قائمة التحويلات المتعلقة بفورييه

هذه قائمة بالتحويلات الخطية للدوال المتعلقة بتحليل فورييه . تُحوّل هذه التحويلات الدالة إلى مجموعة من معاملات دوال الأساس ، حيث تكون دوال الأساس جيبية، وبالتالي فهي متمركزة بقوة في طيف التردد . (صُممت هذه التحويلات عمومًا لتكون قابلة للعكس). في حالة تحويل فورييه، تُقابل كل دالة أساس مُركّبة تردد واحدة .

تشمل التحويلات المتعلقة بفورييه، عند تطبيقها على الدوال ذات الوسائط المتصلة، ما يلي:

• تحويل لابلاس ثنائي الجانب
• تحويل ميلين ، وهو تحويل تكاملي آخر وثيق الصلة
• تحويل لابلاس : يمكن اعتبار تحويل فورييه حالة خاصة من المحور التخيلي لتحويل لابلاس الثنائي
• تحويل فورييه ، مع حالات خاصة :
  • متسلسلة فورييه
    • عندما تكون دالة/موجة الإدخال دورية، يكون ناتج تحويل فورييه دالة ديراك مشطية ، مُعدَّلة بتسلسل منفصل من معاملات ذات قيم محدودة، وهي في الغالب معاملات مركبة. تُسمى هذه المعاملات بمعاملات متسلسلة فورييه . يشير مصطلح متسلسلة فورييه في الواقع إلى تحويل فورييه العكسي، وهو عبارة عن مجموع موجات جيبية بترددات منفصلة، ​​مُرجَّحة بمعاملات متسلسلة فورييه.
    • عندما يكون للجزء غير الصفري من دالة الإدخال مدة زمنية محدودة، يكون تحويل فورييه متصلاً وذو قيم محدودة. ولكن مجموعة فرعية منفصلة من قيمه تكفي لإعادة بناء/تمثيل الجزء الذي تم تحليله. ويمكن الحصول على المجموعة المنفصلة نفسها بمعاملة مدة المقطع كدورة واحدة لدالة دورية وحساب معاملات متسلسلة فورييه.
  • تحويلات الجيب وجيب التمام :
    • عندما يكون للدالة المدخلة تناظر فردي أو زوجي حول نقطة الأصل، فإن تحويل فورييه يختزل إلى تحويل جيبي أو تحويل جيب تمام، على التوالي. ولأن الدوال يمكن تحليلها بشكل فريد إلى دالة فردية ودالة زوجية ، فإنه يمكن جمع تحويلي الجيب وجيب التمام لكل منهما للتعبير عن الدالة.
    • يمكن التعبير عن تحويل فورييه على أنه تحويل جيب التمام ناقص${\displaystyle {\sqrt {\text{-1}}}}$مضروبًا في تحويل الجيب.
• هارتلي يتحول
• تحويل فورييه قصير المدى (أو تحويل فورييه قصير المدى) (STFT)
  • تحويل فورييه قصير المدى باستخدام قناع مستطيل
• تحوّل تشيربليت
• تحويل فورييه الجزئي (FRFT)
• تحويل هانكل : مرتبط بتحويل فورييه للدوال الشعاعية.
• تحويل فورييه-بروس-ياغولنيتزر
• التحويل الكنسي الخطي

للاستخدام على أجهزة الكمبيوتر ، ونظرية الأعداد والجبر، غالبًا ما تكون الوسائط المنفصلة (مثل دوال سلسلة من العينات المنفصلة) أكثر ملاءمة، ويتم التعامل معها بواسطة التحويلات (على غرار الحالات المستمرة المذكورة أعلاه):

• تحويل فورييه المتقطع (DTFT) : يُكافئ تحويل فورييه لدالة "متصلة" يتم إنشاؤها من دالة الإدخال المتقطعة باستخدام قيم العينات لتعديل مشط ديراك . عندما تُستخلص قيم العينات من خلال أخذ عينات من دالة على خط الأعداد الحقيقية، ƒ( x )، فإن تحويل فورييه المتقطع يُكافئ مجموعًا دوريًا لتحويل فورييه للدالة ƒ . يكون خرج تحويل فورييه المتقطع دوريًا دائمًا . من منظور آخر، يُمكن اعتبار تحويل فورييه المتقطع تحويلًا إلى مجال تردد محدود (أو نهائي) ، بطول دورة واحدة.
  • التحويل المنفصل لفورييه (DFT) :
    • عندما تكون سلسلة الإدخال دورية، يكون خرج تحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) عبارة عن دالة ديراك مشطية ، مُعدَّلة بمعاملات متسلسلة فورييه ^{[ 1 ]} التي يمكن حسابها كتحويل فورييه منفصل لدورة واحدة من سلسلة الإدخال. عدد القيم المنفصلة في دورة واحدة من تحويل فورييه المنفصل هو نفسه في دورة واحدة من سلسلة الإدخال.
    • عندما يكون للجزء غير الصفري من سلسلة الإدخال مدة زمنية محدودة، يكون تحويل فورييه المنفصل (DTFT) متصلاً وذو قيم محدودة. ولكن مجموعة فرعية منفصلة من قيمه تكفي لإعادة بناء/تمثيل الجزء الذي تم تحليله. ويمكن الحصول على المجموعة المنفصلة نفسها بمعاملة مدة المقطع كدورة واحدة لدالة دورية وحساب تحويل فورييه المنفصل (DFT).
  • تحويلات الجيب وجيب التمام المنفصلة : عندما يكون لتسلسل الإدخال تناظر فردي أو زوجي حول الأصل، فإن DTFT يختزل إلى تحويل جيب منفصل (DST) أو تحويل جيب تمام منفصل (DCT).
    • سلسلة فورييه المنفصلة التراجعية ، حيث يتم تحديد الفترة بواسطة البيانات بدلاً من تحديدها مسبقًا.
  • تحويلات تشيبيشيف المنفصلة (على شبكة "الجذور" وشبكة "القيم القصوى" لكثيرات حدود تشيبيشيف من النوع الأول). يُعد هذا التحويل ذا أهمية بالغة في مجال الطرق الطيفية لحل المعادلات التفاضلية، إذ يُمكن استخدامه للانتقال بسرعة وكفاءة من قيم نقاط الشبكة إلى معاملات متسلسلة تشيبيشيف.
• تحويلات DFT المعممة (GDFT)، وهي تعميم لتحويلات DFT وتحويلات المعامل الثابت حيث يمكن أن تكون دوال الطور خطية ذات ميول صحيحة وحقيقية، أو حتى طور غير خطي مما يوفر مرونة للتصميمات المثلى لمختلف المقاييس، على سبيل المثال الارتباطات الذاتية والارتباطات المتبادلة.
• يُعدّ تحويل فورييه في الفضاء المنفصل (DSFT) تعميمًا لتحويل فورييه المنفصل (DTFT) من الإشارات أحادية البعد إلى الإشارات ثنائية البعد. ويُطلق عليه اسم "الفضاء المنفصل" بدلًا من "الزمن المنفصل" لأنّ التطبيق الأكثر شيوعًا له هو في مجال التصوير ومعالجة الصور، حيث تكون وسائط دالة الإدخال عبارة عن عينات متساوية التباعد من الإحداثيات المكانية.${\displaystyle (x,y)}$يكون ناتج DSFT دوريًا في كلا المتغيرين.
• تحويل Z ، وهو تعميم لتحويل فورييه المنفصل المتقطع (DTFT) ليشمل المستوى المركب بأكمله.
• تحويل جيب التمام المنفصل المعدل (MDCT)
• تحويل هارتلي المنفصل (DHT)
• وكذلك تحويل فورييه قصير المدى المتقطع (انظر أعلاه).
• تحويل هادامارد ( دالة والش ).
• تحويل فورييه على المجموعات المنتهية .
• تحويل فورييه المنفصل (عام) .

يُسهّل وجود خوارزميات فعّالة تعتمد على تحويل فورييه السريع (FFT) استخدام جميع هذه التحويلات بشكل كبير. وتُعدّ نظرية نايكويست-شانون لأخذ العينات أساسية لفهم مخرجات هذه التحويلات المنفصلة.

• التحويل التكاملي
• تحويل المويجات
• مطيافية تحويل فورييه
• التحليل التوافقي
• قائمة التحويلات
• قائمة العمليات الحسابية
• الطيف الثنائي

• أ. د. بوليانين وأ. ف. مانجيروف، دليل المعادلات التكاملية ، مطبعة سي آر سي، بوكا راتون، 1998. رقم ISBN 0-8493-2876-4
• جداول التحويلات التكاملية في EqWorld: عالم المعادلات الرياضية.
• AN Akansu و H. Agiman-Tosun، " تحويل فورييه المنفصل المعمم مع طور غير خطي " ، معاملات IEEE لمعالجة الإشارات ، المجلد 58، العدد 9، الصفحات  4547-4556، سبتمبر 2010.