رباعي هورويتز

في الرياضيات ، يُعرف الرباعي هورويتز (أو عدد هورويتز الصحيح ) بأنه رباعي تتكون عناصره إما من جميع الأعداد الصحيحة أو جميع أنصاف الأعداد الصحيحة (أنصاف الأعداد الصحيحة الفردية ؛ ويُستثنى من ذلك مزيج الأعداد الصحيحة وأنصاف الأعداد الصحيحة). مجموعة جميع رباعيات هورويتز هي

${\displaystyle H=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \;{\mbox{ or }}\,a,b,c,d\in \mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right\}.}$

أي أن a و b و c و d إما أن تكون جميعها أعدادًا صحيحة، أو أن تكون جميعها أنصافًا لأعداد فردية. H حلقة مغلقة تحت ضرب وجمع الكواترنيونات، مما يجعلها حلقة فرعية من حلقة جميع الكواترنيونات H. وقد قدم أدولف هورويتز كواترنيونات هورويتز ( 1919 ) . 

الرباعي الليبشيتز ( أو العدد الصحيح الليبشيتز ؛ نسبةً إلى رودولف ليبشيتز ) هو رباعي جميع مكوناته أعداد صحيحة. مجموعة جميع الرباعيات الليبشيتزية

${\displaystyle L=\left\{a+bi+cj+dk\in \mathbb {H} \mid a,b,c,d\in \mathbb {Z} \right\}}$

تشكل حلقة فرعية من رباعيات هورويتز H. تتمتع أعداد هورويتز الصحيحة بميزة على أعداد ليبشيتز الصحيحة وهي أنه من الممكن إجراء القسمة الإقليدية عليها، والحصول على باقي صغير.

تعتبر كل من الكواترنيونات Hurwitz و Lipschitz أمثلة على المجالات غير التبادلية التي ليست حلقات قسمة .

باعتبارها مجموعة جمعية ، فإن H مجموعة تبديلية حرة ذات مولدات {(1 + i + j + k ) / 2, i , j , k }. ولذلك ^، فهي تُشكّل شبكة في R⁴ . تُعرف هذه الشبكة باسم شبكة F⁴ لأنها الشبكة الجذرية لجبر لي شبه البسيط F⁴ _. تُشكّل الكواترنيونات الليبشيتزية L شبكة فرعية ذات دليل 2 _من H.

مجموعة الوحدات في L هي مجموعة الكواترنيونات Q من الرتبة 8 ، وهي المجموعة {±1, ± i , ± j , ± k }. أما مجموعة الوحدات في H فهي مجموعة غير تبديلية من الرتبة 24، تُعرف باسم المجموعة الرباعية السطوح الثنائية . تتضمن عناصر هذه المجموعة العناصر الثمانية للمجموعة Q بالإضافة إلى الكواترنيونات الستة عشر {(±1 ± i ± j ± k ) / 2}، حيث يمكن اختيار الإشارات بأي تركيبة. تُعد مجموعة الكواترنيونات مجموعة جزئية طبيعية من المجموعة الرباعية السطوح الثنائية U( H ). تشكل عناصر U( H )، التي جميعها ذات معيار 1، رؤوس الخلية ذات الـ 24 عنصرًا المُحاطة بالكرة ثلاثية الأبعاد .

تُشكّل رباعيات هورويتز ترتيبًا (بمعنى نظرية الحلقات ) في حلقة قسمة الرباعيات ذات المكونات النسبية . وهو في الواقع ترتيب أقصى ، وهذا ما يُفسّر أهميته. كما تُشكّل رباعيات ليبشيتز، وهي المرشح الأنسب لفكرة الرباعي التكاملي ، ترتيبًا أيضًا. مع ذلك، فإن هذا الترتيب الأخير ليس أقصى، وبالتالي (كما اتضح) أقل ملاءمةً لتطوير نظرية للمُثُل اليسارية تُضاهي نظرية الأعداد الجبرية . لذلك، أدرك أدولف هورويتز أن هذا التعريف للرباعي التكاملي لهورويتز هو الأنسب للعمل به. بالنسبة لحلقة غير تبديلية مثل H ، لا يلزم أن تكون الترتيبات القصوى فريدة، لذا يجب تحديد ترتيب أقصى، مع الحفاظ على مفهوم العدد الصحيح الجبري .

المعيار (الحسابي أو معيار الحقل) ^{لكواترنيون} هورويتز a + bi + cj + dk ، المعطى بالصيغة a² ⁺ b² + c² + d² ^، هو دائمًا عدد صحيح. وبحسب نظرية لاغرانج، ^يمكن كتابة أي عدد صحيح غير سالب على صورة مجموع أربعة مربعات على الأكثر . وبالتالي، فإن كل عدد صحيح غير سالب هو معيار لكواترنيون ليبشيتز (أو هورويتز). بتعبير أدق، فإن عدد كواترنيونات هورويتز c ( n ) ذات المعيار الموجب n يساوي 24 ضعف مجموع القواسم الفردية للعدد n . وتُعطى الدالة المولدة للأعداد c ( n ) بالصيغة النمطية من المستوى 2 والوزن 2.

${\displaystyle 2E_{2}(2\tau )-E_{2}(\tau )=\sum _{n}c(n)q^{n}=1+24q+24q^{2}+96q^{3}+24q^{4}+144q^{5}+\dots }$(التسلسل A004011 في OEIS )

أين

${\displaystyle q=e^{2\pi i\tau }}$

و

${\displaystyle E_{2}(\tau )=1-24\sum _{n}\sigma _{1}(n)q^{n}}$

هي سلسلة أيزنشتاين ذات الوزن 2 المستوى 1 (وهي شكل شبه معياري ) و σ ₁ ( n ) هو مجموع قواسم n .

يُسمى عدد هورويتز غير قابل للاختزال إذا لم يكن صفرًا أو وحدة، ولم يكن حاصل ضرب أعداد غير وحدوية. يكون عدد هورويتز غير قابل للاختزال إذا وفقط إذا كان معياره عددًا أوليًا . تُسمى الكواترنيونات غير القابلة للاختزال أحيانًا بالكواترنيونات الأولية، لكن هذا قد يكون مُضللًا لأنها ليست أعدادًا أولية بالمعنى المعتاد في الجبر التبادلي : إذ يُمكن لكواترنيون غير قابل للاختزال أن يقسم حاصل ضرب ab دون أن يقسم a أو b . يُمكن تحليل كل كواترنيون هورويتز إلى عوامله الأولية كحاصل ضرب كواترنيونات غير قابلة للاختزال. هذا التحليل ليس فريدًا بشكل عام، حتى مع مراعاة الوحدات والرتبة، لأن العدد الأولي الفردي الموجب p يُمكن كتابته بـ 24( p +1) طريقة كحاصل ضرب كواترنيونين هورويتز غير قابلين للاختزال معيارهما p ، وبالنسبة لقيم p الكبيرة، لا يُمكن أن تكون جميع هذه الطرق متكافئة تحت الضرب من اليسار واليمين بالوحدات، نظرًا لوجود 24 وحدة فقط. مع ذلك، إذا استثنينا هذه الحالة، فسنجد صيغةً للتحليل الفريد. بتعبير أدق، يمكن كتابة كل رباعي هورويتز بشكل فريد كحاصل ضرب عدد صحيح موجب في رباعي أولي (رباعي هورويتز لا يقبل القسمة على أي عدد صحيح أكبر من 1). يكون تحليل الرباعي الأولي إلى عوامله الأولية فريدًا حتى الرتبة والوحدات بالمعنى التالي: إذا

ص _٠ ص _١ ... ص _ن

و

q ₀ q ₁ ... q _n

إذا كان لدينا تحليلان لبعض الكواترنيونات الأولية لهرويتز إلى كواترنيونات غير قابلة للاختزال حيث يكون لـ p _k نفس معيار q _k لجميع قيم k ، فإن

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{0}&=p_{0}u_{1}\\q_{1}&=u_{1}^{-1}p_{1}u_{2}\\&\,\,\,\vdots \\q_{n}&=u_{n}^{-1}p_{n}\end{aligned}}}$

بالنسبة لبعض الوحدات u _k .

تسمح الأعداد الصحيحة العادية والأعداد الصحيحة الغاوسية بالقسمة مع الباقي أو القسمة الإقليدية .

بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة M و D ، يوجد دائمًا ناتج قسمة Q وباقي قسمة غير سالب R بحيث

• M = QD + R حيث R < D .

بالنسبة للأعداد الصحيحة المركبة أو الغاوسية M = a + ib و D = c + id ، مع المعيار N( D ) > 0، يوجد دائمًا Q = p + iq و R = r + is بحيث

• M = QD + R ، حيث N( R ) < N( D ).

مع ذلك، بالنسبة للأعداد الصحيحة ليبشيتز M = ( a , b , c , d ) و D = ( e , f , g , h )، قد يحدث أن N( R ) = N( D ). وقد حفّز هذا التحوّل إلى الأعداد الصحيحة هورويتز، التي يضمن فيها الشرط N( R ) < N( D ). ^{[ 1 ]}

تعتمد العديد من الخوارزميات على القسمة مع الباقي، على سبيل المثال، خوارزمية إقليدس لإيجاد القاسم المشترك الأكبر .

• عدد صحيح غاوسي
• أيزنشتاين عدد صحيح
• الإكوسيون​
• مجموعة لي F ₄
• شبكة E ₈​

• كونواي، جون هورتون ؛ سميث، ديريك أ. (2003). حول الكواترنيونات والأوكتونيونات: هندستها، وحساباتها، وتناظرها . إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-134-9.
• هورويتز، أدولف (2013) [1919]. Vorlesungen Über die Zahlentheorie der Quaternionen . سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 978-3-642-47536-8JFM 47.0106.01​​