العشاري

تُظهر الصورة شكلاً منتظماً ذا عشرة أضلاع طوله${\displaystyle a}$ونصف القطر${\displaystyle R}$من الدائرة المحيطة .

• المثلث${\displaystyle E_{10}E_{1}M}$له ساقان متساويتان في الطول${\displaystyle R}$وقاعدة بطول${\displaystyle a}$
• الدائرة المحيطة${\displaystyle E_{1}}$بنصف قطر${\displaystyle a}$يتقاطع${\displaystyle ]M\,E_{10}[}$في نقطة${\displaystyle P}$(غير موضح في الصورة).
• والآن المثلث${\displaystyle {E_{10}E_{1}P}\;}$هو مثلث متساوي الساقين رأسه${\displaystyle E_{1}}$وبزوايا أساسية${\displaystyle m\angle E_{1}E_{10}P=m\angle E_{10}PE_{1}=72^{\circ }\;}$.
• لذلك${\displaystyle m\angle PE_{1}E_{10}=180^{\circ}-2\cdot 72^{\circ }=36^{\circ }\;}$. لذا${\displaystyle \;m\angle ME_{1}P=72^{\circ }-36^{\circ }=36^{\circ }\;}$وبالتالي${\displaystyle \;E_{1}MP\;}$وهو أيضًا مثلث متساوي الساقين برأس${\displaystyle P}$طول أرجلها هو${\displaystyle a}$لذا فإن طول${\displaystyle [P\,E_{10}]}$يكون${\displaystyle Ra}$.
• المثلثات متساوية الساقين${\displaystyle E_{10}E_{1}M\;}$و${\displaystyle PE_{10}E_{1}\;}$الزوايا متساوية وقياسها 36 درجة عند الرأس، وبالتالي فهما متشابهان ، ومن ثم:${\displaystyle \;{\frac {a}{R}}={\frac {Ra}{a}}}$
• الضرب في المقامات${\displaystyle R,a>0}$يؤدي ذلك إلى المعادلة التربيعية:${\displaystyle \;a^{2}=R^{2}-aR\;}$
• هذه المعادلة لطول الضلع${\displaystyle a\,}$له حل إيجابي واحد:${\displaystyle \;a={\frac {R}{2}}(-1+{\sqrt {5}})}$

لذا يمكن إنشاء الشكل العشري المنتظم باستخدام المسطرة والفرجار .

استنتاجات إضافية

$R = (2a) / (√5 - 1) = a / 2 (√5 + 1)$وارتفاع القاعدة لـ${\displaystyle \Delta \,E_{10}E_{1}M\,}$(أي طول${\displaystyle [M\,D]}$) يكون${\displaystyle h={\sqrt {R^{2}-(a/2)^{2}}}={\frac {a}{2}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\;}$ومساحة المثلث هي:${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {a}{2}}\cdot h={\frac {a^{2}}{4}}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}}$.

مساحة المضلع العشري المنتظم الذي طول ضلعه a تعطى بالصيغة التالية: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle A={\frac {5}{2}}a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{10}}\right)={\frac {5}{2}}a^{2}{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\simeq 7.694208843\,a^{2}}$

بالنسبة للعمود r (انظر أيضًا الشكل المضمن )، فإن المساحة هي:

${\displaystyle A=10\tan \left({\frac {\pi }{10}}\right)r^{2}=2r^{2}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\simeq 3.249196962\,r^{2}}$

بالنسبة لنصف قطر الدائرة المحيطة R ، فإن المساحة هي:

${\displaystyle A=5\sin \left({\frac {\pi }{5}}\right)R^{2}={\frac {5}{2}}R^{2}{\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\simeq 2.938926261\,R^{2}}$

صيغة بديلة هي${\displaystyle A=2.5da}$حيث يمثل d المسافة بين الضلعين المتوازيين، أو الارتفاع عندما يقف الشكل العشاري على أحد أضلاعه كقاعدة، أو قطر الدائرة المحيطة بالشكل العشاري . باستخدام حساب المثلثات البسيط ،

${\displaystyle d=2a\left(\cos {\tfrac {3\pi }{10}}+\cos {\tfrac {\pi }{10}}\right)،}$

ويمكن كتابتها جبريًا على النحو التالي:

${\displaystyle d=a{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}.}$

بما أن 10 = 2 × 5، وهي قوة ضعف عدد أولي من أعداد فيرما ، فإنه يترتب على ذلك أنه يمكن إنشاء شكل عشاري منتظم باستخدام الفرجار والمسطرة ، أو عن طريق تنصيف حافة شكل خماسي منتظم . ^{[ 4 ]}

بناء المضلع العشري

بناء البنتاغون

ثمة طريقة بديلة (لكنها مشابهة) وهي كالتالي:

1. قم بإنشاء شكل خماسي داخل دائرة باستخدام إحدى الطرق الموضحة في إنشاء الشكل الخماسي .
2. مدّ خطًا من كل رأس من رؤوس الخماسي عبر مركز الدائرة إلى الجانب المقابل من نفس الدائرة. نقطة تقاطع كل خط مع الدائرة هي رأس من رؤوس العشاري. بعبارة أخرى، صورة الخماسي المنتظم بعد انعكاسه حول مركزه هي خماسي متطابق متحد المركز ، وللخماسيين معًا رؤوس عشاري منتظم متحد المركز .
3. تشكل الزوايا الخمس للخماسي زوايا متبادلة للعشري. صل هذه النقاط بالنقاط الجديدة المجاورة لتشكيل العشري.

المضلع العشري المائل المنتظم هو مضلع بيتري للعديد من متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى، كما هو موضح في هذه الإسقاطات المتعامدة في مستويات كوكسيتر المختلفة : ^{[ 9 ]} عدد الأضلاع في مضلع بيتري يساوي عدد كوكسيتر ، h ، لكل عائلة تناظر.

9​	د 6		ب 5
9-simplex	4 11	1 31	5-أورثوبلكس	5 مكعبات