600 خلية

رؤوس خلية مكونة من 600 عنصر ونصف قطرها وحدة واحدة، متمركزة عند نقطة الأصل في فضاء رباعي الأبعاد، بأضلاع طولها${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$(أين${\displaystyle \phi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$(النسبة الذهبية)، ويمكن التعبير عنها ^{[ 8 ]} على النحو التالي:

ثمانية رؤوس تم الحصول عليها من

${\displaystyle (0,\,0,\,0,\,\pm 1)}$

عن طريق تبديل الإحداثيات، و16 رأسًا على الشكل التالي:

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}{\bigr )}}$

أما الرؤوس الـ 96 المتبقية فتُحصل عليها عن طريق أخذ التباديل الزوجية لـ

${\displaystyle {\bigl (}{\pm {\tfrac {1}{2}}\phi },\,\pm {\tfrac {1}{2}},\,\pm {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1},\,0{\bigr )}}$

لاحظ أن الرؤوس الثمانية الأولى هي رؤوس خلية مكونة من 16 خلية ، والرؤوس الستة عشر الثانية هي رؤوس مكعب رباعي الأبعاد ، وهذه الرؤوس الأربعة والعشرون مجتمعة هي رؤوس خلية مكونة من 24 خلية . أما الرؤوس الستة والتسعون المتبقية فهي رؤوس خلية مكونة من 24 خلية مقطوعة ، والتي يمكن إيجادها بتقسيم كل ضلع من أضلاع خلية أخرى مكونة من 24 خلية (مكافئة للأولى) بنسبة ذهبية بطريقة متسقة. ^{[ 9 ]}

عند تفسيرها على أنها رباعيات ، فإنها تمثل وحدات الإيكوسيان .

في الخلية ذات الـ 24 شكلاً، توجد مربعات وسداسيات ومثلثات تقع على دوائر عظمى (في مستويات مركزية تمر بأربعة أو ستة رؤوس). في الخلية ذات الـ 600 شكلاً ، توجد 25 خلية متداخلة من خلايا الـ 24 شكلاً، حيث يشترك كل رأس ومربع في خمس خلايا من خلايا الـ 24 شكلاً، ويشترك كل سداسي أو مثلث في خليتين من خلايا الـ 24 شكلاً. في كل خلية من خلايا الـ 24 شكلاً، توجد ثلاث خلايا منفصلة من خلايا الـ 16 شكلاً، لذا في الخلية ذات الـ 600 شكلاً، توجد 75 خلية متداخلة من خلايا الـ 16 شكلاً. تشكل كل خلية من خلايا الـ 16 شكلاً أساساً متعامداً مميزاً لاختيار إطار مرجعي للإحداثيات .

The 60 axes and 75 16-cells of the 600-cell constitute a geometric configuration, which in the language of configurations is written as 60₅75₄ to indicate that each axis belongs to 5 16-cells, and each 16-cell contains 4 axes.^[10] Each axis is orthogonal to exactly 15 others, and these are just its companions in the 5 16-cells in which it occurs.

In the 600-cell there are also great circle pentagons and decagons (in central planes through ten vertices).^[11]

Only the decagon edges are visible elements of the 600-cell (because they are the edges of the 600-cell). The edges of the other great circle polygons are interior chords of the 600-cell, which are not shown in any of the 600-cell renderings in this article (except where shown as dashed lines).

The 600-cell contains 25 distinct 24-cells, bound to each other by pentagonal rings. Each pentagon links five completely disjoint 24-cells together, the collective vertices of which are the 120 vertices of the 600-cell. Each 24-point 24-cell contains one fifth of all the vertices in the 120-point 600-cell, and is linked to the other 96 vertices (which comprise a snub 24-cell) by the 600-cell's 144 pentagons. Each of the 25 24-cells intersects each of the 144 great pentagons at just one vertex. Five 24-cells meet at each 600-cell vertex, so all 25 24-cells are linked by each great pentagon. The 600-cell can be partitioned into five disjoint 24-cells (10 different ways), and also into 24 disjoint pentagons (inscribed in the 12 Clifford parallel great decagons of one of the 6 decagonal fibrations) by choosing a pentagon from the same fibration at each 24-cell vertex.

By symmetry, an equal number of polygons of each kind pass through each vertex; so it is possible to account for all 120 vertices as the intersection of a set of central polygons of only one kind: decagons, hexagons, pentagons, squares, or triangles. For example, the 120 vertices can be seen as the vertices of 15 pairs of completely orthogonal squares which do not share any vertices, or as 100 dual pairs of non-orthogonal hexagons between which all axis pairs are orthogonal, or as 144 non-orthogonal pentagons six of which intersect at each vertex. This latter pentagonal symmetry of the 600-cell is captured by the set of Hopf coordinates^[12] (𝜉_i, 𝜂, 𝜉_j) given as:

({<10} ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ , {≥5} ⁠ 𝜋 / 10 ⁠ , {<10} ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ )

حيث {<10} هو تبديل الأرقام العشرة (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9)، و{≤5} هو تبديل الأرقام الستة (0 1 2 3 4 5). تتراوح إحداثيات 𝜉 _i و𝜉 _j على رؤوس المضلعات العشرة للدائرة العظمى؛ وتشير الأرقام الزوجية والفردية إلى رؤوس المضلعين الخماسيين للدائرة العظمى المرسومين داخل كل مضلع عشري.

المسافات المتبادلة بين الرؤوس، مقاسة بدرجات القوس على الكرة الفائقة المحيطة ، لها القيم التالية فقط: 36° = ⁠ 𝜋 / 5 ⁠ ، 60° = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ ، 72° = ⁠ 2𝜋 / 5 ⁠ ، 90° = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ ، 108° = ⁠ 3𝜋 / 5 ⁠ ، 120° = ⁠ 2𝜋 / 3 ⁠ ، 144° = ⁠ 4𝜋 / 5 ⁠ ، و 180° = 𝜋. انطلاقًا من رأسٍ عشوائي V، نجد عند الزاويتين 36° و144° رؤوسًا اثني عشرية الوجوه ، وعند الزاويتين 60° و120° رؤوسًا عشرينية الوجوه ، وعند الزاويتين 72° و108° رؤوسًا اثني عشرية الوجوه أكبر حجمًا، وعند الزاوية 90° رؤوسًا ثلاثينية الوجوه ، وأخيرًا عند الزاوية 180° الرأس المقابل لـ V. ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]} ويمكن رؤية هذه الرؤوس في إسقاطات مستوى كوكسيتر H3 مع تلوين الرؤوس المتداخلة. ^{[ 16 ]}

تُعتبر هذه المقاطع متعددة الأوجه مجسمات صلبة بمعنى أنها ثلاثية الأبعاد، ولكن جميع رؤوسها تقع على سطح الخلية المكونة من 600 رأس (فهي مجوفة وليست مصمتة). يقع كل متعدد الأوجه في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد كمقطع عرضي موازٍ للخلية المكونة من 600 رأس (مستوى فائق). في الفضاء ثلاثي الأبعاد المنحني لغلاف السطح الحدودي للخلية المكونة من 600 رأس، يُحيط متعدد الأوجه بالرأس V كما يُحيط بمركزه. لكن مركزه يقع داخل الخلية المكونة من 600 رأس، وليس على سطحها. لا يقع V فعليًا في مركز متعدد الأوجه، لأنه مُزاح للخارج من ذلك المستوى الفائق في البعد الرابع، إلى سطح الخلية المكونة من 600 رأس. وبالتالي، فإن V هو رأس هرم رباعي الأبعاد مُرتكز على متعدد الأوجه.

يشكل الغلاف الأول للرأس في المجسم ذي الخلايا الـ 600 {3,3,5} مجسمًا خماسي الأوجه ذي 12 وجهًا (يُعرف أيضًا باسم المجسم الجيوديسي من الفئة الأولى {3,5+} _2,0 )، وهو المجسم الثنائي للمجسم ذي 12 وجهًا المشطوف (الغلاف الأول للخلية في المجسم ذي الخلايا الـ 120 {5,3,3} ). يحتوي هذا المجسم على 42 رأسًا، منها 30 رأسًا من المجسم ذي 12 وجهًا و12 رأسًا من المجسم ذي 12 وجهًا الموضح أدناه.

الهياكل المتداخلة
	يتم إسقاط الخلية المكونة من 600 خلية إلى ثلاثي الأبعاد باستخدام أساس متعامد. تُرتب الرؤوس وتُحصى وفقًا لمعيارها ثلاثي الأبعاد. يُظهر توليد الغلاف الشفاف المتزايد لكل مجموعة من المعايير المُحصاة ما يلي: 1) نقطتان عند نقطة الأصل ، 2) مجسمان عشرونيان، 3) مجسمان اثنا عشريان، 4) مجسمان عشرونيان أكبر حجمًا، 5) ومجسم عشروني اثنا عشري واحد، ليصبح المجموع 120 رأسًا. هذه هي الرؤية من أي رأس من رؤوس نقطة الأصل. تحتوي الخلية المكونة من 600 خلية على 60 مجموعة متميزة من هذه الأغلفة متحدة المركز، تتمركز كل مجموعة على زوج من الرؤوس المتقابلة.

تتوزع الرؤوس الـ 120 ^{[ 17 ]} على ثمانية أطوال وترية مختلفة . هذه الحواف والأوتار للخلية المكونة من 600 خلية هي ببساطة حواف وأوتار مضلعاتها الخمسة الدائرية العظمى . ^{[ 18 ]} وهي مرتبة تصاعديًا حسب الطول كما يلي:

${\displaystyle {\sqrt {0.382\sim }}={\sqrt {2-\phi }}=\phi ^{-1}\approx 0.618}$

${\displaystyle {\sqrt {1}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1.382\sim }}={\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2.618\sim }}={\sqrt {1+\phi }}=\phi \approx 1.618}$

${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

${\displaystyle {\sqrt {3.618\sim }}={\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$

${\displaystyle {\sqrt {4}}}$

في الرسم التخطيطي، يتم إعطاء أطوال الأوتار كجذور تربيعية، مع جزء كسري عشري إذا لزم الأمر، حيث:

${\displaystyle \Phi =\phi ^{-1}\approx 0.618}$

هي النسبة الذهبية المعكوسة، و:

${\displaystyle \Delta =1-\Phi =\Phi ^{2}\approx 0.382}$

مربعه. على سبيل المثال، طول ضلع الشكل المكون من 600 خلية هو:

${\displaystyle \Phi ={\sqrt {0.\Delta }}={\sqrt {0.382\sim }}\approx 0.618}$

الأوتار المكعبة الفائقة الأربعة للخلية ذات الـ 24 (${\displaystyle {\sqrt {1}}}$،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،${\displaystyle {\sqrt {4}}}$تتناوب هذه الأشكال مع الأوتار الأربعة الجديدة للدوائر العظمى الإضافية المكونة من 600 خلية، وهي الأشكال العشرية والخماسية. أطوال الأوتار الذهبية الجديدة هي بالضرورة جذور تربيعية لكسور، ولكنها كسور خاصة جدًا مرتبطة بالنسبة الذهبية، بما في ذلك المقطعين الذهبيين لـ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$.

تُكمل الخلية ذات الـ 600 خلية الخلية ذات الـ 24 خلية بإضافة 96 رأسًا إضافيًا بين رؤوس الخلية ذات الـ 24 خلية الموجودة، مما يُضيف فعليًا 24 خلية متداخلة أخرى ذات 24 خلية مُحاطة بالخلية ذات الـ 600 خلية. السطح الجديد المُتشكل هو عبارة عن فسيفساء من خلايا وأوجه أصغر حجمًا وأكثر عددًا: رباعيات الأوجه ذات طول حافة${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$بدلاً من ثماني السطوح ذات طول الحافة${\displaystyle {\sqrt {1}}}$وهو يحيط بـ${\displaystyle {\sqrt {1}}}$حواف الخلايا الـ 24، والتي تصبح أوتارًا داخلية غير مرئية في الخلايا الـ 600، مثل${\displaystyle {\sqrt {2}}}$و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$الأوتار .

بما أن الأوجه الرباعية تتكون من أضلاع مثلثية أقصر من الأوجه الثمانية (بمعامل 1/2)${\displaystyle \phi ^{-1}}$(النسبة الذهبية المعكوسة)، لا يمتلك الشكل ذو الـ 600 خلية طول ضلع يساوي واحدًا في نظام إحداثيات نصف قطره وحدة واحدة، كما هو الحال في الشكل ذي الـ 24 خلية والمكعب الفائق؛ وعلى عكسهما، فإن الشكل ذو الـ 600 خلية ليس متساوي الأضلاع شعاعيًا . ومثلهما، فهو مثلث شعاعيًا بطريقة خاصة، ولكن بطريقة تلتقي فيها المثلثات الذهبية، بدلًا من المثلثات متساوية الأضلاع، في المركز. عدد قليل فقط من متعددات الوجوه المنتظمة يمتلك هذه الخاصية، بما في ذلك الشكل ذو الـ 600 خلية رباعي الأبعاد، والمجسم ذو الـ 12 وجهًا ثلاثي الأبعاد، والمجسم ذو الـ 10 أوجه ثنائي الأبعاد . (المجسم ذو الـ 12 وجهًا هو المقطع العرضي الاستوائي للشكل ذي الـ 600 خلية، والمجسم ذو الـ 10 أوجه ثنائي الأبعاد هو المقطع العرضي الاستوائي للمجسم ذو الـ 12 وجهًا). متعددات الوجوه الذهبية شعاعيًا هي تلك التي يمكن إنشاؤها، بنصف قطرها، من المثلثات الذهبية .

يُحيط غلاف حدودي مكون من 600 خلية رباعية الأوجه صغيرة بخمسة وعشرين غلافًا مكونًا من 24 خلية ثمانية الأوجه (مضيفًا مساحة رباعية الأبعاد في بعض المواضع بين هذه الأغلفة المنحنية ثلاثية الأبعاد). يجب أن يكون شكل هذه الفراغات هرمًا ثماني الأوجه رباعي الأوجه من نوع ما، ولكنه ليس منتظمًا في الخلية المكونة من 600 خلية .

يتم ترتيب أوتار الرؤوس للخلايا الـ 600 في مضلعات الدائرة العظمى الجيوديسية من خمسة أنواع: العشرية، والسداسية، والخماسية، والمربعة، والمثلثة. ^{[ 19 ]}

ال${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$تشكل الحواف 72 شكلاً مركزياً منتظماً مسطحاً من عشرية الأضلاع ، يتقاطع 6 منها عند كل رأس. وكما يمكن تقسيم المجسم ذي العشرة عشر وجهاً إلى 6 أشكال مركزية من عشرية الأضلاع (60 حافة = 6 × 10)، يمكن تقسيم المجسم ذي الـ 600 خلية إلى 72 شكلاً من عشرية الأضلاع (720 حافة = 72 × 10).${\displaystyle \phi ^{-1}}$تقسم الحواف السطح إلى 1200 وجه مثلثي و600 خلية رباعية الأوجه: أي ما يعادل 600 خلية. وتظهر الحواف الـ 720 في 360 زوجًا متوازيًا.${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$متباعدة. كما هو الحال في المضلع العشاري والمضلع ذي العشرين وجهًا، تقع الحواف في مثلثات ذهبية تلتقي في مركز المضلع. يمكن تقسيم المضلعات العشارية الكبيرة البالغ عددها 72 مضلعًا إلى 6 مجموعات من 12 مسارًا جيوديسيًا متوازيًا من نوع كليفورد غير متقاطع ، بحيث تمر دائرة عظمى واحدة فقط من كل مجموعة عبر كل رأس، وتصل المضلعات العشارية الـ 12 في كل مجموعة إلى جميع الرؤوس الـ 120. ^{[ 20 ]}

ال${\displaystyle {\sqrt {1}}}$تشكل الأوتار 200 سداسيًا مركزيًا (25 مجموعة من 16 سداسيًا، مع وجود كل سداسي في مجموعتين) ^{[ 21 ]} ، يتقاطع 10 منها عند كل رأس (4 من كل خلية من الخلايا الخمس المكونة من 24 خلية والتي تلتقي عند الرأس، مع وجود كل سداسي في خليتين من تلك الخلايا الـ 24). تتكون كل مجموعة من 16 سداسيًا من 96 ضلعًا و24 رأسًا لإحدى الخلايا الـ 25 المتداخلة والمحاطة بالشبكة والمكونة من 24 خلية.${\displaystyle {\sqrt {1}}}$الأوتار تربط الرؤوس التي هي اثنين${\displaystyle \phi ^{-1}}$حواف متباعدة. كل واحدة${\displaystyle {\sqrt {1}}}$الوتر هو القطر الأطول لزوج من الخلايا رباعية الأوجه المرتبطة ببعضها ( هرم ثنائي مثلثي )، ويمر عبر مركز الوجه المشترك. وبما أن هناك 1200 وجه، فإن عدد الأوجه يساوي 1200.${\displaystyle {\sqrt {1}}}$الأوتار، في 600 زوج متوازٍ،${\displaystyle {\sqrt {3}}}$تتباعد المستويات السداسية. وهي غير متعامدة (بفارق 60 درجة)، لكنها تظهر على شكل 100 زوج ثنائي، حيث تكون جميع محاور أحد السداسيات الثلاثة متعامدة مع جميع محاور نظيره الثنائي. ^{[ 22 ]} يمكن تقسيم السداسيات الكبيرة الـ 200 إلى 10 مجموعات من 20 مسارًا جيوديسيًا متوازيًا من نوع كليفورد غير متقاطع، بحيث تمر دائرة سداسية عظمى واحدة فقط في كل مجموعة عبر كل رأس، وتصل السداسيات الـ 20 في كل مجموعة إلى جميع الرؤوس الـ 120. ^{[ 23 ]}

ال${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$تشكل الأوتار 144 شكلاً خماسياً مركزياً، يتقاطع 6 منها عند كل رأس.${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$تمتد الأوتار من رأس إلى رأس ثانٍ في نفس مستويات الأشكال العشرية الـ 72: حيث يُرسم شكلان خماسيان داخل كل شكل عشري. وهي تربط الرؤوس التي هي اثنان${\displaystyle \phi ^{-1}}$حواف متباعدة على دائرة جيوديسية عظمى. 720${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$تتشكل الأوتار في 360 زوجًا متوازيًا،${\displaystyle \phi }$منفصل.

ال${\displaystyle {\sqrt {2}}}$تشكل الأوتار 450 مربعًا مركزيًا، يتقاطع 15 منها عند كل رأس (3 من كل خلية من الخلايا الخمس المكونة من 24 خلية والتي تلتقي عند الرأس).${\displaystyle {\sqrt {2}}}$الأوتار تربط الرؤوس التي هي ثلاثة${\displaystyle \phi ^{-1}}$حواف متباعدة (واثنين)${\displaystyle {\sqrt {1}}}$(بمسافة فاصلة بين الأوتار). يوجد 600${\displaystyle {\sqrt {2}}}$الأوتار، في 300 زوج متوازٍ،${\displaystyle {\sqrt {2}}}$بشكل منفصل. يمكن تقسيم المربعات الكبيرة الـ 450 (225 زوجًا متعامدًا تمامًا ) إلى 15 مجموعة من 30 مسارًا جيوديسيًا متوازيًا من نوع كليفورد غير متقاطع، بحيث يمر مربع واحد فقط من كل مجموعة عبر كل رأس، وتصل المربعات الـ 30 (15 زوجًا متعامدًا تمامًا) في كل مجموعة إلى جميع الرؤوس الـ 120. ^{[ 24 ]}

ال${\displaystyle \phi \approx 1.618}$تشكل الأوتار أرجل 720 مثلثًا متساوي الساقين مركزيًا (72 مجموعة من 10 مثلثات محصورة داخل كل مضلع عشاري)، يتقاطع 6 منها عند كل رأس. يبلغ طول الضلع الثالث (القاعدة) لكل مثلث متساوي الساقين${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$. ال${\displaystyle \phi }$تمتد الأوتار من رأس إلى كل رأس ثالث في نفس مستويات المضلعات العشرية الـ 72، وتصل بين الرؤوس التي هي ثلاثة${\displaystyle \phi ^{-1}}$تتباعد الحواف على دائرة جيوديسية عظمى. يوجد 720 حافة مميزة${\displaystyle \phi }$الأوتار، في 360 زوجًا متوازيًا،${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}}$منفصل.

ال${\displaystyle {\sqrt {3}}}$تشكل الأوتار 400 مثلث مركزي متساوي الأضلاع (25 مجموعة من 32 مثلثًا، مع وجود كل مثلث في مجموعتين)، يتقاطع 10 منها عند كل رأس (4 من كل خلية من الخلايا الخمس المكونة من 24 خلية ، مع وجود كل مثلث في خليتين من الخلايا الـ 24). تتكون كل مجموعة من 32 مثلثًا من 96${\displaystyle {\sqrt {3}}}$الأوتار و24 رأسًا لإحدى الخلايا الـ25 المتداخلة المكونة من 24 خلية.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$تمتد الأوتار من رأس إلى رأس ثانٍ في نفس مستويات الأشكال السداسية الـ 200: حيث يتم رسم مثلثين داخل كل شكل سداسي.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$الأوتار تربط الرؤوس التي هي أربعة${\displaystyle \phi ^{-1}}$حواف متباعدة (واثنين)${\displaystyle {\sqrt {1}}}$(أوتار متباعدة على دائرة جيوديسية عظمى). كل${\displaystyle {\sqrt {3}}}$الوتر هو القطر الأطول لخليتين مكعبتين في نفس الخلية المكونة من 24 خلية. يوجد 1200${\displaystyle {\sqrt {3}}}$الأوتار، في 600 زوج متوازٍ،${\displaystyle {\sqrt {1}}}$منفصل.

ال${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}\approx 1.902}$تشكل الأوتار (أقطار الخماسيات) أرجل 720 مثلثًا متساوي الساقين مركزيًا (144 مجموعة من 5 مثلثات مرسومة داخل كل خماسي)، يتقاطع 6 منها عند كل رأس. الحافة الثالثة (القاعدة) لكل مثلث متساوي الساقين هي حافة من حواف الخماسي طولها${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$إذن، هذه مثلثات ذهبية .${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$تمتد الأوتار من رأس إلى كل رأس رابع في نفس مستويات المضلعات العشرية الـ 72، رابطةً الرؤوس التي هي أربعة${\displaystyle \phi ^{-1}}$تتباعد الحواف على دائرة جيوديسية عظمى. يوجد 720 حافة مميزة${\displaystyle {\sqrt {2+\phi }}}$الأوتار، في 360 زوجًا متوازيًا،${\displaystyle \phi ^{-1}}$منفصل.

ال${\displaystyle {\sqrt {4}}}$تتكون الأوتار من 60 قطراً طويلاً (75 مجموعة من 4 محاور متعامدة، كل مجموعة منها تتكون من 16 خلية )، و120 نصف قطراً طويلاً للخلية المكونة من 600 خلية.${\displaystyle {\sqrt {4}}}$الأوتار تربط الرؤوس المتقابلة، وهي خمسة${\displaystyle \phi ^{-1}}$حواف متباعدة على دائرة جيوديسية عظمى. توجد 25 مجموعة متميزة ولكنها متداخلة من 12 قطرًا، كل منها يتألف من خلية واحدة من الخلايا الـ 25 المضمنة المكونة من 24 خلية. توجد 75 مجموعة متميزة ولكنها متداخلة من 4 أقطار متعامدة، كل منها يتألف من خلية واحدة من الخلايا الـ 75 المضمنة المكونة من 16 خلية.

مجموع مربعات أطوال جميع الأوتار المختلفة في الخلية ذات الـ 600 هو 14400 = 120. [ ^{أ ] هذه هي} جميع المضلعات المركزية التي تمر بالرؤوس، ولكن الخلية ذات الـ 600 تحتوي على دائرة عظمى واحدة جديرة بالذكر لا تمر بأي رأس (مضلع ذو 0 ضلع). علاوة على ذلك، في الفضاء الرباعي الأبعاد، توجد مسارات جيوديسية على الكرة ثلاثية الأبعاد لا تقع في المستويات المركزية على الإطلاق. توجد أقصر المسارات الجيوديسية بين رأسين من رؤوس الخلية ذات الـ 600، وهي حلزونية وليست دائرية؛ وتتوافق مع دورانات متساوية الميل (قطرية) وليست دورانات بسيطة.

تقع جميع المضلعات الجيوديسية المذكورة أعلاه في مستويات مركزية من ثلاثة أنواع فقط، يتميز كل منها بزاوية دوران: مستويات العشاري ( بزاوية π / 5 ) ، ومستويات السداسيات ( بزاوية π / 3 ، وكذلك في الخلايا الـ 24 المُحاطة بـ 25 خلية)، ومستويات المربعات (بزاوية π / 2 ، وكذلك في الخلايا الـ 16 المُحاطة بـ 75 خلية والخلايا الـ 24). يمكن تقسيم هذه المستويات المركزية للخلية المكونة من 600 خلية إلى 4 مستويات مركزية فائقة متعامدة (ثلاثية الأبعاد)، يشكل كل منها مجسمًا ذا 12 وجهًا . يوجد 450 مربعًا كبيرًا تفصل بينها زاوية 90 درجة؛ و200 سداسي كبير تفصل بينها زاوية 60 درجة؛ و72 عشاريًا كبيرًا تفصل بينها زاوية 36 درجة. كل مستوى مربع كبير متعامد تمامًا مع مستوى مربع كبير آخر. كل مستوى سداسي كبير متعامد تمامًا مع مستوى يتقاطع مع رأسين فقط (رأس واحد).${\displaystyle {\sqrt {4}}}$القطر الأطول): مستوى ثنائي كبير . كل مستوى عشاري كبير متعامد تمامًا مع مستوى لا يتقاطع مع أي من رؤوسه: مستوى صفري كبير.

يمكن تقسيم كل مجموعة من المضلعات الدائرية العظمى المتشابهة (مربعات أو سداسيات أو عشريات) إلى حزم من دوائر كليفورد العظمى المتوازية غير المتقاطعة (تتكون من 30 مربعًا أو 20 سداسيًا أو 12 عشريًا). كل حزمة من هذه الدوائر المتوازية عبارة عن تليف هوبف منفصل يملأ الخلية المكونة من 600 خلية، ويمر بجميع رؤوسها الـ 120 مرة واحدة فقط. ^{[ 26 ]} لكل تليف هوبف منفصل قاعدة ثلاثية الأبعاد، وهي عبارة عن متعدد السطوح مميز يعمل كخريطة أو نموذج مصغر للتليف. تلتف المضلعات الدائرية العظمى في كل حزمة حلزونيًا حول بعضها البعض، محددة حلقات حلزونية من الخلايا المرتبطة بالوجوه، والتي تتداخل مع بعضها البعض، وتمر عبر بعضها البعض دون أن تتقاطع في أي خلية، وتملأ الخلية المكونة من 600 خلية تمامًا بمجموعات خلاياها المنفصلة. تملأ حزم الألياف المختلفة، بحلقاتها الخلوية، نفس المساحة (الخلية المكونة من 600 خلية)، لكن أليافها تمتد بشكل متوازٍ وفقًا لمبدأ كليفورد في "اتجاهات" مختلفة؛ فالمضلعات الدائرية العظمى في التليفات المختلفة ليست متوازية وفقًا لمبدأ كليفورد. ^{[ 27 ]}

العشاريات

تتضمن ألياف الخلية المكونة من 600 خلية 6 ألياف من أصل 72 من أشكالها العشرية الكبيرة: 6 حزم ليفية، كل حزمة تضم 12 شكلاً عشرياً كبيراً. الأشكال العشرية المتوازية الاثني عشر في كل حزمة منفصلة تماماً. وتتصل الأشكال العشرية المتوازية المتجاورة بحواف أشكال عشرية كبيرة أخرى.

تُحدد كل حزمة ليفية 20 حلقة حلزونية ، كل منها تتكون من 30 خلية رباعية الأوجه، مع تداخل خمس حلقات حول كل مضلع عشاري. ^{[ 28 ]} خريطة هوبف لهذا التليف هي المجسم العشري الوجوه ، حيث يرتفع كل رأس من رؤوسه الاثني عشر إلى مضلع عشاري كبير، ويرتفع كل وجه من وجوهه المثلثة العشرين إلى حلقة مكونة من 30 خلية. تشغل كل خلية رباعية الأوجه حلقة واحدة فقط من حلقات الخلايا العشرين في كل من التليفات الستة. تُساهم كل خلية رباعية الأوجه بكل ضلع من أضلاعها الستة في مضلع عشاري في تليف مختلف، ولكنها تُساهم بهذا الضلع في خمس حلقات خلايا متميزة في التليف.

إن الدوائر العظيمة الاثنتي عشرة والحلقات المكونة من 30 خلية من التليفات الستة المميزة لهوبف في الخلية المكونة من 600 خلية تجعل الخلية المكونة من 600 خلية عبارة عن تكوين هندسي من 30 "نقطة" و 12 "خطًا" مكتوبة على النحو التالي 30 ₂ 12 ₅ . يُطلق عليه اسم تكوين شلافلي المزدوج السداسي نسبة إلى لودفيج شلافلي ، ^{[ 30 ]} عالم الرياضيات السويسري الذي اكتشف الخلية 600 والمجموعة الكاملة من متعددات الوجوه المنتظمة في n بُعد. ^{[ 31 ]}

اكتشف ثورولد جوسيت متعددات الوجوه شبه المنتظمة رباعية الأبعاد ، بما في ذلك متعدد الوجوه ذو الـ 24 خلية المقطوعة (96 رأسًا)، والذي يقع بين متعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية ومتعدد الوجوه ذي الـ 600 خلية في سلسلة متعددات الوجوه المحدبة رباعية الأبعاد ذات الحجم والتعقيد المتزايدين ضمن نفس نصف القطر. يتم بناء متعدد الوجوه ذي الـ 600 خلية من متعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية على مرحلتين، باستخدام متعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية المقطوعة كشكل وسيط. في المرحلة الأولى، الأكثر تعقيدًا (الموصوفة في موضع آخر )، يتم بناء متعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية المقطوعة عن طريق اقتطاع خاص لمتعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية عند النسب الذهبية لحوافه. ^{[ 9 ]} في المرحلة الثانية، يتم بناء متعدد الوجوه ذي الـ 600 خلية بطريقة مباشرة عن طريق إضافة أهرامات رباعية (رؤوس) إلى أوجه متعدد الوجوه ذي الـ 24 خلية المقطوعة. ^{[ 36 ]}

إنّ الشكل المختزل ذو الـ 24 خلية هو شكل مُصغّر ذو 600 خلية، حيث تمّ اقتطاع 24 رأسًا (ومجموعة الخلايا الرباعية الأوجه العشرين المحيطة بكل رأس)، تاركًا خلية عشرينية الأوجه "مسطحة" مكان كل هرم عشريني الأوجه مُزال. وبالتالي، يحتوي الشكل المختزل ذو الـ 24 خلية على 24 خلية عشرينية الأوجه و120 خلية رباعية الأوجه متبقية. أما الخطوة الثانية في بناء جوسيت للشكل ذي الـ 600 خلية فهي ببساطة عكس عملية التصغير هذه: حيث يتم وضع هرم عشريني الأوجه مكون من 20 خلية رباعية الأوجه على كل خلية عشرينية الأوجه.

يتطلب بناء الخلية ذات نصف القطر الواحد 600 من سلفها، الخلية ذات نصف القطر الواحد 24، باستخدام طريقة جوسيت، ثلاث خطوات. الخلية ذات الـ 24، السلف للخلية المقطوعة 24، ليست بنفس نصف القطر، بل هي أكبر، لأن الخلية المقطوعة 24 هي نسخة مقطوعة منها. بدءًا من الخلية ذات نصف القطر الواحد 24، تتمثل الخطوة الأولى في عكسها حول كرتها الوسطى لبناء نظيرتها الخارجية المتعارف عليها : خلية أكبر ذات 24، لأن الخلية ذات الـ 24 هي نظيرة ذاتية. يمكن بعد ذلك قطع هذه الخلية الأكبر ذات الـ 24 إلى خلية مقطوعة ذات نصف قطر واحد 24.

نظرًا لطبيعتها غير المباشرة، قد لا يُساعدنا بناء جوسيت كثيرًا في تصور كيفية ترابط الخلايا الستمائة رباعية الأوجه لتشكيل غلاف سطحي ثلاثي الأبعاد منحني ، أو كيفية استقرارها على الغلاف السطحي الأساسي للخلايا الثمانية الأوجه المكونة من 24 خلية. ولذلك، من المفيد بناء نموذج الخلايا الستمائة مباشرةً من تجمعات الخلايا رباعية الأوجه.

يجد معظمنا صعوبة في تخيّل بنية الـ 600 خلية من الخارج في الفضاء رباعي الأبعاد، أو حتى في إدراك منظرها الخارجي، وذلك لافتقارنا التام للتجربة الحسية في الفضاءات رباعية الأبعاد، ^{[ 37 ]} ولكن ينبغي أن نكون قادرين على تخيّل الغلاف السطحي للـ 600 خلية من الداخل، لأن هذا الحجم فضاء ثلاثي الأبعاد يمكننا بالفعل "التجول فيه" واستكشافه. ^{[ 38 ]} في هذه التمارين لبناء بنية الـ 600 خلية من مجموعات الخلايا، نكون داخل فضاء ثلاثي الأبعاد بالكامل، وإن كان فضاءً صغيرًا ومغلقًا ومنحنيًا ، حيث يمكننا التحرك مسافة عشرة أطوال حواف فقط في خط مستقيم في أي اتجاه والعودة إلى نقطة البداية.

المجسمات العشرية الوجوه

الشكل الرأسي للخلية المكونة من 600 خلية هو الشكل العشري الوجوه .

تلتقي عشرون خلية رباعية الأوجه عند كل رأس، لتشكل هرمًا عشريني الأوجه ، رأسه هو الرأس، محاطًا بقاعدته العشرينية الأوجه. تبلغ الزاوية ثنائية السطوح للخلية المكونة من 600 خلية ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ + arccos(− ⁠ 1 / 4 ⁠ ) ≈ 164.4775° . ^{[ 39 ]}

يمكن تجميع مجسم كامل مكون من 600 خلية من 24 هرمًا عشرينيًا (مرتبطة وجهًا لوجه عند 8 من أصل 20 وجهًا للمجسم العشريني، والملونة باللون الأصفر في الرسم التوضيحي)، بالإضافة إلى 24 مجموعة من 5 خلايا رباعية الأوجه (أربع خلايا مرتبطة وجهًا لوجه حول خلية واحدة) تملأ الفراغات المتبقية بين المجسمات العشرينية. يرتبط كل مجسم عشريني وجهًا بكل مجموعة مجاورة من 5 خلايا من خلال وجهين أزرقين يشتركان في حافة (وهي أيضًا إحدى الحواف الست للهرم الرباعي المركزي). تحيط ست مجموعات من 5 خلايا بكل مجسم عشريني وجه، وتحيط ستة مجسمات عشرينية الوجوه بكل مجموعة من 5 خلايا. تحيط خمس خلايا رباعية الأوجه بكل حافة من حواف المجسم العشريني: اثنتان من داخل الهرم العشريني، وثلاث من خارجه.

رؤوس الأهرامات العشرين الـ 24 هي رؤوس خلية مكونة من 24 خلية محصورة داخل خلية مكونة من 600 خلية. أما الرؤوس الـ 96 الأخرى (رؤوس الأهرامات العشرين) فهي رؤوس خلية مقطوعة محصورة مكونة من 24 خلية ، والتي لها نفس بنية الأهرامات العشرين والرباعيات الموصوفة هنا، باستثناء أن الأهرامات العشرين ليست أهرامات رباعية مملوءة بخلايا رباعية الأوجه؛ بل هي خلايا عشرينية ثلاثية الأبعاد "مسطحة" فقط، لأن الرأس المركزي القمي مفقود.

تمر الحواف المكونة من 24 خلية، والتي تربط رؤوس قمة الهرم العشرين السطوح، عبر مراكز الأوجه الصفراء. ويمكن تلوين الأهرامات العشرين السطوح بثمانية أوجه صفراء واثني عشر وجهًا أزرق بخمس طرق مختلفة. وبالتالي، فإن رأس قمة كل هرم عشريني السطوح هو رأس مكون من خمس خلايا مختلفة، كل منها مكون من 24 خلية، وتتألف الرؤوس الـ 120 من 25 خلية (وليس 5).

ترتبط الأهرامات العشرية الوجوه بروابط وجهية لتشكل خطوطًا جيوديسية مستقيمة، تنحني في البعد الرابع لتشكل حلقة من 6 أهرامات عشرية الوجوه. رؤوس هذه الأهرامات هي رؤوس سداسي دائرة عظمى . يقطع هذا الخط الجيوديسي السداسي حلقة من 12 خلية رباعية الوجوه، مرتبطة بالتناوب وجهًا لوجه ورأسًا لرأس. يمثل القطر الأطول لكل زوج من رباعيات الوجوه المرتبطة وجهًا لوجه (كل هرم ثنائي مثلثي ) ضلعًا سداسيًا (ضلعًا مكونًا من 24 خلية). توجد 4 حلقات من 6 أهرامات عشرية الوجوه تتقاطع عند كل رأس، تمامًا كما توجد 4 حلقات متشابكة منفصلة الخلايا من 6 ثمانيات الوجوه في الخلية المكونة من 24 خلية ( تليف سداسي ).

ترتبط الخلايا رباعية الأوجه بروابط ثلاثية ، وتنحني في البعد الرابع لتشكل حلقات من 30 خلية رباعية الأوجه . تمثل هذه الحلزونات الثلاثة خطوطًا جيوديسية مستقيمة ذات 10 أضلاع: وهي عبارة عن أشكال عشرية دائرية عظمى تمتد بالتوازي مع بعضها البعض. يشارك كل رباعي أوجه، بستة أضلاع، في ستة أشكال عشرية مختلفة، وبالتالي في جميع التليفات العشرية الستة للخلية المكونة من 600 خلية .

إن تقسيم المجسم ذي الـ 600 خلية إلى مجموعات من 20 خلية ومجموعات من 5 خلايا هو تقسيم اصطناعي، لأن جميع الخلايا متطابقة. يمكن البدء باختيار مجموعة هرمية عشرينية الوجوه متمركزة عند أي رأس مختار عشوائيًا، وبالتالي يوجد 120 مجسمًا عشرينيًا الوجوه متداخلًا في المجسم ذي الـ 600 خلية. كل رأس من رؤوس هذه المجسمات الـ 120 هو رأس لخمس خلايا، كل منها مكون من 24 رأسًا، وبالتالي يوجد 25 خلية متداخلة، كل منها مكون من 24 رأسًا.

اتحاد اثنين من التوري

ثمة طريقة أخرى مفيدة لتقسيم سطح الـ 600 خلية إلى مجموعات من الخلايا رباعية الأوجه، مما يكشف عن المزيد من البنية ^{[ 41 ]} والتليفات العشرية للخلية. يمكن تجميع خلية كاملة مكونة من 600 خلية حول حلقتين من 5 أهرامات عشرينية الأوجه، متصلة رؤوسها ببعضها لتشكل خطين جيوديسيين مستقيمين.

يمكن تقسيم الشكل ذي الـ 120 خلية إلى حلقتين منفصلتين . وبما أنه الشكل الثنائي للشكل ذي الـ 600 خلية، فإن بنية الحلقتين الثنائيتين نفسها موجودة في الشكل ذي الـ 600 خلية، وإن كانت أكثر تعقيدًا بعض الشيء. يتوافق المسار الجيوديسي ذو الـ 10 خلايا في الشكل ذي الـ 120 خلية مع المسار العشاري ذي الـ 10 رؤوس في الشكل ذي الـ 600 خلية. ^{[ 42 ]}

ابدأ بتجميع خمسة رباعيات أوجه حول حافة مشتركة. يشبه هذا الهيكل إلى حد ما "صحنًا طائرًا" زاويًا. رص عشرة منها فوق بعضها، رأسًا لرأس، على غرار "الفطيرة". املأ الحلقة الدائرية بين كل زوج من "الصحون الطائرة" بعشرة رباعيات أوجه لتشكيل مجسم عشريني الوجوه. يمكنك اعتباره خمسة أهرامات عشرينية الوجوه متراصة الرؤوس ، مع ملء الفراغات الخمسة الإضافية في الحلقة الدائرية. السطح هو نفسه سطح عشرة موشورات خماسية مضادة متراصة : عمود ذو أوجه مثلثة ومقطع عرضي خماسي. ^{[ 43 ]} عند ثنيه على شكل حلقة عمودية، يصبح هذا الشكل طارة تتكون من 150 خلية، طول كل منها عشرة أضلاع، مع 100 وجه مثلث مكشوف، و150 ضلعًا مكشوفًا، و50 رأسًا مكشوفًا. رص رباعي أوجه آخر على كل وجه مكشوف. سينتج عن ذلك شكل حلقي غير منتظم نوعًا ما مكون من 250 خلية، مع 50 رأسًا مرتفعًا، و50 رأسًا منخفضًا، و100 حافة منخفضة. تمثل الحواف المنخفضة مسارات مغلقة بطول 10 حواف، وتتوافق مع حالات أخرى من مسار العشاري ذي العشرة رؤوس المذكور أعلاه (العشاري الدائري). تدور هذه العشاري حلزونيًا حول العشاري المركزي، ولكنها جميعًا متكافئة رياضيًا (تقع جميعها في مستويات مركزية).

قم ببناء حلقة ثانية مماثلة مكونة من 250 خلية، تتصل بالأولى. وهذا يُشكل 500 خلية. تتصل هاتان الحلقتان معًا بحيث تلامس رؤوس الوادي الرؤوس المرتفعة، تاركةً 100 فراغ رباعي الأوجه تُملأ بالـ 100 رباعي الأوجه المتبقية التي تتصل عند حواف الوادي. تقع هذه المجموعة الأخيرة من 100 رباعي الأوجه على الحدود الدقيقة للأسطوانة المزدوجة، وتشكل حلقة كليفورد . يمكن فردها إلى مصفوفة مربعة 10×10. بالمناسبة، يُشكل هذا الهيكل طبقة رباعية الأوجه واحدة في خلية النحل رباعية الأوجه-ثمانية الأوجه . يوجد بالضبط 50 تجويفًا وقمة على كلا الجانبين تتصل بحلقات الـ 250 خلية. في هذه الحالة، في كل تجويف، بدلاً من شكل ثماني الأوجه كما هو الحال في قرص العسل، يتم وضع هرم ثنائي مثلثي يتكون من اثنين من رباعيات الأوجه.

يتمتع هذا التفكيك للخلية المكونة من 600 خلية بتناظر [10,2 ⁺ ,10]، من الرتبة 400، وهو نفس تناظر المنشور المضاد الكبير . ^{[ 44 ]} المنشور المضاد الكبير هو ببساطة الخلية المكونة من 600 خلية مع إزالة الطورات المكونة من 150 خلية أعلاه، تاركًا فقط الطبقة الوسطى الوحيدة المكونة من 300 رباعي الأوجه، وهي مماثلة من حيث الأبعاد لحزام الأوجه العشرة لمجسم عشريني الوجوه مع إزالة الأوجه الخمسة العلوية والخمسة السفلية (منشور مضاد خماسي ).

يحتوي كل من التوريين المكونين من 150 خلية على 6 أشكال عشرية كبيرة متوازية من نوع كليفورد (خمسة حول واحد)، والتوريين متوازيان من نوع كليفورد مع بعضهما البعض، لذلك يشكلان معًا تليفًا كاملاً من 12 شكلًا عشريًا يصل إلى جميع الرؤوس الـ 120، على الرغم من ملء نصف الخلايا الـ 600 فقط بالخلايا.

حلقات حلزونية من نوع بويرديك-كوكسيتر

يمكن أيضًا تقسيم الخلية المكونة من 600 خلية إلى 20 حلقة متشابكة منفصلة، ​​كل منها مكون من 30 خلية، ^{[ 28 ]} طول كل منها عشرة أضلاع، لتشكل تليف هوبف منفصلًا يملأ الخلية بأكملها. كل حلقة من 30 رباعي الأوجه المرتبط بالوجوه هي عبارة عن حلزون بورديك-كوكسيتر أسطواني مثني على شكل حلقة في البعد الرابع.

حلقة حلزونية واحدة من نوع Boerdijk–Coxeter مكونة من 30 رباعي الأوجه داخل الخلية المكونة من 600 خلية، كما تُرى في الإسقاط المجسم.	يمكن رؤية حلقة رباعية الأوجه مكونة من 30 ضلعًا على طول محيط هذا الإسقاط المتعامد المكون من 30 ضلعًا للخلية المكونة من 600 ضلع.	الحلقة المكونة من 30 خلية هي شكل متعدد الأضلاع {30/11} يتكون من 30 ضلعًا ملفوفة على شكل حلزون يلتف حول محوره 11 مرة. يُظهر هذا الإسقاط على طول محور الأسطوانة المكونة من 30 خلية الرؤوس الثلاثين متباعدة بزاوية 12 درجة حول المقطع العرضي الدائري للأسطوانة، حيث تربط الأضلاع كل رأس من الرؤوس الحادي عشر على الدائرة.
حلقة حلزونية من نوع بورديك-كوكسيتر ، مكونة من 30 رأسًا و30 رباعي الأوجه ، مقطوعة ومسطحة في الفضاء ثلاثي الأبعاد. تحيط بالحلقة ثلاثة أشكال عشرية كبيرة متوازية زرقاء سماوية من نوع كليفورد. ويربط بينها حلزون مائل مكون من 30 ضلعًا أرجوانيًا ، يربط جميع الرؤوس الثلاثين: وهو مضلع بيتري للخلية المكونة من 600 خلية. تشكل الأضلاع البرتقالية الخمسة عشر والأضلاع الصفراء الخمسة عشر حلزونات منفصلة مكونة من 15 ضلعًا، وهي مسارات حواف المنحنيات المتساوية .

الحلقة المكونة من 30 خلية هي الفضاء ثلاثي الأبعاد الذي تشغله رؤوس ثلاثة أشكال عشرية كبيرة متوازية زرقاء سماوية اللون، تقع بجوار بعضها البعض، وتفصل بينها زاوية 36° = π / 5 = طول ضلع واحد من أضلاع 600 خلية عند جميع أزواج رؤوسها. تشكل الأضلاع الأرجوانية الثلاثون التي تربط أزواج الرؤوس هذه شكلاً حلزونياً ثلاثي الأضلاع، وهو حلزون مائل مكون من 30 وجهًا مثلثيًا مرتبطًا بالأضلاع، وهو مضلع بتري للخلية المكونة من 600 خلية. أما المضلع الثنائي للحلقة المكونة من 30 خلية (المضلع المائل المكون من 30 ضلعًا الناتج عن توصيل مراكز خلاياها) فهو مضلع بتري للخلية المكونة من 120 خلية ، وهو المضلع الثنائي للخلية المكونة من 600 خلية . المحور المركزي للحلقة المكونة من 30 خلية هو شكل جيوديسي كبير مكون من 30 ضلعًا يمر عبر مركز 30 وجهًا، ولكنه لا يتقاطع مع أي رؤوس.

تشكل الحواف البرتقالية الخمسة عشر والحواف الصفراء الخمسة عشر حلزونات منفصلة مكونة من 15 غرامًا. يتقاطع كل ضلع برتقالي أو أصفر بين شكلين عشريين كبيرين سماويين. لا تقع الحواف البرتقالية أو الصفراء المتتالية لهذه الحلزونات المكونة من 15 غرامًا على نفس الدائرة العظمى؛ بل تقع في مستويات مركزية مختلفة مائلة بزاوية 36° = π / 5 . يتميز كل حلزون مكون من 15 غرامًا بكونه مسار حافة لمنحنى متساوي الميل ، وهو المسار الجيوديسي لدوران متساوي الميل . المنحنى متساوي الميل هو منحنى دائري يتقاطع مع كل رأس ثانٍ من رؤوس الحلزون المكون من 15 غرامًا، متجاوزًا الرأس الواقع بينهما. يمتد منحنى متساوي الميل مرتين حول كل حلزون برتقالي (أو أصفر) مكون من 15 غرامًا، مارًا بكل رأس ثانٍ، ويصطدم بنصف الرؤوس في الحلقة الأولى والنصف الآخر في الحلقة الثانية. تشكل الحلقتان المتصلتان حلقة موبيوس واحدة، وهي شكل خماسي عشري مائل {15/2} . لا يظهر الشكل الخماسي عشري في هذه الرسوم التوضيحية (ولكن انظر أدناه )، لأن حوافه عبارة عن أوتار غير مرئية بين رؤوس تفصل بينها حافتان برتقاليتان (أو حافتان صفراوان)، ولا تظهر أي أوتار في هذه الرسوم التوضيحية. على الرغم من أن رؤوس الحلقة الثلاثين المكونة من 30 خلية لا تقع في مستوى مركزي واحد كبير ذي 30 ضلعًا، فإن هذه المنحنيات المتساوية غير المرئية للشكل الخماسي عشري هي دوائر جيوديسية حقيقية من نوع خاص، تمتد عبر الأبعاد الأربعة جميعها بدلاً من أن تقع في مستوى ثنائي الأبعاد كما هو الحال في الدائرة الجيوديسية العظمى العادية.

تتداخل خمسة من هذه الحلزونات المكونة من 30 خلية معًا وتلتف حلزونيًا حول كل مسار من مسارات العشاري ذي الرؤوس العشرة، لتشكل الطارة المكونة من 150 خلية الموصوفة في تحليل المنشور المضاد الكبير أعلاه. ^{[ 44 ]} وبالتالي، فإن كل عشاري كبير هو العشاري المركزي لطورة مكونة من 150 خلية. يمكن تحليل الطارة المكونة من 600 خلية إلى 20 حلقة مكونة من 30 خلية، أو إلى طارتين مكونتين من 150 خلية و10 حلقات مكونة من 30 خلية، ولكن لا يمكن تحليلها إلى أربع طارات مكونة من 150 خلية من هذا النوع. يمكن تحليل الطارة المكونة من 600 خلية إلى أربع طارات مكونة من 150 خلية من نوع مختلف. ^{[ 34 ]}

يمكن إنشاء الخلية المكونة من 600 خلية بشكل شعاعي من 720 مثلثًا ذهبيًا بأطوال أضلاع مختلفة.${\displaystyle 1,1,\phi ^{-1}}$والتي تلتقي في مركز متعدد السطوح الرباعي، حيث يساهم كل منها باثنين${\displaystyle {\sqrt {1}}}$أنصاف الأقطار و أ${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$الحافة. ​​تشكل 1200 هرمًا مثلثيًا برؤوسها في المركز: رباعيات أوجه غير منتظمة متساوية الأضلاع${\displaystyle \phi ^{-1}}$قواعد (وجوه الخلية المكونة من 600 خلية). تشكل هذه القواعد 600 هرم رباعي الأوجه، رؤوسها في المركز: خلايا غير منتظمة مكونة من 5 خلايا ذات أشكال منتظمة${\displaystyle \phi ^{-1}}$قواعد رباعي الأوجه (خلايا الخلية المكونة من 600).

خصائص الخلية المكونة من 600 خلية [ 45 ]
	الحافة [ 46 ]	قوس		الزاوية ثنائية السطوح [ 47 ]
ل	${\displaystyle \phi ^{-1}\approx 0.618}$	36 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$	164°29′	${\displaystyle \pi -2\psi }$
5	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3\phi ^{2}}}}\approx 0.505}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}-\eta }$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
ب [ ب ]	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}\approx 0.437}$	18 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	36 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{5}}}$
3	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}\approx 0.252}$	17°44′40″	${\displaystyle \eta -{\tfrac {\pi }{6}}}$	60 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}$
${\displaystyle _{0}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.535}$	22°15′20″	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}-\eta }$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{1}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}\approx 0.309}$	18 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{10}}}$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{2}R^{3}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{12\phi ^{2}}}}\approx 0.178}$	17°44′40″	${\displaystyle \eta -{\tfrac {\pi }{6}}}$	90 درجة	${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$
${\displaystyle _{0}R^{4}/l}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle _{1}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\phi }}\approx 0.951}$
${\displaystyle _{2}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}\approx 0.934}$
${\displaystyle _{3}R^{4}/l}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926}$
${\displaystyle \eta }$		37°44′40″	${\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}4}{2}}}$

كل متعدد الوجوه رباعي منتظم له مخططه الرباعي المميز، وهو عبارة عن خلية خماسية غير منتظمة .

يُمثَّل الشكل الخماسي المميز للشكل الرباعي المنتظم ذي الـ 600 خلية بمخطط كوكسيتر-دينكين ، الذي يُمكن قراءته كقائمة بالزوايا ثنائية السطوح بين أوجهه المتناظرة. وهو هرم رباعي الأوجه غير منتظم، مبني على الشكل الرباعي المميز للشكل الرباعي المنتظم . يُقسَّم الشكل الرباعي المنتظم ذو الـ 600 خلية، بواسطة مستويات التناظر الفائقة، إلى 14400 نسخة من شكله الخماسي المميز، تلتقي جميعها في مركزه.

يحتوي الشكل الخماسي المميز (المخطط الرباعي) على أربعة أضلاع إضافية مقارنةً بالهرم الرباعي المميز الأساسي (المخطط الثلاثي)، حيث تصل رؤوس القاعدة الأربعة برأس الهرم (الرأس الخامس للمخطط الرباعي، في مركز الخلية المنتظمة ذات 600 ضلع). إذا كان نصف قطر الخلية المنتظمة ذات 600 ضلع يساوي وحدة واحدة، فإن طول الضلع يساوي وحدة واحدة.${\displaystyle \ell =\phi ^{-1}\approx 0.618}$، تتميز هذه الخلية الخماسية بعشرة أضلاع لها أطوال${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\phi ^{-1}}$،${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\phi ^{-1}}$،${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {6}}}\phi ^{-1}}$حول وجهها الخارجي المثلث القائم الزاوية (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 𝟀، 𝝉، 𝟁)، ^{[ ب ]} بالإضافة إلى${\displaystyle {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\phi ^{-1}}$،${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\phi ^{-1}}$،${\displaystyle {\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}\phi ^{-1}}$(الحواف الثلاثة الأخرى للوجه الخارجي ثلاثي الأبعاد للشكل الرباعي المميز، وهي أنصاف أقطار مميزة للشكل الرباعي المنتظم)، بالإضافة إلى${\displaystyle 1}$،${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+\phi }}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{2}}{3}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$(الحواف التي تمثل أنصاف أقطار مميزة للخلية المكونة من 600). المسار ذو الأربع حواف على طول الحواف المتعامدة للمخطط المتعامد هو${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2\phi ^{2}}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6\phi ^{2}}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\phi ^{2}}}}}$،${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}}$، أولاً من رأس مكون من 600 خلية إلى مركز حافة مكون من 600 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز وجه مكون من 600 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز خلية رباعية الأوجه مكونة من 600 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز الخلية المكونة من 600 خلية.

يمكن بناء المجسم ذي الـ 600 خلية عن طريق انعكاسات خليته الخماسية المميزة في أوجهها (جدرانها المرآوية رباعية الأوجه). يرتبط الانعكاس بالدوران: فالانعكاس في عدد زوجي من المرايا المتقاطعة هو دوران. ^{[ 48 ] [ 49 ]} على سبيل المثال، يدور المجسم ذو الـ 600 خلية في مستويات عشرية ثابتة دورانًا متساوي الميل، حيث يمر كل رأس من رؤوسه الـ 120 عبر 15 رأسًا ثم يعود إلى نفسه، على شكل خط جيوديسي مائل من نوع خماسي _عشري ذي محيط 5π يلتف حول الكرة ثلاثية الأبعاد، بينما يدور كل مضلع عشري كبير (كعجلة) ويميل أيضًا جانبيًا (كعملة معدنية تُقلب) مع المستوى المتعامد تمامًا. أي مجموعة من أربعة أزواج متعامدة من الرؤوس المتقابلة (الرؤوس الثمانية لواحدة من الخلايا الـ 75 المضمنة ذات الـ 16 خلية) تقوم بمثل هذا المدار تزور 15 * 8 = 120 رأسًا مميزًا وتولد الخلية المكونة من 600 خلية بالتتابع في دورة متساوية الميل كاملة واحدة، تمامًا كما أن أي خلية مميزة واحدة مكونة من 5 خلايا تعكس نفسها في جدرانها المرآة تولد الرؤوس الـ 120 في وقت واحد عن طريق الانعكاس.

تستخدم طريقة بناء أخرى الأعداد الرباعية والتناظر العشري الوجوه لمدارات مجموعة ويل .${\displaystyle O(\Lambda )=W(H_{4})=I}$من الرتبة 120. ^{[ 50 ]} فيما يلي مدارات أوزان D4 تحت مجموعة ويل W(D4):

O(0100)  : T = {±1,±e1,±e2,±e3,(±1±e1±e2±e3)/2}

O(1000)  : V1

O(0010)  : V2

O(0001)  : V3

باستخدام الرباعيات${\displaystyle (p,q)}$أين${\displaystyle {\bar {p}}}$هو مرافق لـ${\displaystyle p}$و${\displaystyle [p,q]:r\rightarrow r'=prq}$و${\displaystyle [p,q]^{*}:r\rightarrow r''=p{\bar {r}}q}$ثم مجموعة كوكسيتر${\displaystyle W(H_{4})=\lbrace [p,{\bar {p}}]\oplus [p,{\bar {p}}]^{*}\rbrace }$هي مجموعة التناظر للخلية ذات 600 والخلية ذات 120 من الرتبة 14400.

منح${\displaystyle p\in T}$بحيث${\displaystyle {\bar {p}}=\pm p^{4},{\bar {p}}^{2}=\pm p^{3},{\bar {p}}^{3}=\pm p^{2},{\bar {p}}^{4}=\pm p}$و${\displaystyle p^{\dagger }}$كعملية تبادل${\displaystyle -1/\phi \leftrightarrow \phi }$داخل${\displaystyle p}$، يمكننا أن نبني:

• سنوب 24 خلية${\displaystyle S=\sum _{i=1}^{4}\oplus p^{i}T}$
• الخلية الـ 600${\displaystyle I=T+S=\sum _{i=0}^{4}\oplus p^{i}T}$
• الخلية ذات الـ 120${\displaystyle J=\sum _{i,j=0}^{4}\oplus p^{i}{\bar {p}}^{\dagger j}T'}$

يوجد 25 خلية منقوش عليها 24 خلية في الخلية المكونة من 600 خلية. ^{[ 11 ]}

تحتوي الخلية ذات 16 رأسًا على 4 أقطار طويلة مائلة بزاوية 90 درجة = ⁠ 𝜋 / 2 ⁠ بالنسبة لبعضها البعض، وغالبًا ما تعتبر المحاور المتعامدة الأربعة أو أساس نظام الإحداثيات.

تحتوي الخلية ذات الـ 24 رأسًا على 12 قطرًا طويلًا مائلة بزاوية 60 درجة = ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ بالنسبة لبعضها البعض: 3 مجموعات منفصلة من 4 محاور متعامدة، كل مجموعة تتكون من أقطار واحدة من 3 خلايا محاطة بـ 16 خلية، تدور بشكل متساوي الميل بمقدار ⁠ 𝜋 / 3 ⁠ بالنسبة لبعضها البعض.

تحتوي الخلية ذات الـ 600 رأس، والمكونة من 120 رأسًا، على 60 قطرًا طويلًا: ليس فقط 5 مجموعات منفصلة من 12 قطرًا، كل منها يتألف من خلية واحدة من أصل 5 خلايا داخلية مكونة من 24 قطرًا (كما قد نتوقع قياسًا)، بل 25 مجموعة متميزة ولكنها متداخلة من 12 قطرًا، كل منها يتألف من خلية واحدة من أصل 25 خلية داخلية مكونة من 24 قطرًا. ^{[ 52 ]} يوجد 5 خلايا منفصلة مكونة من 24 قطرًا في الخلية ذات الـ 600 رأس، ولكن ليس 5 فقط : فهناك 10 طرق مختلفة لتقسيم الخلية ذات الـ 600 رأس إلى 5 خلايا منفصلة مكونة من 24 قطرًا. ^{[ 53 ]}

كما هو الحال مع الخلايا الـ 16 والخلايا الـ 8 المحصورة داخل الخلية الـ 24، فإن الخلايا الـ 25 المحصورة داخل الخلية الـ 600 هي متعددات وجوه متماثلة الميل . وتكون المسافة الدورانية بين الخلايا الـ 24 المحصورة دائمًا π / 5 في كل مستوى دوران ثابت.

خمس خلايا مكونة من 24 خلية منفصلة لأنها متوازية وفقًا لمعيار كليفورد: رؤوسها المتناظرة تفصل بينها مسافة π / 5 على دائرتين عظميتين عشريتين متوازيتين غير متقاطعتين وفقًا لمعيار كليفورد (وكذلك المسافة π / 5 على نفس الدائرة العظمى العشرية). يؤدي دوران متساوي الميل للمستويات العشرية بمقدار π / 5 إلى تحويل كل خلية مكونة من 24 خلية إلى خلية منفصلة (تمامًا كما يؤدي دوران متساوي الميل للمستويات السداسية بمقدار π / 3 إلى تحويل كل خلية مكونة من 16 خلية إلى خلية منفصلة). يحدث كل دوران متساوي الميل في شكلين متماثلين: توجد 4 خلايا منفصلة مكونة من 24 خلية على يسار كل خلية مكونة من 24 خلية، و4 خلايا منفصلة أخرى مكونة من 24 خلية على يمينها . تصل الدورانات اليسرى واليمنى إلى خلايا مختلفة مكونة من 24 خلية؛ لذلك تنتمي كل خلية مكونة من 24 خلية إلى مجموعتين مختلفتين من خمس خلايا منفصلة مكونة من 24 خلية.

جميع متعددات الوجوه المتوازية لكليفورد متساوية الميل، ولكن ليس كل متعددات الوجوه متساوية الميل متوازية لكليفورد (أجسام منفصلة تمامًا). كل خلية من الخلايا الـ 24 متساوية الميل ومتوازية لكليفورد مع 8 خلايا أخرى، ومتساوية الميل ولكنها ليست متوازية لكليفورد مع 16 خلية أخرى. تشترك مع كل خلية من الخلايا الـ 16 في 6 رؤوس: مستوى مركزي سداسي. ترتبط الخلايا الـ 24 غير المنفصلة بدوران بسيط بزاوية π / 5 في مستوى ثابت يتقاطع مع رأسين فقط من الخلايا الـ 600، وهو دوران يكون فيه المستوى الثابت المتعامد تمامًا هو مستواها المركزي السداسي المشترك. كما ترتبط أيضًا بدوران متساوي الميل حيث يدور كلا المستويين بزاوية π / 5 .

يوجد نوعان من الدوران المتساوي الميل بزاوية π / 5 ، حيث ينقل كل خلية مكونة من 24 خلية إلى خلية أخرى مماثلة. ترتبط الخلايا المنفصلة المكونة من 24 خلية بدوران متساوي الميل بزاوية π / 5 لمجموعة كاملة من 12 مستوى ثابت عشري متوازي من نوع كليفورد . (يوجد 6 مجموعات من هذه الألياف، ويمكن إجراء دوران متساوي الميل باتجاه اليمين أو اليسار مع كل مجموعة، لذا يوجد 12 دورانًا مختلفًا). أما الخلايا غير المنفصلة المكونة من 24 خلية، فترتبط بدوران متساوي الميل بزاوية π / 5 لمجموعة كاملة من 20 مستوى ثابت سداسي متوازي من نوع كليفورد . (يوجد 10 مجموعات من هذه الألياف، لذا يوجد 20 دورانًا مختلفًا).

من جهة أخرى، كل مجموعة من المجموعات العشر المكونة من خمس خلايا منفصلة ذات 24 خلية متوازية وفقًا لمبدأ كليفورد، لأن السداسيات الكبيرة المقابلة لها متوازية وفقًا لمبدأ كليفورد أيضًا. (لا تحتوي الخلايا ذات 24 خلية على عشريات كبيرة). يمكن تقسيم السداسيات الكبيرة الستة عشر في كل خلية ذات 24 خلية إلى أربع مجموعات من أربعة مسارات جيوديسية متوازية وفقًا لمبدأ كليفورد غير متقاطعة ، تغطي كل مجموعة منها جميع رؤوس الخلية ذات 24 خلية. يمكن تقسيم السداسيات الكبيرة المئتين في الخلية ذات 600 خلية إلى عشر مجموعات من عشرين مسارًا جيوديسيًا متوازيًا وفقًا لمبدأ كليفورد غير متقاطع ، تغطي كل مجموعة منها جميع رؤوس الخلية ذات 120 رأسًا وتشكل تليفًا سداسيًا منفصلًا . يمكن تقسيم كل مجموعة من المجموعات العشر المكونة من عشرين سداسيًا منفصلًا إلى خمس مجموعات من أربعة سداسيات منفصلة، ​​تغطي كل مجموعة منها خلية منفصلة ذات 24 خلية. وبالمثل، فإن المربعات الكبيرة المقابلة المكونة من 24 خلية منفصلة هي متوازية كليفورد.

لكلٍّ من متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة ذات البعد 4 نوعٌ مميزٌ من الدوران المتساوي الميل الأيمن (والأيسر) ، والذي يتوافق مع نوعٍ مميزٍ من التليف الهوففي المنفصل للدوائر العظمى. على سبيل المثال، يمكن تليف خلية 600 بست طرق مختلفة إلى مجموعة من المضلعات العشرية العظمى المتوازية وفقًا لنظرية كليفورد ، وبالتالي فإن خلية 600 لها ستة دورانات متساوية الميل يمينًا (ويسارًا) متميزة، حيث تكون مستويات هذه المضلعات العشرية العظمى مستويات دوران ثابتة . نقول إن هذه الدورانات متساوية الميل مميزة لخلية 600 لأن حوافها تقع في مستوياتها الثابتة. تظهر هذه الدورانات فقط في خلية 600، على الرغم من أنها موجودة أيضًا في متعددات وجوه منتظمة أكبر (خلية 120) والتي تحتوي على نسخ محصورة من خلية 600.

كما تُشكّل المضلعات الجيوديسية (العُشارية أو السداسية أو المربعة) في المستويات المركزية للخلية المكونة من 600 خلية حزمًا ليفية من دوائر عظمى متوازية مع دوائر كليفورد، فإنّ المضلعات الجيوديسية المائلة المقابلة (التي ترسم مسارات الرؤوس على سطح كليفورد الحلقي تحت الدوران متساوي الميل) ^{[ 54 ]} تُشكّل حزمًا ليفية من خطوط متساوية الميل متوازية مع دوائر كليفورد : دوائر حلزونية تلتف عبر الأبعاد الأربعة. ولأنّ الدورانات متساوية الميل هي دورانات كيرالية ، تحدث في أشكال يسارية ويمينية، فإنّ لكل حزمة ليفية من المضلعات حزم ليفية مقابلة من المضلعات اليسارية واليمينية. ^{[ 55 ]} جميع الحزم الليفية هي جوانب من نفس التليف الهوف المنفصل ، لأنّ التليف هو التعبيرات المختلفة لنفس الزوج المتميز من الدورانات متساوية الميل اليسارية واليمينية.

تُعدّ حلقات الخلايا تعبيرًا آخر عن تليف هوبف. يحتوي كل تليف منفصل على مجموعة من حلقات الخلايا المنفصلة التي تُشكّل فسيفساء متعددة الأوجه رباعية الأبعاد. تتداخل خطوط التساوي في كل حزمة حلزونية حول بعضها البعض، وهي عبارة عن خطوط جيوديسية محورية لحلقات الخلايا المرتبطة بالأوجه. تتداخل حلقات الخلايا المتوازية لكليفورد في التليف، وتمر عبر بعضها البعض دون أن تتقاطع في أي خلية، وتملأ تمامًا الخلية المكونة من 600 خلية بمجموعات خلاياها المنفصلة.

تدور الدورانات متساوية الميل رؤوس جسم صلب على طول مسارات متوازية، حيث يدور كل رأس داخل دائرتين عظميين متعامدتين متحركتين، كما ينسج النول قطعة قماش من مجموعتين متعامدتين من الألياف المتوازية. تُشكل حزمة من مضلعات الدوائر العظمى المتوازية لكليفورد وحزمة مقابلة من مضلعات كليفورد المائلة متساوية الميل، خيوط السدى واللحمة لنفس الدوران متساوي الميل الأيسر أو الأيمن المميز، والذي ينقل مضلعات الدوائر العظمى المتوازية لكليفورد إلى بعضها البعض، ويقلبها مثل العملات المعدنية ويديرها عبر مجموعة متوازية من المستويات المركزية لكليفورد. في الوقت نفسه، ولأن المضلعات تدور أيضًا بشكل فردي مثل العجلات، فإن الرؤوس تُزاح على طول مضلعات كليفورد المتوازية الحلزونية متساوية الميل (التي تُشكل أوتارها المضلع المائل)، عبر رؤوس تقع في مضلعات كليفورد المتوازية المتتالية.

في الخلية المكونة من 600 خلية، يمكن تقسيم كل مجموعة من الأشكال المتعددة المائلة متساوية الميل (مسارات الرؤوس المتحركة في دوران المضلعات الكبيرة العشرية {10}، والسداسية {6}، والمربعة {4}) إلى حزم من خطوط التساوي المائلة غير المتقاطعة لأشكال كليفورد المتوازية. ^{[ 56 ]} تظهر حزم خطوط التساوي المائلة في أزواج من الكيرالية اليسرى واليمنى ؛ وتعمل خطوط التساوي المائلة في كل دوران كأجسام كيرالية ، كما هو الحال مع كل دوران متساوي الميل مميز بحد ذاته. يحتوي كل تليف على عدد متساوٍ من خطوط التساوي المائلة اليسرى واليمنى، في حزمتين منفصلتين، تتبعان مسارات رؤوس الخلية المكونة من 600 خلية أثناء دوران التليف متساوي الميل الأيسر أو الأيمن على التوالي. تشكل كل حزمة ألياف يسارية أو يمينية من خطوط التساوي المائلة في حد ذاتها تليف هوبف منفصل يملأ الخلية المكونة من 600 خلية بالكامل، ويزور جميع الرؤوس الـ 120 مرة واحدة فقط. إنها حزمة ألياف مختلفة عن حزمة دوائر كليفورد المتوازية المضلعة العظيمة، لكن حزمتي الألياف تصفان نفس التليف المنفصل لأنهما تعددان تلك الرؤوس الـ 120 معًا في نفس الدوران المتساوي الميل الأيمن (أو الأيسر) المميز، من خلال تقاطعهما كنسيج من الألياف المتوازية المنسوجة بشكل متقاطع.

تتضمن كل دورة متساوية الميل أزواجًا من مستويات الدوران المركزية الثابتة والمتعامدة تمامًا، والتي تدور جميعها بنفس الزاوية. ويمكن تحقيق ذلك بطريقتين: إما بالدوران في نفس الاتجاه، أو بالدوران في اتجاهين متعاكسين (وفقًا لقاعدة اليد اليمنى التي نعتمدها لتحديد اتجاه الأعلى على كل محور من محاور الإحداثيات الأربعة). يتوافق الشكل المضلع الأيمن والدورة متساوية الميل اليمنى مع أزواج ثابتة تدور في نفس الاتجاه؛ بينما يتوافق الشكل المضلع الأيسر والدورة متساوية الميل اليسرى مع أزواج تدور في اتجاهين متعاكسين. ^{[ 57 ]} تمثل الدورات متساوية الميل اليمنى واليسرى مسارات مختلفة تؤدي إلى أماكن مختلفة. بالإضافة إلى ذلك، يمكن تنفيذ كل دورة متساوية الميل (يسرى أو يمنى) في اتجاه موجب أو سالب على طول الألياف الدائرية المتوازية.

حزمة الألياف من منحنيات كليفورد المتوازية هي مجموعة من دوائر الرؤوس الحلزونية التي تُوصف بدوران متساوي الميل يساري أو يميني مميز. يتحرك كل رأس متحرك على طول منحنى متساوي الميل موجود داخل حلقة خلوية (متحركة). بينما يدور كل من الدورانين متساويي الميل اليساري واليميني دورة مزدوجة حول نفس مجموعة مستويات الدوران الثابتة المتوازية لكليفورد ، فإنهما يمران عبر مجموعات مختلفة من مضلعات الدائرة العظمى، لأن الدورانين متساويي الميل اليساري واليميني يصطدمان برؤوس متبادلة لمضلع الدائرة العظمى {2p} (حيث p عدد أولي ≤ 5). يشترك الدورانان اليساري واليميني في نفس حزمة هوبف من ألياف مضلع {2p}، وهي حزمة يسارية ويمينية في آن واحد ، لكنهما يمتلكان حزمًا مختلفة من مضلعات {p} ^{[ 58 ]} لأن الألياف المنفصلة هي مضلعات {p} يسارية ويمينية متقابلة محصورة داخل مضلع {2p}.

الدوران البسيط مباشر ومحلي، حيث ينقل بعض الرؤوس إلى رؤوس مجاورة على طول دوائر عظمى، وبعض المستويات المركزية إلى مستويات مركزية أخرى ضمن نفس المستوى الفائق. (يحتوي الشكل ذو الـ 600 خلية على أربعة مستويات فائقة مركزية متعامدة ، كل منها عبارة عن مجسم ذي 12 وجهًا). في الدوران البسيط، يوجد زوج واحد فقط من المستويات المركزية الثابتة والمتعامدة تمامًا للدوران؛ ولا يُعدّ هذا الدوران تليفًا.

الدوران المتساوي الميل هو دوران قطري وعالمي، ينقل جميع الرؤوس إلى رؤوس غير متجاورة على طول خطوط متساوية الميل قطرية، وجميع مضلعات المستوى المركزي إلى مضلعات متوازية مع مضلعات كليفورد (من النوع نفسه). يشكل زوج من الدورانات متساوية الميل يمينًا ويسارًا تليفًا منفصلًا. جميع المستويات المركزية المتوازية مع مضلعات كليفورد في التليف هي مستويات دوران ثابتة، تفصل بينها زاويتان متساويتان وتقع في مستويات فائقة مختلفة. يمثل خط متساوي الميل قطريًا مسارًا أقصر بين الرؤوس غير المتجاورة من المسارات البسيطة المتعددة المتاحة بينها على طول الحواف: إنه أقصر مسار على الكرة ثلاثية الأبعاد، وهو المسار الجيوديسي .

تتضمن تليفات الخلية المكونة من 600 خلية ستة تليفات من أصل 72 من أشكالها العشرية الكبيرة : ست حزم ليفية، كل منها مكونة من 12 شكلاً عشرياً كبيراً، تحدد كل حزمة 20 حلقة خلوية حلزونية ، كل حلقة منها تحتوي على 30 خلية رباعية الأوجه، مع ثلاثة أشكال عشرية كبيرة تحد كل حلقة خلوية، وخمس حلقات خلوية تتداخل معًا حول كل شكل عشري. الأشكال العشرية المتوازية الاثني عشر في كل حزمة منفصلة تمامًا. تمتد حواف الأشكال العشرية المتوازية المتجاورة عبر حواف أشكال عشرية كبيرة أخرى. يتوافق كل تليف مع دوران متساوي الميل مميز للخلية المكونة من 600 خلية إلى اليسار (واليمين) في 12 مستوى ثابت للأشكال العشرية الكبيرة على 5π منحنيات متساوية الميل.

تنقسم حزمة الألياف العشرية المتوازية الاثني عشر من نوع كليفورد إلى حزمة من اثني عشر ليفًا خماسيًا أيسرًا وحزمة من اثني عشر ليفًا خماسيًا أيمنًا، حيث يُحاط كل زوج من الخماسيات (يمين-يسار) بعشرة أشكال. ^{[ 59 ]} تتكون حزمة الألياف من اثني عشر مضلعًا كبيرًا، وتغطي جميع الرؤوس المئة والعشرين في تليف هوبف منفصل . يوجد في التليف عشرون حلقة منفصلة من ثلاثين خلية، ولكن أربع حلقات منفصلة تمامًا فقط من ثلاثين خلية. تحتوي الخلية الستمائة على ستة تليفات عشرية منفصلة من هذا النوع، وكل منها يمثل نطاقًا (حاوية) لزوج فريد من الدورانات متساوية الميل (حزم ألياف يمين ويسار من اثني عشر خماسيًا كبيرًا). ينتمي كل شكل عشري كبير إلى تليف واحد فقط، ^{[ 58 ]} ولكن كل حلقة مكونة من 30 خلية تنتمي إلى 5 من التليفات الستة (وهي منفصلة تمامًا عن تليف آخر واحد). يحتوي الشكل ذو الـ 600 خلية على 72 شكلاً عشرياً كبيراً، موزعة على ستة تليفات، كل منها عبارة عن مجموعة من 20 حلقة منفصلة مكونة من 30 خلية (4 حلقات منفصلة تماماً مكونة من 30 خلية)، ولكن الشكل ذو الـ 600 خلية يحتوي على 20 حلقة متميزة فقط مكونة من 30 خلية إجمالاً. تحتوي كل حلقة مكونة من 30 خلية على 3 من أصل 12 شكلاً عشرياً متوازياً من نوع كليفورد في كل من التليفات الخمسة، و30 من أصل 120 رأساً.

في هذه الدورانات العشرية المتساوية الميل، تتحرك الرؤوس على طول خطوط تساوي الميل التي تتبع حواف السداسيات ، ^{[ 23 ]} متقدمة مسافة فيثاغورسية تعادل حافة سداسية واحدة في كل وحدة دوران مزدوجة 36°×36°. في الدوران المتساوي الميل، تقع كل حافة سداسية متتالية يتم قطعها في سداسي كبير مختلف، لذا يصف خط تساوي الميل شكلًا متعدد الأضلاع مائلًا، وليس مضلعًا. في دوران متساوي الميل بزاوية 60°×60° (كما هو الحال في الدوران السداسي المميز للخلية المكونة من 24 خلية ، وفيما يلي في الدورانات السداسية للخلية المكونة من 600 خلية )، يكون هذا الشكل متعدد الأشكال سداسيًا : يتبع الدوران متساوي الميل مسارًا دائريًا بستة حواف، تمامًا كما يفعل الدوران السداسي البسيط، على الرغم من أنه يتطلب دورتين لحصر جميع رؤوسه، لأن الميل المتساوي عبارة عن حلقة مزدوجة تمر عبر كل رأسين، وأوتاره هي${\displaystyle {\sqrt {3}}}$أوتار الشكل السداسي بدلاً من${\displaystyle {\sqrt {1}}}$حواف الشكل السداسي. لكن في الدوران العشري المميز للخلايا الـ 600 بزاوية 36°×36° ، تكون الأشكال السداسية الكبيرة المتتالية أقرب إلى بعضها وأكثر عددًا، والمضلع المتساوي الميل المتكون من حوافها السداسية الـ 15 هو شكل خماسي عشري (15-غرام). وهو ليس فقط ليس له نفس دورة الشكل السداسي أو الدوران العشري البسيط، بل إنه ليس حتى مضاعفًا صحيحًا لدورة الشكل السداسي، أو الشكل العشري، أو أي منهما في الدوران البسيط. فقط الشكل المركب {30/4}=2{15/2} ثلاثي الأضلاع (30-غرام)، وهو عبارة عن شكلين 15-غرام يدوران بالتوازي (أسود وأبيض)، هو مضاعف لجميعها، وبالتالي يشكل وحدة الدوران للدوران العشري المتساوي الميل.

في الحلقة المكونة من 30 خلية، تفصل بين الرؤوس غير المتجاورة المرتبطة بدوران متساوي الميل مسافة تساوي طول ضلعين، مع وجود ثلاثة رؤوس أخرى من الحلقة بينها. ويرتبط الرأسان غير المتجاورين بواسطة${\displaystyle {\sqrt {1}}}$وتر خط التساوي، وهو ضلع سداسي كبير (ضلع مكون من 24 خلية).${\displaystyle {\sqrt {1}}}$أوتار الحلقة المكونة من 30 خلية (بدون${\displaystyle \phi ^{-1}}$تشكل حواف مكونة من 600 خلية شكلًا ثلاثيًا مائلًا { _{30/4}=2{15/2}} يحتوي على حلقتين مزدوجتين منفصلتين من نوع موبيوس {15/2}، وزوج من خطوط التساوي ₂ لشكل خماسي عشري. يتقاطع كل حزمة يسارية (أو يمينية) من 12 ليفًا خماسيًا مع حزمة يسارية (أو يمينية) من 8 ألياف متوازية من نوع كليفورد لشكل خماسي عشري. تحتوي كل حلقة مميزة مكونة من 30 خلية على خطي تساوي مزدوجين لشكل خماسي عشري يمران عبر رؤوسها الزوجية أو الفردية (السوداء أو البيضاء) على التوالي. تقسم الدورانات متساوية الميل الخلايا الـ 600 (والرؤوس الـ 120) إلى مجموعتين فرعيتين منفصلتين، كل منهما تضم ​​300 خلية (و60 رأسًا)، زوجية وفردية (أو سوداء وبيضاء)، حيث تتبادل هذه الخلايا مواقعها فيما بينها على خطوط متساوية الميل سوداء أو بيضاء، بطريقة مماثلة من حيث الأبعاد لكيفية تقييد حركة الأساقفة القطرية لمربعات الشطرنج البيضاء أو السوداء . [ ^{16 ] [ 60 ] لا} يمثل اليسار واليمين لونين: ففي الدوران إلى اليسار (أو اليمين)، يكون نصف الرؤوس المتحركة أسود، وتتحرك على طول خطوط متساوية الميل سوداء تمر عبر الرؤوس السوداء، بينما يكون النصف الآخر أبيض يدور فيما بينه. لا تمتلك حلزونات البنتاديكاجرام أي كيرالية متأصلة، ولكن كل منها يعمل إما كخط متساوي الميل يساري أو يميني في أي دوران متساوي الميل. ينتمي الليفان الخماسيان إلى حزم الألياف اليسرى واليمنى لخمسة أنواع مختلفة من التليف.

عند كل رأس، توجد ستة أشكال عشرية كبيرة وستة خطوط تساوي ميل خماسية عشرية (ستة سوداء أو ستة بيضاء) تتقاطع عند الرأس. ثمانية خطوط تساوي ميل خماسية عشرية (أربعة سوداء وأربعة بيضاء) تُشكل حزمة ألياف يمنى (أو يسرى) فريدة من نوعها تغطي جميع الرؤوس الـ 120 في دوران متساوي الميل يمين (أو يسار) مميز. لكل تليف دوران متساوي الميل يمين ويسار فريد، وحزم ألياف يمنى ويسرى فريدة مقابلة تتكون من 12 شكلًا خماسيًا و8 خطوط تساوي ميل خماسية عشرية. يوجد 20 خط تساوي ميل أسود مميز و20 خط تساوي ميل أبيض مميز فقط في الخلية المكونة من 600 خلية. ينتمي كل خط تساوي ميل مميز إلى 5 حزم ألياف.

ثلاث مجموعات من أوتار حلقية مكونة من 30 خلية من نفس وجهة نظر الإسقاط المتعامد
خماسي عشري {15/2}	مخطط ثلاثي {30/4}=2{15/2}	المثلث الثلاثي {30/6}=6{5}
جميع الحواف عبارة عن أوتار متساوية الميل لخماسي عشر الأضلاع بطول${\displaystyle {\sqrt {1}}}$، والتي هي أيضًا حواف سداسية كبيرة مكونة من 24 خلية محصورة داخل خلية مكونة من 600 خلية.		أضلاع الخماسي العظيم فقط ذات الطول${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$.
المنحنى المتساوي الأسود (أو الأبيض) هو شكل موبيوس مزدوج الحلقة مائل خماسي عشري {15/2} محيطه 5π.${\displaystyle {\sqrt {1}}}$الأوتار هي حواف مكونة من 24 خلية (حواف سداسية) من خلايا داخلية مختلفة مكونة من 24 خلية. هذه الأوتار غير مرئية (غير ظاهرة) في رسم الحلقة المكونة من 30 خلية ، حيث تربط الرؤوس المتقابلة لخليتين رباعيتي الأوجه مرتبطتين بالوجوه، واللتين تفصل بينهما حافة برتقالية أو حافة صفراء.	الحلقة المكونة من 30 خلية كمركب منحرف من خطين متساويي الميل منفصلين من نوع خماسي عشري {15/2} (زوج أبيض وأسود، يظهر هنا باللون البرتقالي المصفر).${\displaystyle {\sqrt {1}}}$تربط أوتار المنحنيات المتساوية كل رأس رابع من رؤوس الحلقة المكونة من 30 خلية بوتر مستقيم تحت حافتين برتقاليتين أو حافتين صفراوين. المنحنى المتساوي ذو الانحناء المزدوج هو المسار الجيوديسي (أقصر مسار) بين هذه الرؤوس؛ كما يفصل بينها حافتان عبر ثلاثة مسارات بزوايا مختلفة على طول حواف رباعيات الأوجه المرتبطة بالوجوه.	يتقاطع كل منحنى متساوي الميل في الشكل الخماسي ذي العشرة أضلاع (على اليسار) مع جميع الأشكال الخماسية الستة الكبرى (أعلاه) في رأسين أو ثلاثة رؤوس. تقع الأشكال الخماسية على دوائر عظمى مسطحة بقطر 2π في مستويات الدوران الثابتة للعشرة أضلاع. الأشكال الخماسية ذات العشرة أضلاع ليست مسطحة، بل هي دوائر حلزونية متساوية الميل بقطر 5π، تقع أوتارها الخمسة عشر في مستويات سداسية عظمى متتالية مائلة بزاوية π/5 = 36° بالنسبة لبعضها البعض. يُقال إن دائرة الميل المتساوي الميل تدور إما إلى اليسار أو إلى اليمين مع الدوران، ولكن جميع هذه الأشكال الخماسية ذات العشرة أضلاع متطابقة تطابقًا مباشرًا أو تطابقًا مرآويًا.
لا تظهر حواف الخلية المكونة من 600 خلية في هذه الرسوم التوضيحية، بل تظهر فقط الأوتار الداخلية غير المرئية لهذه الخلية . في هذه المقالة، يجب رسمها جميعًا بشكل صحيح كخطوط متقطعة.

يوجد محوران متساويان للميلان مزدوجا الحلقة، وزن كل منهما 15 غرامًا، لكل حلقة من 30 خلية. حلقات الـ 30 خلية حلزونية؛ يحتوي كل تليف على 10 حلقات يمنى (تدور في اتجاه عقارب الساعة) و10 حلقات يسرى (تدور عكس اتجاه عقارب الساعة)، لكن محوري الميلان في كل حلقة من 3 خلايا متطابقان تماثليًا (صورتان معكوسة). يعمل كل محور كمنحنى ميل أيسر (أو أيمن) ودوران أيسر (أو أيمن)، لكنه لا يمتلك حلزونية جوهرية. تحتوي حلقات التليف العشرين اليسرى والعشرون اليمنى، وزن كل منها 15 غرامًا، على 120 نجمة خماسية مفتوحة منفصلة (60 يسارًا و60 يمينًا)، نهاياتها المفتوحة هي رؤوس متجاورة مكونة من 600 خلية (واحدة).${\displaystyle \phi ^{-1}}$(بمسافة طول الحافة بينها). الأوتار الثلاثون التي تربط رؤوس المنحنى المتساوي الثلاثين هي${\displaystyle {\sqrt {1}}}$حواف سداسية (حواف مكونة من 24 خلية)، تربط رؤوسًا مكونة من 600 خلية، وهي عبارة عن اثنين من 600 خلية${\displaystyle \phi ^{-1}}$تتباعد الحواف على دائرة عظمى ذات عشرة أضلاع. هذه الأوتار المتساوية هي حواف سداسية وحواف خماسية في آن واحد .

لا تتقاطع خطوط التساوي المتوازية العشرين لكليفورد (محاور الحلقة المكونة من 30 خلية) لكل حزمة خطوط تساوي يسارية (أو يمينية). يؤدي أي دوران متساوي الأضلاع عشري منفصل (يسارًا أو يمينًا) إلى تدوير جميع الرؤوس الـ 120 (وجميع الخلايا الـ 600)، ولكن خطوط التساوي الخماسية العشرية والأشكال الخماسية متصلة بحيث تتناوب الرؤوس على شكل 60 رأسًا أسود و60 رأسًا أبيض (و300 خلية سوداء و300 خلية بيضاء)، مثل المربعات السوداء والبيضاء في رقعة الشطرنج . أثناء الدوران، تدور الرؤوس على خط التساوي الأيسر (أو الأيمن) داخل نفس خط التساوي الأسود (أو الأبيض) المكون من 15 رأسًا، وتدور الخلايا داخل نفس الحلقة السوداء (أو البيضاء) المكونة من 30 خلية.

تتضمن تليفات الخلية المكونة من 600 خلية 10 تليفات من أصل 200 سداسيات كبيرة : 10 حزم ليفية من 20 سداسيًا كبيرًا. السداسيات المتوازية العشرين في كل حزمة منفصلة تمامًا. تمتد حواف الأشكال العشرية الكبيرة على السداسيات المتوازية المتجاورة. يتوافق كل تليف مع دوران متساوي الميل مميز لليسار (واليمين) للخلية المكونة من 600 خلية في 20 مستوى ثابت للسداسيات الكبيرة على 4π منحنيات متساوية الميل.

تُحدد كل حزمة من الألياف 20 حلقة خلوية منفصلة ومتطابقة تمامًا، تتكون كل منها من 6 خلايا ثمانية الأوجه ، مع تداخل ثلاث حلقات خلوية معًا حول كل شكل سداسي. وتنقسم حزمة ألياف كليفورد السداسية المتوازية المكونة من 20 ليفًا إلى حزمة من 20 ليفًا أسود.${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ألياف مثلثية كبيرة وحزمة من 20 ليفًا مثلثيًا أبيضًا كبيرًا، مع مثلث أسود وأبيض مرسوم داخل كل سداسي، و6 مثلثات سوداء و6 بيضاء داخل كل حلقة من حلقات ثماني السطوح السداسية. تتصل المثلثات السوداء أو البيضاء بثلاثة خطوط تساوي انحدار متقاطعة سوداء أو بيضاء، كل منها عبارة عن نوع خاص من الدوائر العظمى الحلزونية التي تمر بالرؤوس المقابلة في 10 مثلثات عظيمة سوداء (أو بيضاء) متوازية من نوع كليفورد.${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$تشكل أوتار كل منحنى متساوي الميل شكلاً عشرياً مائلاً {10/3} ، حيث تتصل عشرة أضلاع خماسية كبيرة من طرف إلى طرف في حلقة حلزونية، تلتف ثلاث مرات حول الخلية المكونة من 600 ضلع عبر الأبعاد الأربعة بدلاً من أن تكون مسطحة في مستوى مركزي. يشكل كل زوج من المنحنيات المتساوية الميل السوداء والبيضاء (رؤوس سداسية كبيرة متقابلة متقاطعة) شكلاً عشرونياً مركباً مكوناً من 20 ضلعاً {20/6} = 2{10/3} .

لاحظ العلاقة بين الدوران المميز للخلية المكونة من 24 خلية في المستويات الثابتة للسداسي الكبير (على خطوط تساوي الميل للسداسي)، ودوران الخلية المكونة من 600 خلية في مستويات السداسي الكبير (على خطوط تساوي الميل للعشرة). إنهما نفس الدوران المتساوي الميل تمامًا: لهما نفس خط تساوي الميل. يختلفان في عدد خطوط تساوي الميل نفسها، وخلية الـ 600${\displaystyle {\sqrt {3-\phi }}\approx 1.176}$وتر خط التساوي أقصر من وتر الخلية المكونة من 24 خلية${\displaystyle {\sqrt {3}}}$وتر التساوي لأن منحنى التساوي يتقاطع مع عدد أكبر من الرؤوس في الشكل الهندسي ذي الـ 600 خلية (10) مقارنةً بالشكل الهندسي ذي الـ 24 خلية (6)، ولكن كلا الشكلين الهندسيين لكليفورد لهما محيط 4π. يدور الشكل الهندسي ذو الـ 24 خلية سداسيات على شكل سداسي ، بينما يدور الشكل الهندسي ذو الـ 600 خلية سداسيات على شكل عشري، لكن هذه حالات منفصلة لنفس نوع الدوران المتساوي في مستويات ثابتة للسداسيات. على وجه الخصوص، فإن منحنيات التساوي المتطابقة لهما هي نفس الدائرة الجيوديسية تمامًا بمحيط 4π. يختلفان في الشكل الهندسي ذي منحنى التساوي فقط لأن منحنى التساوي يتقاطع مع عدد أكبر من الرؤوس في الشكل الهندسي ذي الـ 600 خلية مقارنةً بالشكل الهندسي ذي الـ 24 خلية.

تتضمن تليفات الخلية المكونة من 600 خلية 15 تليفًا من بين 450 مربعًا كبيرًا : 15 حزمة ليفية، كل منها مكونة من 30 مربعًا كبيرًا. المربعات المتوازية الثلاثون في كل حزمة منفصلة تمامًا. تمتد حواف الأشكال العشرية الكبيرة عبر المربعات المتوازية المتجاورة. يتوافق كل تليف مع دوران متساوي الميل مميز للخلية المكونة من 600 خلية إلى اليسار (واليمين) في 30 مستوى ثابت للمربعات الكبيرة (15 زوجًا متعامدًا تمامًا) على 4π منحنيات متساوية الميل.

تُحدد كل حزمة ألياف 30 حلقة خلوية حلزونية، كل منها مكونة من 8 خلايا رباعية الأوجه ، حيث تتداخل حلقتان خلويتان، يمنى ويسرى، لملء كل خلية من الخلايا الـ 15 المنفصلة المكونة من 16 خلية والمحاطة بالخلية المكونة من 600 خلية. يوجد محور كل حلقة من حلقات الخلايا الثمانية رباعية الأوجه نوع خاص من الدوائر العظمى الحلزونية، وهو منحنى متساوي الميل. في دوران متساوي الميل للخلية المكونة من 600 خلية في مستويات مربعة عظمى ثابتة، تدور جميع الرؤوس على أحد منحنيات كليفورد المتوازية الـ 15.

تتصل المربعات الثلاثون المتوازية من نوع كليفورد في كل حزمة بأربعة خطوط متساوية الانحدار متوازية من نوع كليفورد مكونة من 24 مربعًا (يمر واحد منها بكل رأس)، ويتقاطع كل منها مع رأس واحد في 24 من المربعات الثلاثين، ومع جميع رؤوس خلية واحدة فقط من خلايا الـ 25 المكونة من 24 مربعًا في الخلية المكونة من 600 خلية. كل خط متساوي الانحدار عبارة عن دائرة مكونة من 24 مربعًا تتقاطع مع جميع الخلايا الـ 25 المكونة من 24 مربعًا، 24 منها مرة واحدة فقط، وواحدة منها 24 مرة. تشكل الرؤوس الـ 24 في كل خط متساوي الانحدار مكون من 24 مربعًا خلية فريدة مكونة من 24 مربعًا؛ يوجد 25 خطًا متساوي الانحدار متميزًا من هذا النوع في الخلية المكونة من 600 خلية. كل خط متساوي الانحدار عبارة عن دائرة مائلة مكونة من 24 مربعًا بنسبة {24/5}، 24${\displaystyle \phi }$الأوتار متصلة من طرف إلى طرف في حلقة حلزونية، تلتف 5 مرات حول خلية واحدة مكونة من 24 خلية عبر الأبعاد الأربعة جميعها بدلاً من أن تكون مسطحة في مستوى مركزي. الرؤوس المتجاورة للخلية المكونة من 24 خلية هي واحدة${\displaystyle {\sqrt {1}}}$بمسافة فاصلة بين الأوتار، و5${\displaystyle \phi }$تتباعد الأوتار على سطحها المتساوي الميل. يؤدي الدوران المتساوي الميل إلى اليسار (أو اليمين) بمقدار 720 درجة إلى نقل كل خلية من الخلايا الـ 24 إلى كل خلية أخرى من الخلايا الـ 24 ومن خلالها.

لاحظ العلاقات بين دوران الخلية ذات الـ 16 خلية حول مستويين مربعين ثابتين فقط ، ودوران الخلية ذات الـ 24 خلية حول 6 مربعات كبيرة متوازية من نوع كليفورد ، ودوران الخلية ذات الـ 600 خلية حول 30 مربعًا كبيرًا متوازيًا من نوع كليفورد. هذه الدورانات الثلاثة هي نفس الدوران، حيث تحدث على نفس نوع دوائر التساوي، والتي تتقاطع مع عدد أكبر من الرؤوس في الخلية ذات الـ 600 خلية (24) مقارنةً بالخلية ذات الـ 16 خلية (8). في دوران الخلية ذات الـ 16 خلية، تكون المسافة بين الرؤوس على منحنى التساوي هي${\displaystyle {\sqrt {2}}}$القطر. في الخلايا الـ 600، تكون الرؤوس أقرب إلى بعضها البعض، و${\displaystyle \phi }$الوتر هو المسافة بين الرؤوس المتجاورة على نفس الخط المتساوي، ولكن جميع هذه الخطوط المتساوية لها محيط 4π.