معادلة تدفق المياه الجوفية

تُستخدم معادلة تدفق المياه الجوفية في علم المياه الجوفية ، وهي العلاقة الرياضية التي تصف تدفق المياه الجوفية عبر طبقة المياه الجوفية . يُوصف التدفق غير المستقر للمياه الجوفية بصيغة من معادلة الانتشار ، على غرار تلك المستخدمة في انتقال الحرارة لوصف تدفق الحرارة في المواد الصلبة ( التوصيل الحراري ). أما التدفق المستقر للمياه الجوفية فيُوصف بصيغة من معادلة لابلاس ، وهي شكل من أشكال التدفق الكامن ولها نظائر في العديد من المجالات.

غالبًا ما تُشتق معادلة تدفق المياه الجوفية لحجم عنصري تمثيلي صغير (REV)، حيث يُفترض ثبات خصائص الوسط بشكل فعال. ويُجرى توازن كتلي للمياه المتدفقة داخل وخارج هذا الحجم الصغير، وتُعبّر حدود التدفق في العلاقة بدلالة الارتفاع باستخدام المعادلة التكوينية المعروفة بقانون دارسي ، والتي تشترط أن يكون التدفق انسيابيًا. وتعتمد مناهج أخرى على نماذج قائمة على العوامل لدمج تأثير طبقات المياه الجوفية المعقدة مثل الصخور الكارستية أو المتصدعة (أي البركانية) ^{[ 1 ] .}

يجب إجراء موازنة للكتلة، واستخدامها مع قانون دارسي ، للوصول إلى معادلة تدفق المياه الجوفية العابر. هذه الموازنة مماثلة لموازنة الطاقة المستخدمة في انتقال الحرارة للوصول إلى معادلة الحرارة . وهي ببساطة بيان محاسبي ينص على أنه بالنسبة لحجم تحكم معين، باستثناء المصادر أو المصارف، لا يمكن خلق الكتلة أو إفناؤها. ينص قانون حفظ الكتلة على أنه، بالنسبة لفترة زمنية معينة ( Δt )، فإن الفرق بين الكتلة المتدفقة إلى الداخل عبر الحدود، والكتلة المتدفقة إلى الخارج عبر الحدود، والمصادر داخل الحجم، هو التغير في التخزين.

${\displaystyle {\frac {\Delta M_{stor}}{\Delta t}}={\frac {M_{in}}{\Delta t}}-{\frac {M_{out}}{\Delta t}}-{\frac {M_{gen}}{\Delta t}}}$

يمكن تمثيل الكتلة بضرب الكثافة في الحجم ، وفي معظم الحالات، يُعتبر الماء غير قابل للانضغاط (الكثافة لا تعتمد على الضغط). عندئذٍ، تتحول تدفقات الكتلة عبر الحدود إلى تدفقات حجمية (كما هو موضح في قانون دارسي ). باستخدام متسلسلة تايلور لتمثيل حدود التدفق الداخل والخارج عبر حدود حجم التحكم، وباستخدام نظرية التباعد لتحويل التدفق عبر الحدود إلى تدفق على كامل الحجم، تكون الصيغة النهائية لمعادلة تدفق المياه الجوفية (في صيغتها التفاضلية) كما يلي:

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot qG.}$

تُعرف هذه المعادلة في مجالات أخرى بمعادلة الانتشار أو معادلة الحرارة، وهي معادلة تفاضلية جزئية مكافئة . تشير هذه المعادلة الرياضية إلى أن التغير في الضغط الهيدروليكي مع الزمن (الطرف الأيسر) يساوي التباعد السالب للتدفق ( q ) وحدود المصدر ( G ). تحتوي هذه المعادلة على كل من الضغط والتدفق كمتغيرات مجهولة، ولكن قانون دارسي يربط التدفق بالضغط الهيدروليكي، لذا فإن استبدال التدفق ( q ) به يؤدي إلى

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot (-K\nabla h)-G.}$

إذا كانت الموصلية الهيدروليكية ( K ) منتظمة ومتجانسة مكانيًا (بدلاً من كونها موترًا )، فيمكن إخراجها من المشتقة المكانية، مما يبسطها إلى لابلاس ، وهذا يجعل المعادلة

${\displaystyle S_{s}{\frac {\partial h}{\partial t}}=K\nabla ^{2}hG.}$

بقسمة المعادلة على سعة التخزين النوعية ( S_{_s} )، نحصل على معامل الانتشار الهيدروليكي ( α = K/S_{_s} أو ما يعادله، α = T/S ) في الطرف الأيمن. يتناسب معامل الانتشار الهيدروليكي طرديًا مع سرعة انتشار نبضة ضغط محددة عبر النظام (تؤدي القيم الكبيرة لـ α إلى انتشار سريع للإشارات). وبذلك، تصبح معادلة تدفق المياه الجوفية كما يلي:

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \nabla ^{2}hG.}$

حيث أن مصطلح المصدر/المصب، G ، له الآن نفس الوحدات ولكنه مقسوم على مصطلح التخزين المناسب (كما هو محدد بواسطة استبدال الانتشار الهيدروليكي).

إحداثيات ديكارتية مستطيلة

خاصةً عند استخدام نماذج الفروق المحدودة ذات الشبكة المستطيلة ( مثل MODFLOW ، من إنتاج هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية )، فإننا نتعامل مع الإحداثيات الديكارتية . في هذه الإحداثيات، يصبح مؤثر لابلاس العام (للتدفق ثلاثي الأبعاد) على وجه التحديد

${\displaystyle {\frac {\partial h}{\partial t}}=\alpha \left[{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}h}{\partial z^{2}}}\right]-G.}$

يقوم برنامج MODFLOW بتقسيم ومحاكاة معادلة تدفق المياه الجوفية في شكل ثلاثي الأبعاد متعامد . ومع ذلك، يوفر البرنامج خيار التشغيل في وضع "شبه ثلاثي الأبعاد" إذا رغب المستخدم بذلك؛ في هذه الحالة، يتعامل النموذج مع متوسطات درجة الحرارة (T ) والملوحة (S) الرأسية ، بدلاً من معامل النفاذية (k) ومعامل الفقد (Ss ₎ . في وضع شبه ثلاثي الأبعاد، يُحسب التدفق بين طبقات أفقية ثنائية الأبعاد باستخدام مفهوم التسرب.

إذا كان للخزان الجوفي شروط حدودية لإعادة التغذية، فقد يتم الوصول إلى حالة مستقرة (أو يمكن استخدامها كتقريب في كثير من الحالات)، وتتبسط معادلة الانتشار (أعلاه) إلى معادلة لابلاس .

${\displaystyle 0=\alpha \nabla ^{2}h}$

تنص هذه المعادلة على أن الضغط الهيدروليكي دالة توافقية ، ولها العديد من النظائر في مجالات أخرى. ويمكن حل معادلة لابلاس باستخدام تقنيات تعتمد على افتراضات مماثلة لما ذُكر أعلاه، ولكن مع اشتراطات إضافية تتعلق بتدفق مستقر.

تتمثل إحدى الطرق الشائعة لحل هذه المعادلات في الهندسة المدنية وميكانيكا التربة في استخدام التقنية الرسومية لرسم شبكات التدفق ؛ حيث تشكل خطوط الكفاف للرأس الهيدروليكي ووظيفة التدفق شبكة منحنية ، مما يسمح بحل الأشكال الهندسية المعقدة بشكل تقريبي.

يُطلق على التدفق في حالة الاستقرار إلى بئر الضخ (والذي لا يحدث أبدًا في الواقع، ولكنه في بعض الأحيان يكون تقريبًا مفيدًا) اسم حل ثيم .

تُعدّ معادلات تدفق المياه الجوفية المذكورة أعلاه صالحةً للتدفق ثلاثي الأبعاد. في طبقات المياه الجوفية غير المحصورة ، يصبح حلّ الصيغة ثلاثية الأبعاد للمعادلة معقدًا بسبب وجود شرط حدّي لمستوى سطح الماء الحر : فبالإضافة إلى حلّ التوزيع المكاني للضغوط، يُعدّ موقع هذا السطح مجهولًا أيضًا. هذه مسألة غير خطية، على الرغم من أن المعادلة الأساسية خطية.

يمكن الحصول على صيغة بديلة لمعادلة تدفق المياه الجوفية من خلال تطبيق فرضية دوبوي-فورشايمر ، حيث يُفترض أن مستويات المياه لا تتغير في الاتجاه الرأسي (أي،${\displaystyle \partial h/\partial z=0}$يتم تطبيق موازنة المياه الأفقية على عمود رأسي طويل مساحته${\displaystyle \delta x\delta y}$يمتد من قاعدة الخزان الجوفي إلى السطح غير المشبع. تُعرف هذه المسافة باسم سُمك التشبع ، b . في الخزان الجوفي المحصور ، يُحدد سُمك التشبع بارتفاع الخزان، H ، ويكون ضغط الماء غير صفري في كل مكان. أما في الخزان الجوفي غير المحصور ، فيُعرف سُمك التشبع بأنه المسافة الرأسية بين سطح منسوب المياه الجوفية وقاعدة الخزان.${\displaystyle \partial h/\partial z=0}$وإذا كانت قاعدة الخزان الجوفي عند مستوى الصفر، فإن سمك الطبقة المشبعة غير المحصورة يساوي الرأس، أي b=h .

بافتراض أن كلاً من الموصلية الهيدروليكية والمكونات الأفقية للتدفق منتظمة على طول كامل سمك طبقة المياه الجوفية المشبعة (أي،${\displaystyle \partial q_{x}/\partial z=0}$و${\displaystyle \partial K/\partial z=0}$يمكننا التعبير عن قانون دارسي بدلالة تصريفات المياه الجوفية المتكاملة ، Q _x و Q _y :

${\displaystyle Q_{x}=\int _{0}^{b}q_{x}dz=-Kb{\frac {\partial h}{\partial x}}}$

${\displaystyle Q_{y}=\int _{0}^{b}q_{y}dz=-Kb{\frac {\partial h}{\partial y}}}$

بإدخال هذه القيم في معادلة توازن الكتلة ، نحصل على المعادلة العامة ثنائية الأبعاد التي تحكم تدفق المياه الجوفية المشبعة غير القابلة للانضغاط:

${\displaystyle {\frac {\partial nb}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kb\nabla h)+N.}$

حيث n هي مسامية الخزان الجوفي . يمثل حد المصدر، N (الطول لكل وحدة زمنية)، إضافة الماء في الاتجاه الرأسي (مثل التغذية). من خلال تضمين التعريفات الصحيحة للسمك المشبع ، والتخزين النوعي ، والإنتاجية النوعية ، يمكننا تحويل ذلك إلى معادلتين حاكمتين فريدتين لحالتي الحصر وعدم الحصر:

${\displaystyle S{\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kb\nabla h)+N.}$

(محصور)، حيث S=S _s b هي قدرة تخزين المياه الجوفية و

${\displaystyle S_{y}{\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot (Kh\nabla h)+N.}$

(غير محصور)، حيث S _y هو العائد المحدد للخزان الجوفي.

لاحظ أن المعادلة التفاضلية الجزئية في حالة التدفق غير المقيد غير خطية، بينما هي خطية في حالة التدفق المقيد. بالنسبة للتدفق المستقر غير المقيد، يمكن إزالة هذه اللاخطية عن طريق التعبير عن المعادلة التفاضلية الجزئية بدلالة مربع الضغط.

${\displaystyle \nabla \cdot (K\nabla h^{2})=-2N.}$

أو بالنسبة للخزانات الجوفية المتجانسة،

${\displaystyle \nabla ^{2}h^{2}=-{\frac {2N}{K}}.}$

تتيح لنا هذه الصيغة تطبيق الطرق القياسية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية في حالة التدفق غير المحصور. أما بالنسبة للخزانات الجوفية غير المتجانسة التي لا تتلقى تغذية، فيمكن تطبيق طرق التدفق الكامن في حالات التدفق المختلط المحصور وغير المحصور.

• طريقة العناصر التحليلية
  • طريقة عددية تستخدم لحل المعادلات التفاضلية الجزئية
• افتراض دوبويت-فورشهايمر
  • تبسيط معادلة تدفق المياه الجوفية فيما يتعلق بالتدفق الرأسي
• توازن طاقة المياه الجوفية
  • معادلات تدفق المياه الجوفية القائمة على توازن الطاقة
• معادلة ريتشاردز

• مقدمة في نمذجة المياه الجوفية (إتش إف وانغ وإم بي أندرسون) : طرق الفروق المحدودة والعناصر المحدودة
  • كتاب ممتاز للمبتدئين في مجال نمذجة المياه الجوفية. يغطي جميع المفاهيم الأساسية، مع أمثلة بسيطة بلغة فورتران 77 .
• فريز، آر. آلان؛ تشيري، جون أ. (1979). المياه الجوفية. مؤرشف بتاريخ 6 أبريل 2020 في أرشيف الإنترنت . برنتيس هول. رقم ISBN 978-0133653120.

• برنامج هيئة المسح الجيولوجي الأمريكية لنمذجة المياه الجوفية — برنامج مجاني لنمذجة المياه الجوفية مثل MODFLOW
• علم المياه الجوفية ( موقع MIT OpenCourseware )