مخطط المجموعة الأساسية

يترك${\displaystyle S}$أن يكون مخطط ديديكيند (والذي يمكن أن يكون طيف مجال ما) و${\displaystyle f:X\to S}$تشاكل مسطح أمين ، محليًا من نوع محدود. افترض${\displaystyle f}$يحتوي على قسم${\displaystyle x\in X(S)}$نقول ذلك${\displaystyle X}$يحتوي على مخطط المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$إذا وُجدت مجموعة محدودة ومسطحة${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$- تورسور${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$، مع قسم${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$بحيث يكون لأي عدد محدود${\displaystyle G}$-torsor${\displaystyle Y\to X}$مع قسم${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$يوجد شكل فريد من أشكال التورسور${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$إرسال${\displaystyle {\hat {x}}}$ل${\displaystyle y}$[ ^{2 ] [ 4 ]​}

توجد اليوم عدة نتائج تتعلق بوجود مخطط المجموعة الأساسية لمخطط ما${\displaystyle X}$مُعرَّف على حقل${\displaystyle k}$يقدم نوري أول نظرية وجود عندما${\displaystyle k}$مثالي و${\displaystyle X\to {\text{Spec}}(k)}$هو تشاكل مناسب للمخططات مع${\displaystyle X}$مخطط مُختزل ومتصل. بافتراض وجود قسم${\displaystyle x:{\text{Spec}}(k)\to X}$ثم مخطط المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$ل${\displaystyle X}$ في${\displaystyle x}$يتم بناؤها كمخطط مجموعة أفينية مرتبط بشكل طبيعي بفئة تاناكيان المحايدة (على${\displaystyle k}$) من حزم المتجهات المحدودة أساسًا على${\displaystyle X}$[ ^{1 ] يثبت نوري أيضًا} أن مخطط المجموعة الأساسية موجود عندما${\displaystyle k}$أي مجال و${\displaystyle X}$أي مخطط من نوع محدود ومختزل ومتصل على${\displaystyle k}$لكن في هذه الحالة، لا توجد فئات تاناكيان متضمنة. ^{[ 2 ]} ومنذ ذلك الحين، أُضيفت عدة نتائج وجودية أخرى، بما في ذلك بعض المخططات غير المختزلة .

يترك${\displaystyle S}$ليكن مخطط ديديكيند ذو بُعد 1،${\displaystyle X}$أي مخطط ذي صلة و${\displaystyle X\to S}$تشاكل مسطح أمين محليًا من نوع محدود. افترض وجود مقطع${\displaystyle x:S\to X}$ثم وجود مخطط المجموعة الأساسية${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$كخطة جماعية على${\displaystyle S}$وقد تم إثبات ذلك من قبل ماركو أنتي وميشيل إمساليم وكارلو غاسباري في الحالات التالية: ^{[ 4 ]}

• عندما لكل${\displaystyle s\in S}$الألياف${\displaystyle X_{s}}$يتم تقليلها
• عندما لكل${\displaystyle x\in X\setminus X_{\eta }}$الحلقة المحلية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$مغلق بشكل متكامل (على سبيل المثال عندما${\displaystyle X}$(هذا طبيعي ).

مع ذلك، في مخطط ديديكيند، لا داعي للنظر فقط في مخططات الزمر المنتهية ؛ بل إن مخططات الزمر شبه المنتهية تُعد تعميمًا طبيعيًا جدًا لمخططات الزمر المنتهية على الحقول. ^{[ 7 ]} ولهذا السبب، عرّف كلٌ من أنتي وإمسالم وغاسباري مخطط الزمرة الأساسية شبه المنتهية .${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$على النحو التالي: دع${\displaystyle S}$أن يكون مخططًا من تصميم ديديكيند و${\displaystyle f:X\to S}$تشاكل مسطح أمين ، محليًا من نوع محدود. افترض${\displaystyle f}$يحتوي على قسم${\displaystyle x\in X(S)}$نقول ذلك${\displaystyle X}$يحتوي على مخطط مجموعة أساسية شبه منتهية${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$إذا وُجدت مجموعة شبه منتهية ومسطحة${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$- تورسور${\displaystyle {\hat {X}}\to X}$، مع قسم${\displaystyle {\hat {x}}\in {\hat {X}}_{x}(S)}$بحيث يكون لأي شبه منتهية${\displaystyle G}$-torsor${\displaystyle Y\to X}$مع قسم${\displaystyle y\in Y_{x}(S)}$يوجد شكل فريد من أشكال التورسور${\displaystyle {\hat {X}}\to Y}$إرسال${\displaystyle {\hat {x}}}$ل${\displaystyle y}$[ ^{4 ] لقد} أثبتوا وجود${\displaystyle \pi ^{\text{qf}}(X,x)}$عندما لكل${\displaystyle s\in S}$الألياف${\displaystyle X_{s}}$هي عناصر أساسية وطبيعية.

يمكن للمرء أن يعتبر أكبر معامل برو-إيتالي لـ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$عندما يكون المخطط الأساسي${\displaystyle S}$هو طيف حقل مغلق جبريًا${\displaystyle k}$ثم يتطابق مع المجموعة الأساسية إيتال${\displaystyle \pi ^{\text{ét}}(X,x)}$وبشكل أدق، مجموعة النقاط${\displaystyle \pi _{1}(X,x)(k)}$متماثل مع${\displaystyle \pi ^{\text{ét}}(X,x)}$[ ^{8 ]​}

ل${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$أي مخططين إسقاطيين سلسين على حقل مغلق جبريًا${\displaystyle k}$تبقى تركيبة المنتج سليمة، أي${\displaystyle \pi _{1}(X,x)\times _{k}\pi _{1}(Y,y)\simeq \pi _{1}(X\times _{k}Y,x\times _{k}y)}$[ ^{9 ]} تم التكهن بهذه النتيجة من قبل نوري ^{[ 1 ]} وأثبتها ^فيكرام ميهتا وسوبرامانيان.