رقم فرود

لجعل المعادلات بلا أبعاد، يجب تعريف طول مميز r₀ وسرعة مميزة u₀. ينبغي اختيار هذين المتغيرين بحيث تكون جميع المتغيرات اللابعدية من الرتبة الأولى. وبذلك نحصل على المتغيرات _{اللابعدية} التالية _:$${\displaystyle \rho ^{*}\equiv {\frac {\rho }{\rho _{0}}},\quad u^{*}\equiv {\frac {u}{u_{0}}},\quad r^{*}\equiv {\frac {r}{r_{0}}},\quad t^{*}\equiv {\frac {u_{0}}{r_{0}}}t,\quad \nabla ^{*}\equiv r_{0}\nabla ,\quad \mathbf {g} ^{*}\equiv {\frac {\mathbf {g} }{g_{0}}},\quad {\boldsymbol {\sigma }}^{*}\equiv {\frac {\boldsymbol {\sigma }}{p_{0}}},}$$

استبدال هذه العلاقات العكسية في معادلات زخم أويلر، وتعريف عدد فرود: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u_{0}}{\sqrt {g_{0}r_{0}}}},}$$ ورقم أويلر : $${\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {p_{0}}{\rho _{0}u_{0}^{2}}},}$$ تم التعبير عن المعادلات أخيرًا (مع المشتقة المادية ، والآن مع حذف المؤشرات):

تُسمى المعادلات من نوع كوشي في حد فرود العالي Fr → ∞ (الموافق لحقل خارجي مهمل) بالمعادلات الحرة . من ناحية أخرى، في حد أويلر المنخفض Eu → 0 (الموافق لإجهاد مهمل)، تصبح معادلة زخم كوشي العامة معادلة برجر غير متجانسة (هنا نُوضح المشتقة المادية ).

هذه معادلة انتقالية نقية غير متجانسة ، بقدر ما أن معادلة ستوكس هي معادلة انتشار نقية .

معادلة زخم أويلر هي معادلة زخم كوشي، حيث يمثل قانون باسكال العلاقة التكوينية للإجهاد: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} }$$ في شكل لاغرانج غير الأبعاد هو: $${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$

معادلات أويلر الحرة محافظة. لذا فإن حالة أعداد فرود العالية (المجال الخارجي المنخفض) جديرة بالملاحظة ويمكن دراستها باستخدام نظرية الاضطراب .

معادلة نافيير-ستوكس للزخم غير القابل للانضغاط هي معادلة كوشي للزخم مع قانون باسكال وقانون ستوكس كعلاقات تكوينية للإجهاد: $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)}$$ في شكل الحمل الحراري غير البعدي يكون: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle {\frac {D\mathbf {u} }{Dt}}+\mathrm {Eu} {\frac {\nabla p}{\rho }}={\frac {1}{\mathrm {Re} }}\nabla ^{2}u+{\frac {1}{\mathrm {Fr} ^{2}}}{\hat {g}}}$$ حيث Re هو عدد رينولدز . معادلات نافيير-ستوكس الحرة هي معادلات تبديدية (غير محافظة).

في التطبيقات الهيدروديناميكية البحرية، يُشار عادةً إلى رقم فرود بالرمز Fn ويتم تعريفه على النحو التالي: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fn} _{L}={\frac {u}{\sqrt {gL}}},}$$ حيث تمثل u سرعة التدفق النسبية بين البحر والسفينة، و g تسارع الجاذبية الأرضية ، و L طول السفينة عند مستوى خط الماء، أو L _{_wl} في بعض الرموز. وهي معلمة مهمة فيما يتعلق بسحب السفينة ، أو مقاومتها، وخاصة مقاومة الأمواج .

في حالة القوارب ذات السطح المستوي، حيث يكون طول خط الماء معتمدًا جدًا على السرعة بحيث لا يكون ذا معنى، فإن رقم فرود يُعرَّف على أفضل وجه بأنه رقم فرود للإزاحة ، ويُؤخذ الطول المرجعي على أنه الجذر التكعيبي للإزاحة الحجمية للهيكل: $${\displaystyle \mathrm {Fn} _{V}={\frac {u}{\sqrt {g{\sqrt[{3}]{V}}}}}.}$$

بالنسبة للأمواج الضحلة، مثل التسونامي والقفزات الهيدروليكية ، فإن السرعة المميزة U هي متوسط ​​سرعة التدفق، محسوبة على المقطع العرضي العمودي على اتجاه التدفق. سرعة الموجة، التي تسمى السرعة c ، تساوي الجذر التربيعي لتسارع الجاذبية الأرضية g ، مضروبًا في مساحة المقطع العرضي A ، مقسومًا على عرض السطح الحر B.$${\displaystyle c={\sqrt {g{\frac {A}{B}}}},}$$ إذن، رقم فرود في المياه الضحلة هو: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {g{\dfrac {A}{B}}}}}.}$$ بالنسبة للمقاطع العرضية المستطيلة ذات العمق المنتظم d ، يمكن تبسيط رقم فرود إلى: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {U}{\sqrt {gd}}}.}$$ عندما تكون قيمة Fr أقل من 1، يُطلق على التدفق اسم التدفق دون الحرج، وعندما تكون قيمة Fr أكبر من 1 ، يُطلق عليه اسم التدفق فوق الحرج . وعندما تكون قيمة Fr قريبة من 1، يُطلق على التدفق اسم التدفق الحرج .

عند دراسة تأثيرات الرياح على المنشآت الحساسة ديناميكيًا، كالجسور المعلقة، قد يكون من الضروري محاكاة التأثير المشترك لكتلة المنشأة المهتزة مع قوة الرياح المتذبذبة. في هذه الحالات، يجب مراعاة رقم فرود. وبالمثل، عند محاكاة أعمدة الدخان الساخن المصاحبة للرياح الطبيعية، يكون تعديل رقم فرود ضروريًا للحفاظ على التوازن الصحيح بين قوى الطفو وزخم الرياح.

كما تم تطبيق رقم فرود في علم القياسات لدراسة حركة الحيوانات البرية، ^{[ 9 ]} بما في ذلك الظباء ^{[ 10 ]} والديناصورات. ^{[ 11 ]}

يُعدّ رقم فرود في هندسة الأفران الدوارة مُعاملاً يُحدد التوازن بين قوى الطرد المركزي الناتجة عن دوران الفرن وقوى الجاذبية المؤثرة على مادة قاع الفرن. ويُعرّف على النحو التالي: $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\أوميغا ^{2}{R}_{i}}{g}}}$$ حيث ω هي السرعة الزاوية للفرن (بالراديان/ثانية)، وR _{_i} هو نصف قطر الفرن الداخلي، وg هو تسارع الجاذبية الأرضية. يُستخدم هذا المقياس لوصف نظام حركة الطبقة الحبيبية، أي ما إذا كانت المواد الصلبة تنزلق، أو تتدحرج، أو تتساقط، أو تتشكل شلالات، أو تُطرد مركزيًا إلى الغلاف. تتوافق أرقام فرود المنخفضة (عادةً Fr < 10^{^-4} ) مع نظام انزلاق أو انهيار مع اختلاط ضئيل جدًا للطبقة الصلبة.

نظرًا لأن حركة الجسيمات تتحكم في عملية الخلط، وانتقال الحرارة والكتلة، بالإضافة إلى زمن بقاء الجسيمات في الفرن، فإن رقم فرود يُعدّ معيارًا أساسيًا لتحديد حجم الأفران الدوارة. ويُشير تشابه أرقام فرود إلى مؤشر أولي جيد على تشابه سلوك التدفق وتكوين طبقة المواد في الأفران الدوارة المستخدمة في المختبرات، والتجارب، والاستخدامات الصناعية.

في دراسة الخزانات المُحَرَّكة، يتحكم عدد فرود في تكوين الدوامات السطحية. وبما أن سرعة طرف المروحة هي ωr ( حركة دائرية )، حيث ω هو تردد المروحة (عادةً ما يُقاس بالدورة في الدقيقة ) و r هو نصف قطر المروحة (في الهندسة، يُستخدم القطر بشكل أكثر شيوعًا)، فإن عدد فرود يأخذ الشكل التالي: $${\displaystyle \mathrm {Fr} =\omega {\sqrt {\frac {r}{g}}}.}$$ يُستخدم رقم فرود أيضاً في خلاطات المساحيق. فهو يُستخدم لتحديد نظام الخلط الذي يعمل فيه الخلاط. إذا كان Fr<1، فإن الجزيئات تُحرّك فقط، أما إذا كان Fr>1، فإن قوى الطرد المركزي المؤثرة على المسحوق تتغلب على الجاذبية، ويصبح سطح الجزيئات سائلاً، على الأقل في جزء من الخلاط، مما يُحسّن عملية الخلط ^{[ 13 ] .}

عند استخدامها في سياق تقريب بوسينسك، يُعرَّف عدد فرود الكثافي على النحو التالي:$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g'h}}}}$$ حيث g ′ هي الجاذبية المختزلة: $${\displaystyle g'=g{\frac {\rho _{1}-\rho _{2}}{\rho _{1}}}}$$

يُفضّل عادةً استخدام رقم فرود الكثافي من قِبل مصممي النماذج الذين يرغبون في تبسيط سرعة التيار مقارنةً برقم ريتشاردسون ، الذي يُستخدم بكثرة عند دراسة طبقات القص المتدرجة. على سبيل المثال، تتحرك الحافة الأمامية لتيار الجاذبية برقم فرود أمامي يقارب الواحد.

يمكن استخدام رقم فرود لدراسة اتجاهات أنماط مشية الحيوانات. في تحليلات ديناميكيات الحركة على الأرجل، غالبًا ما يُنمذج الطرف السائر على أنه بندول مقلوب ، حيث يمر مركز الكتلة عبر قوس دائري مركزه القدم. ^{[ 14 ]} رقم فرود هو نسبة القوة المركزية حول مركز الحركة، أي القدم، إلى وزن الحيوان السائر. $${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {\text{centripetal force}}{\text{gravitational force}}}={\frac {\;{\frac {mv^{2}}{l}}\;}{mg}}={\frac {v^{2}}{gl}}}$$ حيث m هي الكتلة، وl هي الطول المميز، وg هي تسارع الجاذبية الأرضية ، و v هي السرعة . يمكن اختيار الطول المميز l بما يتناسب مع الدراسة قيد البحث. على سبيل المثال، استخدمت بعض الدراسات المسافة الرأسية لمفصل الورك من الأرض، ^{[ 15 ]} بينما استخدمت دراسات أخرى طول الساق الكلي. ^{[ 14 ] [ 16 ]}

يمكن أيضًا حساب رقم فرود من تردد الخطوة f على النحو التالي: ^{[ 15 ]}$${\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {v^{2}}{gl}}={\frac {(lf)^{2}}{gl}}={\frac {lf^{2}}{g}}.}$$

إذا استُخدم طول الساق الكلي كطول مميز، فإن السرعة القصوى النظرية للمشي لها رقم فرود يساوي 1.0، إذ أن أي قيمة أعلى من ذلك ستؤدي إلى انطلاق القدم وعدم ملامستها للأرض. وتحدث سرعة الانتقال النموذجية من المشي على قدمين إلى الجري عند رقم فرود ≈ 0.5 . ^{[ 17 ]} وجد آر إم ألكسندر أن الحيوانات ذات الأحجام والكتل المختلفة التي تسير بسرعات مختلفة، ولكن بنفس رقم فرود، تُظهر باستمرار مشيات متشابهة. ووجدت هذه الدراسة أن الحيوانات عادةً ما تنتقل من المشي المتثاقل إلى مشية جري متناظرة (مثل الهرولة أو الخطو) عند رقم فرود يقارب 1.0. ولوحظ تفضيل للمشيات غير المتناظرة (مثل العدو، والوثب المستعرض، والوثب الدوراني، والقفز، أو القفز السريع) عند أرقام فرود بين 2.0 و3.0. ^{[ 15 ]}