آلية هيغز

في النموذج القياسي، يُعد حقل هيغز ثنائيًا من نوع SU (2) (أي التمثيل القياسي بمكونين معقدين يُطلق عليهما اسم الإيزوسبين)، وهو كمية قياسية تحت تحويلات لورنتز. شحنته الكهربائية تساوي صفرًا؛ وإيزوسبينه الضعيف يساوي ½، ومكونه الثالث يساوي -½ ؛ وشحنته الفائقة الضعيفة ( الشحنة لمجموعة القياس U(1) المعرفة حتى ثابت ضربي اختياري) تساوي 1. تحت دورانات U ( 1) ، يُضرب الحقل في طور، مما يمزج الأجزاء الحقيقية والخيالية للسبينور المعقد معًا، ليتحد مع التمثيل المعقد القياسي ثنائي المكونات للمجموعة U(2).

يُحفّز حقل هيغز، من خلال التفاعلات المحددة (المُلخّصة، أو المُمثّلة، أو حتى المُحاكاة) بواسطة جهده، كسرًا تلقائيًا لثلاثة من أصل أربعة مولدات ("اتجاهات") لمجموعة القياس U(2). يُكتب هذا غالبًا على النحو SU(2) _L × U(1) _Y (وهو مطابق تمامًا، من الناحية الدقيقة، فقط على مستوى التناظرات المتناهية الصغر) لأن عامل الطور القطري يؤثر أيضًا على حقول أخرى - الكواركات على وجه الخصوص. عادةً ما تُحلّل ثلاثة من مكوناته الأربعة على أنها بوزونات غولدستون ، إذا لم تكن مُقترنة بحقول القياس.

لكن بعد كسر التناظر، تختلط هذه الدرجات الثلاث من أصل أربع درجات حرية في حقل هيغز مع بوزونات W و Z الثلاثة ( W ^+).، W ⁻و Z ⁰ولا يمكن رصدها إلا كمكونات لهذه البوزونات الضعيفة ، التي تكتسب كتلةً بانضمامها؛ وتصبح درجة الحرية المتبقية الوحيدة جسيمًا قياسيًا جديدًا: بوزون هيغز . أما المكونات التي لا تختلط مع بوزونات غولدستون فتشكل فوتونًا عديم الكتلة.

مجموعة القياس للجزء الكهروضعيف من النموذج القياسي هي SU(2) _L × U(1) _Y. المجموعة SU(2) هي مجموعة جميع المصفوفات الوحدوية 2×2 ذات المحدد الواحد؛ جميع التحويلات المتعامدة للإحداثيات في فضاء متجهي ثنائي الأبعاد معقد.

يؤدي تدوير الإحداثيات بحيث يشير متجه الأساس الثاني في اتجاه بوزون هيغز إلى جعل القيمة المتوقعة للفراغ لـ H هي قيمة الدوران (0, v ) _. تكون مولدات الدوران حول المحاور x و y و z هي نصف مصفوفات باولي σx _و σy و σz _، بحيث يؤدي دوران بزاوية θ حول المحور z إلى نقل الفراغ إلى 

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

بينما يقوم مولدا T _x و T _y بخلط المكونين العلوي والسفلي للسبينور ، فإن دوران T _z يضاعف كل منهما فقط بأطوار معاكسة. يمكن عكس هذا الطور بدوران U(1) بزاوية 1/2 θ . بالتالي، يظل الفراغ ثابتًا تحت كل من دوران SU(2) T z ودوران _U ( 1 ) بمقدار 1/2 θ .

هذا المزيج من المولدات

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

يُحدد هذا الجزء غير المنكسر من زمرة القياس، حيث Q هي الشحنة الكهربائية، _و T3 هو مولد الدورانات حول المحور 3 في التمثيل المرافق لـ SU(2)، و YW هو مولد الشحنة الفائقة الضعيفة لـ U(1). يحافظ هذا المزيج من المولدات (دوران حول المحور 3 في SU(2) ودوران متزامن _لـ U(1) بنصف الزاوية) على الفراغ، ويُحدد زمرة القياس غير المنكسرة في النموذج القياسي، أي زمرة الشحنة الكهربائية. يبقى جزء حقل القياس في هذا الاتجاه عديم الكتلة، ويُعادل الفوتون الفيزيائي. في المقابل، فإن الشحنة المتعامدة ذات الأثر المنكسر${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$الأزواج إلى Z ⁰ الضخم بوزون.

على الرغم من إدخال كسر التناظر التلقائي، فإن حدود الكتلة تحول دون ثبات القياس الكيرالي. بالنسبة لهذه الحقول، يجب استبدال حدود الكتلة دائمًا بآلية "هيغز" ثابتة القياس. أحد الاحتمالات هو نوع من اقتران يوكاوا (انظر أدناه) بين حقل الفرميون ψ وحقل هيغز.${\displaystyle \phi }$، مع اقترانات غير معروفة G _ψ ، والتي بعد كسر التناظر (بشكل أدق: بعد توسيع كثافة لاغرانج حول حالة أرضية مناسبة) تؤدي مرة أخرى إلى حدود الكتلة الأصلية، والتي تُكتب الآن (أي بإدخال حقل هيغز) بطريقة ثابتة المقياس. كثافة لاغرانج لتفاعل يوكاوا لحقل فرميوني ψ وحقل هيغز${\displaystyle \phi }$يكون

${\displaystyle \ {\mathcal {L}} _ {\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

حيث يدخل حقل القياس A مرة _أخرى فقط عبر مؤثر المشتقة المتغيرة للقياس Dμ (أي أنه مرئي بشكل غير مباشر فقط). الكميات γμ هي مصفوفات ديراك _، و Gψ هو معامل اقتران يوكاوا المذكور سابقًا لـ ψ . الآن _، يتبع توليد الكتلة نفس المبدأ المذكور أعلاه، أي من وجود قيمة متوقعة محدودة .${\displaystyle \vert \langle \phi \rangle \vert }$مرة أخرى ، هذا أمر بالغ الأهمية لوجود خاصية الكتلة .

قدّم كسر التناظر التلقائي إطارًا لإدخال البوزونات في نظريات الحقل الكمومي النسبية. مع ذلك، ووفقًا لنظرية غولدستون ، ينبغي أن تكون هذه البوزونات عديمة الكتلة. ^{[ 16 ]} الجسيمات الوحيدة المرصودة التي يمكن تفسيرها تقريبًا على أنها بوزونات غولدستون هي البيونات ، والتي ربطها يويتشيرو نامبو بكسر التناظر الكيرالي .

تنشأ مشكلة مماثلة مع نظرية يانغ-ميلز (المعروفة أيضًا بنظرية القياس غير التبادلية )، التي تتنبأ بوجود بوزونات قياس عديمة الكتلة ذات لف مغزلي -1 . تؤدي بوزونات القياس عديمة الكتلة ذات التفاعل الضعيف إلى قوى بعيدة المدى، والتي لا تُلاحظ إلا في الكهرومغناطيسية والفوتون المقابل عديم الكتلة . لذا، احتاجت نظريات القياس للقوة الضعيفة إلى طريقة لوصف بوزونات القياس ذات الكتلة لضمان اتساقها.

لاحظ جوليان شوينجر عام 1961 أن كسر تناظرات القياس لا يؤدي إلى جسيمات عديمة الكتلة ^{[ 17 ]} ، لكنه لم يُثبت وجود جسيمات ذات كتلة. وقد تم ذلك في ورقة فيليب وارن أندرسون عام 1962 ^{[ 3 ]} ، ولكن فقط في نظرية المجال غير النسبية؛ كما ناقشت الورقة تبعات ذلك على فيزياء الجسيمات، لكنها لم تُطور نموذجًا نسبيًا صريحًا. وقد طُوّر النموذج النسبي عام 1964 من قِبل ثلاث مجموعات بحثية مستقلة.

• روبرت بروت وفرانسوا إنجليرت ^{[ 4 ]}
• بيتر هيغز ^{[ 5 ]}
• جيرالد غورالنيك ، وكارل ريتشارد هاغن ، وتوم كيبل . ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]}

بعد ذلك بقليل، في عام 1965، وبشكل مستقل عن المنشورات الأخرى ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} ، اقترح ألكسندر ميغدال وألكسندر بولياكوف ^{[ 24 ]} ، وهما طالبان جامعيان سوفييتيان آنذاك، آلية مماثلة. إلا أن بحثهما تأخر بسبب مكتب تحرير مجلة JETP ، ونُشر متأخرًا في عام 1966.

تشبه هذه الآلية إلى حد كبير الظواهر التي اكتشفها يويتشيرو نامبو سابقًا والتي تتضمن "بنية الفراغ" للحقول الكمومية في الموصلية الفائقة . ^{[ 25 ]} وقد درس إرنست ستوكلبرغ سابقًا تأثيرًا مشابهًا ولكنه متميز (يتضمن تحقيقًا خطيًا لما يُعرف الآن باسم حقل هيغز)، والمعروف باسم آلية ستوكلبرغ .

اكتشف هؤلاء الفيزيائيون أنه عند دمج نظرية قياس مع حقل إضافي يكسر مجموعة التناظر تلقائيًا، يمكن لبوزونات القياس أن تكتسب كتلة غير صفرية باستمرار. وعلى الرغم من القيم الكبيرة المعنية (انظر أدناه)، فإن هذا يسمح بوصف نظرية القياس للقوة الضعيفة، والتي طورها ستيفن واينبرغ وعبد السلام بشكل مستقل عام 1967. رُفضت مقالة هيغز الأصلية التي عرضت النموذج من قِبل مجلة "رسائل الفيزياء" . وعند مراجعة المقالة قبل إعادة تقديمها إلى مجلة "رسائل المراجعة الفيزيائية" ، أضاف جملة في النهاية، ^{[ 26 ]} تشير إلى أن ذلك يستلزم وجود بوزون قياسي جديد واحد أو أكثر ذي كتلة، لا يُشكل تمثيلات كاملة لمجموعة التناظر؛ وهذه هي بوزونات هيغز.

حظيت الأبحاث الثلاثة التي نشرها كل من براوت وإنجليرت، وهيغز، وغورالنيك وهاغن وكيبيل، بتقدير مجلة Physical Review Letters عام 2008، حيث وُصفت بأنها "أبحاث رائدة". [27] ورغم تشابه مناهج هذه الأبحاث الرائدة، إلا أن المساهمات والاختلافات بين أبحاث كسر التناظر المنشورة في مجلة Physical Review Letters عام ^{1964 جديرة بالملاحظة} . وقد مُنح الفيزيائيون الستة جائزة جيه جيه ساكوراي للفيزياء النظرية للجسيمات لعام 2010 تقديرًا لهذا العمل. ^{[ 28 ]}

يُنسب الفضل غالبًا إلى بنيامين دبليو لي في تسمية آلية "هيغز" لأول مرة، على الرغم من وجود جدل حول تاريخ حدوث ذلك. ^{[ 29 ] [ 30 ] [ 31 ]} وكان من أوائل المرات التي ظهر فيها اسم هيغز في المطبوعات عام 1972 عندما أشار إليه جيراردوس هوفت ومارتينوس جيه جي فيلتمان باسم "آلية هيغز-كيبل" في بحثهما الحائز على جائزة نوبل. ^{[ 32 ] [ 33 ]}

نشأت آلية هيغز المقترحة نتيجةً لنظرياتٍ طُرحت لتفسير الملاحظات في الموصلية الفائقة . لا يسمح الموصل الفائق باختراق المجالات المغناطيسية الخارجية ( تأثير مايسنر ). تشير هذه الملاحظة الغريبة إلى أن المجال الكهرومغناطيسي يصبح قصير المدى بطريقةٍ ما خلال هذه الظاهرة. ظهرت نظريات ناجحة لتفسير ذلك خلال خمسينيات القرن العشرين، أولًا للفيرميونات ( نظرية جينزبورغ-لانداو ، 1950)، ثم للبوزونات ( نظرية BCS ، 1957).

في هذه النظريات، تُفسَّر الموصلية الفائقة على أنها ناتجة عن مكثف مشحون . في البداية، لا يمتلك المكثف اتجاهًا مفضلًا. هذا يعني أنه كمية قياسية، لكن طوره قادر على تحديد مقياس في نظريات المجال القائمة على المقياس. وللقيام بذلك، يجب أن يكون المجال مشحونًا. يجب أن يكون المجال القياسي المشحون أيضًا معقدًا (أو بعبارة أخرى، يحتوي على مُركِّبين على الأقل، وتناظر قادر على تدوير المُركِّبين إلى بعضهما البعض). في نظرية المقياس البسيطة، عادةً ما يُؤدي تحويل المقياس للمكثف إلى تدوير الطور. ومع ذلك، في هذه الظروف، فإنه يُثبِّت اختيارًا مُفضَّلًا للطور. لكن اتضح أن تثبيت اختيار المقياس بحيث يكون للمكثف نفس الطور في كل مكان، يتسبب أيضًا في اكتساب المجال الكهرومغناطيسي حدًا إضافيًا. هذا الحد الإضافي يجعل المجال الكهرومغناطيسي قصير المدى.

تلعب نظرية غولدستون دورًا في هذه النظريات أيضًا. يكمن الربط التقني في أنه عندما يكسر مكثف ما تناظرًا، فإن الحالة التي يتم الوصول إليها بتطبيق مولد تناظر على المكثف تحتفظ بنفس الطاقة السابقة. هذا يعني أن بعض أنواع التذبذب لا تتضمن تغيرًا في الطاقة. التذبذبات ذات الطاقة الثابتة تعني أن الإثارات (الجسيمات) المرتبطة بالتذبذب عديمة الكتلة.

بمجرد لفت الانتباه إلى هذه النظرية في فيزياء الجسيمات، اتضحت أوجه التشابه. كان تحول المجال الكهرومغناطيسي، الذي عادةً ما يكون طويل المدى، إلى مجال قصير المدى، ضمن نظرية ثابتة القياس، هو التأثير المطلوب تحديدًا للبوزونات التي تتوسط التفاعل الضعيف (لأن القوة طويلة المدى تُنتج بوزونات قياس عديمة الكتلة، بينما القوة قصيرة المدى تُنتج بوزونات قياس ذات كتلة، مما يوحي بأن نتيجة هذا التفاعل هي اكتساب بوزونات قياس المجال كتلة، أو تأثير مماثل ومكافئ). كما كانت خصائص المجال اللازم لتحقيق ذلك محددة بدقة - إذ يجب أن يكون مجالًا قياسيًا مشحونًا، ذو مُركبتين على الأقل، ومركبًا لدعم تناظر قادر على تدوير هاتين المركبتين إلى بعضهما البعض.

آلية هيغز هي نوع من أنواع الموصلية الفائقة التي تحدث في الفراغ. تحدث هذه الآلية عندما يمتلئ الفضاء ببحر من الجسيمات المشحونة، أو بلغة المجال، عندما يكون للمجال المشحون قيمة متوقعة غير صفرية في الفراغ. يمنع التفاعل مع المائع الكمومي الذي يملأ الفضاء بعض القوى من الانتشار لمسافات طويلة (كما هو الحال داخل الموصل الفائق؛ على سبيل المثال، في نظرية جينزبورغ-لانداو ).

يطرد الموصل الفائق جميع المجالات المغناطيسية من داخله، وهي ظاهرة تُعرف بتأثير مايسنر . وقد ظل هذا الأمر غامضًا لفترة طويلة، لأنه يشير إلى أن القوى الكهرومغناطيسية تصبح قصيرة المدى داخل الموصل الفائق. قارن هذا بسلوك المعدن العادي؛ ففي المعدن، تحجب الموصلية المجالات الكهربائية عن طريق إعادة ترتيب الشحنات على السطح حتى يلغي المجال الكلي نفسه في الداخل.

لكن المجالات المغناطيسية قادرة على الاختراق إلى أي مسافة، وإذا ما أحاط معدنٌ قطبًا مغناطيسيًا منفردًا (قطبًا مغناطيسيًا معزولًا)، فإن المجال يستطيع التسرب دون أن يتجمع في خيط. أما في الموصلات الفائقة، فتتحرك الشحنات الكهربائية دون تبديد، مما يسمح بتكوّن تيارات سطحية دائمة، وليس مجرد شحنات سطحية. وعندما تُطبَّق مجالات مغناطيسية على حدود الموصل الفائق، فإنها تُنتج تيارات سطحية تُعادلها تمامًا.

ينشأ تأثير مايسنر بسبب التيارات في طبقة سطحية رقيقة، والتي يمكن حساب سمكها من النموذج البسيط لنظرية جينزبورغ-لانداو، والتي تتعامل مع الموصلية الفائقة على أنها مكثف بوز-أينشتاين مشحون.

لنفترض أن موصلًا فائقًا يحتوي على بوزونات ذات شحنة q . يمكن وصف الدالة الموجية للبوزونات عن طريق إدخال مجال كمومي .${\displaystyle \ \psi \ ,}$والتي تخضع لمعادلة شرودنغر كمعادلة مجال . في الوحدات التي يُضبط فيها ثابت بلانك المختزل ، ħ ، على 1:

${\displaystyle i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

المشغل${\displaystyle \psi (x)}$يُفني بوزونًا عند النقطة x ، بينما يُفني مرافقه${\displaystyle \psi ^{\dagger }}$يُنشئ بوزونًا جديدًا عند النقطة نفسها. وتكون دالة الموجة لمكثف بوز-أينشتاين هي القيمة المتوقعة.${\displaystyle \langle \psi \rangle }$من​${\displaystyle \psi (x)}$وهي دالة كلاسيكية تخضع للمعادلة نفسها. ويُفسَّر التوقع بأنه الطور الذي ينبغي إعطاؤه لبوزون مُستحدث لكي يتراكب بشكل متماسك مع جميع البوزونات الأخرى الموجودة في المكثف.

عند وجود مكثف مشحون، تُحجب التفاعلات الكهرومغناطيسية. ولتوضيح ذلك، لننظر في تأثير تحويل القياس على المجال. يُدير تحويل القياس طور المكثف بمقدار يتغير من نقطة إلى أخرى، ويُزيح الكمون الشعاعي بتدرج.

${\displaystyle {\begin{align}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{محاذاة}}}$

عندما لا يوجد مكثف، فإن هذا التحول يغير فقط تعريف طور${\displaystyle \ \psi \ }$في كل نقطة. ولكن عندما يكون هناك مكثف، فإن طور المكثف يحدد اختيارًا مفضلًا للطور.

يمكن كتابة دالة الموجة للمكثف على النحو التالي

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

حيث ρ هي السعة الحقيقية، التي تحدد الكثافة المحلية للمكثف. إذا كان المكثف متعادلًا، فسيكون التدفق على طول تدرجات θ ، وهو الاتجاه الذي تتغير فيه طور مجال شرودنغر. إذا تغير الطور θ ببطء، يكون التدفق بطيئًا وطاقته ضئيلة جدًا. ولكن الآن، يمكن جعل θ مساويًا للصفر بمجرد إجراء تحويل قياسي لتدوير طور المجال.

يمكن حساب طاقة التغيرات البطيئة في الطور من طاقة شرودنغر الحركية،

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

وبافتراض أن كثافة المكثف ρ ثابتة،

${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$

بتحديد اختيار المقياس بحيث يكون للمكثف نفس الطور في كل مكان، فإن طاقة المجال الكهرومغناطيسي تحتوي على حد إضافي.

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

عند وجود هذا المصطلح، تصبح التفاعلات الكهرومغناطيسية قصيرة المدى. يتذبذب كل نمط من أنماط المجال، بغض النظر عن طول موجته، بتردد غير صفري. ويمكن استخلاص أدنى تردد من طاقة نمط A ذي الطول الموجي الطويل .

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

هذا مذبذب توافقي بتردد

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

الكمية${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$هي كثافة مكثف الجسيمات فائقة التوصيل.

في الموصل الفائق الحقيقي، تكون الجسيمات المشحونة هي الإلكترونات، وهي فرميونات وليست بوزونات. لذا، لكي تتحقق الموصلية الفائقة، يجب أن ترتبط الإلكترونات بطريقة ما لتكوين أزواج كوبر . وبالتالي، فإن شحنة المكثف q تساوي ضعف شحنة الإلكترون −e . ينتج الاقتران في الموصل الفائق العادي عن اهتزازات الشبكة البلورية، وهو في الواقع ضعيف للغاية؛ مما يعني أن الأزواج مرتبطة بشكل ضعيف جدًا. إن وصف مكثف بوز-أينشتاين للأزواج المرتبطة بشكل ضعيف أصعب في الواقع من وصف مكثف الجسيمات الأولية، ولم يتم التوصل إلى حل نهائي له إلا في عام 1957 على يد جون باردين وليون كوبر وجون روبرت شريفر في نظرية BCS الشهيرة .

يعني ثبات القياس أن بعض تحويلات حقل القياس لا تُغير الطاقة إطلاقًا. فإذا أُضيف تدرج عشوائي إلى A ، تبقى طاقة الحقل كما هي تمامًا. وهذا ما يجعل إضافة حد الكتلة أمرًا صعبًا، لأن حد الكتلة يميل إلى دفع الحقل نحو الصفر. لكن فكرة الصفر في الكمون الشعاعي ليست ثابتة القياس، فما يساوي صفرًا في قياس ما، لا يساوي صفرًا في قياس آخر.

لذا، لإضفاء كتلة على نظرية القياس، يجب كسر ثبات القياس بواسطة مكثف. سيحدد المكثف حينها طورًا مفضلًا، وسيحدد طور المكثف القيمة الصفرية للحقل بطريقة ثابتة القياس. تعريف ثبات القياس هو أن حقل القياس يساوي صفرًا عندما يكون تغير الطور على طول أي مسار من النقل المتوازي مساويًا لفرق الطور في دالة موجة المكثف.

يتم وصف قيمة المكثف بواسطة مجال كمي ذي قيمة متوقعة، تمامًا كما هو الحال في نموذج جينزبورغ-لانداو .

لكي يُحدد طور الفراغ مقياسًا، يجب أن يكون للمجال طور (يُشار إليه أيضًا بـ "أن يكون مشحونًا"). ولكي يكون للمجال القياسي Φ طور، يجب أن يكون مركبًا، أو (بصورة مكافئة) أن يحتوي على مجالين متناظرين يدوران حول بعضهما البعض. يُغير الكمون الشعاعي طور الكمات الناتجة عن المجال عند انتقالها من نقطة إلى أخرى. من حيث المجالات، يُحدد الكمون الشعاعي مقدار دوران الأجزاء الحقيقية والخيالية للمجالات حول بعضها البعض عند مقارنة قيم المجال عند النقاط المتجاورة.

النموذج الوحيد القابل لإعادة التطبيع الذي يكتسب فيه حقل قياسي معقد Φ قيمة غير صفرية هو نموذج "القبعة المكسيكية"، حيث تكون طاقة الحقل في حدها الأدنى بعيدًا عن الصفر. ويكون الفعل لهذا النموذج هو

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

مما ينتج عنه الهاميلتوني

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

يمثل الحد الأول الطاقة الحركية للمجال. ويمثل الحد الثاني طاقة الوضع الإضافية عندما يتغير المجال من نقطة إلى أخرى. أما الحد الثالث فيمثل طاقة الوضع عندما يكون للمجال مقدار محدد.

هذه الطاقة الكامنة، طاقة هيغز الكامنة ، ${\displaystyle ~V\left(\phi ,\Phi \right)=\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$^{[ 34 ]} يحتوي على رسم بيانييشبهالقبعة المكسيكية، وهو ما أعطى النموذج اسمه. على وجه الخصوص، لا تقع قيمة الطاقة الدنيا عند${\displaystyle \phi =0}$لكن على دائرة النقاط حيث مقدار${\displaystyle \phi }$هي Φ .

عندما لا يكون المجال Φ( x ) مقترنًا بالكهرومغناطيسية، يكون لجهد القبعة المكسيكية اتجاهات مسطحة. إن البدء من أي نقطة على دائرة الفراغ وتغيير طور المجال من نقطة إلى أخرى يتطلب طاقة ضئيلة للغاية. رياضيًا، إذا

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

مع وجود معامل ثابت، فإن فعل الحقل θ ( x ) ، أي "طور" حقل هيغز Φ( x ) ، لا يحتوي إلا على حدود مشتقة. وهذا ليس مفاجئًا: فإضافة ثابت إلى θ ( x ) يُعد تناظرًا في النظرية الأصلية، لذا لا يمكن أن يكون لقيم مختلفة من θ ( x ) طاقات مختلفة. هذا مثال على تهيئة النموذج ليتوافق مع نظرية غولدستون : فالتناظرات المستمرة المكسورة تلقائيًا (عادةً) تُنتج إثارات عديمة الكتلة.

نموذج هيغز الأبلي هو نموذج القبعة المكسيكية المقترن بالكهرومغناطيسية :

${\displaystyle \ S(\phi ,A_{\mu })=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial _{\mu }-iqA_{\mu }\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

يكون الفراغ الكلاسيكي مرة أخرى عند الحد الأدنى للجهد، حيث يكون مقدار المجال المركب${\displaystyle \phi }$يساوي Φ . لكن طور المجال الآن اختياري، لأن تحويلات القياس تغيره. هذا يعني أن المجال${\displaystyle \ \theta (x)\ }$يمكن ضبطها على الصفر عن طريق تحويل المقياس، ولا تمثل أي درجات حرية فعلية على الإطلاق.

علاوة على ذلك، عند اختيار مقياس تكون فيه طور الفراغ ثابتة، فإن طاقة الوضع لتقلبات حقل المتجهات لا تساوي صفرًا. لذا، في نموذج هيغز الأبلي، يكتسب حقل المقياس كتلة. لحساب مقدار هذه الكتلة، نفترض قيمة ثابتة للجهد المتجه A في اتجاه المحور x في المقياس الذي يكون فيه طور المكثف ثابتًا. وهذا يُشابه مكثفًا متغيرًا جيبيًا في المقياس الذي يكون فيه الجهد المتجه صفرًا. في المقياس الذي يكون فيه A صفرًا، تكون كثافة طاقة الوضع في المكثف هي طاقة التدرج القياسي.

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

هذه الطاقة هي نفسها مصطلح الكتلة ⁠ 1 / 2 ⁠ m ² A ² حيث m = q Φ .

يتميز نموذج هيغز غير التبادلي بالسلوك التالي

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

حيث يتم الآن احتواء الحقل غير الأبلي A في المشتقة المتغيرة D وفي مكونات الموتر${\displaystyle F^{\mu \nu }}$و${\displaystyle F_{\mu \nu }}$(العلاقة بين A وتلك المكونات معروفة جيدًا من نظرية يانغ-ميلز ).

وهو مماثل تمامًا لنموذج هيغز الأبلي. الآن المجال${\displaystyle \phi }$هو في تمثيل لمجموعة القياس، ويتم تعريف المشتق المتغير للقياس بواسطة معدل تغير المجال مطروحًا منه معدل التغير من النقل المتوازي باستخدام مجال القياس A كوصلة.

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

مرة أخرى، القيمة المتوقعة لـ${\displaystyle \phi }$يحدد مقياسًا مفضلًا حيث يكون الفراغ ثابتًا، وبتثبيت هذا المقياس، تأتي التقلبات في مجال المقياس A بتكلفة طاقة غير صفرية.

اعتمادًا على تمثيل الحقل القياسي، لا يكتسب كل حقل قياسي كتلة. مثال بسيط على ذلك هو النسخة القابلة لإعادة التطبيع من نموذج كهروضعيف مبكر لجوليان شوينجر . في هذا النموذج، تكون مجموعة القياس SO(3) (أو SU(2) - لا توجد تمثيلات سبينورية في النموذج)، وينهار ثبات القياس إلى U(1) أو SO(2) عند المسافات الطويلة. لإنشاء نسخة متسقة قابلة لإعادة التطبيع باستخدام آلية هيغز، يتم إدخال حقل قياسي.${\displaystyle \phi ^{a}}$والذي يتحول كمتجه (ثلاثية) من SO(3). إذا كان لهذا الحقل قيمة توقع فراغية، فإنه يشير إلى اتجاه ما في فضاء الحقل. وبدون فقدان للعمومية، يمكن اختيار المحور z في فضاء الحقل ليكون هو الاتجاه الذي${\displaystyle \phi }$يشير إلى، ثم قيمة التوقع الفراغي لـ${\displaystyle \phi }$هي (0, 0, Ã ) ، حيث Ã ثابت ذو أبعاد الكتلة ( ⁠${\displaystyle c=\hbar =1}$) .

تشكل الدورانات حول المحور z مجموعة فرعية U(1) من SO(3) والتي تحافظ على القيمة المتوقعة للفراغ لـ${\displaystyle \phi }$وهذه هي مجموعة القياس غير المنكسرة. لا تحافظ الدورانات حول المحورين x و y  على الفراغ، وتتحول مكونات حقل قياس SO(3) التي تولد هذه الدورانات إلى ميزونات متجهة ذات كتلة. يوجد ميزونان W ذوا كتلة في نموذج شوينجر، بكتلة محددة بمقياس الكتلة Ã ، وبوزون قياس U(1) عديم الكتلة، مشابه للفوتون.

يتنبأ نموذج شوينجر بوجود أقطاب مغناطيسية أحادية عند مستوى توحيد القوة الكهروضعيفة، ولا يتنبأ بوجود  بوزون Z. فهو لا يكسر تناظر القوة الكهروضعيفة كما في الطبيعة. ولكن تاريخيًا، كان نموذج مشابه لهذا (ولكنه لا يستخدم آلية هيغز) هو الأول الذي تم فيه توحيد القوة الضعيفة والقوة الكهرومغناطيسية.

اكتشف إرنست ستوكلبرغ ^{[ 35 ]} نسخةً من آلية هيغز بتحليل نظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية باستخدام فوتون ذي كتلة. في الواقع، يُعد نموذج ستوكلبرغ حالةً حديةً لنموذج هيغز الأبلي ذي القبعة المكسيكية، حيث تؤول القيمة المتوقعة للفراغ H إلى اللانهاية، وتؤول شحنة حقل هيغز إلى الصفر، بحيث يبقى حاصل ضربهما ثابتًا. تتناسب كتلة بوزون هيغز مع H ، لذا يصبح بوزون هيغز ذا كتلة لانهائية وينفصل، وبالتالي لا يُؤخذ في الاعتبار في هذا النقاش. أما كتلة الميزون المتجه، فتساوي حاصل ضرب eH ، وتبقى محدودة.

يُفسَّر ذلك بأنه عندما لا يتطلب حقل قياس U(1) شحنات مُكمَّمة، فمن الممكن الاحتفاظ فقط بالجزء الزاوي من تذبذبات هيغز، وإهمال الجزء القطري. ويخضع الجزء الزاوي من حقل هيغز θ لقانون تحويل القياس التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha ~.\end{aligned}}}$

المشتقة المتغيرة للمقياس للزاوية (وهي في الواقع ثابتة المقياس) هي:

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH~.}$

للحفاظ على تقلبات θ محدودة وغير صفرية في هذه الحالة، يجب إعادة قياس θ بواسطة H ، بحيث يبقى حدها الحركي في الفعل مُعَيَّرًا. يُستَخرَج فعل حقل ثيتا من فعل القبعة المكسيكية عن طريق الاستبدال. ${\displaystyle \phi =He^{i\theta /H}}$.

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

بما أن eH هي كتلة بوزون القياس. بإجراء تحويل قياس لجعل θ = 0 ، يتم التخلص من حرية القياس في الفعل، ويصبح الفعل فعل حقل متجه ذي كتلة:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

يتطلب الحصول على شحنات صغيرة كيفما شاء ألا تكون مجموعة U(1) دائرة الأعداد المركبة الوحدوية تحت الضرب، بل الأعداد الحقيقية تحت الجمع، وهو ما يختلف فقط في الطوبولوجيا العامة. تكون مجموعة U(1) هذه غير متراصة. يتحول الحقل θ كتمثيل تآلفي لمجموعة القياس. من بين مجموعات القياس المسموح بها، تقبل مجموعة U(1) غير المتراصة فقط تمثيلات تآلفية، ومن المعروف تجريبياً أن مجموعة U(1) للكهرومغناطيسية متراصة، حيث أن تكميم الشحنة ينطبق بدقة عالية للغاية.

في هذا النموذج، يمتلك مكثف هيغز شحنة متناهية الصغر، لذا فإن التفاعلات مع بوزون هيغز لا تنتهك قانون حفظ الشحنة. تظل نظرية الديناميكا الكهربائية الكمومية مع الفوتون ذي الكتلة نظرية قابلة لإعادة التطبيع، أي أنها تحافظ على الشحنة الكهربائية، لكنها لا تسمح بوجود الأقطاب المغناطيسية الأحادية . بالنسبة لنظرية القياس غير الأبيلية، لا يوجد حد تآلفي، ولا يمكن أن تكون تذبذبات هيغز أكبر بكثير من المتجهات.