إحباط هندسي

في فيزياء المادة المكثفة ، يشير مصطلح الإحباط الهندسي (أو باختصار: الإحباط ^[1] ) إلى ظاهرة حيث تميل الذرات إلى الالتصاق بمواضع غير تافهة ^{[ بحاجة لمصدر ]} أو حيث، على شبكة بلورية منتظمة ، تؤدي القوى المتضاربة بين الذرات (كل منها تفضل هياكل بسيطة إلى حد ما ولكنها مختلفة) إلى هياكل معقدة للغاية. نتيجة للإحباط في الهندسة أو في القوى، قد ينتج عن ذلك وفرة من الحالات الأرضية المميزة عند درجة حرارة الصفر، وقد يتم قمع الترتيب الحراري المعتاد عند درجات حرارة أعلى. ومن الأمثلة المدروسة كثيرًا المواد غير المتبلورة أو الزجاج أو المغناطيس المخفف .

تم تقديم مصطلح الإحباط ، في سياق الأنظمة المغناطيسية ، بواسطة جيرارد تولوز في عام 1977. ^{[2] [3]} تمت دراسة الأنظمة المغناطيسية المحبطة حتى قبل ذلك. يتضمن العمل المبكر دراسة لنموذج إيزينج على شبكة مثلثة ذات دورات أقرب جار مقترنة بشكل مضاد للحديد ، بواسطة جي إتش وانيير ، نُشرت في عام 1950. ^[4] تحدث السمات ذات الصلة في المغناطيسات ذات التفاعلات المتنافسة ، حيث توجد اقترانات حديدية مغناطيسية ومضادة للحديد بين أزواج الدورات أو اللحظات المغناطيسية، مع نوع التفاعل يعتمد على مسافة فصل الدورات. في هذه الحالة، قد تنتج قابلية التناسب ، مثل ترتيبات الدوران الحلزونية ، كما تمت مناقشته في الأصل، وخاصة من قبل أ. يوشيموري، ^[5] تي إيه كابلان، ^[6] آر جي إليوت ، ^[7] وآخرين، بدءًا من عام 1959، لوصف النتائج التجريبية على المعادن الأرضية النادرة. نشأ اهتمام متجدد بمثل هذه الأنظمة الدورانية ذات التفاعلات المحبطة أو المتنافسة بعد حوالي عقدين من الزمان، بدءًا من سبعينيات القرن العشرين، في سياق النظارات الدورانية والبنى الفوقية المغناطيسية المعدلة مكانيًا. في النظارات الدورانية، يتم تعزيز الإحباط من خلال الاضطراب العشوائي في التفاعلات، كما قد يحدث تجريبياً في السبائك المغناطيسية غير المتكافئة . تشمل نماذج الدوران التي تم تحليلها بعناية مع الإحباط نموذج Sherrington-Kirkpatrick ، ^[8] الذي يصف النظارات الدورانية، ونموذج ANNNI ، ^[9] الذي يصف البنى الفوقية المغناطيسية القابلة للتناسب . في الآونة الأخيرة، تم استخدام مفهوم الإحباط في تحليل شبكة الدماغ لتحديد التجمع غير التافه للاتصالات العصبية وتسليط الضوء على العناصر القابلة للتعديل في الدماغ. ^[10]

الإحباط الهندسي هو سمة مهمة في المغناطيسية ، حيث ينبع من الترتيب النسبي للدوران . يظهر مثال بسيط ثنائي الأبعاد في الشكل 1. توجد ثلاثة أيونات مغناطيسية على زوايا مثلث مع تفاعلات مضادة للمغناطيسية بينها؛ يتم تقليل الطاقة إلى الحد الأدنى عندما يتم محاذاة كل دوران معاكس لجيرانه. بمجرد محاذاة الدورانين الأولين بشكل متعاكس، يتم إحباط الدوران الثالث لأن اتجاهيه المحتملين، لأعلى ولأسفل، يعطيان نفس الطاقة. لا يمكن للدوران الثالث تقليل تفاعلاته مع كل من الدورانين الآخرين في نفس الوقت. نظرًا لأن هذا التأثير يحدث لكل دوران، فإن الحالة الأساسية تتدهور ستة أضعاف . فقط الحالتان حيث تكون جميع الدورات لأعلى أو لأسفل لديهما طاقة أكبر.

وبالمثل، في ثلاثة أبعاد، قد تتعرض أربع دورات مرتبة في شكل رباعي السطوح (الشكل 2) لإحباط هندسي. وإذا كان هناك تفاعل مضاد للمغناطيسية بين الدورات، فمن غير الممكن ترتيب الدورات بحيث تكون جميع التفاعلات بين الدورات متوازية. وهناك ستة تفاعلات بين أقرب الجيران، أربعة منها متوازية وبالتالي مواتية، ولكن اثنين منها (بين 1 و2، وبين 3 و4) غير مواتيين. ومن المستحيل أن تكون جميع التفاعلات مواتية، ويصبح النظام محبطًا.

إن الإحباط الهندسي ممكن أيضًا إذا تم ترتيب الدورات بطريقة غير متوازية . إذا نظرنا إلى رباعي السطوح مع دوران على كل رأس يشير على طول المحور السهل (أي مباشرة نحو أو بعيدًا عن مركز رباعي السطوح)، فمن الممكن ترتيب الدورات الأربع بحيث لا يكون هناك دوران صافٍ (الشكل 3). وهذا يعادل تمامًا وجود تفاعل مضاد للمغناطيسية بين كل زوج من الدورات، لذا في هذه الحالة لا يوجد إحباط هندسي. مع هذه المحاور، ينشأ الإحباط الهندسي إذا كان هناك تفاعل مغناطيسي حديدي بين الجيران، حيث يتم تقليل الطاقة عن طريق الدورات المتوازية. يظهر أفضل ترتيب ممكن في الشكل 4، مع دورانين يشيران نحو المركز واثنتين يشيران بعيدًا. يشير العزم المغناطيسي الصافي إلى الأعلى، مما يزيد من التفاعلات المغناطيسية الحديدية في هذا الاتجاه، لكن المتجهات اليسرى واليمنى تلغي بعضها البعض (أي أنها محاذية بشكل مضاد للمغناطيسية)، كما هو الحال مع الأمام والخلف. هناك ثلاثة ترتيبات مكافئة مختلفة مع دورانين للخارج واثنتين للداخل، وبالتالي فإن الحالة الأساسية متدهورة بثلاثة أضعاف.

لا يستشهد هذا القسم بأي مصادر . يُرجى المساعدة في تحسين هذا القسم من خلال إضافة الاستشهادات إلى مصادر موثوقة . قد يتم الطعن في المواد غير الموثقة وإزالتها . ( نوفمبر 2022 ) ( تعرف على كيفية ومتى يمكنك إزالة هذه الرسالة )

التعريف الرياضي بسيط (ومشابه لما يسمى بحلقة ويلسون في الديناميكا اللونية الكمومية ): على سبيل المثال، نأخذ في الاعتبار التعبيرات ("الطاقات الكلية" أو "هاميلتون") من النموذج

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{G}-I_{k_{\nu },k_{\mu }}\,\,S_{k_{\nu }}\cdot S_{k_{\mu }}\,,}$

حيث G هو الرسم البياني المعتبر، في حين أن الكميات I _{k ν و k μ} هي ما يسمى "طاقات التبادل" بين أقرب الجيران، والتي (في وحدات الطاقة المعتبرة) تأخذ القيم ±1 (رياضيًا، هذا رسم بياني موقّع )، في حين أن S _{k ν} · S _{k μ} هي حاصل ضرب داخلي للدوران القياسي أو المتجهي أو شبه الدوران. إذا كان للرسم البياني G وجوه تربيعية أو مثلثية P ، فإن ما يسمى "متغيرات البلاكيت" P _W ، "حاصل ضرب حلقي" من النوع التالي، يظهر:

${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,4}\,I_{4,1}}$وعلى التوالي،${\displaystyle P_{W}=I_{1,2}\,I_{2,3}\,I_{3,1}\,,}$

والتي تسمى أيضًا "منتجات الإحباط". يجب إجراء عملية جمع على هذه المنتجات، ومجموعها على جميع اللوحات. النتيجة للوحة واحدة هي +1 أو -1. في الحالة المذكورة الأخيرة، تكون اللوحة "محبطة هندسيًا".

يمكن إظهار أن النتيجة لها ثبات مقياس بسيط : فهي لا تتغير - ولا تتغير أي كميات قابلة للقياس أخرى، مثل "الطاقة الكلية" - حتى لو تم تعديل تكاملات التبادل والدوران محليًا في نفس الوقت على النحو التالي: ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle I_{i,k}\إلى \varepsilon _{i}I_{i,k}\varepsilon _{k},\quad S_{i}\إلى \varepsilon _{i}S_{i},\quad S_{k}\إلى \varepsilon _{k}S_{k}\,.}$

هنا، الأرقام ε _i و ε _k هي علامات عشوائية، أي +1 أو −1، بحيث قد يبدو الهيكل المعدل عشوائيًا تمامًا.

على الرغم من أن معظم الأبحاث السابقة والحالية حول الإحباط تركز على أنظمة الدوران، فقد تمت دراسة الظاهرة لأول مرة في الجليد العادي . في عام 1936، نشر جياك وستاوت كتاب إنتروبيا الماء والقانون الثالث للديناميكا الحرارية. السعة الحرارية للجليد من 15 كلفن إلى 273 كلفن ، حيث أبلغا عن قياسات السعرات الحرارية على الماء من خلال انتقالات التجميد والتبخر حتى مرحلة الغاز عالية الحرارة. تم حساب الإنتروبيا عن طريق دمج السعة الحرارية وإضافة مساهمات الحرارة الكامنة ؛ تم استقراء قياسات درجات الحرارة المنخفضة إلى الصفر، باستخدام صيغة ديباي المشتقة حديثًا آنذاك. ^[11] تمت مقارنة الإنتروبيا الناتجة، S ₁  = 44.28 كالوري / (K·mol) = 185.3 J / (mol·K) بالنتيجة النظرية من الميكانيكا الإحصائية للغاز المثالي، S ₂  = 45.10 كالوري / (K·mol) = 188.7 J / (mol·K). تختلف القيمتان بمقدار S ₀  = 0.82 ± 0.05 cal/(K·mol) = 3.4 J/(mol·K). ثم قام لينوس بولينج ^[12] بتفسير هذه النتيجة بتقريب ممتاز، حيث أظهر أن الجليد يمتلك إنتروبيا محدودة (تقدر بـ 0.81 cal/(K·mol) أو 3.4 J/(mol·K)) عند درجة حرارة صفر بسبب الاضطراب التكويني المتأصل في البروتونات الموجودة في الجليد.

في الطور الجليدي السداسي أو المكعب ، تشكل أيونات الأكسجين بنية رباعية السطوح بطول رابطة O–O يبلغ 2.76  Å (276  pm )، بينما يبلغ طول رابطة O–H 0.96 Å (96 pm) فقط. يحيط بكل أيون أكسجين (أبيض) أربعة أيونات هيدروجين (أسود) ويحيط بكل أيون هيدروجين أيونان أكسجين، كما هو موضح في الشكل 5. للحفاظ على بنية جزيء H ₂ O الداخلي، فإن الحد الأدنى لموضع الطاقة للبروتون ليس في منتصف الطريق بين أيوني أكسجين متجاورين. هناك موضعان متكافئان قد يشغلهما الهيدروجين على خط الرابطة O–O، موضع بعيد وموضع قريب. وبالتالي تؤدي القاعدة إلى إحباط مواضع البروتون لتكوين الحالة الأساسية: لكل أكسجين يجب أن يوجد اثنان من البروتونات المجاورة في الموضع البعيد واثنان منهم في الموضع القريب، وهو ما يسمى " قواعد الجليد ". اقترح بولينج أن البنية الرباعية السطوح المفتوحة للجليد توفر العديد من الحالات المكافئة التي تلبي قواعد الجليد.

واصل بولينج حساب إنتروبيا التكوين بالطريقة التالية: ضع في اعتبارك مولًا واحدًا من الجليد، يتكون من بروتونات N O ²⁻ و 2 N. تحتوي كل رابطة O–O على موضعين للبروتون، مما يؤدي إلى تكوينات محتملة 2 ^{2 N.} ومع ذلك، من بين التكوينات الستة عشر المحتملة المرتبطة بكل أكسجين، فإن 6 فقط هي المواتية من حيث الطاقة، مما يحافظ على قيد جزيء H ₂ O. ثم يتم تقدير الحد الأعلى للأعداد التي يمكن أن تتخذها الحالة الأساسية على أنها Ω  < 2 ^{2 N} (6/16) ^N . وبالتالي فإن الإنتروبيا التكوينية S ₀  = k B ln( Ω ) = _{Nk B} ln (3/2) = 0.81 كالوري/(ك·مول) = 3.4 جول/(مول·كلفن) يتفق بشكل مذهل مع الإنتروبيا المفقودة التي قاسها جياوك وستاوت.

وعلى الرغم من أن حسابات بولينج أهملت القيد العالمي على عدد البروتونات والقيد المحلي الناشئ عن الحلقات المغلقة على شبكة وورتزيت، فقد ثبت فيما بعد أن التقدير يتمتع بدقة ممتازة.

تم العثور على موقف مماثل رياضيًا للانحلال في الجليد المائي في الجليد الدوراني . يظهر هيكل جليد دوراني شائع في الشكل 6 في هيكل البايروكلور المكعب مع ذرة مغناطيسية واحدة أو أيون مقيم على كل من الزوايا الأربع. ونظرًا للحقل البلوري القوي في المادة، يمكن تمثيل كل من الأيونات المغناطيسية بواسطة ثنائي الحالة الأرضية إيزينج بعزم كبير. يشير هذا إلى صورة لدورات إيزينج المقيمة على الشبكة الرباعية السطوح المشتركة في الزاوية مع دورات ثابتة على طول محور التكميم المحلي، المحاور المكعبة <111> ، والتي تتزامن مع الخطوط التي تربط كل رأس رباعي السطوح بالمركز. يجب أن يكون لكل خلية رباعية السطوح دورتان تشيران إلى الداخل واثنان يشيران إلى الخارج لتقليل الطاقة. حاليًا، تم تحقيق نموذج الجليد الدوراني تقريبًا باستخدام مواد حقيقية، وأبرزها بيروكلورات العناصر الأرضية النادرة Ho ₂ Ti ₂ O ₇ و Dy ₂ Ti ₂ O ₇ و Ho2Sn2O7. تظهر كل هذه المواد إنتروبيا متبقية غير صفرية عند درجة حرارة منخفضة.

نموذج الجليد الدوراني هو أحد أقسام الأنظمة المحبطة. تم تقديم كلمة الإحباط في البداية لوصف عدم قدرة النظام على تقليل طاقة التفاعل المتنافسة بين مكوناته في وقت واحد. بشكل عام، يحدث الإحباط إما بسبب التفاعلات المتنافسة بسبب اضطراب الموقع (انظر أيضًا نموذج Villain ^[13] ) أو بسبب بنية الشبكة كما هو الحال في الشبكات المثلثية والمكعبة ذات الوجه المركزي (fcc) والمزدوجة السداسية والمزدوجة والرباعية السطوح والبيروكلور والكاغومي ذات التفاعل المضاد للحديد. لذلك ينقسم الإحباط إلى فئتين: الأولى تتوافق مع الزجاج الدوراني ، الذي يعاني من اضطراب في البنية والإحباط في الدوران؛ والثاني هو الإحباط الهندسي مع بنية شبكية منظمة وإحباط في الدوران. يُفهم إحباط الزجاج الدوراني في إطار نموذج RKKY ، حيث تعتمد خاصية التفاعل، سواء كانت مغناطيسية حديدية أو مضادة للحديدية، على مسافة الأيونين المغناطيسيين. بسبب اضطراب الشبكة في الزجاج الدوار، يمكن أن يكون أحد الدورانات محل الاهتمام وأقرب جيرانه على مسافات مختلفة ويكون لديهم خاصية تفاعل مختلفة، مما يؤدي بالتالي إلى محاذاة مفضلة مختلفة للدوران.

بمساعدة تقنيات الطباعة الحجرية، من الممكن تصنيع جزر مغناطيسية بحجم دون الميكرومتر، حيث يعيد ترتيبها الهندسي إنتاج الإحباط الموجود في مواد الجليد الدوراني الطبيعية. مؤخرًا، أبلغ RF Wang وآخرون ^[14] عن اكتشاف مغناطيس محبط هندسيًا صناعيًا يتكون من مجموعات من الجزر المغناطيسية الحديدية أحادية المجال المصنعة بالطباعة الحجرية. يتم ترتيب هذه الجزر يدويًا لإنشاء نظير ثنائي الأبعاد للجليد الدوراني. تم تصوير العزوم المغناطيسية للجزر "الدورانية" المنظمة باستخدام مجهر القوة المغناطيسية (MFM) ثم تمت دراسة التكيف المحلي للإحباط بدقة. في عملهم السابق على شبكة مربعة من المغناطيسات المحبطة، لاحظوا كل من الارتباطات قصيرة المدى الشبيهة بالجليد وغياب الارتباطات طويلة المدى، تمامًا كما هو الحال في الجليد الدوراني في درجات الحرارة المنخفضة. تعمل هذه النتائج على ترسيخ الأرض المجهولة التي يمكن من خلالها تصور الفيزياء الحقيقية للإحباط ونمذجتها بواسطة هذه المغناطيسات الهندسية المحبطة الاصطناعية، وتلهم المزيد من أنشطة البحث.

يمكن لهذه المواد المغناطيسية الحديدية المثبطة صناعيًا أن تظهر خصائص مغناطيسية فريدة عند دراسة استجابتها الشاملة لحقل خارجي باستخدام تأثير كير المغناطيسي البصري. ^[15] على وجه الخصوص، وجد أن الاعتماد الزاوي غير الرتيب لقوة الشبكة المربعة مرتبط بالاضطراب في نظام الجليد الدوراني الاصطناعي.

ينشأ نوع آخر من الإحباط الهندسي من انتشار النظام المحلي. والسؤال الرئيسي الذي يواجهه فيزيائي المادة المكثفة هو تفسير استقرار المادة الصلبة.

من الممكن في بعض الأحيان إرساء بعض القواعد المحلية ذات الطبيعة الكيميائية، والتي تؤدي إلى تكوينات منخفضة الطاقة وبالتالي تحكم النظام البنيوي والكيميائي. وهذا ليس هو الحال عمومًا وغالبًا ما لا يمكن للنظام المحلي الذي تحدده التفاعلات المحلية أن ينتشر بحرية، مما يؤدي إلى الإحباط الهندسي. السمة المشتركة لجميع هذه الأنظمة هي أنه حتى مع القواعد المحلية البسيطة، فإنها تقدم مجموعة كبيرة من الإنجازات البنيوية المعقدة غالبًا. يلعب الإحباط الهندسي دورًا في مجالات المادة المكثفة، بدءًا من العناقيد والمواد الصلبة غير المتبلورة إلى السوائل المعقدة.

تتبع الطريقة العامة للتعامل مع حل هذه التعقيدات خطوتين. أولاً، يتم تخفيف قيد ملء الفراغ المثالي من خلال السماح بانحناء الفراغ. يتم تحديد بنية مثالية غير محبطة في هذه المساحة المنحنية. بعد ذلك، يتم تطبيق تشوهات محددة على هذا القالب المثالي من أجل تضمينه في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. البنية النهائية عبارة عن مزيج من المناطق المنظمة، حيث يكون الترتيب المحلي مشابهًا لترتيب القالب، والعيوب الناشئة عن التضمين. من بين العيوب المحتملة، تلعب التمييزات دورًا مهمًا.

إن الأمثلة ثنائية الأبعاد مفيدة لفهم أصل المنافسة بين القواعد المحلية والهندسة في الحجم الكبير. لنأخذ أولاً ترتيبًا لأقراص متطابقة (نموذج لمعدن افتراضي ثنائي الأبعاد) على مستوى؛ نفترض أن التفاعل بين الأقراص متساوي الخواص ويميل محليًا إلى ترتيب الأقراص بأكثف طريقة ممكنة. أفضل ترتيب لثلاثة أقراص هو ببساطة مثلث متساوي الأضلاع مع وجود مراكز الأقراص عند رؤوس المثلث. وبالتالي يمكن اختزال دراسة البنية طويلة المدى إلى بلاط مستوي مع مثلثات متساوية الأضلاع. يتم توفير حل معروف جيدًا من خلال البلاط المثلث مع التوافق التام بين القواعد المحلية والعالمية: يقال إن النظام "غير محبط".

ولكن الآن، من المفترض أن تكون طاقة التفاعل عند الحد الأدنى عندما تجلس الذرات على رؤوس خماسي منتظم . إن محاولة نشر مجموعة من هذه الخماسيات التي تشترك في الحواف (الروابط الذرية) والرؤوس (الذرات) في المدى الطويل أمر مستحيل. ويرجع هذا إلى استحالة تبليط مستوى بخماسيات منتظمة، وذلك ببساطة لأن زاوية رأس الخماسي لا تقسم 2π . يمكن أن تتناسب ثلاثة خماسيات من هذا القبيل بسهولة مع رأس مشترك، ولكن تظل هناك فجوة بين حافتين. هذا النوع من التناقض هو ما يسمى "الإحباط الهندسي". هناك طريقة واحدة للتغلب على هذه الصعوبة. دع السطح المراد تبليطه خاليًا من أي طوبولوجيا مفترضة، ودعنا نبني التبليط بتطبيق صارم لقاعدة التفاعل المحلي. في هذا المثال البسيط، نلاحظ أن السطح يرث طوبولوجيا الكرة وبالتالي يتلقى انحناء. يسمح الهيكل النهائي، وهو هنا مجسم اثنا عشري الوجوه خماسي الأضلاع، بانتشار مثالي للنظام الخماسي. ويُطلق عليه نموذج "مثالي" (خالٍ من العيوب) للهيكل المدروس.

إن استقرار المعادن هو سؤال قديم في فيزياء الحالة الصلبة، ولا يمكن فهمه إلا في إطار ميكانيكا الكم من خلال الأخذ في الاعتبار التفاعل بين الأيونات المشحونة إيجابيا وإلكترونات التكافؤ والتوصيل. ومع ذلك، فمن الممكن استخدام صورة مبسطة للغاية للترابط المعدني ولا تحتفظ إلا بنوع متساوي الخواص من التفاعلات، مما يؤدي إلى هياكل يمكن تمثيلها على شكل كرات مضغوطة بكثافة. والواقع أن الهياكل المعدنية البسيطة البلورية غالبًا ما تكون إما شبكات مكعبة مركزية الوجوه مضغوطة بإحكام (fcc) أو شبكات مضغوطة بإحكام سداسية (hcp). وإلى حد ما، يمكن أيضًا نمذجة المعادن غير المتبلورة وشبه البلورات من خلال التعبئة الضيقة للكرات. ويتم نمذجة الترتيب الذري المحلي جيدًا من خلال التعبئة الضيقة للرباعيات السطوح، مما يؤدي إلى ترتيب عشريني السطوح غير كامل.

رباعي السطوح المنتظم هو التكوين الأكثر كثافة لتعبئة أربع كرات متساوية. وبالتالي يمكن رسم مشكلة التعبئة العشوائية الكثيفة للكرات الصلبة على مشكلة تعبئة رباعي السطوح . إنه تمرين عملي لمحاولة تعبئة كرات تنس الطاولة من أجل تكوين تكوينات رباعية السطوح فقط. يبدأ المرء بأربع كرات مرتبة على شكل رباعي سطوح مثالي، ويحاول إضافة كرات جديدة، مع تكوين رباعي سطوح جديد. الحل التالي، مع خمس كرات، هو ببساطة رباعي سطوح يشتركان في وجه مشترك؛ لاحظ أنه مع هذا الحل بالفعل، لا يظهر هيكل fcc، الذي يحتوي على ثقوب رباعية السطوح الفردية، مثل هذا التكوين (تشترك رباعيات السطوح في الحواف، وليس الوجوه). مع ست كرات، يتم بناء ثلاث رباعيات سطوح منتظمة، وتكون المجموعة غير متوافقة مع جميع الهياكل البلورية المدمجة (fcc وhcp). إن إضافة كرة سابعة يعطينا مجموعة جديدة تتكون من كرتين "محوريتين" تلامسان بعضهما البعض وخمس كرات أخرى تلامس الكرتين الأخيرتين، والشكل الخارجي عبارة عن هرم ثنائي خماسي منتظم تقريبًا. ومع ذلك، فإننا نواجه الآن مشكلة تعبئة حقيقية، مماثلة لتلك التي واجهتنا أعلاه مع البلاط الخماسي في بعدين. الزاوية ثنائية السطوح لرباعي السطوح لا تتناسب مع 2π ؛ وبالتالي، تبقى فجوة بين وجهين من رباعي السطوح المجاور. ونتيجة لذلك، فإن البلاط المثالي للفضاء الإقليدي R ³ مستحيل مع رباعي السطوح المنتظم. الإحباط له طابع طوبولوجي: من المستحيل ملء الفضاء الإقليدي برباعي السطوح، حتى لو كان مشوهًا بشدة، إذا فرضنا أن عددًا ثابتًا من رباعي السطوح (خمسة هنا) يشترك في حافة مشتركة.

الخطوة التالية حاسمة: البحث عن هيكل غير محبط يسمح بالانحناء في الفضاء ، حتى تنتشر التكوينات المحلية بشكل متطابق وبدون عيوب في جميع أنحاء الفضاء.

تتجمع عشرون رباعية السطوح غير منتظمة ذات رأس مشترك بحيث تشكل الرؤوس الخارجية الاثنتي عشرة مجسمًا عشرينيًا منتظمًا. في الواقع، طول حافة المجسم العشريني l أطول قليلاً من نصف قطر الكرة المحيطة r ( l  ≈ 1.05 r ). يوجد حل مع رباعي السطوح المنتظم إذا لم يكن الفضاء إقليديًا، بل كرويًا. إنه متعدد السطوح {3،3،5}، باستخدام تدوين شليفلي ، والمعروف أيضًا باسم 600 خلية .

هناك مائة وعشرون رأسًا تنتمي جميعها إلى الكرة الفائقة S ³ بنصف قطر يساوي النسبة الذهبية ( φ  =  ⁠1 + √ 5/2) إذا كانت الحواف بطول الوحدة. الخلايا الستمائة عبارة عن رباعيات سطوح منتظمة مجمعة بخمسة حول حافة مشتركة وعشرين حول رأس مشترك. يُطلق على هذا الهيكل اسم متعدد السطوح (انظر كوكستر ) وهو الاسم العام في البعد الأعلى في السلسلة التي تحتوي على مضلعات ومتعددات السطوح. حتى لو تم تضمين هذا الهيكل في أربعة أبعاد، فقد تم اعتباره متعدد الشعب ثلاثي الأبعاد (منحني). هذه النقطة مهمة من الناحية المفاهيمية للسبب التالي. النماذج المثالية التي تم تقديمها في الفضاء المنحني هي قوالب منحنية ثلاثية الأبعاد. تبدو محليًا كنماذج إقليدية ثلاثية الأبعاد. لذا، فإن متعدد السطوح {3،3،5}، وهو بلاط رباعي السطوح، يوفر بنية ذرية كثيفة للغاية إذا كانت الذرات موجودة على رؤوسه. لذلك يتم استخدامه بشكل طبيعي كقالب للمعادن غير المتبلورة، ولكن لا ينبغي للمرء أن ينسى أنه على حساب المثالية المتعاقبة.

• Sadoc, JF; Mosseri, R. (2007). Geometrical Frustration (طبعة مُعاد تحريرها). Cambridge University Press. ISBN 9780521031875.
• Sadoc, JF, ed. (1990). الهندسة في فيزياء المواد المكثفة . سنغافورة: World Scientific. ISBN 9789810200893.
• كوكستر، إتش إس إم (1973). متعددات السطوح المنتظمة . دار دوفر للنشر. رقم ISBN 9780486614809.