الأساليب العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 1 صور
الموسوعة الحرة

الأساليب العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية هي فرع من التحليل العددي الذي يدرس الحل العددي للمعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs). [1] [2]

من حيث المبدأ، توجد طرق متخصصة للمعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية [3]، المكافئة [ 4]، أو الإهليلجية [5] . [6] [7]

نظرة عامة على الأساليب

طريقة الفروق المحدودة

في هذه الطريقة، يتم تمثيل الوظائف من خلال قيمها عند نقاط معينة في الشبكة ويتم تقريب المشتقات من خلال الاختلافات في هذه القيم.

طريقة الخطوط

طريقة الخطوط (MOL، NMOL، NUMOL [8] [9] [10] ) هي تقنية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية (PDEs) حيث يتم تقسيم جميع الأبعاد باستثناء واحد. تسمح طريقة الخطوط (MOL) باستخدام طرق وبرامج قياسية عامة الغرض، تم تطويرها للتكامل العددي للمعادلات التفاضلية العادية (ODEs) والمعادلات الجبرية التفاضلية (DAEs). تم تطوير عدد كبير من روتينات التكامل على مر السنين في العديد من لغات البرمجة المختلفة، وتم نشر بعضها كموارد مفتوحة المصدر . [11]

تشير طريقة الخطوط في أغلب الأحيان إلى بناء أو تحليل الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية التي تبدأ أولاً بتقسيم المشتقات المكانية فقط وترك المتغير الزمني مستمرًا. يؤدي هذا إلى نظام من المعادلات التفاضلية العادية التي يمكن تطبيق طريقة عددية عليها للمعادلات العادية ذات القيمة الأولية. يعود تاريخ طريقة الخطوط في هذا السياق إلى أوائل ستينيات القرن العشرين على الأقل. [12]

طريقة العناصر المحدودة

طريقة العناصر المحدودة (FEM) هي تقنية عددية لإيجاد حلول تقريبية لمشاكل القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية . وهي تستخدم طرق التباين ( حساب التباين ) لتقليل دالة الخطأ وإنتاج حل مستقر. وعلى غرار فكرة أن ربط العديد من الخطوط المستقيمة الصغيرة يمكن أن يقرب دائرة أكبر، فإن طريقة العناصر المحدودة تشمل جميع الطرق لربط العديد من معادلات العناصر البسيطة عبر العديد من المجالات الفرعية الصغيرة، المسماة بالعناصر المحدودة، لتقريب معادلة أكثر تعقيدًا عبر مجال أكبر .

طريقة تقسيم التدرج

طريقة التقسيم التدرجي (GDM) هي تقنية عددية تضم عددًا قليلًا من الطرق القياسية أو الحديثة. وهي تعتمد على التقريب المنفصل للدالة وتدرجها. تسمح الخصائص الأساسية بتقارب الطريقة لسلسلة من المشكلات الخطية وغير الخطية، وبالتالي فإن جميع الطرق التي تدخل إطار GDM (العناصر المحدودة المطابقة وغير المطابقة، والعناصر المحدودة المختلطة، والفرق المحدود المحاكى...) ترث خصائص التقارب هذه.

طريقة الحجم المحدود

طريقة الحجم المحدود هي تقنية عددية لتمثيل وتقييم المعادلات التفاضلية الجزئية في شكل معادلات جبرية [LeVeque، 2002؛ Toro، 1999]. وعلى غرار طريقة الفرق المحدود أو طريقة العناصر المحدودة ، يتم حساب القيم في أماكن منفصلة على هندسة شبكية. يشير "الحجم المحدود" إلى الحجم الصغير المحيط بكل نقطة عقدة على الشبكة. في طريقة الحجم المحدود، يتم تحويل تكاملات الحجم في معادلة التفاضل الجزئي التي تحتوي على مصطلح تباعد إلى تكاملات سطحية ، باستخدام نظرية التباعد . ثم يتم تقييم هذه المصطلحات كتدفقات على أسطح كل حجم محدود. نظرًا لأن التدفق الذي يدخل حجمًا معينًا مطابق للتدفق الذي يغادر الحجم المجاور، فإن هذه الطرق متحفظة . ميزة أخرى لطريقة الحجم المحدود هي أنه يمكن صياغتها بسهولة للسماح بالشبكات غير المنظمة. تُستخدم الطريقة في العديد من حزم ديناميكا الموائع الحسابية .

الطريقة الطيفية

الأساليب الطيفية هي تقنيات تستخدم في الرياضيات التطبيقية والحوسبة العلمية لحل معادلات تفاضلية معينة عدديًا ، وغالبًا ما تنطوي على استخدام تحويل فورييه السريع . والفكرة هي كتابة حل المعادلة التفاضلية كمجموع "وظائف أساسية" معينة (على سبيل المثال، كمتسلسلة فورييه ، وهي مجموع الجيبيات ) ثم اختيار المعاملات في المجموع التي تلبي المعادلة التفاضلية على أفضل وجه.

ترتبط الطرق الطيفية وطرق العناصر المحدودة ارتباطًا وثيقًا وتعتمد على نفس الأفكار؛ والفرق الرئيسي بينهما هو أن الطرق الطيفية تستخدم دوال أساسية غير صفرية على النطاق بأكمله، بينما تستخدم طرق العناصر المحدودة دوال أساسية غير صفرية فقط على النطاقات الفرعية الصغيرة. بعبارة أخرى، تتبنى الطرق الطيفية نهجًا عالميًا بينما تستخدم طرق العناصر المحدودة نهجًا محليًا . ولهذا السبب جزئيًا، تتمتع الطرق الطيفية بخصائص خطأ ممتازة، حيث يكون ما يسمى "التقارب الأسي" هو الأسرع الممكن، عندما يكون الحل سلسًا . ومع ذلك، لا توجد نتائج معروفة لالتقاط الصدمات الطيفية ثلاثية الأبعاد في نطاق واحد. [13] في مجتمع العناصر المحدودة، تسمى الطريقة التي تكون فيها درجة العناصر عالية جدًا أو تزداد مع انخفاض معامل الشبكة h إلى الصفر أحيانًا طريقة العناصر الطيفية .

طرق خالية من الشبكة

لا تتطلب الطرق الخالية من الشبكة شبكة تربط نقاط البيانات في مجال المحاكاة. [14] تمكن الطرق الخالية من الشبكة من محاكاة بعض أنواع المشكلات الصعبة، على حساب وقت الحوسبة الإضافي وجهد البرمجة.

طرق تحليل المجال

تحل طرق تحلل المجال مشكلة القيمة الحدية عن طريق تقسيمها إلى مشاكل قيمة حدودية أصغر على المجالات الفرعية والتكرار لتنسيق الحل بين المجالات الفرعية المجاورة. تُستخدم مشكلة تقريبية مع مجهول واحد أو عدد قليل من المجهولين لكل مجال فرعي لمزيد من تنسيق الحل بين المجالات الفرعية عالميًا. المشاكل على المجالات الفرعية مستقلة، مما يجعل طرق تحلل المجال مناسبة للحوسبة المتوازية . تُستخدم طرق تحلل المجال عادةً كشروط مسبقة لطرق تكرار فضاء كريلوف ، مثل طريقة التدرج المترافق أو GMRES .

في طرق تحليل المجالات المتداخلة، تتداخل المجالات الفرعية بمقدار أكبر من الواجهة. تتضمن طرق تحليل المجالات المتداخلة طريقة شوارتز المتبادلة وطريقة شوارتز المضافة . يمكن كتابة العديد من طرق تحليل المجالات وتحليلها كحالة خاصة من طريقة شوارتز المضافة المجردة .

في الطرق غير المتداخلة، تتقاطع المجالات الفرعية فقط على واجهتها. في الطرق الأولية، مثل تحلل المجال المتوازن و BDDC ، يتم فرض استمرارية الحل عبر واجهة المجال الفرعي من خلال تمثيل قيمة الحل على جميع المجالات الفرعية المجاورة بنفس المجهول. في الطرق المزدوجة، مثل FETI ، يتم فرض استمرارية الحل عبر واجهة المجال الفرعي من خلال مضاعفات لاغرانج . طريقة FETI-DP هي هجينة بين الطريقة المزدوجة والطريقة الأولية.

تُسمى أيضًا طرق تحلل النطاقات غير المتداخلة بطرق التقسيم الفرعي التكرارية .

تعتبر طرق الهاون طرقًا لتقسيم المعادلات التفاضلية الجزئية، والتي تستخدم تقسيمًا منفصلًا على المجالات الفرعية غير المتداخلة. لا تتطابق الشبكات الموجودة على المجالات الفرعية على الواجهة، ويتم فرض مساواة الحل بواسطة مضاعفات لاغرانج، والتي يتم اختيارها بحكمة للحفاظ على دقة الحل. في الممارسة الهندسية في طريقة العناصر المحدودة، يتم تنفيذ استمرارية الحلول بين المجالات الفرعية غير المتطابقة من خلال قيود متعددة النقاط.

تتطلب عمليات محاكاة العناصر المحدودة للنماذج متوسطة الحجم حل أنظمة خطية تحتوي على ملايين المجهولات. ويمثل متوسط ​​وقت التشغيل المتسلسل عدة ساعات لكل خطوة زمنية، وبالتالي فإن الحوسبة المتوازية ضرورة. وتجسد طرق تحليل المجال إمكانات كبيرة للتوازي بين طرق العناصر المحدودة، وتعمل كأساس للحوسبة المتوازية الموزعة.

طرق الشبكات المتعددة

تعد طرق الشبكات المتعددة (MG) في التحليل العددي مجموعة من الخوارزميات لحل المعادلات التفاضلية باستخدام تسلسل هرمي من التقديرات . وهي مثال لفئة من التقنيات تسمى طرق الدقة المتعددة ، وهي مفيدة جدًا في (ولكن ليس على سبيل الحصر) المشكلات التي تعرض مقاييس متعددة للسلوك. على سبيل المثال، تُظهر العديد من طرق الاسترخاء الأساسية معدلات مختلفة من التقارب للمكونات ذات الطول الموجي القصير والطويل، مما يشير إلى أن هذه المقاييس المختلفة يجب التعامل معها بشكل مختلف، كما هو الحال في نهج تحليل فورييه للشبكات المتعددة. [15] يمكن استخدام طرق الشبكات المتعددة كمحللات وكذلك كمُجهزات مسبقة .

الفكرة الرئيسية للشبكات المتعددة هي تسريع تقارب طريقة تكرارية أساسية من خلال التصحيح الشامل من وقت لآخر، ويتم ذلك من خلال حل مشكلة خشنة . هذا المبدأ مشابه للاستيفاء بين الشبكات الأكثر خشونة والأدق. التطبيق النموذجي للشبكات المتعددة هو في الحل العددي لمعادلات التفاضل الجزئي الإهليلجية في بعدين أو أكثر. [16]

يمكن تطبيق طرق الشبكات المتعددة بالاشتراك مع أي من تقنيات التقطيع الشائعة. على سبيل المثال، يمكن إعادة صياغة طريقة العناصر المحدودة كطريقة شبكات متعددة. [17] في هذه الحالات، تعد طرق الشبكات المتعددة من بين أسرع تقنيات الحل المعروفة اليوم. وعلى النقيض من الطرق الأخرى، فإن طرق الشبكات المتعددة عامة من حيث أنها يمكن أن تعالج مناطق عشوائية وظروف حدودية . وهي لا تعتمد على قابلية فصل المعادلات أو غيرها من الخصائص الخاصة للمعادلة. كما تم استخدامها على نطاق واسع للأنظمة غير المتماثلة وغير الخطية الأكثر تعقيدًا من المعادلات، مثل نظام لاميه للمرونة أو معادلات نافير-ستوكس . [18]

مقارنة

غالبًا ما يُنظر إلى طريقة الفرق المحدود على أنها أبسط طريقة للتعلم والاستخدام. تُستخدم طرق العناصر المحدودة والحجم المحدود على نطاق واسع في الهندسة وفي ديناميكيات السوائل الحسابية ، وهي مناسبة تمامًا للمشكلات في الهندسة المعقدة. تعتبر الطرق الطيفية عمومًا الأكثر دقة، بشرط أن تكون الحلول سلسة بدرجة كافية.

انظر أيضا

قراءة إضافية

  • LeVeque, Randall J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws. Basel: Birkhäuser Basel. doi :10.1007/978-3-0348-8629-1. ISBN 9783764327231. تم الاسترجاع بتاريخ 2021-11-15 .
  • أندرسون، ديل أ.؛ بليتشر، ريتشارد هـ.؛ تانهيل، جون سي. (2013). ميكانيكا الموائع الحسابية ونقل الحرارة . سلسلة في العمليات الحسابية والفيزيائية في الميكانيكا والعلوم الحرارية (الطبعة الثالثة). بوكا راتون: مطبعة سي آر سي، مجموعة تايلور وفرانسيس. رقم ISBN 9781591690375.

مراجع

  1. ^ بيندر، جورج ف. (2018). الطرق العددية لحل المعادلات التفاضلية الجزئية: مقدمة شاملة للعلماء والمهندسين. هوبوكين، نيوجيرسي. ISBN 978-1-119-31636-7. OCLC  1015215158.{{cite book}}:CS1 maint: موقع الناشر المفقود ( الرابط )
  2. ^ روبنشتاين، جاكوب؛ بينشوفر، يهودا، محرران (2005)، "الأساليب العددية"، مقدمة إلى المعادلات التفاضلية الجزئية ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، ص 309-336، doi :10.1017/cbo9780511801228.012، ISBN 978-0-511-80122-8تم الاسترجاع بتاريخ 2021-11-15
  3. ^ "معادلة تفاضلية جزئية زائدية، طرق عددية - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-11-15 .
  4. ^ "معادلة تفاضلية جزئية مكافئة، طرق عددية - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-11-15 .
  5. ^ "معادلة تفاضلية جزئية إهليلجية، طرق عددية - موسوعة الرياضيات". encyclopediaofmath.org . تم الاسترجاع في 2021-11-15 .
  6. ^ إيفانز، جوين (2000). الطرق العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية. جيه إم بلاكليدج، بي ياردلي. لندن: سبرينغر. رقم ISBN 3-540-76125-X. OCLC  41572731.
  7. ^ جروسمان، كريستيان (2007). المعالجة العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية. هانز جورج روس، م. ستاينز. برلين: سبرينغر. رقم ISBN 978-3-540-71584-9. OCLC  191468303.
  8. ^ Schiesser, WE (1991). The Numerical Method of Lines . Academic Press. ISBN 0-12-624130-9.
  9. ^ حمدي، س.، دبليو إي شيسر و ج. و. جريفثس (2007)، طريقة الخطوط، سكولاربيديا ، 2(7):2859.
  10. ^ Schiesser, WE; Griffiths, GW (2009). مجموعة نماذج المعادلات التفاضلية الجزئية: طريقة تحليل الخطوط باستخدام ماتلاب . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-51986-1.
  11. ^ Lee, HJ; Schiesser, WE (2004). روتينات المعادلات التفاضلية العادية والجزئية في C وC++ وFortran وJava وMaple وMatlab . CRC Press. ISBN 1-58488-423-1.
  12. ^ EN Sarmin, LA Chudov (1963)، حول استقرار التكامل العددي لأنظمة المعادلات التفاضلية العادية الناشئة عن استخدام طريقة الخط المستقيم، الرياضيات الحسابية والفيزياء الرياضية في اتحاد الجمهوريات الاشتراكية السوفياتية ، 3 (6)، (1537-1543).
  13. ^ ص 235، الأساليب الطيفية: التطور إلى الهندسة المعقدة وتطبيقاتها على ديناميكيات السوائل، بقلم كانوتو، حسيني، كوارتيروني وزانج، سبرينغر، 2007.
  14. ^ تشن، شانغ ينغ؛ وي، جيان يو؛ هسو، كيو تشين (2023-10-01). "استيعاب البيانات لنمذجة تدفق باطن الأرض في الوقت الفعلي باستخدام تعديلات عقدة بدون شبكة قابلة للتكيف بشكل ديناميكي". الهندسة باستخدام الحاسبات . doi :10.1007/s00366-023-01897-6. ​​ISSN  1435-5663.
  15. ^ Roman Wienands; Wolfgang Joppich (2005). Practical Fourier analysis for multigrid methods. CRC Press. p. 17. ISBN 1-58488-492-4.
  16. ^ يو تروتنبرغ. سي دبليو أوستيرلي؛ أ. شولر (2001). متعدد الشبكات. الصحافة الأكاديمية. رقم ISBN 0-12-701070-X.
  17. ^ يو تشو؛ أندرياس سي كانجيلاريس (2006). طرق العناصر المحدودة متعددة الشبكات لنمذجة المجال الكهرومغناطيسي. وايلي. ص. 132 وما يليه . رقم ISBN 0-471-74110-8.
  18. ^ شاه، تسنيم محمد (1989). تحليل طريقة الشبكات المتعددة (أطروحة). جامعة أكسفورد. Bibcode :1989STIN...9123418S.
  • دورة الأساليب العددية للمعادلات التفاضلية الجزئية في MIT OpenCourseWare .
  • IMS، ملحق IMTEK Mathematica مفتوح المصدر (IMS)
  • تقنيات المعادلات التفاضلية الجزئية العددية للعلماء والمهندسين، محاضرات وأكواد مفتوحة المصدر للمعادلات التفاضلية الجزئية العددية
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=طرق_عددية_للمعادلات_التفاضلية_الجزئية&oldid=1229026953"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate