الشبكة (متعدد السطوح)

في الهندسة ، تُعرف شبكة المجسم متعدد السطوح بأنها ترتيب لمضلعات متصلة الحواف غير متداخلة في المستوى ، ويمكن طيها (على طول الحواف) لتشكل أوجه المجسم. تُعد شبكات المجسمات متعددة السطوح أداةً مفيدةً لدراسة المجسمات متعددة السطوح والهندسة الفراغية عمومًا، إذ تسمح بإنشاء نماذج مادية للمجسمات متعددة السطوح من مواد مثل الورق المقوى الرقيق. ^{[ 1 ]}

يظهر مثال مبكر للشبكات متعددة الأوجه في أعمال ألبرخت دورر ، الذي تضمن كتابه الصادر عام 1525 بعنوان "دورة في فن القياس بالفرجار والمسطرة" ( Unterweysung der Messung mit dem Zyrkel und Rychtscheyd ) شبكات للأجسام الأفلاطونية والعديد من الأجسام الأرخميدية . ^{[ 2 ] [ 3 ]} وقد أطلق أوغسطين هيرشفوغل على هذه الإنشاءات اسم "الشبكات" لأول مرة عام 1543. ^{[ 4 ]}

يمكن أن توجد شبكات مختلفة لمجسم متعدد السطوح معين، وذلك تبعًا لاختيار الحواف المتصلة والمفصولة. يجب أن تُشكّل الحواف المقطوعة من مجسم محدب لتكوين شبكة شجرة ممتدة للمجسم، ولكن قد يؤدي قطع بعض الأشجار الممتدة إلى تداخل المجسم مع نفسه عند فرده، بدلًا من تكوين شبكة. ^{[ 5 ]} في المقابل، يمكن طي شبكة معينة إلى أكثر من مجسم محدب مختلف، وذلك تبعًا لزوايا طي حوافها واختيار الحواف المراد لصقها. ^{[ 6 ]} إذا أُعطيت شبكة مع نمط للصق حوافها، بحيث يكون لكل رأس من رؤوس الشكل الناتج عيب زاوي موجب ، ويكون مجموع هذه العيوب يساوي 4π بالضبط ، فإنه يوجد بالضرورة مجسم واحد فقط يمكن طيه منها؛ وهذا ما يُعرف بنظرية ألكسندروف للتفرد . مع ذلك، قد يحتوي المجسم متعدد الأوجه المُشكَّل بهذه الطريقة على أوجه مختلفة عن تلك المحددة كجزء من الشبكة: فقد تحتوي بعض مضلعات الشبكة على طيات، وقد تبقى بعض الحواف بين مضلعات الشبكة غير مطوية. بالإضافة إلى ذلك، قد تحتوي الشبكة نفسها على أنماط لصق صالحة متعددة، مما يؤدي إلى مجسمات متعددة الأوجه مطوية مختلفة. ^{[ 7 ]}

في عام 1975، تساءل جي سي شيبارد عما إذا كان لكل متعدد السطوح محدب شبكة مستوية واحدة على الأقل، أو ما يُعرف بفك الحواف البسيط. ^{[ 8 ]} ولا يزال هذا السؤال، المعروف أيضًا باسم حدسية دورر أو مسألة فك حواف دورر، دون إجابة. ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]} توجد متعددات سطوح غير محدبة لا تحتوي على شبكات، ومن الممكن تقسيم أوجه كل متعدد سطوح محدب (على سبيل المثال على طول مسار قطع ) بحيث تحتوي مجموعة الأوجه المقسمة على شبكة. ^{[ 5 ]} وفي عام 2014، أثبت محمد غومي أن كل متعدد سطوح محدب يقبل شبكة بعد تحويل تآلفي . ^{[ 12 ]} علاوة على ذلك، في عام 2019 أظهر بارفينوك وغومي أن تعميم حدسية دورر يفشل بالنسبة للحواف الزائفة ، ^{[ 13 ]} أي شبكة من الجيوديسيات التي تربط رؤوس متعدد السطوح وتشكل رسمًا بيانيًا بأوجه محدبة.

يطرح سؤال مفتوح ذو صلة ما إذا كان لكل شبكة من شبكات متعدد السطوح المحدب حركة انفتاح ، وهي حركة مستمرة غير متقاطعة ذاتيًا من حالتها المسطحة إلى حالتها المطوية، بحيث تحافظ على كل وجه مسطحًا طوال الحركة. ^{[ 14 ]}

أقصر مسار على سطح متعدد السطوح بين نقطتين عليه يُقابل خطًا مستقيمًا على شبكة مناسبة لمجموعة الأوجه التي يمر بها هذا المسار. يجب أن تكون الشبكة بحيث يقع الخط المستقيم داخلها بالكامل، وقد يتطلب الأمر دراسة عدة شبكات لتحديد أيها يُعطي أقصر مسار. على سبيل المثال، في حالة المكعب ، إذا كانت النقطتان على وجهين متجاورين، فإن أحد المسارات المرشحة لأقصر مسار هو المسار الذي يعبر الحافة المشتركة؛ ويُمكن إيجاد أقصر مسار من هذا النوع باستخدام شبكة يكون فيها الوجهان متجاورين أيضًا. من المسارات المرشحة الأخرى لأقصر مسار، المسار عبر سطح وجه ثالث مجاور لكليهما (وهناك وجهان)، ويمكن استخدام الشبكات المناسبة لإيجاد أقصر مسار في كل فئة. ^{[ 15 ]}

مسألة العنكبوت والذبابة هي لغز رياضي ترفيهي يتضمن إيجاد أقصر مسار بين نقطتين على متوازي مستطيلات.

تتكون شبكة متعدد السطوح رباعي الأبعاد من خلايا متعددة السطوح متصلة بأوجهها، وتشغل جميعها نفس الفضاء ثلاثي الأبعاد، تمامًا كما تتصل أوجه المضلعات في شبكة متعدد السطوح بحوافها، وتشغل جميعها نفس المستوى. وقد استُخدمت شبكة المكعب الفائق رباعي الأبعاد (التيسيراكت ) بشكل بارز في لوحة سلفادور دالي ، " الصلب (كوربوس هايبركيوبوس)" (1954). ^{[ 16 ]} وتُعدّ شبكة التيسيراكت نفسها محورًا أساسيًا في حبكة القصة القصيرة "وبنى بيتًا معوجًا" لروبرت أ. هاينلاين . ^{[ 17 ]}

عدد الشبكات المتميزة توافقياً لـ${\displaystyle n}$يمكن إيجاد المكعبات الفائقة ذات الأبعاد n عن طريق تمثيل هذه الشبكات كشجرة على${\displaystyle 2n}$تُحدد العقد النمط الذي يتم من خلاله لصق أزواج من أوجه المكعب الفائق معًا لتشكيل شبكة، بالإضافة إلى تطابق تام على الرسم البياني المُكمِّل للشجرة الذي يصف أزواج الأوجه المتقابلة على المكعب الفائق المطوي. باستخدام هذا التمثيل، تم حساب عدد عمليات الفتح المختلفة للمكعبات الفائقة ذات الأبعاد 2، 3، 4، ... على النحو التالي:

1، 11، 261، 9694، 502110، 33064966، 2642657228، ... (التسلسل A091159 في OEIS )

• نموذج من الورق المقوى
• شبكة مشتركة
• نموذج ورقي
• رسم الخرائط بالأشعة فوق البنفسجية

• وايسستين، إريك دبليو. ، "نت" ، ماث وورلد
• وايسشتاين، إريك دبليو ، "التكشف" ، عالم الرياضيات
• مجسمات قابلة للطي رباعية الأبعاد عادية
• شبكات متعددة الأوجه قابلة للتعديل والطباعة مع عرض ثلاثي الأبعاد تفاعلي
• نماذج ورقية للمجسمات متعددة الأوجه
• أداة فك المجلدات لبرنامج بلندر
• حزمة قابلة للفك لبرنامج Mathematica