سداسي عشري

في الرياضيات، يُعرف الشكل السداسي عشري الأضلاع (ويسمى أحيانًا الشكل السداسي عشري الأضلاع أو الشكل ذو 16 ضلعًا ) بأنه مضلع مكون من ستة عشر ضلعًا . ^{[ 1 ]}

المضلع السداسي عشر المنتظم هو مضلع سداسي عشر تكون فيه جميع الزوايا متساوية وجميع الأضلاع متطابقة. رمزه في نظام شلافلي هو {16}، ويمكن تمثيله على هيئة مثمن مقطوع ، t{8}، ومربع مقطوع مرتين ، tt{4}. المضلع السداسي عشر المقطوع، t{16}، هو مضلع ثلاثي الأضلاع، {32}.

بناء

بما أن 16 = 2 ⁴ ( قوة للعدد اثنين )، فإن الشكل السداسي عشر المنتظم يمكن إنشاؤه باستخدام الفرجار والمسطرة : كان هذا معروفًا بالفعل لدى علماء الرياضيات اليونانيين القدماء. ^{[ 2 ]}

إنشاء شكل سداسي عشر منتظم حول دائرة معينة

رسم متحرك لشكل سداسي عشر منتظم بطول ضلع محدد. (يشبه هذا الشكل إلى حد كبير شكل ثماني الأضلاع بطول ضلع محدد ).

كل زاوية من زوايا الشكل السداسي عشر المنتظم هي 157.5 درجة ، ومجموع قياسات زوايا أي شكل سداسي عشر هو 2520 درجة.

مساحة الشكل السداسي عشر المنتظم الذي طول ضلعه t هي

${\displaystyle {\begin{aligned}A=4t^{2}\cot {\frac {\pi }{16}}=&4t^{2}\left(1+{\sqrt {2}}+{\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}\right)\\=&4t^{2}({\sqrt {2}}+1)({\sqrt {4-2{\sqrt {2}}}}+1).\end{aligned}}}$

بما أن عدد أضلاع الشكل السداسي عشر هو قوة للعدد اثنين ، فإنه يمكن حساب مساحته بدلالة نصف قطر الدائرة المحيطة R عن طريق اقتطاع صيغة فييت :

${\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2}}}\cdot {\frac {2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}=4R^{2}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}.}$

بما أن مساحة الدائرة المحيطة هي${\displaystyle \pi R^{2},}$يملأ الشكل السداسي المنتظم حوالي 97.45% من دائرته المحيطة.

التناظر

التناظرات الأربعة عشر لشكل سداسي عشر منتظم. خطوط الانعكاسات زرقاء عند الرؤوس، وبنفسجية عند الحواف، ورتب الدوران موضحة في المركز. الرؤوس ملونة حسب موضع تناظرها.

يتمتع الشكل السداسي عشر المنتظم بتناظر Dih 16 _، من الرتبة 32. هناك 4 مجموعات فرعية ثنائية السطوح: Dih ₈ ، Dih ₄ ، Dih ₂ ، و Dih ₁ ، و 5 مجموعات فرعية دورية : Z ₁₆ ، Z ₈ ، Z ₄ ، Z ₂ ، و Z ₁ ، والأخيرة تعني عدم وجود تناظر.

يوجد في الشكل السداسي عشر المنتظم 14 تناظرًا مميزًا. يرمز جون كونواي للتناظر الكامل بالرمز r32 ، بينما يرمز لعدم وجود تناظر بالرمز a1 . تُقسم التناظرات ثنائية السطوح بناءً على ما إذا كانت تمر عبر الرؤوس ( d للقطر) أو الحواف ( p للأعمدة). أما التناظرات الدورية في العمود الأوسط فترمز لها بالرمز g نسبةً إلى رتب دورانها المركزية. ^{[ 3 ]}

أكثر الأشكال السداسية عشرية ذات التناظر العالي شيوعًا هي: d16 ، وهو شكل سداسي عشري متساوي الزوايا مُكوَّن من ثمانية مرايا، حيث تتناوب فيه الأضلاع الطويلة والقصيرة؛ و p16 ، وهو شكل سداسي عشري متساوي الزوايا مُكوَّن من أضلاع متساوية الأطوال، ولكن رؤوسه تتناوب فيها زاويتان داخليتان مختلفتان. هذان الشكلان متناظران لبعضهما البعض، ولهما نصف رتبة التناظر للشكل السداسي العشري المنتظم.

تسمح كل مجموعة فرعية متناظرة بدرجة حرية واحدة أو أكثر للأشكال غير المنتظمة. المجموعة الفرعية g16 فقط هي التي لا تملك أي درجات حرية، ولكن يمكن اعتبارها حوافًا موجهة .

إسقاط مكعب 16	تشريح المعين 112
	عادي	إيزوتوكسال

يذكر كوكسيتر أن كل مضلع زونوغون (مضلع طوله 2 م، أضلاعه المتقابلة متوازية ومتساوية الطول) يمكن تقسيمه إلى م ( م - 1)/2 متوازي أضلاع. ^{[ 4 ]} وينطبق هذا بشكل خاص على المضلعات المنتظمة ذات الأضلاع الزوجية، حيث تكون متوازيات الأضلاع جميعها معينات. بالنسبة للمضلع السداسي عشر المنتظم ، م = 8، ويمكن تقسيمه إلى 28: 4 مربعات و3 مجموعات من 8 معينات. يعتمد هذا التقسيم على إسقاط مضلع بيتري لمكعب ثماني الأضلاع ، ذي 28 وجهًا من أصل 1792 وجهًا. تُحصي القائمة OEIS : A006245  عدد الحلول بـ 1232944، بما في ذلك الدوران حتى 16 مرة والأشكال الكيرالية في الانعكاس.

التشريح إلى 28 معينًا

8 مكعبات

3 أشكال سداسية عشرية منتظمة مائلة

{8}#{ }	{8 ⁄ 3 }#{ }	{8 ⁄ 5 }#{ }
يُنظر إلى الشكل السداسي عشري المائل المنتظم على أنه حواف متعرجة لمنشور مضاد ثماني الأضلاع ، ومنشور مضاد ثماني الأضلاع ، ومنشور مضاد ثماني الأضلاع متقاطع .

المضلع السداسي ذو الشكل المائل هو مضلع مائل له 24 رأسًا وضلعًا، ولكنه لا يقع على نفس المستوى. ولا يُحدد عادةً الجزء الداخلي لهذا النوع من المضلعات. أما المضلع السداسي ذو الشكل المتعرج المائل، فتتوزع رؤوسه بالتناوب بين مستويين متوازيين.

المضلع السداسي عشر المائل المنتظم متعدٍّ على الرؤوس، وله أطوال أضلاع متساوية. في ثلاثة أبعاد، يكون مضلعًا سداسيًا عشريًا مائلًا متعرجًا، ويمكن رؤيته في رؤوس وأضلاع منشور ثماني الأضلاع مضاد له نفس التناظر D _8d ، [2 ⁺ ,16]، من الرتبة 32. كما أن للمنشور الثماني الأضلاع المضاد ، s{2,16/3}، والمنشور الثماني الأضلاع المضاد المتقاطع ، s{2,16/5}، مضلعات ثمانية الأضلاع مائلة منتظمة.

مضلعات بيتري

يُعدّ الشكل السداسي عشر المنتظم مضلع بيتري للعديد من متعددات الوجوه ذات الأبعاد الأعلى، كما هو موضح في هذه الإسقاطات المتعامدة المائلة ، بما في ذلك:

15​	ب 8		د 9		2B 2 (4D)
15-simplex	8-أورثوبلكس	8 مكعبات	6 11	1 61	8-8 هرم مزدوج	منشور مزدوج 8-8

الشكل النجمي ذو الستة عشر ضلعًا هو شكل نجمي ذو ستة عشر ضلعًا، ويرمز له بالرمز {16/n}. توجد ثلاثة أشكال نجمية منتظمة ، هي {16/3} و{16/5} و{16/7}، تستخدم الرؤوس نفسها، ولكنها تربط كل نقطة ثالثة أو خامسة أو سابعة. كما توجد ثلاثة أشكال مركبة: {16/2} يُختزل إلى 2{8} على هيئة ثماني أضلاع ، و{16/4} يُختزل إلى 4{4} على هيئة أربعة مربعات، و{16/6} يُختزل إلى 2{8/3} على هيئة ثماني أضلاع ، وأخيرًا {16/8} يُختزل إلى 8{2} على هيئة ثمانية ثنائيات .

الأشكال السداسية عشر المركبة والنجمية
استمارة	مضلع محدب	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{16/1} أو {16}	{16/2} أو 2{8}	{16/3}	{16/4} أو 4{4}
الزاوية الداخلية	157.5 درجة	135 درجة	112.5 درجة	90 درجة
استمارة	مضلع نجمي	مُجَمَّع	مضلع نجمي	مُجَمَّع
صورة	{16/5}	{16/6} أو 2{8/3}	{16/7}	{16/8} أو 8{2}
الزاوية الداخلية	67.5 درجة	45 درجة	22.5 درجة	0°

يمكن أن تؤدي عمليات القطع الأعمق للمضلع الثماني المنتظم والنجمة الثمانية إلى إنتاج أشكال سداسية عشرية وسيطة متساوية الزوايا ( متعدية الرؤوس ) ذات رؤوس متباعدة بالتساوي وطولين للحواف. ^{[ 5 ]}

الشكل الثماني المبتور هو شكل سداسي عشري، حيث t{8}={16}. الشكل الثماني شبه المبتور، عند قلبه إلى {8/7}، هو شكل سداسي عشري: t{8/7}={16/7}. الشكل الثماني المبتور {8/3} هو شكل سداسي عشري: t{8/3}={16/3}، والشكل الثماني شبه المبتور، عند قلبه إلى {8/5}، هو شكل سداسي عشري: t{8/5}={16/5}.

اقتطاعات متساوية الزوايا للمثمن والثماني النجمي
شبه منتظم	متساوي الزوايا			شبه منتظم
t{8}={16}				t{8/7}={16/7}
t{8/3}={16/3}				t{8/5}={16/5}

في أوائل القرن السادس عشر، كان رافائيل أول من قام برسم صورة منظور لشكل سداسي عشر منتظم: البرج في لوحته " زواج العذراء" له 16 جانبًا، وهو تطوير لبرج ثماني الجوانب في لوحة سابقة لبيترو بيروجينو . ^{[ 6 ]}

تُدرج الأشكال السداسية العشرية ( المضلعات النجمية ذات 16 جانبًا ) في أنماط جيريه في قصر الحمراء . ^{[ 7 ]}

يمكن اعتبار النجمة الثمانية الأضلاع بمثابة شكل سداسي عشري مقعر :

يُرى هذا الأخير في العديد من التصاميم المعمارية من المسيحية إلى الإسلامية، وكذلك في شعار قناة IRIB TV4 .

• ثمانية الأجرام
• شبكة الرومبلاين

• وايسشتاين، إريك دبليو. "سداسي عشري الأضلاع" . عالم الرياضيات .