تنظيم دالة زيتا

في الرياضيات والفيزياء النظرية ، يُعدّ تنظيم دالة زيتا نوعًا من التنظيم أو طريقة الجمع التي تُسند قيمًا محدودة للمجاميع أو الضرب المتباعدة ، ويمكن استخدامها على وجه الخصوص لتعريف المحددات وآثار بعض المؤثرات ذاتية الترافق . تُطبّق هذه التقنية الآن بشكل شائع على مسائل الفيزياء ، ولكن أصولها تعود إلى محاولات إعطاء معانٍ دقيقة للمجاميع سيئة التكييف التي تظهر في نظرية الأعداد .

توجد عدة طرق جمع مختلفة تُسمى تنظيم دالة زيتا لتحديد مجموع متسلسلة قد تكون متباعدة a1 ₊ a2 ₊ ....

إحدى الطرق هي تعريف مجموعها المنتظم باستخدام دالة زيتا على أنه ζ _A ( − 1) إذا تم تعريف ذلك، حيث يتم تعريف دالة زيتا لقيم Re( s ) الكبيرة بواسطة

${\displaystyle \zeta _{A}(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+\cdots }$

إذا تقارب هذا المجموع، وبالاستمرار التحليلي في مكان آخر.

في حالة كون a _n = n ، تكون دالة زيتا هي دالة زيتا لريمان العادية . وقد استخدم سرينيفاسا رامانوجان هذه الطريقة "لجمع" المتسلسلة 1 + 2 + 3 + 4 + ... حتى ζ ( − 1) = − 1/12.

أظهر ستيفن هوكينغ ( 1977 ) أنه في الفضاء المسطح، حيث تُعرف القيم الذاتية لمؤثر لابلاس، يمكن حساب دالة زيتا الموافقة لدالة التوزيع بشكل صريح. لنفترض وجود حقل قياسي φ محصور في صندوق كبير حجمه V في زمكان مسطح عند درجة حرارة T = β ^{− 1.} تُعرَّف دالة التوزيع بتكامل مسار على جميع الحقول φ في الفضاء الإقليدي، والذي يُحسب بوضع τ = it، وهي حقول تساوي صفرًا على جدران الصندوق، وتكون دورية في τ بفترة β . في هذه الحالة، يحسب هوكينغ من دالة التوزيع طاقة وإنتروبيا وضغط إشعاع الحقل φ . في حالة الفضاءات المسطحة، تكون القيم الذاتية الظاهرة في الكميات الفيزيائية معروفة عمومًا، بينما في حالة الفضاء المنحني، تكون غير معروفة: في هذه الحالة، يلزم استخدام طرق تقريبية.      

تُعرّف طريقة أخرى الجداء اللانهائي المتباعد المحتمل a₁ a₂ _.... بأنه exp( − ζ ′ _A (0)). استخدم كل _من DB Ray و I. M. Singer ( 1971 ) هذه الطريقة لتعريف محدد المؤثر الذاتي المرافق الموجب A ( مؤثر لابلاس لمتشعب ريماني في تطبيقهم) ذي القيم الذاتية a₁ _، a₂ _، ....، وفي هذه الحالة ، تكون دالة زيتا شكليًا أثر A ^{− s} . S. Minakshisundaram و Å. أظهر بليجيل ( 1949 ) أنه إذا كان A هو لابلاس لمتشعب ريماني مضغوط، فإن دالة زيتا ميناكشيسوندام-بليجيل تتقارب ولها امتداد تحليلي كدالة ميرومورفية إلى جميع الأعداد المركبة، وقد وسّع آر تي سيلي ( 1967 ) هذا ليشمل المؤثرات التفاضلية الزائفة الإهليلجية A على المتشعبات الريمانية المضغوطة. لذا، بالنسبة لهذه المؤثرات، يمكن تعريف المحدد باستخدام تنظيم دالة زيتا. انظر " الالتواء التحليلي ".   

اقترح هوكينغ (1977) استخدام هذه الفكرة لتقييم تكاملات المسار في الزمكان المنحني. درس تنظيم دالة زيتا لحساب دوال التوزيع للجرافيتونات الحرارية وكميات المادة في خلفية منحنية مثل أفق الثقوب السوداء وخلفية دي سيتر باستخدام العلاقة من خلال تحويل ميلين العكسي لأثر نواة معادلات الحرارة .

يظهر أول مثال على إمكانية استخدام تنظيم دالة زيتا في تأثير كازيمير، الذي يحدث في فضاء مسطح مع مساهمات الحجم للحقل الكمومي في ثلاثة أبعاد مكانية. في هذه الحالة، يجب حساب قيمة دالة زيتا لريمان عند -3، وهي قيمة متباعدة بشكل واضح. مع ذلك، يمكن تمديدها تحليليًا إلى s = -3 حيث يُفترض عدم وجود قطب، مما يُعطي قيمة محدودة للتعبير. يُقدم مثال مفصل لهذا التنظيم في المقالة التي تتناول مثال تأثير كازيمير ، حيث يكون المجموع الناتج هو دالة زيتا لريمان بشكل واضح (وحيث يُزيل التمديد التحليلي، الذي يبدو وكأنه خدعة بصرية، قيمة لانهائية جمعية، تاركًا عددًا محدودًا ذا دلالة فيزيائية).

من أمثلة تنظيم دالة زيتا حساب القيمة المتوقعة للفراغ لطاقة حقل جسيم في نظرية الحقل الكمومي . وبشكل أعم، يمكن استخدام منهج دالة زيتا لتنظيم موتر الطاقة-الزخم بأكمله في كل من الزمكان المسطح والزمكان المنحني.

تُعطى القيمة غير المنظمة للطاقة من خلال مجموع طاقة النقطة الصفرية لجميع أنماط الإثارة في الفراغ:

${\displaystyle \langle 0|T_{00}|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}}$

هنا،${\displaystyle T_{00}}$يمثل المكون الصفري لموتر الطاقة-الزخم، ويُفهم أن المجموع (الذي قد يكون تكاملاً) يمتد على جميع أنماط الطاقة (الموجبة والسالبة).${\displaystyle \omega _{n}}$تشير القيمة المطلقة إلى أن الطاقة تُعتبر موجبة. هذا المجموع، كما هو مكتوب، يكون عادةً لانهائيًا (${\displaystyle \omega _{n}}$(عادةً ما تكون خطية في n). يمكن تنظيم المجموع بكتابته على النحو التالي

${\displaystyle \langle 0|T_{00}(s)|0\rangle =\sum _{n}{\frac {\hbar |\omega _{n}|}{2}}|\omega _{n}|^{-s}}$

حيث s هو أحد المعاملات، ويُفترض أنه عدد مركب . بالنسبة لقيم s الحقيقية الكبيرة التي تزيد عن 4 (للفضاء ثلاثي الأبعاد)، يكون المجموع محدودًا بشكل واضح، وبالتالي يمكن تقييمه نظريًا في كثير من الأحيان.

يُعدّ تنظيم دالة زيتا مفيدًا لأنه يُمكن استخدامه غالبًا بطريقة تحافظ على مختلف تناظرات النظام الفيزيائي. يُستخدم تنظيم دالة زيتا في نظرية الحقل المطابق ، وإعادة التطبيع ، وتحديد بُعد الزمكان الحرج في نظرية الأوتار . كما يُمكن استخدامه في فروع مختلفة من فيزياء المادة المكثفة.، بما في ذلك نظرية المغناطيسية الكمومية.

تنظيم دالة زيتا يعادل التنظيم البُعدي .مع ذلك، تكمن الميزة الرئيسية لتنظيم زيتا في إمكانية استخدامه كلما فشل التنظيم البُعدي، على سبيل المثال إذا كانت هناك مصفوفات أو موترات داخل الحسابات.${\displaystyle \epsilon _{i,j,k}}$

يُضفي تنظيم دالة زيتا بنية تحليلية على أي مجموع لدالة حسابية f ( n ). تُعرف هذه المجاميع باسم متسلسلات ديريشليه . الشكل المُنتظم

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)n^{-s}}$

يحوّل هذا الأسلوب تباعدات المجموع إلى أقطاب بسيطة على المستوى المركب s . في الحسابات العددية، يُعدّ تنظيم دالة زيتا غير مناسب، نظرًا لبطء تقاربه الشديد. ولأغراض حسابية، يُعدّ التنظيم الأسي، المُعطى بالصيغة التالية، مجموعًا أسرع تقاربًا.

${\displaystyle F(t)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-tn}.}$

يُطلق على هذا أحيانًا اسم تحويل Z للدالة f ، حيث z  =  exp( −t ). يرتبط التركيب التحليلي للتنظيم الأسي والتنظيم زيتا. من خلال توسيع المجموع الأسي كمتسلسلة لوران

${\displaystyle F(t)={\frac {a_{N}}{t^{N}}}+{\frac {a_{N-1}}{t^{N-1}}}+\cdots }$

يجد المرء أن سلسلة زيتا لها البنية التالية

${\displaystyle {\tilde {f}}(s)={\frac {a_{N}}{sN}}+\cdots .}$

ترتبط بنية المنظمات الأسية ومنظمات زيتا عن طريق تحويل ميلين . ويمكن تحويل إحداهما إلى الأخرى باستخدام التمثيل التكاملي لدالة غاما .

${\displaystyle \Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}\,dt}$

مما يؤدي إلى الهوية

${\displaystyle \Gamma (s){\tilde {f}}(s)=\int _{0}^{\infty }t^{s-1}F(t)\,dt}$

ربط المنظمات الأسية وزيتا، وتحويل الأقطاب في المستوى s إلى حدود متباعدة في سلسلة لوران.

المجموع

${\displaystyle f(s)=\sum _{n}a_{n}e^{-s|\omega _{n}|}}$

يُطلق عليه أحيانًا اسم نواة حرارية أو مجموع منتظم ذو نواة حرارية ؛ وينبع هذا الاسم من فكرة أن${\displaystyle \omega _{n}}$يمكن أحيانًا فهمها على أنها قيم ذاتية لنواة الحرارة . في الرياضيات، يُعرف هذا المجموع باسم متسلسلة ديريشليه المعممة ؛ ويُعرف استخدامه في حساب المتوسط ​​باسم المتوسط ​​الأبلي . وهو يرتبط ارتباطًا وثيقًا بتحويل لابلاس-ستيلتيس ، من حيث أن

${\displaystyle f(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\alpha (t)}$

أين${\displaystyle \alpha (t)}$هي دالة متدرجة ، بخطوات مقدارها${\displaystyle a_{n}}$في${\displaystyle t=|\omega _{n}|}$توجد عدة نظريات لتقارب مثل هذه المتسلسلة. على سبيل المثال، وفقًا لنظرية هاردي-ليتلوود تاوبرية، إذا

${\displaystyle L=\limsup _{n\to \infty }{\frac {\log \vert \sum _{k=1}^{n}a_{k}\vert }{|\omega _{n}|}}}$

ثم المسلسل لـ${\displaystyle f(s)}$يتقارب في نصف المستوى${\displaystyle \Re (s)>L}$وهي متقاربة بانتظام على كل مجموعة جزئية مضغوطة من نصف المستوى${\displaystyle \Re (s)>L}$في جميع تطبيقات الفيزياء تقريبًا، يكون لدى المرء${\displaystyle L=0}$

أُنجز جزء كبير من العمل المبكر الذي أثبت تقارب وتكافؤ المتسلسلات المنظمة باستخدام طريقة تنظيم نواة الحرارة ودالة زيتا بواسطة جي إتش هاردي وجيه إي ليتلوود في عام 1916ويستند هذا إلى تطبيق تكامل كاهين-ميلين . وقد بُذلت الجهود للحصول على قيم لمختلف المجاميع غير المحددة جيدًا والمتقاربة شرطيًا والتي تظهر في نظرية الأعداد .

من حيث التطبيق كمنظم في المشاكل الفيزيائية، قبل هوكينج (1977) ، اقترح ج. ستيوارت داوكر ​​وريموند كريتشلي في عام 1976 طريقة تنظيم دالة زيتا للمشاكل الفيزيائية الكمومية.وقد اقترح إميليو إليزالدي وآخرون أيضاً طريقة تعتمد على تنظيم زيتا للتكاملات${\displaystyle \int _{a}^{\infty }x^{ms}dx}$، هنا${\displaystyle x^{-s}}$هو منظم، ويعتمد التكامل المتباعد على الأرقام${\displaystyle \zeta (sm)}$في الحد${\displaystyle s\to 0}$انظر إعادة التطبيع . كما أن تنظيم زيتا، على عكس التنظيمات الأخرى مثل التنظيم البُعدي والتنظيم التحليلي، لا يحتوي على حدود معاكسة ويعطي نتائج محدودة فقط.

• الدالة المولدة – متسلسلة القوى الرسمية 
• صيغة بيرون – صيغة مجموع دالة حسابية 
• إعادة التطبيع – طريقة في الفيزياء تُستخدم للتعامل مع اللانهائيات 
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ – سلسلة متباعدة 
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ – سلسلة متباعدة 
• الالتواء التحليلي – ثابت طوبولوجي للمشعبات يمكنه التمييز بين المشعبات المتكافئة تماثليًا 
• مجموع رامانوجان – تقنيات رياضية لجمع المتسلسلات اللانهائية المتباعدة 
• دالة ميناكشيسوندارام-بليجيل زيتا
• دالة زيتا (عامل)

• ^ توم م. أبوستول، "الدوال النمطية ومتسلسلات ديريشليه في نظرية الأعداد"، "سبرينغر-فيرلاغ نيويورك. (انظر الفصل 8.)"
• ^ أ. بيتسينكو، ج. كونيولا، إ. إليزالدي، ف. موريتي، وس. زيربيني، "الجوانب التحليلية للحقول الكمومية"، دار النشر العالمية العلمية، 2003، رقم ISBN 981-238-364-6
• ^ جي إتش هاردي وجيه إي ليتلوود، "مساهمات في نظرية دالة زيتا لريمان ونظرية توزيع الأعداد الأولية"،أكتا ماتيماتيكا،41(1916) ص 119-196.(انظر، على سبيل المثال، النظرية 2.12)
• هوكينج، إس دبليو (1977)، "تنظيم دالة زيتا لتكاملات المسار في الزمكان المنحني" ، مجلة الاتصالات في الفيزياء الرياضية ، 55 (2): 133-148 ، رمز Bibcode : 1977CMaPh..55..133H ، doi : 10.1007/BF01626516 ، ISSN 0010-3616 ، MR 0524257 ، S2CID 121650064   
• ^ V. Moretti,Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
• ميناكشيسوندارام، س.؛ بليجيل، أ. (1949)، "بعض خصائص الدوال الذاتية لمؤثر لابلاس على مشعبات ريمانية"، المجلة الكندية للرياضيات ، 1 (3): 242-256 ، doi : 10.4153/CJM-1949-021-5 ، ISSN 0008-414X ، MR 0031145  
• راي، د.ب.؛ سينغر، إ.م. (1971)، " التواء- R ومؤثر لابلاس على مشعبات ريمانية"، التقدم في الرياضيات ، 7 (2): 145-210 ، doi : 10.1016/0001-8708(71)90045-4 ، MR 0295381 
• "طريقة دالة زيتا للتنظيم" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• سيلي، آر تي (1967)، "القوى المركبة لمؤثر إهليلجي"، في كالديرون، ألبرتو ب. (محرر)، التكاملات الشاذة (وقائع ندوة الرياضيات البحتة، شيكاغو، إلينوي، 1966) ، وقائع ندوات في الرياضيات البحتة، المجلد  10، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، الصفحات 288-307 ، ISBN  978-0-8218-1410-9، MR 0237943 
• ^ داوكر، جيه إس؛ كريتشلي، آر. (1976)، "لاغرانجيان فعال وموتر الطاقة-الزخم في فضاء دي سيتر"، مجلة Physical Review D ، 13 (12): 3224-3232 ، Bibcode : 1976PhRvD..13.3224D ، doi : 10.1103/PhysRevD.13.3224
• ^ د. فيرمي، ل. بيتزوتشيرو، "التنظيم المحلي لزيتا وتأثير كازيمير القياسي. منهج عام قائم على النوى التكاملية"، دار النشر العالمية العلمية،ISBN 978-981-3224-99-5(غلاف مقوى)، رقم ISBN 978-981-3225-01-5(كتاب إلكتروني). دوى : 10.1142/10570 (2017).

• ^ D. Schumayer and DAW Hutchinson, "Physics of the Riemann Hypothesis", Rev. Mod. Phys. 83, 307 (2011).
• ^ V. Yu. Irkhin, “مغناطيسات هايزنبرغ منخفضة الأبعاد: تنظيم دالة زيتا لريمان”، رسائل الفيزياء أ 561، 130967 (2025)؛ "arXiv:2509.13977"