخدام علاقة لتقليل J _Ic إليه:

${\displaystyle K_{Ic}={\sqrt {E^{*}J_{Ic}}}\,}$أين${\displaystyle E^{*}=E}$للإجهاد المستوي و${\displaystyle E^{*}={\frac {E}{1-\nu ^{2}}}}$للإجهاد المستوي.

عندما تتعرض منطقة كبيرة حول طرف الشق لتشوه لدن، يمكن استخدام طرق أخرى لتحديد إمكانية امتداد الشق واتجاه نموه وتفرعه. ومن التقنيات البسيطة التي يسهل دمجها في الحسابات العددية طريقة نموذج المنطقة المتماسكة ، والتي تستند إلى مفاهيم اقترحها بارينبلات ^{[ 14 ]} ودوغديل ^{[ 15 ]} بشكل مستقل في أوائل الستينيات. وقد ناقش ويليس العلاقة بين نموذجي دوغديل-بارينبلات ونظرية غريفيث لأول مرة عام 1967 ^{[ 16 ].} وأظهر رايس تكافؤ الطريقتين في سياق الكسر الهش عام 1968 ^{[ 13 ].}

لنفترض أن للمادة قوة خضوع${\displaystyle \sigma _{Y}}$وصلابة الكسر في الوضع الأول ${\displaystyle K_{Ic}}$استنادًا إلى ميكانيكا الكسر، ستفشل المادة عند الإجهاد${\displaystyle \sigma _{\text{fail}}=K_{Ic}/{\sqrt {\pi a}}}$بناءً على اللدونة، ستخضع المادة للتشوه عندما${\displaystyle \sigma _{fail}=\sigma _{Y}}$تتقاطع هذه المنحنيات عندما${\displaystyle a=K_{Ic}^{2}/\pi \sigma _{Y}^{2}}$هذه القيمة لـ${\displaystyle a}$يُطلق عليه حجم عيب الانتقال${\displaystyle a_{t}}$ويعتمد ذلك على خصائص المواد المستخدمة في بناء الهيكل. عندما${\displaystyle a<a_{t}}$يخضع الفشل لظاهرة الخضوع اللدن، وعندما${\displaystyle a>a_{t}}$يخضع الفشل لقوانين ميكانيكا الكسر. قيمة${\displaystyle a_{t}}$يبلغ متوسط ​​العيب في السبائك الهندسية 100 مم، بينما يبلغ 0.001 مم  في السيراميك . بافتراض أن عمليات التصنيع قد تُنتج عيوبًا في حدود الميكرومترات ، يتضح أن السيراميك أكثر عرضة للكسر، بينما تفشل السبائك الهندسية بالتشوه اللدن.