فضاء الجيروسكوب

فضاء المتجهات الدورانية هو مفهوم رياضي اقترحه أبراهام أ. أونغار لدراسة الهندسة الزائدية قياسًا على كيفية استخدام فضاءات المتجهات في الهندسة الإقليدية . ^{[ 1 ]} قدّم أونغار مفهوم المتجهات الدورانية التي تعتمد عملية جمعها على الزمر الدورانية، بدلًا من المتجهات التي تعتمد عملية جمعها على الزمر . طوّر أونغار مفهومه كأداة لصياغة النسبية الخاصة كبديل لاستخدام تحويلات لورنتز لتمثيل تركيب السرعات (وتُسمى أيضًا بالتحويلات - "التحويلات" هي جوانب من السرعات النسبية ، ويجب عدم الخلط بينها وبين " الانتقالات "). يتحقق ذلك من خلال إدخال "مؤثرات الدوران"؛ حيث يُستخدم متجهان للسرعة ثلاثية الأبعاد لإنشاء مؤثر، يعمل بدوره على سرعة ثلاثية الأبعاد أخرى.

اسم

المجموعات الجيروسكوبية هي بنى شبيهة بالمجموعات ذات ارتباط ضعيف. اقترح أونغار مصطلح "المجموعة الجيروسكوبية" لما أسماه "المجموعة الجيروسكوبية التبادلية"، مع تخصيص مصطلح "المجموعة الجيروسكوبية" للحالة غير التبادلية، قياسًا على الفرق بين المجموعات والمجموعات الأبيلية . تُعد المجموعات الجيروسكوبية نوعًا من حلقات بول . تُكافئ المجموعات الجيروسكوبية التبادلية حلقات K ^{[ 2 ]} على الرغم من اختلاف تعريفها. كما يُستخدم مصطلحا " حلقة بروك" ^{[ 3 ]} و "المجموعة المتناظرة الثنائية" ^{[ 4 ] .}

رياضيات فضاءات المتجهات الدورانية

مجموعات الجيروسكوب

البديهيات

مجموعة جيروسكوبية ( G ، $\oplus$ يتكون ) من مجموعة أساسية G وعملية ثنائية $\oplus$ تحقيق البديهيات التالية:

في G يوجد على الأقل عنصر واحد 0 يسمى العنصر المحايد الأيسر وقيمته 0 $\oplus$ a = a لكل a في G.
لكل عنصر a في G يوجد عنصر $\ominus$ يُطلق على a في G اسم المعكوس الأيسر لـ a مع ( $\ominus$ أ ) $\oplus$ أ = 0.
لكل a و b و c في G ، يوجد عنصر وحيد gyr[ a , b ] c في G بحيث تخضع العملية الثنائية لقانون التجميع الدوراني الأيسر: a $\oplus$ ( ب) $\oplus$ ج ) = ( أ $\oplus$ ب ) $\oplus$ gyr[ a , b ] c
الخريطة gyr[ a , b ]: G → G المعطاة بواسطة c ↦ gyr[ a , b ] c هي تشاكل ذاتي للصهارة ( G , $\oplus$ ) – أي أن gyr[ a , b ] هو عضو في Aut( G , $\oplus$ ) ويُطلق على التشاكل الذاتي gyr[ a , b ] للرسم البياني G اسم التشاكل الذاتي الدوراني للرسم البياني G الناتج عن a و b في G. العملية gyr: G × G → Aut( G , $\oplus$ ) يُطلق عليه اسم مُحَوِّل G.
يتمتع التحويل الذاتي الجيروسكوبي gyr[ a , b ] بخاصية الحلقة اليسرى gyr[ a , b ] = gyr[ a] $\oplus$ ب ، ب ]

يُشبه الزوج الأول من البديهيات بديهيات المجموعة. أما الزوج الأخير فيُمثل بديهيات المُحَوِّل، بينما تربط البديهية الوسطى بين الزوجين.

بما أن المجموعة الدورانية لها معكوسات وعنصر محايد، فإنها تُعتبر شبه مجموعة وحلقة .

الزمر الجيروسكوبية هي تعميم للمجموعات . كل مجموعة هي مثال على زمرة جيروسكوبية مع تعريف gyr[ a , b ] على أنه تطبيق التطابق لجميع a و b في G.

تم تقديم مثال على مجموعة جيروسكوبية محدودة في ^{[ 5 ]} .

الهويات

بعض المتطابقات التي تنطبق على أي مجموعة جيروسكوبية ( G ، $\oplus$ ) نكون:

$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))$ (دوران)
$\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}$ (الترابط الأيسر)
$(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]\mathbf {w} )$ (الترابط الأيمن)

علاوة على ذلك، يمكن إثبات قانون انعكاس الدوران، وهو الدافع وراء تعريف التبادلية الدورانية أدناه:

$\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\ominus \mathbf {v} \ominus \mathbf {u} )$ (قانون انعكاس الدوران)

تتضمن بعض النظريات الإضافية التي تحققها مجموعة الدوران لأي مجموعة دوران ما يلي:

$\mathrm {gyr} [\mathbf {0} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\mathbf {u} ]=I$ (تقلبات الهوية)
$\mathrm {gyr} ^{-1}[\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {v} ,\mathbf {u} ]$ (قانون انعكاس التماثل الدوراني)
$\mathrm {gyr} [\ominus \mathbf {u} ,\ominus \mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]$ (خاصية الدوران)
$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ]$ (خاصية الحلقة اليمنى)
$\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {gyr} [\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} ,\mathbf {v} ]$ (خاصية الحلقة اليسرى)

تُقدَّم المزيد من المتطابقات في الصفحة 50 من المرجع ^{[ 6 ]} . ومن النتائج المفيدة بشكل خاص للمتطابقات المذكورة أعلاه أن مجموعات الجيروسكوب تُحقق خاصية بول اليسرى.

$(\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} ))\oplus \mathbf {w} =\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {w} ))$

التبادلية الدورانية

مجموعة جيروسكوبية (G, $\oplus$ تكون العملية ( ) تبادلية دورانية إذا كانت عمليتها الثنائية تخضع لقانون التبادل الدوراني: أ $\oplus$ b = gyr[ a , b ]( b $\oplus$ أ ). بالنسبة لجمع السرعات النسبية، نُشرت هذه الصيغة التي توضح دور الدوران في العلاقة بين a + b و b + a في عام 1914 بواسطة لودويك سيلبرشتاين . ^[⁷^]^[⁸^]

الإضافة

في كل مجموعة جيروسكوبية، يمكن تعريف عملية ثانية تسمى الجمع المشترك : أ $\boxplus$ ب = أ $\oplus$ جير[ أ ، $\ominus$ b ] b لجميع a ، b ∈ G . يكون الجمع المشترك تبديليًا إذا كان جمع المجموعة الدورانية تبديليًا دورانيًا.

نموذج بلترامي-كلاين للقرص/الكرة وإضافة أينشتاين

يمكن اعتبار السرعات النسبية نقاطًا في نموذج بلترامي-كلاين للهندسة الزائدية، وبالتالي يمكن التعبير عن جمع المتجهات في هذا النموذج بصيغة جمع السرعات . ولتعميم هذه الصيغة على جمع المتجهات في الفضاء الزائدي ذي الأبعاد الأكبر من 3، يجب كتابتها بصيغة تتجنب استخدام الضرب الاتجاهي لصالح الضرب القياسي .

في الحالة العامة، جمع سرعات أينشتاين لسرعتين $\mathbf {u}$ و $\mathbf {v}$ يُعطى في شكل مستقل عن الإحداثيات كما يلي:

// {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {u} \right\}}

أين $\gamma _{\mathbf {u} }$ هو عامل جاما المعطى بالمعادلة $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {u} |^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

باستخدام الإحداثيات يصبح هذا كالتالي:

{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\\\end{pmatrix}}={\frac {1}{1+{\frac {u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3}}{c^{2}}}}}\left\{\left[1+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {u} }}{1+\gamma _{\mathbf {u} }}}(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})\right]{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\end{pmatrix}}+{\frac {1}{\gamma _{\mathbf {u} }}}{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\\\end{pmatrix}}\right\}

أين $\gamma _{\mathbf {u} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

تكون عملية جمع السرعات وفقًا لقانون أينشتاين تبادلية وتجميعية فقط عندما $\mathbf {u}$ و $\mathbf {v}$ متوازية . في الواقع

\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} =\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ](\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )

و

\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus \mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w}

حيث يمثل "gyr" التجريد الرياضي لحركة توماس في مؤثر يسمى دوران توماس، ويُعطى بواسطة

\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\mathbf {w} =\ominus (\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\oplus (\mathbf {u} \oplus (\mathbf {v} \oplus \mathbf {w} ))

بالنسبة لجميع قيم w ، فإن ترنح توماس له تفسير في الهندسة الزائدية على أنه عيب المثلث الزائدي السالب .

تركيب تحويل لورنتز

إذا كانت صيغة المصفوفة 3 × 3 للدوران المطبق على 3 إحداثيات معطاة بواسطة gyr[ u , v ]، فإن صيغة المصفوفة 4 × 4 للدوران المطبق على 4 إحداثيات معطاة بواسطة:

\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]={\begin{pmatrix}1&0\\0&\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]\end{pmatrix}}

[ ⁹^]

يتم إعطاء تركيب اثنين من تعزيزات لورنتز B( u ) و B( v ) للسرعات u و v بواسطة: ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

B(\mathbf {u} )B(\mathbf {v} )=B(\mathbf {u} \oplus \mathbf {v} )\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]=\mathrm {Gyr} [\mathbf {u} ,\mathbf {v} ]B(\mathbf {v} \oplus \mathbf {u} )

هذه الحقيقة هي أن إما B( u) $\oplus$ v ) أو B( v ) $\oplus$ يمكن استخدام u ) اعتمادًا على ما إذا كنت تكتب الدوران قبل أو بعد شرح مفارقة تركيب السرعة .

يتم إعطاء تركيب تحويلين لورنتز L( u ,U) و L( v ,V) اللذين يتضمنان الدوران U و V بواسطة: ^{[ 11 ]}

L(\mathbf {u} ,U)L(\mathbf {v} ,V)=L(\mathbf {u} \oplus U\mathbf {v} ,\mathrm {gyr} [\mathbf {u} ,U\mathbf {v} ]UV)

في المثال أعلاه، يمكن تمثيل التعزيز بمصفوفة 4 × 4. تعني مصفوفة التعزيز B( v ) التعزيز B الذي يستخدم مركبات السرعة v ، أي v1 و v2 و v3، في عناصر المصفوفة، أو بالأحرى مركبات v/c في _{التمثيل}المستخدم في _قسمتحويل لورنتز # أشكال _{المصفوفات} . تعتمد عناصر المصفوفة على مركبات السرعة الثلاثية v ، وهذا ما تعنيه B( v ). يمكن القول إن العناصر تعتمد على مركبات السرعة الرباعية لأن 3 من عناصر السرعة الرباعية هي نفسها عناصر السرعة الثلاثية، ولكن فائدة تحديد معلمات التعزيز بالسرعة الثلاثية تكمن في أن التعزيز الناتج عن تركيب تعزيزين يستخدم مركبات تركيب السرعة الثلاثية u. $\oplus$ v في المصفوفة 4 × 4 B( u $\oplus$ v ). ولكن يجب أيضًا ضرب التعزيز الناتج بمصفوفة دوران لأن تركيب التعزيز (أي ضرب مصفوفتين 4 × 4) لا ينتج عنه تعزيز خالص، بل تعزيز ودوران، أي مصفوفة 4 × 4 تُقابل الدوران Gyr[ u , v ] للحصول على B( u )B( v ) = B( u). $\oplus$ v )Gyr[ u , v ] = Gyr[ u , v ]B( v $\oplus$ u ).

فضاءات أينشتاين الجيروسكوبية

ليكن s أي ثابت موجب، وليكن (V,+,.) أي فضاء جداء داخلي حقيقي ، وليكن V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. فضاء متجهي أينشتاين الجيروسكوبي ( V _s , $\oplus$ ، $\otimes$ ) هي مجموعة جيروسكوبية من نوع أينشتاين ( V _s , $\oplus$ ) مع الضرب القياسي المعطى بواسطة r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | حيث r أي عدد حقيقي، v ∈ V _s ، v ≠ 0 و r $\otimes$ 0 = 0 باستخدام الرمز v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

لا يتوزع الضرب القياسي لأينشتاين على جمع أينشتاين إلا عندما تكون المتجهات الدورانية متوازية (التوزيع الأحادي)، ولكنه يتمتع بخصائص أخرى للفضاءات المتجهة: لأي عدد صحيح موجب n _ولجميعالأعداد الحقيقية r و r1 و _r2 و v ∈ V _s :

ن $\otimes$ v = v $\oplus$ ... $\oplus$ v	نيس
( r ₁ + r ₂ ) $\otimes$ v = r ₁ $\otimes$ v $\oplus$ ر ₂ $\otimes$ v	قانون التوزيع القياسي
( r ₁r ₂ ) $\otimes$ v = r ₁ $\otimes$ ( r ₂₎ $\otimes$ v )	قانون التجميع القياسي
ر $\otimes$ ( r ₁₎ $\otimes$ أ $\oplus$ ر ₂ $\otimes$ أ ) = ر $\otimes$ ( r ₁₎ $\otimes$ أ ) $\oplus$ ر $\otimes$ ( r ₂₎ $\otimes$ أ )	قانون التوزيع الأحادي

نموذج قرص/كرة بوانكاريه وإضافة موبيوس

يُعطى تحويل موبيوس للقرص المفتوح ذي الوحدة في المستوى المركب بواسطة التحليل القطبي

z\to {e^{i\theta }}{\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}

والتي يمكن كتابتها على النحو التالي

e^{i\theta }{(a\oplus _{M}{z})}

وهو ما يحدد عملية جمع موبيوس

{a\oplus _{M}{z}}={\frac {a+z}{1+a{\bar {z}}}}

.

ولتعميم ذلك على أبعاد أعلى، تُعتبر الأعداد المركبة متجهات في المستوى. $\mathbf {\mathrm {R} } ^{2}$ وتُعاد كتابة عملية جمع موبيوس في شكل متجه على النحو التالي:

\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {(1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {v} |^{2})\mathbf {u} +(1-{\frac {1}{s^{2}}}|\mathbf {u} |^{2})\mathbf {v} }{1+{\frac {2}{s^{2}}}\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +{\frac {1}{s^{4}}}|\mathbf {u} |^{2}|\mathbf {v} |^{2}}}

وهذا يعطي الجمع الاتجاهي للنقاط في نموذج كرة بوانكاريه للهندسة الزائدية حيث نصف القطر s=1 للقرص المعقد يصبح الآن أي s>0.

مساحات متجه الدوران موبيوس

ليكن s أي ثابت موجب، وليكن (V,+,.) أي فضاء جداء داخلي حقيقي ، وليكن V _s ={ v ∈ V :| v |<s}. فضاء متجهي دوراني موبيوس ( V _s , $\oplus$ ، $\otimes$ ) هي مجموعة جيروسكوبية Möbius ( V _s ، $\oplus$ ) مع الضرب القياسي المعطى بواسطة r $\otimes$ v = s tanh( r tanh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | حيث r أي عدد حقيقي، v ∈ V _s ، v ≠ 0 و r $\otimes$ 0 = 0 باستخدام الرمز v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

يتطابق الضرب القياسي لموبيوس مع الضرب القياسي لأينشتاين (انظر القسم أعلاه) وهذا ينبع من تطابق جمع موبيوس وجمع أينشتاين بالنسبة للمتجهات المتوازية.

نموذج فضاء السرعة المناسب وجمع السرعة المناسب

يتم إعطاء نموذج فضاء السرعة المناسب للهندسة الزائدية بواسطة السرعات المناسبة مع جمع المتجهات المعطى بواسطة صيغة جمع السرعة المناسبة: ^{[ 6 ]}^{[ 12 ]}^{[ 13 ]}

\mathbf {u} \oplus _{U}\mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {v} +\left\{{\frac {\beta _{\mathbf {u} }}{1+\beta _{\mathbf {u} }}}{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}+{\frac {1-\beta _{\mathbf {v} }}{\beta _{\mathbf {v} }}}\right\}\mathbf {u}

أين $\beta _{\mathbf {w} }$ هو عامل بيتا المعطى بواسطة $\beta _{\mathbf {w} }={\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {|\mathbf {w} |^{2}}{c^{2}}}}}}$ .

توفر هذه الصيغة نموذجًا يستخدم فضاءً كاملاً مقارنة بالنماذج الأخرى للهندسة الزائدية التي تستخدم الأقراص أو أنصاف المستويات.

فضاء متجهات السرعة الدورانية الصحيح هو فضاء جداء داخلي حقيقي V، مع إضافة مجموعة متجهات السرعة الدورانية الصحيحة $\oplus _{U}$ ومع الضرب القياسي المعرف بواسطة r $\otimes$ v = s sinh( r sinh ⁻¹ (| v |/ s )) v /| v | حيث r أي عدد حقيقي، و v ∈ V ، و v ≠ 0، و r $\otimes$ 0 = 0 باستخدام الرمز v $\otimes$ r = r $\otimes$ v .

التشاكلات

يحافظ تماثل فضاء المتجهات الدورانية على جمع المجموعات الدورانية والضرب القياسي والضرب الداخلي.

الفضاءات الثلاثة للجيروسكوبية Möbius و Einstein و Proper Velocity متماثلة.

إذا كانت M و E و U هي فضاءات متجهات الدوران موبيوس وأينشتاين والسرعة الخاصة على التوالي بعناصر v _m و ve و v _u،_فإن التشاكلات تُعطى بواسطة:

هـ $\rightarrow$ يو باي $\gamma _{\mathbf {v} _{e}}\mathbf {v} _{e}$
يو $\rightarrow$ إي باي $\beta _{\mathbf {v} _{u}}\mathbf {v} _{u}$
هـ $\rightarrow$ م بواسطة ${\frac {1}{2}}\otimes _{E}\mathbf {v} _{e}$
م $\rightarrow$ إي باي $2\otimes _{M}\mathbf {v} _{m}$
م $\rightarrow$ يو باي $2{{{\gamma }^{2}}_{\mathbf {v} _{m}}}\mathbf {v} _{m}$
يو $\rightarrow$ م بواسطة ${\frac {\beta _{\mathbf {v} _{u}}}{1+\beta _{\mathbf {v} _{u}}}}\mathbf {v} _{u}$

من هذا الجدول يمكن استنتاج العلاقة بين $\oplus _{E}$ و $\oplus _{M}$ يتم تحديدها بواسطة المعادلات التالية:

$\mathbf {u} \oplus _{E}\mathbf {v} =2\otimes \left({{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {u} \oplus _{M}{\frac {1}{2}}\otimes \mathbf {v} }\right)$

$\mathbf {u} \oplus _{M}\mathbf {v} ={\frac {1}{2}}\otimes \left({2\otimes \mathbf {u} \oplus _{E}2\otimes \mathbf {v} }\right)$

يرتبط هذا بالصلة بين تحويلات موبيوس وتحويلات لورنتز .

قياس المثلثات الدوراني

علم المثلثات الدوراني هو استخدام مفاهيم الدوران لدراسة المثلثات الزائدية .

يستخدم علم المثلثات الزائدي، كما هو شائع، الدوال الزائدية cosh و sinh وغيرها، وهذا يختلف عن علم المثلثات الكروي الذي يستخدم الدوال المثلثية الإقليدية cos و sin، ولكن مع متطابقات المثلث الكروي بدلاً من متطابقات المثلث المستوي العادية . أما علم المثلثات الجيروسكوبي فيعتمد على استخدام الدوال المثلثية العادية ولكن بالاقتران مع متطابقات المثلث الجيروسكوبي.

مراكز المثلثات

تُعنى دراسة مراكز المثلثات تقليديًا بالهندسة الإقليدية، ولكن يمكن أيضًا دراستها في الهندسة الزائدية. باستخدام حساب المثلثات الدوراني، يمكن حساب تعابير الإحداثيات الباريسنترية المثلثية التي تتخذ الشكل نفسه في كلٍّ من الهندسة الإقليدية والزائدية. ولكي تتطابق هذه التعابير، يجب ألا تتضمن شرط أن يكون مجموع الزوايا 180 درجة. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]}

جمع متوازيات الأضلاع الجيروسكوبية

باستخدام حساب المثلثات الدورانية، يمكن إيجاد عملية جمع متجهات دورانية تعمل وفقًا لقانون متوازي الأضلاع الدوراني. هذه العملية هي عملية الجمع المشترك لعملية المجموعة الدورانية. عملية جمع متوازي الأضلاع الدورانية عملية تبديلية.

قانون متوازي الأضلاع الجيروسكوبي مشابه لقانون متوازي الأضلاع من حيث أن متوازي الأضلاع الجيروسكوبي هو شكل رباعي زائدي يتقاطع قطراه الجيروسكوبيان عند منتصفاتهما، تمامًا كما أن متوازي الأضلاع هو شكل رباعي إقليدي يتقاطع قطراه عند منتصفاتهما. ^{[ 17 ]}

متجهات بلوخ

يمكن دراسة متجهات بلوخ التي تنتمي إلى كرة الوحدة المفتوحة في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد باستخدام جمع أينشتاين ^{[ 18 ]} أو جمع موبيوس. ^{[ 6 ]}

مراجعات الكتب

جاء في مراجعة أحد الكتب السابقة عن الجيروسكوب ^{[ 19 ]} ما يلي:

على مر السنين، بُذلت محاولات قليلة للترويج للأسلوب غير الإقليدي في حل مسائل النسبية والديناميكا الكهربائية، إلا أن فشل هذه المحاولات في استقطاب أي متابعة تُذكر، بالإضافة إلى غياب أي نتائج إيجابية، يدفع أي شخص يفكر في القيام بمشروع مماثل إلى التريث. وحتى وقت قريب، لم يكن أحد قادرًا على تقديم تحسين للأدوات المتاحة منذ عام ١٩١٢. في كتابه الجديد، يُقدّم أونغار العنصر المفقود الحاسم من مجموعة أدوات الأسلوب غير الإقليدي: وهو شكل جبري أنيق غير ترابطي يستغل بنية قانون أينشتاين لتركيب السرعة استغلالًا كاملًا. ^{[ ٢٠ ]}

ملاحظات ومراجع

↑ أبراهام أ. أونغار (2005)، "الهندسة الزائدية التحليلية: الأسس الرياضية والتطبيقات"، منشورات وورلد ساينتيفيك، رقم ISBN 981-256-457-8، ISBN 978-981-256-457-3
↑ هوبرت كيخل (2002)، "نظرية حلقات K"، منشورات سبرينغر، رقم ISBN 3-540-43262-0، ISBN 978-3-540-43262-3
↑ لاريسا سبيتنيفا (2001)، الهندسة غير الترابطية للنسبية الخاصة، المجلة الدولية للفيزياء النظرية، سبرينغر، المجلد 40، العدد 1 / يناير 2001 doi : 10.1023/A:1003764217705
^ J لوسون واي ليم (2004)، الوسائل على مجموعات التماثل الثنائي والتحلل القطبي، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg، Springer، Vol.74، No.1 / Dec 2004 doi : 10.1007/BF02941530
↑ أونغار، أ.أ. (2000). "علم المثلثات الزائدي في نموذج أينشتاين للسرعة النسبية للهندسة الزائدية" . الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات . 40 ( 2-3 ): 313-332 [317]. doi : 10.1016/S0898-1221(00)00163-2 .
1 2 3 الهندسة الزائدية التحليلية ونظرية النسبية الخاصة لألبرت أينشتاين ، أبراهام أ. أونجار، وورلد ساينتيفيك، 2008، ISBN 978-981-277-229-9
↑ لودويك سيلبرشتاين، نظرية النسبية، ماكميلان، 1914
↑ الصفحة 214، الفصل 5، المصفوفات التبسيطية: أنظمة الرتبة الأولى والنسبية الخاصة، مارك كاودرير، وورلد ساينتيفيك، 1994، رقم ISBN 978-981-02-1984-0
1 2 أونغار، أ. أ: مفارقة تركيب السرعة النسبية ودوران توماس. أسس الفيزياء 19، 1385-1396 (1989) doi : 10.1007/BF00732759
↑ أونغار، أ.أ. (2000). "مبدأ التبادلية النسبية للسرعة المركبة". أسس الفيزياء . 30 (2). سبرينغر: 331-342 . Bibcode : 2000FoPh...30..331U . CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi : 10.1023/A:1003653302643 . S2CID 118634052 .
↑ المعادلة (55)، دوران توماس ومعاملة مجموعة تحويل لورنتز، AA Ungar – Foundations of Physics Letters، 1988
↑ ترنح توماس: بديهيات الزمر الدورانية الأساسية واستخدامها في الهندسة الزائدية والفيزياء النسبية، أبراهام أ. أونجار، أسس الفيزياء، المجلد 27، العدد 6، 1997 doi : 10.1007/BF02550347
↑ أونجار، أ.أ. (2006)، "مجموعة تحويل السرعة النسبية" مؤرشفة في 2017-10-25 في آلة Wayback ، التقدم في أبحاث الكهرومغناطيسية ، PIER 60 ، ص 85-94، المعادلة (12)
↑ الإحداثيات الباريسنترية الزائدية ، أبراهام أ. أونغار، المجلة الأسترالية للتحليل الرياضي والتطبيقات، AJMAA، المجلد 6، العدد 1، المقالة 18، الصفحات 1-35، 2009
↑ مراكز المثلثات الزائدية: النهج النسبي الخاص ، أبراهام أونجار، سبرينغر، 2010
↑ حساب التفاضل والتكامل المركزي في الهندسة الإقليدية والزائدية: مقدمة مقارنة، مؤرشف في 19 مايو 2012 على موقع Wayback Machine ، أبراهام أونجار، وورلد ساينتيفيك، 2010
↑ أبراهام أ. أونغار (2009)، "مقاربة فضاء المتجهات الدورانية للهندسة الزائدية"، مورغان وكلايبول، ISBN 1-59829-822-4، ISBN 978-1-59829-822-2
↑ ملاحظة هندسية لدقة بوريس بين حالتين من حالات الكيوبت ، جينغ لينغ تشين، ليبين فو، أبراهام أ. أونغار، شيان غينغ تشاو، مجلة Physical Review A، المجلد 65، العدد 2
↑ أبراهام أ. أونغار (2002)، "ما وراء قانون جمع أينشتاين وترنح توماس الجيروسكوبي: نظرية المجموعات الجيروسكوبية وفضاءات المتجهات الجيروسكوبية"، كلوير، ISBN 1-4020-0353-6، ISBN 978-1-4020-0353-0
↑ سكوت والتر، أسس الفيزياء 32: 327-330 (2002). مراجعة كتاب مؤرشفة بتاريخ 16-05-2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ).

دومينيكو جيليني، الهياكل الجبرية والهندسية للنسبية الخاصة ، فصل في كتاب "النسبية الخاصة: هل ستصمد خلال المئة عام القادمة؟"، حرره كلاوس لاميرزال ويورغن إيلرز، سبرينغر، 2006.

للمزيد من القراءة

أ. أ. أونغار (2009). المتجهات الدورانية: مدخل إلى الهندسة الزائدية . محاضرات تركيبية في الرياضيات والإحصاء. دار مورغان وكلايبول للنشر. رقم ISBN 978-159-829-822-2.
تي إم راسيس (2000). التحليل الرياضي وتطبيقاته . مجموعة مقالات في الرياضيات. دار هادرونيك للنشر. الصفحات 307، 326، 336. ISBN 157-485-045-8.
ماكس أ. أكيفيس وفلاديسلاف ف. غولدبرغ (2006)، الجبر المحلي لشبه زمرة تفاضلية ، نشرة الجمعية الأمريكية للرياضيات، المجلد 43، العدد 2
أوغوزهان ديميريل، أمينة سويتورك (2008)، نظرية كارنو الزائدية في نموذج قرص بوانكاريه للهندسة الزائدية ، مجلة نوفي ساد للرياضيات، المجلد 38، العدد 2، 2008، 33-39
م. فيريرا (2008)، تحويلات المويجات الكروية المستمرة الناشئة عن مقاطع من مجموعة لورنتز، التحليل التوافقي التطبيقي والحسابي، إلسيفير arXiv : 0706.1956
تي فوغيل (2000)، تعليق رياضيات جامعة كارولينا، المجموعات، المستعرضات، والحلقات
يعقوب فريدمان (1994)، "المجالات المتناظرة المحدودة وبنية JB* الثلاثية في الفيزياء"، جبر جوردان: وقائع المؤتمر المنعقد في أوبرولفاخ، ألمانيا، 9-15 أغسطس 1992، بقلم فيلهلم كاوب، كيفن مكريمون، هولجر ب. بيترسون، نشرته دار والتر دي جرويتر، ISBN 3-11-014251-1، ISBN 978-3-11-014251-8
فلوريان جيريلي، إيتيرا ر. ليفين (2004)، النسبية الخاصة كهندسة غير تبادلية: دروس في النسبية الخاصة المشوهة ، فيز. ريف. د 81، 085041 (2010)
سيجونغ كيم، جيمي لوسون (2011)، حلقات بروك الملساء، والفضاءات المتناظرة، والفضاءات المتجهة غير الترابطية ، مجلة Demonstratio Mathematica، المجلد 44، العدد 4
بيتر ليفاي (2003)، الطور الهندسي للحالة المختلطة من دورانات توماس
أزنيف كاسباريان، أبراهام أ. أونغار، (2004) فضاءات لي جيروكتور، مجلة الهندسة والتناظر والفيزياء
R Olah-Gal, J Sandor (2009), On Trigonometric provenous of the Steiner–Lehmus Theorem , Forum Geometricorum, 2009 – forumgeom.fau.edu
غونزالو إي. رييس (2003)، حول قانون الحركة في النسبية الخاصة arXiv : physics/0302065
كريستوف روزغا (2000)، مجلة المحيط الهادئ للرياضيات، المجلد 193، العدد 1، حول الامتدادات المركزية للمجموعات الدورانية التبادلية
LV Sabinin (1995)، "حول مجموعات الجيروس في المجر" مؤرشف في 2009-08-30 في Wayback Machine ، RUSS MATH SURV، 1995، 50 (5)، 1095-1096.
LV Sabinin، LL Sabinina، Larissa Sbitneva (1998)، المعادلات الرياضية ، حول فكرة المجموعة الجيروسكوبية
إل في سابينين، لاريسا سبيتنيفا، آي بي شيستاكوف (2006)، "الجبر غير الترابطي وتطبيقاته"، مطبعة سي آر سي، رقم ISBN 0-8247-2669-3، ISBN 978-0-8247-2669-0
ف. سمارانداش، س. باربو (2010)، نظرية مينلاوس الزائدية في نموذج قرص بوانكاريه للهندسة الزائدية
رومان أولريش سيكسل، هيلموت كورت أوربانتكه، (2001)، "النسبية، المجموعات، الجسيمات: النسبية الخاصة والتناظر النسبي في فيزياء المجال والجسيمات"، الصفحات 141-142، سبرينغر، ISBN 3-211-83443-5، ISBN 978-3-211-83443-5

روابط خارجية

النسبية الخاصة لأينشتاين: وجهة النظر الهندسية الزائدية
أونغار، أبراهام أ. (2001). "علم المثلثات الزائدي وتطبيقه في نموذج كرة بوانكاريه للهندسة الزائدية" . الصفحات 6-19 . CiteSeerX 10.1.1.17.6107 .

[anhyp-1] أبراهام أ. أونغار (2005)، "الهندسة الزائدية التحليلية: الأسس الرياضية والتطبيقات"، منشورات وورلد ساينتيفيك، رقم ISBN 981-256-457-8، ISBN 978-981-256-457-3

[2] هوبرت كيخل (2002)، "نظرية حلقات K"، منشورات سبرينغر، رقم ISBN 3-540-43262-0، ISBN 978-3-540-43262-3

[3] لاريسا سبيتنيفا (2001)، الهندسة غير الترابطية للنسبية الخاصة، المجلة الدولية للفيزياء النظرية، سبرينغر، المجلد 40، العدد 1 / يناير 2001 doi : 10.1023/A:1003764217705

[4] J لوسون واي ليم (2004)، الوسائل على مجموعات التماثل الثنائي والتحلل القطبي، Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg، Springer، Vol.74، No.1 / Dec 2004 doi : 10.1007/BF02941530

[5] أونغار، أ.أ. (2000). "علم المثلثات الزائدي في نموذج أينشتاين للسرعة النسبية للهندسة الزائدية" . الحوسبة والرياضيات مع التطبيقات . 40 ( 2-3 ): 313-332 [317]. doi : 10.1016/S0898-1221(00)00163-2 .

[ung2008-6] 1 2 3 الهندسة الزائدية التحليلية ونظرية النسبية الخاصة لألبرت أينشتاين ، أبراهام أ. أونجار، وورلد ساينتيفيك، 2008، ISBN 978-981-277-229-9

[7] لودويك سيلبرشتاين، نظرية النسبية، ماكميلان، 1914

[8] الصفحة 214، الفصل 5، المصفوفات التبسيطية: أنظمة الرتبة الأولى والنسبية الخاصة، مارك كاودرير، وورلد ساينتيفيك، 1994، رقم ISBN 978-981-02-1984-0

[relcompara-9] 1 2 أونغار، أ. أ: مفارقة تركيب السرعة النسبية ودوران توماس. أسس الفيزياء 19، 1385-1396 (1989) doi : 10.1007/BF00732759

[10] أونغار، أ.أ. (2000). "مبدأ التبادلية النسبية للسرعة المركبة". أسس الفيزياء . 30 (2). سبرينغر: 331-342 . Bibcode : 2000FoPh...30..331U . CiteSeerX 10.1.1.35.1131 . doi : 10.1023/A:1003653302643 . S2CID 118634052 .

[11] المعادلة (55)، دوران توماس ومعاملة مجموعة تحويل لورنتز، AA Ungar – Foundations of Physics Letters، 1988

[ung1997-12] ترنح توماس: بديهيات الزمر الدورانية الأساسية واستخدامها في الهندسة الزائدية والفيزياء النسبية، أبراهام أ. أونجار، أسس الفيزياء، المجلد 27، العدد 6، 1997 doi : 10.1007/BF02550347

[13] أونجار، أ.أ. (2006)، "مجموعة تحويل السرعة النسبية" مؤرشفة في 2017-10-25 في آلة Wayback ، التقدم في أبحاث الكهرومغناطيسية ، PIER 60 ، ص 85-94، المعادلة (12)

[14] الإحداثيات الباريسنترية الزائدية ، أبراهام أ. أونغار، المجلة الأسترالية للتحليل الرياضي والتطبيقات، AJMAA، المجلد 6، العدد 1، المقالة 18، الصفحات 1-35، 2009

[15] مراكز المثلثات الزائدية: النهج النسبي الخاص ، أبراهام أونجار، سبرينغر، 2010

[barycalc-16] حساب التفاضل والتكامل المركزي في الهندسة الإقليدية والزائدية: مقدمة مقارنة، مؤرشف في 19 مايو 2012 على موقع Wayback Machine ، أبراهام أونجار، وورلد ساينتيفيك، 2010

[17] أبراهام أ. أونغار (2009)، "مقاربة فضاء المتجهات الدورانية للهندسة الزائدية"، مورغان وكلايبول، ISBN 1-59829-822-4، ISBN 978-1-59829-822-2

[18] ملاحظة هندسية لدقة بوريس بين حالتين من حالات الكيوبت ، جينغ لينغ تشين، ليبين فو، أبراهام أ. أونغار، شيان غينغ تشاو، مجلة Physical Review A، المجلد 65، العدد 2

[19] أبراهام أ. أونغار (2002)، "ما وراء قانون جمع أينشتاين وترنح توماس الجيروسكوبي: نظرية المجموعات الجيروسكوبية وفضاءات المتجهات الجيروسكوبية"، كلوير، ISBN 1-4020-0353-6، ISBN 978-1-4020-0353-0

[20] سكوت والتر، أسس الفيزياء 32: 327-330 (2002). مراجعة كتاب مؤرشفة بتاريخ 16-05-2011 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine ).

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ] .

[ 5 ]

[ 6 ]

[

[

9

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ ٢٠ ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗