المثلث الذهبي (الرياضيات)

المثلث الذهبي ، ويسمى أيضاً المثلث المثالي ، ^{[ 1 ]} هو مثلث متساوي الساقين يكون فيه الضلع المكرر بنسبة ذهبية${\displaystyle \varphi }$إلى جانب القاعدة :

${\displaystyle {a \over b}=\varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}\approx 1.618~034.}$

• زاوية الرأس هي : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \theta =2\arcsin {b \over 2a}=2\arcsin {1 \over 2\varphi}=2\arcsin {{{\sqrt {5}}-1} \over 4}={\pi \over 5}~{\text{rad}}=36^{\circ }.}$

وبالتالي، فإن المثلث الذهبي هو مثلث حاد الزوايا (متساوي الساقين).

• بما أن مجموع زوايا المثلث يساوي${\displaystyle \pi }$الراديان ، كل زاوية من زوايا القاعدة (CBX و CXB) هي:

${\displaystyle \beta ={{\pi -{\pi \over 5}} \over 2}~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$^{[ 1 ]}

ملحوظة:

${\displaystyle \beta =\arccos \left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\right)~{\text{rad}}={2\pi \over 5}~{\text{rad}}=72^{\circ }.}$

• المثلث الذهبي هو المثلث الذي تكون زواياه بنسب 1  : 2  : 2 (أي 36°، 72°، 72°). ^{[ 3 ]}

• يمكن العثور على المثلثات الذهبية في رؤوس النجوم الخماسية المنتظمة .
• يمكن إيجاد المثلثات الذهبية أيضًا في المضلع العشري المنتظم، وهو مضلع متساوي الزوايا والأضلاع ذو عشرة أضلاع ، وذلك بتوصيل أي رأسين متجاورين بالمركز. والسبب في ذلك هو أن: 180 × (10−2) / 10 = 144° هي الزاوية الداخلية ، وبتقسيمها من الرأس إلى المركز: 144 / 2 = 72°. ^{[ 1 ]}
• كما تم العثور على المثلثات الذهبية في شبكات العديد من التشكيلات النجمية المكونة من اثني عشر وجهاً وعشرون وجهاً .

اللولب اللوغاريتمي

يُستخدم المثلث الذهبي لتكوين بعض نقاط اللولب اللوغاريتمي . بتقسيم إحدى زوايا القاعدة إلى نصفين، تتكون نقطة جديدة تُشكل بدورها مثلثًا ذهبيًا آخر. ^{[ 4 ]} يمكن مواصلة عملية التقسيم إلى نصفين إلى ما لا نهاية، مما يُنتج عددًا لا نهائيًا من المثلثات الذهبية. يمكن رسم لولب لوغاريتمي يمر عبر رؤوسه. يُعرف هذا اللولب أيضًا باللولب متساوي الزوايا ، وهو مصطلح صاغه رينيه ديكارت . "إذا رُسم خط مستقيم من القطب إلى أي نقطة على المنحنى، فإنه يقطع المنحنى بنفس الزاوية تمامًا"، ومن هنا جاءت تسميته متساوي الزوايا . ^{[ 5 ]} يختلف هذا اللولب عن اللولب الذهبي : ينمو اللولب الذهبي بمعامل النسبة الذهبية في كل ربع دورة، بينما يأخذ اللولب المار بهذه المثلثات الذهبية زاوية 108° لينمو بنفس المعامل. ^{[ 6 ]}

يرتبط المثلث الذهبي ارتباطًا وثيقًا بالمثلث الذهبي ، وهو المثلث متساوي الساقين الذي تكون فيه نسبة أطوال الأضلاع المتساوية إلى طول القاعدة هي مقلوبها.${\displaystyle {\tfrac {1}{\varphi }}}$نسبة ذهبية${\displaystyle \varphi }$.

"يحتوي المثلث الذهبي على نسبة طول القاعدة إلى طول الضلع تساوي النسبة الذهبية φ، بينما يحتوي المِزْوَر الذهبي على نسبة طول الضلع إلى طول القاعدة تساوي النسبة الذهبية φ." ^{[ 7 ]}

${\displaystyle {a' \over b'}={1 \over \varphi }={{{\sqrt {5}}-1} \over 2}\approx 0.618~034.}$

• من خلال تقسيم إحدى زوايا قاعدته إلى نصفين، يمكن تقسيم المثلث الذهبي إلى مثلث ذهبي ومؤشر ذهبي.
• من خلال تقسيم زاوية رأسها إلى ثلاثة أجزاء، يمكن تقسيم الغنومون الذهبي إلى مثلث ذهبي وغنومون ذهبي.
• يُشار أيضًا إلى المِزْوَر الذهبي والمثلث الذهبي ذي الأضلاع المتساوية في الطول باسم مثلث روبنسون المنفرج والحاد. ^{[ 3 ]}

• يُشكل المثلث الذهبي وزوج من الأبراج الذهبية شكلاً خماسياً منتظماً . ^{[ 8 ]}
• يمكن استخدام هذه المثلثات متساوية الساقين لإنتاج بلاطات بنروز . تُصنع بلاطات بنروز من أشكال الطائرات الورقية والسهام. تتكون الطائرة الورقية من مثلثين ذهبيين متجاورين ، ويتكون السهم من عقربين ذهبيين متجاورين.

• المستطيل الذهبي
• معين ذهبي
• المثلث الذهبي (تكوين موسيقي)
• المثلث الذهبي لكيمبرلينج
• مثلث كبلر
• عود فيثاغورس
• نجمة خماسية

• وايسستين، إريك دبليو. “المثلث الذهبي” . عالم الرياضيات .
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المِزْوَر الذهبي" . عالم الرياضيات .
• مثلثات روبنسون في موسوعة البلاط
• المثلث الذهبي وفقًا لإقليدس
• التبادل الاستثنائي للمثلثات الذهبية في تارتابلاجو بقلم جورجيو بيتروكولا
• شرح النسبة الذهبية من كارل سيمز