جبر لي المتدرج

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرَّف جبر لي المتدرج بأنه جبر لي مزود بتدرج متوافق مع قوس لي . بعبارة أخرى، جبر لي المتدرج هو جبر لي يكون أيضًا جبرًا متدرجًا غير تجميعي تحت تأثير عملية القوس. يُضفي اختيار تحليل كارتان على أي جبر لي شبه بسيط بنية جبر لي متدرج. أي جبر لي مكافئ هو أيضًا جبر لي متدرج.

يُوسّع مفهوم الجبر الفائق المتدرج لـ Lie [ 1 ] مفهوم الجبر المتدرج لـ Lie بحيث لا يُفترض بالضرورة أن يكون قوس Lie مضادًا للتبديل . وتظهر هذه المفاهيم في دراسة الاشتقاقات على الجبر المتدرج ، وفي نظرية التشوه لموراي جيرستنهاوبر ، وكونيهيكو كودايرا ، ودونالد سي. سبنسر ، وفي نظرية مشتقات Lie .

الجبر الفائق المتدرج من نوع لي [ 2 ] هو تعميم إضافي لهذا المفهوم إلى فئة الجبر الفائق التي يُزوَّد فيها الجبر الفائق المتدرج من نوع لي بجبر فائق إضافي.Z/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }-التدرج. تنشأ هذه الظاهرة عندما يتم تكوين جبر لي فائق متدرج في إطار كلاسيكي (غير متناظر فائق)، ثم يتم تحويله إلى موتر للحصول على نظيره المتناظر الفائق . [ 3 ]

يمكن تعميم جبر لي على فئة من الفئات المونيدية المضفرة المزودة بضرب مشترك ومفهوم للتدرج متوافق مع التضفير في الفئة . لمزيد من المعلومات حول هذا الموضوع، انظر : جبر لي الفائق#التعريف النظري للفئات .

جبر لي المتدرج

في أبسط صورها، جبر لي المتدرج هو جبر لي عاديز{\displaystyle {\mathfrak {g}}}بالإضافة إلى تدرج الفضاءات المتجهة

ز=⨁أنا∈Zزأنا،{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}

بحيث يحترم قوس لي هذا التدرج:

[زأنا،زج]⊆زأنا+ج.{\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}

يرث الجبر الشامل المغلف لجبر لي المتدرج التدرج.

أمثلة

sl(2)

على سبيل المثال، جبر ليsل(2){\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}يتم تصنيف المصفوفات 2 × 2 الخالية من الآثار بواسطة المولدات:

X=(0100)،Y=(0010)،وح=(100-1).{\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}

هذه الأمور تفي بالعلاقات[X،Y]=ح{\displaystyle [X,Y]=H}،[ح،X]=2X{\displaystyle [H,X]=2X}، و[ح،Y]=-2Y{\displaystyle [H,Y]=-2Y}وبالتالي معز-1=فترة(X){\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}،ز0=فترة(ح){\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}، وز1=فترة(Y){\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}، التحللsل(2)=ز-1⊕ز0⊕ز1{\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}يقدمsل(2){\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}كجبر لي متدرج.

الجبر الحر

تتميز جبر لي الحر على مجموعة X بتدرج طبيعي، يُحدد بأقل عدد من الحدود اللازمة لتوليد عنصر المجموعة. وينشأ هذا، على سبيل المثال، كجبر لي متدرج مرتبط بالمتسلسلة المركزية السفلى لمجموعة حرة .

التعميمات

لوΓ{\displaystyle \Gamma }إذا كان أي أحادي تبديلي ، فإن مفهومΓ{\displaystyle \Gamma }تعميم جبر لي المتدرج هو تعميم لجبر لي العادي (Z{\displaystyle \mathbb {Z} }-) جبر لي متدرج بحيث تكون العلاقات المحددة صحيحة مع الأعداد الصحيحةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }تم استبدالها بـΓ{\displaystyle \Gamma }. على وجه الخصوص، يتم تصنيف أي جبر لي شبه بسيط بواسطة فضاءات الجذور لتمثيله المرافق .

الجبر الفائق المتدرج من نوع لي

يتكون الجبر الفائق المتدرج لـ Lie على حقل k (ليس من الخاصية 2) من فضاء متجه متدرج E على k ، بالإضافة إلى عملية قوس ثنائية الخطية

[-،-]:هـ⊗كهـ→هـ{\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\to E}

بحيث يتم استيفاء البديهيات التالية.

  • [-, -] يحترم تدرج E :[هـأنا،هـج]⊆هـأنا+ج.{\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.}
  • ( التناظر ) لكل x في E i و y في E j ،[x،y]=-(-1)أناج[y،x]{\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}
  • ( هوية جاكوبي ) لكل x في E i ، و y في E j ، و z في E k ،(-1)أناك[x،[y،z]]+(-1)أناج[y،[z،x]]+(-1)جك[z،[x،y]]=0.{\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij[y,[z,x]]+(-1)^{jk[z,[x,y]]=0.}(إذا كانت الخاصية k هي 3، فيجب استكمال متطابقة جاكوبي بالشرط[x،[x،x]]=0{\displaystyle [x,[x,x]]=0}لكل x في E فردي .)

لاحظ، على سبيل المثال، أنه عندما يحمل E التدرج التافه، فإن جبر لي الفائق المتدرج على k هو مجرد جبر لي عادي. وعندما يتركز تدرج E في الدرجات الزوجية، نستعيد تعريف جبر لي المتدرج ( Z- ).

أمثلة وتطبيقات

يظهر أبسط مثال على جبر لي الفائق المتدرج في دراسة مشتقات الجبر المتدرج. إذا كان A جبرًا متدرجًا من الرتبة k مع تدرج

أ=⨁أنا∈Zأأنا،{\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},}

ثم يُعرَّف الاشتقاق المتدرج من الدرجة k على A من الدرجة l كما يلي:

  1. دx=0{\displaystyle dx=0}لx∈ك{\displaystyle x\in k}،
  2. د:أأنا→أأنا+ل{\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}، و
  3. د(xy)=(دx)y+(-1)أنالx(دy){\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}لx∈أأنا{\displaystyle x\in A_{i}}.

يُرمز إلى فضاء جميع المشتقات المتدرجة من الدرجة l بالرمز التالي:ديرل⁡(أ){\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}، والمجموع المباشر لهذه المساحات،

دير⁡(أ)=⨁لديرل⁡(أ)،{\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),}

يحمل بنية وحدة A. وهذا يعمم مفهوم اشتقاق الجبر التبادلي إلى الفئة المتدرجة.

على Der( A )، يمكن تعريف قوس من خلال:

[ d , δ ] = dδ − (−1) j δd , من أجل d ∈ Der i ( A ) و δ ∈ Der j ( A ).

بفضل هذا الهيكل، يرث Der( A ) هيكل الجبر الفائق المتدرج لـ Lie على k .

أمثلة أخرى:

التعميمات

يمكن تعميم مفهوم الجبر الفائق لي المتدرج بحيث لا يقتصر تدرجه على الأعداد الصحيحة فقط. على وجه التحديد، تتكون الحلقة شبه الموقعة من زوج(Γ،ϵ){\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}، أينΓ{\displaystyle \Gamma }هي حلقة نصفية وϵ:Γ→Z/2Z{\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }هو تشاكل بين مجموعات جمعية . عندئذٍ، تتكون جبر لي العلوي المتدرج فوق شبه حلقة موقعة من فضاء متجهي E متدرج بالنسبة للبنية الجمعية علىΓ{\displaystyle \Gamma }، وقوس ثنائي الخطية [-, -] الذي يحترم التدرج على E ويحقق بالإضافة إلى ذلك ما يلي:

  1. [x،y]=-(-1)ϵ(درجة⁡x)ϵ(درجة⁡y)[y،x]{\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}لجميع العناصر المتجانسة x و y ، و
  2. (-1)ϵ(درجة⁡x)ϵ(درجة⁡z)[x،[y،z]]+(-1)ϵ(درجة⁡y)ϵ(درجة⁡x)[y،[z،x]]+(-1)ϵ(درجة⁡z)ϵ(درجة⁡y)[z،[x،y]]=0.{\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}

أمثلة أخرى:

  • الجبر الفائق لي هو جبر فائق لي متدرج فوق الحلقة شبه الموقعة(Z/2Z،ϵ){\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}، أينϵ{\displaystyle \epsilon }هي خريطة الهوية للبنية الجمعية على الحلقةZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }.

ملحوظات

  1. ↑ إن استخدام البادئة "super" لهذا المصطلح ليس شائعًا تمامًا، وقد يختار بعض المؤلفين حذفها تمامًا والاكتفاء بتسمية جبر لي المتدرج الفائق بجبر لي المتدرج . وهذا التجنب ليس بلا مبرر، إذ قد لا يكون لجبر لي المتدرج الفائق أي علاقة بجبر التناظر الفائق . فهو فائق فقط من حيث أنه يحملZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }التدرج. يحدث هذا التدرج بشكل طبيعي، وليس بسبب أي فضاءات فائقة كامنة. وبالتالي، من منظور نظرية الفئات ، تُعتبر هذه الكائنات كائنات عادية غير فائقة.
  2. ↑ فيما يتعلق بالتناظر الفائق ، غالبًا ما يطلق عليها اسم الجبر الفائق المتدرج لـ Lie ، لكن هذا يتعارض مع التعريف السابق في هذه المقالة.
  3. ↑ وبالتالي، تحمل جبر لي الفائق المتدرج زوجًا منZ/2Z{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }التدرجات: أحدهما متناظر فائق، والآخر كلاسيكي. يُطلق بيير ديلين على التدرج المتناظر الفائق اسم التدرج الفائق ، وعلى التدرج الكلاسيكي اسم التدرج التوافقي . يجب أن يكون هذان التدرجان متوافقين، وغالبًا ما يوجد اختلاف في الآراء حول كيفية التعامل معهما. انظر مناقشة ديلين لهذه الصعوبة.

مراجع

انظر أيضاً