المقياس الجوهري

في الدراسة الرياضية للفضاءات المترية ، يُمكن اعتبار طول قوس المسارات في هذا الفضاء. إذا كانت نقطتان على مسافة معينة من بعضهما، فمن الطبيعي توقع إمكانية الانتقال من النقطة الأولى إلى الثانية عبر مسار طول قوسه يساوي (أو قريب جدًا من) تلك المسافة. تُعرَّف المسافة بين نقطتين في فضاء متري، نسبةً إلى المقياس الأصلي، بأنها الحد الأدنى لأطوال جميع المسارات من النقطة الأولى إلى الثانية. يُسمى الفضاء المتري فضاءً متريًا طوليًا إذا كان المقياس الأصلي متطابقًا مع المقياس الأصلي للفضاء.

إذا كان للفضاء خاصية أقوى، وهي وجود مسار يحقق الحد الأدنى للطول (مسار جيوديسي )، فإنه يُسمى فضاءً متريًا جيوديسيًا . على سبيل المثال، المستوى الإقليدي هو فضاء جيوديسي، حيث تمثل القطع المستقيمة مساراته الجيوديسية. أما المستوى الإقليدي بعد إزالة نقطة الأصل ، فهو ليس جيوديسيًا، ولكنه يظل فضاءً متريًا طوليًا.

يترك${\displaystyle (M,d)}$ليكن فضاءً متريًا ، أي${\displaystyle M}$هي مجموعة من النقاط (مثل جميع النقاط في المستوى، أو جميع النقاط على الدائرة) و${\displaystyle d}$هي دالة تُخرج المسافة بين النقاط في${\displaystyle M}$نُعرّف مقياسًا جديدًا${\displaystyle d_{\text{I}}}$على${\displaystyle M}$، والمعروف باسم المقياس الجوهري المستحث ، كما يلي: ${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$يمثل الحد الأدنى لأطوال جميع المسارات من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$.

هنا، مسار من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$هي خريطة متصلة

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

مع${\displaystyle \gamma (0)=x}$و${\displaystyle \gamma (1)=y}$يُعرَّف طول هذا المسار على النحو التالي: لكل قسم محدود

${\displaystyle P=\{0=x_{0}<x_{1}<...<x_{n}=1\}}$

من الفترة${\displaystyle [0,1]}$، ضع في اعتبارك المجموع

${\displaystyle \Sigma (P)=\sum _{k=0}^{n-1}d(\gamma (x_{k}),\gamma (x_{k+1})).}$

ثم نحدد طول${\displaystyle \gamma }$يكون

${\displaystyle \ell (\gamma )=\sup _{P\in {\mathfrak {P}}}\Sigma (P),}$

أين${\displaystyle {\mathfrak {P}}}$هي مجموعة التقسيمات المنتهية لـ${\displaystyle [0,1]}$إذا كانت القيمة العليا محدودة، فإننا نسمي${\displaystyle \gamma }$منحنى قابل للتصحيح . لاحظ أن${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$إذا لم يكن هناك مسار من${\displaystyle x}$ل${\displaystyle y}$بما أن الحد الأدنى للمجموعة الفارغة داخل الفترة المغلقة [0,+∞] هو  +∞.

رسم الخرائط${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$هو متماثل ، أي

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

لو

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

لجميع النقاط${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle M}$نقول ذلك${\displaystyle (M,d)}$هو فضاء طول أو فضاء متري للمسار والمقياس${\displaystyle d}$هو جوهري .

نقول إن المقياس${\displaystyle d}$يحتوي على نقاط منتصف تقريبية إن وجدت${\displaystyle \varepsilon >0}$وأي زوج من النقاط ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$ في${\displaystyle M}$يوجد${\displaystyle c}$في${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle d(x,c)}$و${\displaystyle d(c,y)}$كلاهما أصغر من

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

• الفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع المقياس الإقليدي العادي، يكون فضاء المقياس المساري.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$وكذلك الأمر كذلك.
• دائرة الوحدة${\displaystyle S^{1}}$باستخدام المقياس الموروث من المقياس الإقليدي لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$( المقياس الوترية ) ليس فضاءً متريًا للمسارات. المقياس الجوهري المستحث على${\displaystyle S^{1}}$يقيس المسافات كزوايا بالراديان ، ويُطلق على فضاء قياس الطول الناتج اسم دائرة ريمان . في بُعدين، لا يكون المقياس الوتر على الكرة مقياسًا جوهريًا، ويُعطى المقياس الجوهري المُستحث بواسطة مسافة الدائرة العظمى .
• يمكن تحويل أي فضاء ريماني متصل إلى فضاء متري مساري بتعريف المسافة بين نقطتين على أنها الحد الأدنى لأطوال المنحنيات القابلة للتفاضل باستمرار التي تربط هاتين النقطتين. (تتيح البنية الريمانية تعريف طول هذه المنحنيات). وبالمثل، تشمل الفضاءات الأخرى التي يُعرَّف فيها الطول فضاءات فينسلر والفضاءات شبه الريمانية .
• أي فضاء متري كامل ومحدب هو فضاء متري طولي ( خامسي وكيرك 2001 ، النظرية 2.16) ، وهي نتيجة لكارل مينجر . ومع ذلك، فإن العكس غير صحيح، أي توجد فضاءات مترية طولية غير محدبة.

• بشكل عام، لدينا${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$والطوبولوجيا المحددة بواسطة${\displaystyle d_{\text{I}}}$وبالتالي، يكون دائمًا أدق من أو يساوي ما هو محدد بواسطة${\displaystyle d}$.
• المساحة${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$هي دائمًا فضاء متري للمسار (مع التحذير المذكور أعلاه، وهو أن${\displaystyle d_{\text{I}}}$(يمكن أن تكون لا نهائية).
• تتميز أبعاد فضاء الطول بنقاط منتصف تقريبية. وعلى العكس من ذلك، فإن كل فضاء متري كامل ذي نقاط منتصف تقريبية هو فضاء طول.
• تنص نظرية هوبف -رينو على أنه إذا كان طول الفضاء${\displaystyle (M,d)}$إذا كانت كاملة ومضغوطة محليًا، فإن أي نقطتين في${\displaystyle M}$يمكن ربطها بواسطة مسار جيوديسي مصغر وجميع المجموعات المغلقة المحدودة في${\displaystyle M}$صغيرة الحجم .

• هربرت بوسمان، الأعمال المختارة، (أثاناس بابادوبولوس، محرر) المجلد الأول، 908 صفحة، دار نشر سبرينغر الدولية، 2018.

• هربرت بوسمان، الأعمال المختارة، (أثاناس بابادوبولوس، محرر) المجلد الثاني، 842 صفحة، دار نشر سبرينغر الدولية، 2018.

• غروموف، ميخائيل (1999)، البنى المترية للفضاءات الريمانية وغير الريمانية ، سلسلة التقدم في الرياضيات، المجلد  152، بيركهاوزر، ISBN 0-8176-3898-9
• خامسي، محمد أ .؛ كيرك، ويليام أ. (2001)، مقدمة في الفضاءات المترية ونظرية النقطة الثابتة ، وايلي-IEEE، ISBN 0-471-41825-0