24 خلية

في الهندسة رباعية الأبعاد ، تُعتبر الخلية ذات الـ 24 خلية متعددة الأوجه منتظمة محدبة رباعية الأبعاد ، ^{[ 1 ]} وهي نظير رباعي الأبعاد للمجسم الأفلاطوني . وقد سُميت بهذا الاسم نسبةً إلى الأوجه الثمانية الـ 24 التي تُشكل حدودها.

ويطلق عليه أيضًا اسم C ₂₄ ، أو icositetrachoron ، ^{[ 2 ]} octaplex (اختصار لـ "octahedral complex")، icosatetrahedroid ، ^{[ 3 ]} octacube ، hyper-diamond أو polyoctahedron ، كونه مكونًا من خلايا ثمانية السطوح .

الوصف الهندسي

الخلية الرباعية والعشرون هي حدود متعددة السطوح محدبة رباعية الأبعاد، وهي نظير للمكعب الثماني السطوح ونظيره المعيني ذو الاثني عشر وجهًا في أربعة أبعاد. ^{[ 4 ]} تتكون من 24 خلية ثمانية السطوح، تلتقي ست منها عند كل رأس، وثلاث عند كل حافة. ^{[ 5 ]} إجمالًا، لها 96 وجهًا مثلثيًا، و96 حافة، و24 رأسًا. ومثل متعدد السطوح المنتظم رباعي الأبعاد الآخر، ذي الخلية الخماسية، فإن الخلية الرباعية والعشرون ذاتية التناظر . تُعد الخلية الرباعية والعشرون والمكعب الرباعي السطوح المنتظم المحدب الوحيد من بين متعددات السطوح الرباعية التي يتساوى فيها طول الحافة مع نصف القطر. ويمكن تلخيص هندستها برمز شلافلي الخاص بها . $\{3,4,3\}$ ، مما يشير إلى أن وجوهها عبارة عن مضلعات منتظمة ثلاثية الأضلاع (مثلثات)، وخلاياها عبارة عن ثماني السطوح (متعددات السطوح ذات وجوه ثلاثية الجوانب، 4 منها تلتقي عند كل رأس)، وشكل الرأس عبارة عن مكعب (متعدد السطوح ذو وجوه رباعية الجوانب، 3 منها تلتقي عند كل رأس).

تحتوي الخلية المكونة من 24 نقطة على ثلاث خلايا مكونة من 16 نقطة (حمراء وخضراء وزرقاء)، تدور كل منها بزاوية 60 درجة بالنسبة للأخرى.

تتكون شبكة الخلية المكونة من 24 خلية من ثماني السطوح المنتظمة

تتضمن الخلية ذات الـ 24 خلية هندسة جميع المضلعات المنتظمة المحدبة في الأبعاد الأربعة الأولى، باستثناء المضلع ذي الـ 5 خلايا، والمضلعات التي تحتوي على الرقم 5 في رمزها (رمز شلافلي)، والمضلعات المنتظمة ذات 7 أضلاع أو أكثر. بعبارة أخرى، تحتوي الخلية ذات الـ 24 خلية على جميع المضلعات المنتظمة المكونة من مثلثات ومربعات الموجودة في أربعة أبعاد باستثناء المضلع المنتظم ذي الـ 5 خلايا، ولكنها لا تحتوي على أي من المضلعات الخماسية. يمكن ملاحظة العلاقات الهندسية بين جميع هذه المضلعات المنتظمة في خلية واحدة ذات 24 خلية أو في خلية قرص العسل ذات الـ 24 خلية .

يُعدّ الشكل ذو الـ 24 خلية رابع شكل في سلسلة من ستة أشكال متعددة السطوح منتظمة محدبة رباعية الأبعاد (مرتبة حسب الحجم والتعقيد). يمكن ترتيب هذه الأشكال حسب الحجم كمقياس للمحتوى رباعي الأبعاد (الحجم الفائق) لنفس نصف القطر. هذا هو ترتيبها الصحيح، وهو الترتيب الذي تتداخل به داخل بعضها البعض كمركبات. ^{[ 6 ]} كل شكل متعدد السطوح أكبر في السلسلة يكون أكثر استدارة من سابقه، مما يعني احتواءه على محتوى أكبر ضمن نفس نصف القطر. يُعدّ الشكل الرباعي البسيط (ذو 5 خلايا) أصغر حالة، بينما يُعدّ الشكل ذو 120 خلية أكبر حالة. ويتبع التعقيد (كما يُقاس بمقارنة مصفوفات التكوين أو ببساطة عدد الرؤوس) نفس الترتيب. يُقدّم هذا نظام تسمية عددية بديلًا للمضلعات المنتظمة، حيث يُمثّل المضلع ذو الـ 24 خلية المضلع الرباعي ذو الـ 24 نقطة: وهو الرابع في التسلسل التصاعدي الذي يبدأ من المضلع الرباعي ذي الـ 5 نقاط وينتهي بالمضلع الرباعي ذي الـ 600 نقطة. ويمكن تفكيكه إلى 3 نسخ متداخلة من سلفه، وهو المكعب الفائق (ذو الـ 8 خلايا)، كما يمكن تفكيك المضلع الرباعي ذي الـ 8 خلايا إلى نسختين من سلفه، وهو المضلع ذو الـ 16 خلية . ^{[ 7 ]} وتحافظ العملية العكسية لإنشاء كلٍّ من هذه المضلعات من نسخة من سلفها على نصف قطر السلف، ولكنها تُنتج عمومًا مضلعًا لاحقًا بطول حافة أصغر.

الخلية المكونة من 24 خلية هي الغلاف المحدب لرؤوسها والذي يمكن وصفه بأنه التبديلات الإحداثية الـ 24 لـ: ^{[ 8 ]} $(\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.$ يمكن إنشاء تلك الإحداثيات على شكل خلية مكونة من 24 خلية ، وذلك بتصحيح الخلية المكونة من 16 خلية باستخدام الرؤوس الثمانية التي تمثل تباديل لـ $(\pm 2,0,0,0)$ [ ^٨^] شكل رأس الخلية السداسية عشرية هو ثماني السطوح ؛ لذا، فإن قطع رؤوس الخلية السداسية عشرية عند منتصف حوافها المتصلة ينتج عنه ثماني خلايا ثمانية السطوح. كما تُقوّم هذه العملية الخلايا رباعية السطوح للخلية السداسية عشرية لتصبح ستة عشر ثماني سطوح، ^مما يجعل الخلية الرباعية والعشرين تحتوي على أربع وعشرين خلية ثمانية السطوح. ^[^٩^]

تشكل المحاور الـ 12 والسداسيات الـ 16 للخلية المكونة من 24 خلية تكوين ري ، والذي يُكتب في لغة التكوينات على النحو التالي: 12 ₄ 16 ₃ للإشارة إلى أن كل محور ينتمي إلى 4 سداسيات، وأن كل سداسي يحتوي على 3 محاور. ^{[ 10 ]}

تمثل مصفوفة التكوين هذه الخلية المكونة من 24 خلية. تتوافق الصفوف والأعمدة مع الرؤوس والحواف والوجوه والخلايا على التوالي. تشير الأرقام القطرية إلى عدد مرات ظهور كل عنصر في الخلية المكونة من 24 خلية. وتشير الأرقام غير القطرية إلى عدد مرات ظهور عنصر العمود في عنصر الصف أو عنده. ^{[ 11 ]} ${\begin{bmatrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{bmatrix}}.$

أنظمة الجذور

تشكل المتجهات الجذرية الـ 24 لنظام الجذور D4 لمجموعة لي البسيطة SO(8) رؤوس خلية مكونة من 24 عنصرًا. يمكن رؤية هذه الرؤوس في 3 مستويات فائقة ، حيث _تقع رؤوس خلية ثماني السطوح الستة على كل مستوى فائق خارجي، بينما تقع رؤوس مكعب ثماني السطوح الـ 12 على مستوى فائق مركزي. تمثل هذه الرؤوس، بالإضافة إلى رؤوس الخلية المكونة من 16 عنصرًا ، المتجهات الجذرية الـ 32 لمجموعتي لي البسيطتين _B4 وC4 _.

تشكل الرؤوس الـ 48 (أو بالأحرى متجهات أنصاف أقطارها) لاتحاد الخلية ذات الـ 24 خلية ونظيرتها الثنائية نظام الجذور من النوع F₄ _.^{[ 12 ]} أما الرؤوس الـ 24 للخلية الأصلية ذات الـ 24 خلية فتشكل نظام الجذور من النوع D₄ _؛ ونسبة حجمها √2 : 1. وينطبق هذا الأمر نفسه على الرؤوس الـ 24 لنظيرتها الثنائية. زمرة التناظر الكاملة للخلية ذات الـ 24 خلية هي زمرة ويل من النوع F₄ _، والتي تتولد من الانعكاسات عبر المستويات الفائقة المتعامدة مع جذور F₄ _. هذه زمرة قابلة للحل من الرتبة 1152. أما زمرة التناظر الدوراني للخلية ذات الـ 24 خلية فهي من الرتبة 576.

التفسير الرباعي

عند تفسيرها على أنها كواترنيونات ، فإن شبكة الجذور _F⁴ (وهي الامتداد التكاملي لرؤوس الخلية ذات الـ 24 خلية) تكون مغلقة تحت الضرب، وبالتالي فهي حلقة . هذه هي حلقة كواترنيونات هورويتز التكاملية . تشكل رؤوس الخلية ذات الـ 24 خلية مجموعة الوحدات (أي مجموعة العناصر القابلة للعكس) في حلقة كواترنيونات هورويتز (تُعرف هذه المجموعة أيضًا باسم المجموعة الرباعية السطوح الثنائية ). رؤوس الخلية ذات الـ 24 خلية هي تحديدًا كواترنيونات هورويتز الـ 24 ذات مربع معيار يساوي 1، ورؤوس الخلية الثنائية ذات الـ 24 خلية هي تلك ذات مربع معيار يساوي 2. شبكة الجذور D⁴ هي _ثنائيةF⁴ ، _وتُعطى بواسطة الحلقة الفرعية لكواترنيونات هورويتز ذات مربع معيار زوجي. ^[¹³^]

عند النظر إليها على أنها رباعيات هورويتز المكونة من 24 وحدة ، فإن إحداثيات نصف القطر للوحدة المكونة من 24 خلية تمثل (في أزواج متقابلة) 12 دورة لهرم رباعي منتظم. ^{[ 5 ]}

تشكل رؤوس متعددات الوجوه المنتظمة المحدبة الأخرى ذات البعد 4 مجموعات ضربية من الكواترنيونات، ولكن القليل منها يولد شبكة جذرية. ^{[ 14 ]}

خلايا فورونوي والتقسيم إلى أشكال هندسية

خلايا فورونوي في شبكة الجذر D4 _هي خلايا منتظمة مكونة من 24 خلية. يُعطي تبليط فورونوي المقابل تبليط الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد بخلايا منتظمة مكونة من 24 خلية، وهو ما يُعرف بـ"قرص العسل" المكون ^من²⁴ خلية . وباعتباره متعدد السطوح الذي يمكن تبليطه بالإزاحة ، يُعدّ متعدد السطوح ^المكون من 24 خلية مثالًا على متوازي السطوح ، وهو أبسطها الذي لا يُعدّ أيضًا متوازي سطوح متعدد ال ... $\{3,4,3,3\}$ وهي واحدة من ثلاث تشكيلات منتظمة فقط من $\mathbb {R} ^{4}$ تتمركز الخلايا الـ 24 عند نقاط الشبكة D4 ₍ رباعيات هورويتز ذات مربع معيار زوجي)، بينما تقع الرؤوس عند نقاط الشبكة F4 _ذات مربع معيار فردي. لكل خلية من خلايا هذا التبليط 24 جارًا، وتشترك مع كل جار منهم في ثماني السطوح. كما تشترك مع 24 جارًا آخر في رأس واحد فقط. تلتقي ثماني خلايا من خلايا الـ 24 عند أي رأس في هذا التبليط.

التبليط الثنائي لقرص العسل ذي الـ 24 خلية {3,4,3,3} هو قرص العسل ذو الـ 16 خلية {3,3,4,3} . أما التبليط المنتظم الثالث للفضاء رباعي الأبعاد فهو قرص العسل الفسيراكتي {4,3,3,4} ، الذي يمكن وصف رؤوسه بإحداثيات ديكارتية مكونة من 4 أعداد صحيحة. يمكن أن تساعد العلاقات المتطابقة بين هذه التبليطات الثلاثة في تصور قرص العسل ذي الـ 24 خلية، ولا سيما التناظر الشعاعي متساوي الأضلاع الذي يشترك فيه مع المكعب الفسيراكتي.

التناوب

تُعدّ المضلعات المحدبة المنتظمة ذات البعد 4 تعبيرًا عن تناظرها الأساسي المعروف باسم SO(4) ، وهو مجموعة الدورانات حول نقطة ثابتة في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد. ^{[ 16 ]}

إسقاط ثلاثي الأبعاد لخلية مكونة من 24 خلية تقوم بدوران بسيط .

إسقاط ثلاثي الأبعاد لخلية مكونة من 24 خلية تقوم بدوران مزدوج .

يمكن اعتبار الدوران في الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد بمثابة تركيب لدوران ثنائي الأبعاد في مستويين متعامدين تمامًا. ^{[ 17 ]} وبالتالي، فإن الدوران العام في الفضاء رباعي الأبعاد هو دوران مزدوج . ^{[ 18 ]} وهناك حالتان خاصتان مهمتان: الدوران البسيط (حيث تكون إحدى زوايا الدوران صفرًا) والدوران متساوي الميل (مشابه لدوران بسيطين بنفس الزاوية ولكنه ليس مطابقًا لهما).

في الشكل ذي الـ ٢٤ خلية، توجد عملية دوران بسيطة تنقل أي رأس مباشرةً إلى أي رأس آخر، مع تحريك معظم الرؤوس الأخرى، ولكن مع إبقاء ما لا يقل عن رأسين ولا يزيد عن ستة رؤوس ثابتة (الرؤوس التي يتقاطع معها المستوى المركزي الثابت). يتحرك الرأس على طول دائرة عظمى في مستوى الدوران الثابت بين الرؤوس المتجاورة لسداسي كبير، أو مربع كبير، أو ثنائي كبير ، ويكون المستوى الثابت المتعامد تمامًا ثنائيًا، أو مربعًا، أو سداسيًا، على التوالي.
تأتي الدورانات المزدوجة في شكلين حلزونيين : دورانات يسارية ودورانات يمينية . في الدوران المزدوج، يتحرك كل رأس بشكل حلزوني على طول دائرتين عظميين متعامدتين في آن واحد. إما أن يكون المسار ملولبًا باتجاه اليمين (مثل معظم البراغي والصواميل)، متحركًا على طول الدائرتين في نفس الاتجاه، أو يكون ملولبًا باتجاه اليسار (مثل برغي ملولب عكسيًا)، متحركًا على طول الدائرتين في اتجاهين متعاكسين (وفقًا لقاعدة اليد اليمنى التي نحدد بها اتجاه الأعلى على كل محور من محاور الإحداثيات الأربعة). ^{[ 19 ]} في الدورانات المزدوجة للخلية المكونة من 24 خلية والتي تنقل الرؤوس من رأس إلى رأس، يحتوي أحد مستويات الدوران الثابتة إما على شكل سداسي كبير، أو مربع كبير، أو محور واحد فقط (رأسان، شكل ثنائي كبير). سيحتوي مستوى الدوران الثابت المتعامد تمامًا بالضرورة على شكل ثنائي كبير، أو مربع كبير، أو شكل سداسي كبير، على التوالي. إن اختيار مستوى دوران ثابت، واتجاه وزاوية دورانه، واتجاه وزاوية دوران مستواه المتعامد تمامًا، يحدد طبيعة الإزاحة الدورانية بشكل كامل. في الخلية ذات الـ 24 خلية، توجد عدة أنواع جديرة بالذكر من الدوران المزدوج تسمح بها هذه المعايير. ^{[ 20 ]}
عندما تتساوى زوايا الدوران في المستويين الثابتين المتعامدين تمامًا، يحدث تحويل متناظر بشكل ملحوظ : ^[²¹^] تصبح جميع مستويات الدائرة العظمى الموازية لزوج المستويات الثابتة أزواجًا من مستويات الدوران الثابتة نفسها، بنفس الزاوية، ويدور متعدد السطوح الرباعي بشكل متساوي الميل في اتجاهات متعددة في آن واحد. ^[²²^] يتحرك كل رأس مسافة متساوية في أربعة اتجاهات متعامدة في الوقت نفسه. في المجسم ذي 24 خلية، أي دوران متساوي الميل بزاوية 60 درجة في مستوى سداسي ينقل كل رأس إلى رأس يبعد عنه بطول ضلعين، ويدير جميع السداسيات الستة عشر بزاوية 60 درجة، وينقل كل مضلع دائرة عظمى (مربع، سداسي، أو مثلث) إلى مضلع دائرة عظمى موازٍ له من النوع نفسه يبعد عنه بزاوية 120 درجة. يُسمى الدوران متساوي الميل أيضًا إزاحة كليفورد ، نسبةً إلى مكتشفه .

يبدو أن المجسم ذو الـ ٢٤ خلية في الرسوم المتحركة للدوران المزدوج ينقلب على نفسه. ويبدو كذلك، لأنه في الواقع يفعل، إذ يعكس التناظر الحلزوني للمجسم الرباعي بأكمله تمامًا كما تعكس مرآة حمامك التناظر الحلزوني لصورتك بانعكاس ١٨٠ درجة. كل دورة متساوية الميل بزاوية ٣٦٠ درجة تُشبه أن سطح المجسم ذي الـ ٢٤ خلية قد تم نزعه كقفاز وقلبه على نفسه، محولًا قفازًا لليد اليمنى إلى قفاز لليد اليسرى (أو العكس). ^{[ ٢٣ ]}

مخطط تقويمي مميز

خصائص الخلية المكونة من 24 خلية ^{[ 24 ]}
	الحافة ^{[ 25 ]}	قوس		الزاوية ثنائية السطوح ^{[ 26 ]}
ل	$1$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$	120 درجة	${\tfrac {2\pi }{3}}$

5	${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$
ب	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	30 درجة	${\tfrac {\pi }{6}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$
3	${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}\approx 0.289$	30 درجة	${\tfrac {\pi }{6}}$	60 درجة	${\tfrac {\pi }{3}}$

$_{0}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	45 درجة	${\tfrac {\pi }{4}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{1}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}=0.5$	30 درجة	${\tfrac {\pi }{6}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$
$_{2}R^{3}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408$	30 درجة	${\tfrac {\pi }{6}}$	90 درجة	${\tfrac {\pi }{2}}$

$_{0}R^{4}/l$	$1$
$_{1}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\approx 0.866$
$_{2}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\approx 0.816$
$_{3}R^{4}/l$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$

لكل متعدد وجوه منتظم رباعي الأبعاد مخططه الرباعي المميز ، وهو عبارة عن خلية خماسية غير منتظمة . تُمثَّل الخلية الخماسية المميزة للمتعدد الوجوه المنتظم رباعي وعشرون خلية بمخطط كوكسيتر-دينكين ، الذي يُمكن قراءته كقائمة للزوايا ثنائية السطوح بين أوجهه المتناظرة. وهو عبارة عن هرم رباعي الأوجه غير منتظم مبني على رباعي الأوجه المميز لثماني الأوجه المنتظم . يُقسَّم المتعدد الوجوه المنتظم رباعي وعشرون خلية بواسطة مستويات التناظر الفائقة إلى 1152 نسخة من خليته الخماسية المميزة، والتي تلتقي جميعها في مركزه. ^[²⁷^]

يحتوي الشكل الخماسي المميز (المخطط الرباعي) على أربعة أضلاع إضافية مقارنةً بالهرم الرباعي المميز الأساسي (المخطط الثلاثي)، حيث تصل رؤوس القاعدة الأربعة برأس الهرم (الرأس الخامس للمخطط الرباعي، في مركز الشكل الرباعي المنتظم ذي 24 ضلعًا). إذا كان نصف قطر الشكل الرباعي المنتظم ذي 24 ضلعًا وطول ضلعه 𝒍 = 1، فإن أطوال أضلاع الشكل الخماسي المميز العشرة هي: ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ حول وجهها الخارجي المثلث القائم الزاوية (الحواف المقابلة للزوايا المميزة 5، π، 3)، بالإضافة إلى ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ (الحواف الثلاثة الأخرى للوجه الخارجي ثلاثي الأبعاد تُشكل رباعي الأوجه المميز، وهي أنصاف أقطار مميزة لثماني الأوجه)، بالإضافة إلى $1$ ، ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ (الحواف التي تمثل أنصاف أقطار مميزة للخلية المكونة من 24 خلية). المسار ذو الأربع حواف على طول الحواف المتعامدة للمخطط المتعامد هو ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ ، ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ ، أولاً من رأس مكون من 24 خلية إلى مركز حافة مكون من 24 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز وجه مكون من 24 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز خلية ثمانية الأوجه مكونة من 24 خلية، ثم الانعطاف 90 درجة إلى مركز الخلية المكونة من 24 خلية.

تأملات

يمكن إنشاء المجسم ذي الـ 24 خلية بانعكاسات خليته الخماسية المميزة في أوجهه (جدرانه المرآوية رباعية الأوجه). وترتبط الانعكاسات بالدوران: فالانعكاس في عدد زوجي من المرايا المتقاطعة هو دوران. ^{[ 28 ]} وبالتالي، يمكن توليد متعددات الوجوه المنتظمة إما بالانعكاسات أو بالدوران. على سبيل المثال، أي دوران متساوي الميل بزاوية 720° للمجسم ذي الـ 24 خلية في مستوى سداسي ثابت، ينقل كل رأس من رؤوسه الـ 24 إلى خمسة رؤوس أخرى ثم يعود إلى نفسه، على شكل سداسي مائل _ذي ميل جيوديسي يلتف مرتين حول الكرة ثلاثية الأبعاد عند كل رأس ثانٍ من رؤوس السداسي. أي مجموعة من أربعة أزواج متعامدة من الرؤوس المتقابلة (الرؤوس الثمانية لإحدى الخلايا الـ 16 المضمنة الثلاثة ) تقوم بنصف مدار كهذا تزور 3 * 8 = 24 رأسًا مميزًا وتولد الخلية المكونة من 24 خلية بالتتابع في 3 خطوات من دوران متساوي الميل بزاوية 360 درجة، تمامًا كما أن أي خلية مميزة مكونة من 5 خلايا تعكس نفسها في جدرانها المرآة تولد الرؤوس الـ 24 في وقت واحد عن طريق الانعكاس.

يكشف تتبع مدار أحد رؤوس هذه الخلايا الست عشرة خلال الدوران المتساوي الميل بزاوية 360 درجة المزيد عن العلاقة بين الانعكاسات والدورانات كعمليات توليدية. يتبع الرأس خطًا متساوي الميل (دائرة جيوديسية منحنية مرتين) بدلاً من دائرة عظمى عادية. يربط خط تساوي الميل رؤوسًا تفصل بينها مسافة طول ضلعين، ولكنه ينحني بعيدًا عن مسار الدائرة العظمى فوق الضلعين اللذين يربطان تلك الرؤوس، متجاوزًا الرأس الواقع بينهما. على الرغم من أن خط تساوي الميل لا يتبع أي دائرة عظمى واحدة، إلا أنه يقع ضمن حلقة من نوع آخر: في الخلية ذات الأربع والعشرين خلية، يبقى ضمن حلقة من ست خلايا من الخلايا الكروية ^{[ 29 ]} ثمانية الأوجه، متقاطعًا مع رأس واحد في كل خلية، ويمر عبر حجم خليتين متجاورتين بالقرب من الرأس المفقود.

عمليات التناظر الكيرالي

عملية التناظر هي دوران أو انعكاس يجعل الجسم غير قابل للتمييز عن نفسه قبل التحويل. تحتوي الخلية ذات الـ 24 خلية على 1152 عملية تناظر مختلفة (576 دورانًا و576 انعكاسًا). كل دوران يعادل انعكاسين ، في زوج مختلف من مستويات المرآة غير المتوازية.

تظهر في الصورة مجموعات من مضلعات الدوائر العظمى المنفصلة ، كل منها في مستوى مركزي مميز من الخلية ذات الـ 24 خلية. على سبيل المثال، {24/4}=4{6} هو إسقاط متعامد للخلية ذات الـ 24 خلية، يصور 4 من مستوياتها السداسية العظمى [16]. تقع المستويات الأربعة موازية لمستوى الإسقاط ولبعضها البعض، وتشكل مضلعاتها العظمى مجتمعةً تليف هوبف منفصلًا من 4 دوائر عظمى غير متقاطعة تمر بجميع رؤوسها الـ 24 مرة واحدة فقط.

يصف كل صف في الجدول فئة من فئات الدوران المتميزة. تنقل كل فئة دوران المستويات اليسرى الموضحة إلى المستويات اليمنى المقابلة لها. تتحرك رؤوس المستويات المتحركة بشكل متوازٍ على طول مسارات التساوي المضلعة الموضحة. على سبيل المثال، $[32]R_{q7,q8}$ تتألف فئة الدوران من [32] إزاحة دورانية مميزة بمسافة قوسية قدرها 2π / 3 = 120° بين 16 مستوى سداسيًا كبيرًا ممثلة بمجموعة رباعية $q7$ ومجموعة مقابلة من 16 مستوى سداسيًا كبيرًا ممثلة بمجموعة رباعية $q8$ إحدى عمليات الدوران المتميزة [32] لهذه الفئة تحرك إحداثيات الرأس التمثيلية $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ إلى إحداثيات الرأس $({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$ .

الدوران الصحيح لمجموعة التناظر ذات 24 خلية F ₄^{[ 30 ]}
خط تساوي الانحدار	فئة التناوب				الطائرات اليسرى $ql$					الطائرات اليمنى $qr$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,q8}$ [16] 4π {6/2}	$[32]R_{q7,q8}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/8}=4{6/2} $^{q8}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,q8}$ [16] 4π {6/2}	2π / 3	120 درجة	√ 3	1.732~	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/8}=4{6/2} $^{q8}$ [16] 2V {6}	2π / 3	120 درجة	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,-q8}$ [16] 4V {12}	$[32]R_{q7,-q8}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/4}=4{6} $^{-q8}$ [16] 2V {6}	$(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
{24/2}=2{12} $^{q7,-q8}$ [16] 4V {12}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/4}=4{6} $^{-q8}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1
{24/1}={24} $^{q7,q7}$ [16] 4V {1}	$[32]R_{q7,q7}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
{24/1}={24} $^{q7,q7}$ [16] 4V {1}	2V	360 درجة	√ 0	0	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1
{24/12}=12{2} $^{q7,-q7}$ [16] 4V {2}	$[32]R_{q7,-q7}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/8}=4{6/2} $^{-q7}$ [16] 2V {6}	$(-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$
{24/12}=12{2} $^{q7,-q7}$ [16] 4V {2}	فو	180 درجة	√ 4	2	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [16] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/8}=4{6/2} $^{-q7}$ [16] 2V {6}	2π / 3	120 درجة	√ 3	1.732~
{24/2}=2{12} $^{q7,q1}$ [8] 4P {12}	$[16]R_{q7,q1}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{q1}$ [8] 2π {4}	$(1,0,0,0)$
{24/2}=2{12} $^{q7,q1}$ [8] 4P {12}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/6}=6{4} $^{q1}$ [8] 2π {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/8}=4{6/2} $^{q7,-q1}$ [8] 4P {6/2}	$[16]R_{q7,-q1}$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{-q1}$ [8] 2π {4}	$(-1,0,0,0)$
{24/8}=4{6/2} $^{q7,-q1}$ [8] 4P {6/2}	2π / 3	120 درجة	√ 3	1.732~	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [8] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/6}=6{4} $^{-q1}$ [8] 2π {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/1}={24} $^{q6,q6}$ [18] 4V {1}	$[36]R_{q6,q6}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$
{24/1}={24} $^{q6,q6}$ [18] 4V {1}	2V	360 درجة	√ 0	0	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q6,-q6}$ [18] 4V {2}	$[36]R_{q6,-q6}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{-q6}$ [18] 2V {4}	$(-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$
{24/12}=12{2} $^{q6,-q6}$ [18] 4V {2}	فو	180 درجة	√ 4	2	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [18] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{-q6}$ [18] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/9}=3{8/3} $^{q6,-q4}$ [72] 4P {8/3}	$[144]R_{q6,-q4}$				{24/6}=6{4} $^{q6}$ [72] 2V {4}	$({\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},0,0)$				{24/6}=6{4} $^{-q4}$ [72] 2V {4}	$(0,0,-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$
{24/9}=3{8/3} $^{q6,-q4}$ [72] 4P {8/3}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{q6}$ [72] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{-q4}$ [72] 2V {4}	فو	180 درجة	√ 4	2
{24/1}={24} $^{q4,q4}$ [36] 4V {1}	$[72]R_{q4,q4}$				{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2V {4}	$(0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$				{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2V {4}	$(0,0,{\tfrac {\sqrt {2}}{2}},{\tfrac {\sqrt {2}}{2}})$
{24/1}={24} $^{q4,q4}$ [36] 4V {1}	2V	360 درجة	√ 0	0	{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{q4}$ [36] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/2}=2{12} $^{q2,q7}$ [48] 4V {12}	$[96]R_{q2,q7}$				{24/6}=6{4} $^{q2}$ [48] 2V {4}	$(0,0,0,1)$				{24/4}=4{6} $^{q7}$ [48] 2V {6}	$({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$
{24/2}=2{12} $^{q2,q7}$ [48] 4V {12}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1	{24/6}=6{4} $^{q2}$ [48] 2V {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/4}=4{6} $^{q7}$ [48] 2V {6}	⁠ 𝝅 / 3 ⁠	60 درجة	√ 1	1
{24/12}=12{2} $^{q2,-q2}$ [9] 4π {2}	$[18]R_{q2,-q2}$				{24/6}=6{4} $^{q2}$ [9] 2π {4}	$(0,0,0,1)$				{24/6}=6{4} $^{-q2}$ [9] 2π {4}	$(0,0,0,-1)$
{24/12}=12{2} $^{q2,-q2}$ [9] 4π {2}	فو	180 درجة	√ 4	2	{24/6}=6{4} $^{q2}$ [9] 2π {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/6}=6{4} $^{-q2}$ [9] 2π {4}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q2,q1}$ [12] 4V {2}	$[12]R_{q2,q1}$				{24/12}=12{2} $^{q2}$ [12] 2V {2}	$(0,0,0,1)$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2V {2}	$(1,0,0,0)$
{24/12}=12{2} $^{q2,q1}$ [12] 4V {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/12}=12{2} $^{q2}$ [12] 2V {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2V {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/1}={24} $^{q1,q1}$ [0] 0V {1}	$[1]R_{q1,q1}$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2𝝅 {2}	$(1,0,0,0)$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2𝝅 {2}	$(1,0,0,0)$
{24/1}={24} $^{q1,q1}$ [0] 0V {1}	0	0°	√ 0	0	{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2𝝅 {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/12}=12{2} $^{q1}$ [0] 2𝝅 {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~
{24/12}=12{2} $^{q1,-q1}$ [12] 2V {2}	$[1]R_{q1,-q1}$				{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2V {2}	$(1,0,0,0)$				{24/12}=12{2} $^{-q1}$ [12] 2V {2}	$(-1,0,0,0)$
{24/12}=12{2} $^{q1,-q1}$ [12] 2V {2}	فو	180 درجة	√ 4	2	{24/12}=12{2} $^{q1}$ [12] 2V {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~	{24/12}=12{2} $^{-q1}$ [12] 2V {2}	⁠ 𝝅 / 2 ⁠	90 درجة	√ 2	1.414~

في فصل دراسي بالتناوب $[d]{R_{ql,qr}}$ كل مجموعة رباعية $\pm {q_{n}}$ قد لا يمثل هذا التليف تليفه الخاص من مستويات كليفورد المتوازية فحسب، بل يمثل أيضًا التليفات المتطابقة الأخرى. على سبيل المثال، فئة الدوران $[4]R_{q7,q8}$ يأخذ المستويات السداسية الأربعة لـ $q7$ إلى المستويات السداسية الأربعة لـ $q8$ والتي تبعد 120 درجة، في دوران متساوي الميل. ولكن في دوران صلب من هذا النوع، تتحرك جميع مستويات السداسي [16] بإزاحات دورانية متطابقة، لذا فإن فئة الدوران هذه تشمل أيضًا $[4]R_{-q7,-q8}$ ، $[4]R_{q8,q7}$ و $[4]R_{-q8,-q7}$ الاسم $[16]R_{q7,q8}$ يمثل التمثيل التقليدي لجميع الإزاحات المستوية المتطابقة [16].

جميع فئات التناوب هذه هي فئات فرعية من $[32]R_{q7,q8}$ والتي لها [32] إزاحة دورانية مميزة بدلاً من [16]، وذلك لوجود طريقتين كيراليتين لإجراء أي نوع من الدوران، تُعرفان بالدوران الأيسر والدوران الأيمن . لا تتطابق الإزاحات [16] اليسرى لهذا النوع مع الإزاحات [16] اليمنى، بل هما متماثلتان عكسيًا كزوج من الأحذية. ينقل كل دوران متساوي الميل يسارًا (أو يمينًا) [16] مستوى يسارًا إلى [16] مستوى يمينًا، لكن المستويين الأيسر والأيمن يختلفان في الدورانين الأيسر والأيمن. فإزاحات الدوران اليسرى واليمنى لنفس المستوى الأيسر تنقله إلى مستويين يمينيين مختلفين.

يصف كل فئة دوران (صف الجدول) دورانًا متساوي الميل مميزًا لليسار (واليمين) . ينقل الدوران لليسار (أو اليمين) المستويات اليسرى إلى المستويات اليمنى في آنٍ واحد، عبر زاوية دوران مميزة. على سبيل المثال، $[32]R_{q7,q8}$ يؤدي الدوران إلى تحريك جميع المستويات السداسية [16] دفعة واحدة بمقدار 2π / 3 = 120 درجة لكل مستوى. عند تكرار هذا الدوران المتساوي الميل إلى اليسار (أو اليمين) 6 مرات، فإنه يحرك كل مستوى 720 درجة ويعود إلى نفسه في نفس الاتجاه ، مروراً بجميع المستويات الأربعة. $q7$ المجموعة اليسرى وجميع المستويات الأربعة لـ $q8$ المجموعة اليمنى مرة واحدة لكل منها. يمثل الشكل في عمود خطوط التساوي هذا الاتحاد بين مجموعتي المستويات اليسرى واليمنى. في $[32]R_{q7,q8}$ على سبيل المثال، يمكن اعتبارها مجموعة من 4 أشكال سداسية متوازية مائلة من نوع كليفورد ، لكل منها حافة واحدة في كل مستوى سداسي كبير، وتنحرف إلى اليسار (أو اليمين) عند كل رأس طوال الدوران المتساوي الميل الأيسر (أو الأيمن).

التصور

منحوتة فولاذية ثمانية الأضلاع في جامعة ولاية بنسلفانيا

حلقات الخلية

يتكون الهيكل ذو الـ 24 خلية من 24 خلية ثمانية الأوجه . ولأغراض التوضيح، من المفيد أن يكون للثماني الأوجه أوجه متقابلة متوازية (وهي سمة يشترك فيها مع خلايا المكعب الفائق والهيكل ذي الـ 120 خلية ). يمكن تكديس الأوجه الثمانية وجهًا لوجه في خط مستقيم منحني في الاتجاه الرابع لتشكيل دائرة عظمى محيطها 6 خلايا. ^[³¹^]^[³²^] تسمح مواقع الخلايا بوصف كروي فائق . اختر خلية عشوائية وسمّها " القطب الشمالي ". تشع ثمانية خطوط طولية للدائرة العظمى (طول كل منها خليتان) في ثلاثة أبعاد، وتتقارب عند الخلية الثالثة " القطب الجنوبي ". يمثل هذا الهيكل 18 خلية من أصل 24 خلية (2 + 8 × 2 ). انظر الجدول أدناه.

طبقة #	عدد الخلايا	وصف	التضامن	منطقة
1	خلية واحدة	القطب الشمالي	0°	نصف الكرة الشمالي
2	8 خلايا	الطبقة الأولى من خلايا خط الزوال	60 درجة	نصف الكرة الشمالي
3	6 خلايا	غير خط الزوال / بيني	90 درجة	خط الاستواء
4	8 خلايا	الطبقة الثانية من خلايا خط الزوال	120 درجة	نصف الكرة الجنوبي
5	خلية واحدة	القطب الجنوبي	180 درجة	نصف الكرة الجنوبي
المجموع	24 خلية

يمكن تقسيم الخلية المكونة من 24 خلية إلى مجموعات منفصلة من أربع حلقات من حلقات الدائرة العظمى المكونة من 6 خلايا، لتشكل بذلك تليف هوبف منفصلًا من أربع حلقات متصلة غير متقاطعة. إحدى هذه الحلقات "عمودية"، وتشمل خلايا القطب وأربع خلايا خط الزوال. أما الحلقات الثلاث الأخرى، فتشمل كل منها خليتين استوائيتين وأربع خلايا خط الزوال، اثنتان من نصف الكرة الشمالي واثنتان من نصف الكرة الجنوبي. ^{[ 33 ]}

متعددات الوجوه ذات الصلة

يحتوي المضلع المركب المنتظم ₄ {3} ₄ ، أو على 24 رأسًا من 24 خلية، و24 حافة رباعية الأضلاع تُقابل المربعات المركزية لـ 24 من أصل 48 خلية ثمانية الأوجه. تناظره هو ₄ [3] ₄ ، من الرتبة 96. ^[³⁴^]

فيما يلي بعض الأشكال متعددة الوجوه المبنية من الخلية المكونة من 24 خلية.

متعددات الوجوه لعائلة 24 خلية
اسم	24 خلية	خلية 24 مختصرة	سنوب 24 خلية	خلية 24 معدلة	خلايا مقسمة إلى 24 خلية	خلية مزدوجة القطع 24	خلية 24 مبتورة	خلايا 24 ممزقة	24 خلية مقطوعة	بطارية أومنيترونيكتد 24 خلية
رمز شلافلي	{3,4,3}	t _0,1 {3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t ₁ {3,4,3} r{3,4,3}	t _0,2 {3,4,3} rr{3,4,3}	t _1,2 {3,4,3} 2t{3,4,3}	t _0,1,2 {3,4,3} tr{3,4,3}	t _0,3 {3,4,3}	t _0,1,3 {3,4,3}	t _0,1,2,3 {3,4,3}
مخطط كوكسيتر
مخطط شليغل
F ₄
ب ₄
ب ₃ (أ)
ب ₃ (ب)
ب ₂

يمكن أيضًا اشتقاق الخلية ذات الـ 24 خلية على شكل خلية ذات 16 خلية معدلة:

متعددات الوجوه المتناظرة B4
اسم	مكعب رباعي الأبعاد	مكعب رباعي الأضلاع مُقوَّم	مكعب رباعي الأبعاد مبتور	مكعب رباعي الأبعاد ذو زخارف متقابلة	مكعب رباعي الأبعاد مسنن	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع	مكعب رباعي الأبعاد مقطوع بالكامل
مخطط كوكسيتر		=				=
رمز شلافلي	{4,3,3}	t ₁ {4,3,3} r{4,3,3}	t _0,1 {4,3,3} t{4,3,3}	t _0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t _0,3 {4,3,3}	t _1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3}	t _0,1,2 {4,3,3} tr{4,3,3}	t _0,1,3 {4,3,3}	t _0,1,2,3 {4,3,3}
مخطط شليغل
ب ₄

اسم	16 خلية	خلية واحدة مقومة	خلية واحدة مختصرة مكونة من 16 خلية	خلايا مقسمة إلى 16 خلية	خلايا 16 ممزقة	خلية واحدة مقطوعة ثنائياً	خلية واحدة مقطوعة	خلايا مقطوعة 16	خلايا مكونة من 16 خلية
مخطط كوكسيتر	=	=	=	=		=	=
رمز شلافلي	{3,3,4}	t ₁ {3,3,4} r{3,3,4}	t _0,1 {3,3,4} t{3,3,4}	t _0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t _0,3 {3,3,4}	t _1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4}	t _0,1,2 {3,3,4} tr{3,3,4}	t _0,1,3 {3,3,4}	t _0,1,2,3 {3,3,4}
مخطط شليغل
ب ₄

انظر أيضاً

الاقتباسات

↑ Coxeter 1973 ، ص 118 ، الفصل السابع: متعددات الوجوه العادية في الفضاء الأعلى.
↑ جونسون 2018 ، ص 249، 11.5.
↑ غيكا 1977 ، ص 68.
↑ Coxeter 1995 ، ص 25 ، (الورقة 3) جانبان من الخلايا المنتظمة ذات 24 خلية في أربعة أبعاد .
1 2 ستيلويل 2001 ، ص. 22.
↑ Coxeter 1973 ، ص 136 ، §7.8 تعداد الأشكال المنتظمة الممكنة.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 302، الجدول السادس (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: انظر عمود النتيجة
1 2 Coxeter 1973 ، ص. 156 ، §8.7. الإحداثيات الديكارتية.
↑ Coxeter 1973 ، ص 145-146 ، §8.1 القطع البسيطة للمضلع المنتظم العام.
↑ Waegell & Aravind 2009 ، ص 4-5 ، §3.4 الخلية 24: النقاط والخطوط وتكوين ريي ؛ في الخلية 24، فإن "نقاط" ريي و"خطوطه" هي محاور وسداسيات، على التوالي.
↑ Coxeter 1973 ، ص 12 ، §1.8. التكوينات.
^ فان إيترسوم 2020 ، ص. 78، §4.2.5.
↑ إيغان 2021 ؛ الرباعيات، والمجموعة الرباعية السطوح الثنائية والمجموعة الثمانية السطوح الثنائية، مع رسوم توضيحية دوارة.
↑ كوكا والعجمي وكوتش 2007 .
↑ Coxeter 1968 ، ص. 70 ، §4.12 تصنيف الزونوهيدرا.
↑ مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4؛ تحتوي الخلية 24 على 1152 عملية تناظر (دوران وانعكاس) كما هو موضح في الجدول 2، مجموعة التناظر 𝐹₄ .
↑ كيم وروت 2016 ، ص. 6، §5. الدورانات رباعية الأبعاد.
↑ بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، §7. الاستنتاجات؛ "تُحدد الدورانات في ثلاثة أبعاد بمحور دوران وزاوية الدوران حوله، حيث يكون محور الدوران عموديًا على المستوى الذي تدور فيه النقاط. أما في أربعة أبعاد، فالوضع أكثر تعقيدًا. في هذه الحالة، تُحدد الدورانات بمستويين متعامدين وزاويتين، واحدة لكل مستوى. وقد أثبت كايلي أن الدوران العام في أربعة أبعاد يمكن دائمًا تحليله إلى دورانين في أربعة أبعاد، يُحدد كل منهما بزاوية دوران متساوية مع اختلاف الإشارة."
↑ بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، ص 12-13، §5. رسم خرائط مفيد.
↑ كوكسيتر 1995 ، الصفحات 30-32، (الورقة 3) جانبان من الخلية المنتظمة ذات 24 خلية في أربعة أبعاد ؛ §3. الجانب ذو الاثني عشر ضلعًا؛ ينظر كوكسيتر في الدوران المزدوج 150 درجة / 30 درجة للدورة 12 والذي يحدد 12 من أصل 225 خلية مميزة ذات 24 خلية محصورة في الخلية ذات 120 خلية ، وهي متعدد السطوح منتظم رباعي الأبعاد يحتوي على 120 خلية ذات اثني عشر ضلعًا وهو الغلاف المحدب لمركب من 25 خلية منفصلة ذات 24 خلية.
↑ بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، ص 2-3، §2. الدوران متساوي الميل.
↑ كيم وروت 2016 ، ص 7-10، §6. الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 141، §7.x. ملاحظات تاريخية؛ " أدرك موبيوس ، في وقت مبكر من عام 1827، أن الدوران رباعي الأبعاد سيكون ضروريًا لجعل جسمين متماثلين ضوئيًا متطابقين. وقد وظّف إتش جي ويلز هذه الفكرة ببراعة في روايته "قصة بلاتنر ".
↑ Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ "24 خلية".
↑ Coxeter 1973 ، ص 139 ، §7.9 المعقد المميز.
↑ Coxeter 1973 ، ص 290 ، الجدول الأول (ii)؛ "الزوايا ثنائية السطوح".
↑ كيم وروت 2016 ، ص 17-20، §10 تصنيف كوكسيتر لمجموعات النقاط رباعية الأبعاد.
↑ Coxeter 1973 ، ص 33-38 ، §3.1 التحويلات المتطابقة.
↑ كوكسيتر 1973 ، ص 138؛ "نسمح لرمز شلافلي {p,..., v} أن يحمل ثلاثة معانٍ مختلفة: متعدد السطوح الإقليدي، ومتعدد السطوح الكروي، وقرص العسل الكروي. ولا داعي لأن يُسبب هذا أي لبس، طالما تم إدراك الوضع بوضوح. وتظهر الاختلافات جليًا في مفهوم الزاوية ثنائية السطوح."
↑ مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4، الجدول 2، عمليات التناظر.
↑ كوكسيتر 1970 ، ص 18، §8. المعقد البسيط، المكعب، متعدد السطوح المتقاطع، والخلية الرباعية والعشرون؛ درس كوكسيتر حلقات الخلايا في الحالة العامة لهندستها ونظرية الزمر ، مُعرّفًا كل حلقة خلية على أنها متعدد سطوح قائم بذاته يملأ فضاءً ثلاثي الأبعاد (مثل الكرة ثلاثية الأبعاد ) بهيكله الخلوي المقابل. ووجد أن حلقات الخلايا تتبع مضلعات بيتري ، وأن بعض حلقات الخلايا وهياكلها الخلوية (وليس كلها) ملتوية ، وتظهر في أشكال حلزونية يمينية ويسارية. وعلى وجه التحديد، وجد أنه نظرًا لأن الخلايا الثمانية السطوح في الخلية الرباعية والعشرون لها وجوه متقابلة، فإن حلقات الخلايا في الخلية الرباعية والعشرون هي من النوع غير الحلزوني (المتطابق مباشرة). كل حلقة من حلقات الخلايا الـ 24 لها قرص العسل المقابل لها في الفضاء الإقليدي (بدلاً من الفضاء الزائدي)، لذا فإن بلاطات الخلايا الـ 24 تغطي الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد عن طريق الإزاحة لتشكيل قرص العسل المكون من 24 خلية .
↑ بانشوف 2013 ، درس تحلل متعددات الوجوه المنتظمة ذات 4-أضلاع إلى خلايا نحل من الطارات التي ترصيع طارة كليفورد ، وأظهر كيف تتوافق خلايا النحل مع تليفات هوبف ، وأجرى دراسة خاصة لحلقات الخلايا الأربع ذات 24 خلية المكونة من 6 خلايا ثمانية الأوجه مع الرسوم التوضيحية.
↑ بانشوف 2013 ، ص 265-266.
↑ كوكسيتر 1991 .

مراجع

كيبلر، يوهانس (1619). هارمونيسيس موندي (تناغم العالم) . يوهان بلانك.
كوكسيتر، إتش إس إم (1973) [1948]. متعددات الوجوه المنتظمة ( الطبعة الثالثة). نيويورك: دوفر.
كوكسيتر، إتش إس إم (1991)، متعددات الوجوه المعقدة المنتظمة (الطبعة الثانية )، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج
كوكسيتر، إتش إس إم (1995)، شيرك، إف. آرثر؛ ماكمولين، بيتر؛ طومسون، أنتوني سي؛ فايس، آسيا إيفيتش (محررون)، كاليدوسكوبات: مختارات من كتابات إتش إس إم كوكسيتر ( الطبعة الثانية)، منشورات وايلي-إنترساينس، رقم ISBN 978-0-471-01003-6
- (الورقة 3) إتش إس إم كوكسيتر، جانبان من الخلية المنتظمة ذات 24 خلية في أربعة أبعاد
- (الورقة 22) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة I ، [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407، MR 2,10]
- (الورقة 23) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة II ، [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (الورقة 24) HSM Coxeter، متعددات الوجوه المنتظمة وشبه المنتظمة III ، [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
كوكسيتر، إتش إس إم (1968). جمال الهندسة: اثنتا عشرة مقالة ( الطبعة الثانية). نيويورك: دوفر.
كوكسيتر، إتش إس إم (1989). "تقسيم مخطط متعامد إلى ثلاثة أجزاء" . تطبيقات الحاسوب والرياضيات . 17 ( 1-3 ): 59-71 . doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
كوكسيتر، إتش إس إم (1970)، "خلايا النحل الملتوية"، سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات لمجلس مؤتمرات العلوم الرياضية ، 4 ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الرياضية الأمريكية
ستيلويل، جون (يناير 2001). "قصة الخلية ذات 120 خلية" (ملف PDF) . إشعارات الجمعية الأمريكية للرياضيات . 48 (1): 17-25 .
جونسون، نورمان (2018)، الهندسات والتحويلات ، كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1-107-10340-5
جونسون، نورمان (1991)، متعددات الوجوه المنتظمة ( طبعة مخطوطة).
جونسون، نورمان (1966)، نظرية متعددات الوجوه المنتظمة وخلايا النحل (محرر دكتوراه )
وايسشتاين، إريك دبليو. "24-خلية" . عالم الرياضيات .(أيضًا تحت اسم Icositetrachoron)
كليتزينغ، ريتشارد. "مضلعات منتظمة رباعية الأبعاد (polychora) x3o4o3o - ico" .
غيكا، ماتيلا (1977). هندسة الفن والحياة . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-23542-4.
بانشوف، توماس ف. (2013). "تحليل الطارة للمضلعات المنتظمة في الفضاء الرباعي". في: سينشال، مارجوري (محررة). تشكيل الفضاء . سبرينغر نيويورك. ص 257-266 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.
كوفير، جيسيكا (2019). "مجموعات وحاصل ضرب مربعات أطوال الأوتار للمضلعات المنتظمة". arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
فان إيترسوم، كلارا (2020). مجموعات التناظر للمضلعات المنتظمة في ثلاثة وأربعة أبعاد (أطروحة). جامعة دلفت للتكنولوجيا .
كيم، هيونا؛ روت، جي. (2016). "اختبار التطابق لمجموعات النقاط في 4 أبعاد". arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
بيريز-غراسيا، ألبا؛ توماس، فيديريكو (2017). "حول تحليل كايلي للدوران رباعي الأبعاد وتطبيقاته" (ملف PDF) . مجلة التقدم في الجبر التطبيقي لكليفورد . 27 : 523-538 . doi : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .
وايجيل، موردخاي؛ أرافيند، ب.ك. (12 نوفمبر 2009). "التلوينات غير الحرجة للخلية ذات الـ 600 خلية التي تثبت نظرية بيل-كوشن-سبيكر". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والنظرية . 43 (10) 105304. arXiv : 0911.2289 . doi : 10.1088/1751-8113/43/10/105304 . S2CID 118501180 .
تيريل، جيه إيه؛ سيمبل، جيه جي (1971). التوازي الكليفوردي المعمم . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-08042-8.
إيغان، غريغ (23 ديسمبر 2021). "التناظرات والخلية ذات الـ 24 خلية" . gregegan.net . تم الاطلاع عليه بتاريخ 10 أكتوبر 2022 .
ماموني، سالفاتوري؛ بيليو، جوزيبي؛ ليفيت، مالكولم هـ. (2010). "مخططات أخذ العينات الاتجاهية القائمة على متعددات الوجوه رباعية الأبعاد" . التناظر . 2 (3): 1423-1449 . Bibcode : 2010Symm....2.1423M . doi : 10.3390/sym2031423 .
ميبوس، يوهان (يوليو 2015) [11 يناير 1994]. تطبيقات الكواترنيونات في المحاكاة الديناميكية، ورسومات الحاسوب، والميكانيكا الحيوية (أطروحة). جامعة دلفت للتكنولوجيا . doi : 10.13140/RG.2.1.3310.3205 .
فاينمان، ريتشارد؛ واينبرغ، ستيفن (1987). الجسيمات الأولية وقوانين الفيزياء . مطبعة جامعة كامبريدج.
دورست، ليو (2019). "دوارات فيلارسو المطابقة" . التقدم في جبر كليفورد التطبيقي . 29 (44) 44. doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159 .
كوجا، محمد؛ العجمي، مظهر؛ كوتش، رمضان (نوفمبر 2007). "المجسمات متعددة الأوجه المُستنتجة من مجموعات كوكسيتر والأعداد الرباعية" . مجلة الفيزياء الرياضية . 48 (11): 113514. رمز Bibcode : 2007JMP....48k3514K . doi : 10.1063/1.2809467 .

روابط خارجية

رسوم متحركة مكونة من 24 خلية
24 خلية في إسقاطات مجسمة
استيعابات متعددات الوجوه المنتظمة
وصف ومخططات مكونة من 24 خلية. مؤرشف بتاريخ 15 يوليو 2007 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) .
أشكال بيتري ذات الاثني عشر ضلعًا في 24 خلية: برامج الرياضيات والرسوم المتحركة

v ت هـ المضلعات المحدبة الأساسية المنتظمة والمتجانسة في الأبعاد من 2 إلى 10
عائلة	$أن $	$ب ن$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
مضلع منتظم	مثلث	مربع	بي-جون	مسدس	البنتاغون
متعدد السطوح منتظم	رباعي الأوجه	ثماني الأوجه • مكعب	مكعب ديميكيوب		المجسم ذو الاثني عشر وجهًا • المجسم ذو العشرين وجهًا
بوليكلورون موحد	بنتاشورون	16 خلية • تيسيراكت	ديميتسيراكت	24 خلية	120 خلية • 600 خلية
متعدد الوجوه الخماسي المنتظم	5-simplex	5-أورثوبليكس • 5-كيوب	5-نصف مكعب
متعدد الوجوه سداسي منتظم	6-simplex	6-أورثوبليكس • 6-كيوب	6-نصف مكعب	1 ₂₂ • 2 ₂₁
متعدد الوجوه المنتظم ذو 7 أوجه	7-simplex	7-أورثوبليكس • 7-كيوب	7-نصف مكعب	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
متعدد الوجوه منتظم ذو 8 أوجه	8-simplex	8-أورثوبليكس • 8-كيوب	8-نصف مكعب	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
متعدد الوجوه ذو 9 أجزاء متجانس	9-simplex	9-أورثوبليكس • 9-كيوب	9-نصف مكعب
متعدد الوجوه منتظم مكون من 10 أجزاء	10-simplex	10-أورثوبليكس • 10-كيوب	10-نصف مكعب
متعدد السطوح المنتظم من النوع n	n - سيمبلكس	ن - أورثوبليكس • ن - كيوب	ن - نصف مكعب	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	متعدد الوجوه الخماسي n
المواضيع: عائلات متعددات الوجوه • متعدد الوجوه المنتظم • قائمة متعددات الوجوه المنتظمة والمركبات • عمليات متعددات الوجوه

[FOOTNOTECoxeter1973118Chapter_VII:_Ordinary_Polytopes_in_Higher_Space-1] Coxeter 1973 ، ص 118 ، الفصل السابع: متعددات الوجوه العادية في الفضاء الأعلى.

[FOOTNOTEJohnson201824911.5-2] جونسون 2018 ، ص 249، 11.5.

[FOOTNOTEGhyka197768-3] غيكا 1977 ، ص 68.

[FOOTNOTECoxeter199525(Paper_3)_''Two_aspects_of_the_regular_24-cell_in_four_dimensions''-4] Coxeter 1995 ، ص 25 ، (الورقة 3) جانبان من الخلايا المنتظمة ذات 24 خلية في أربعة أبعاد .

[FOOTNOTEStillwell200122-5] 1 2 ستيلويل 2001 ، ص. 22.

[FOOTNOTECoxeter1973136§7.8_The_enumeration_of_possible_regular_figures-6] Coxeter 1973 ، ص 136 ، §7.8 تعداد الأشكال المنتظمة الممكنة.

[FOOTNOTECoxeter1973302Table_VI_(ii):_𝐈𝐈_=_{3,4,3}-7] كوكسيتر 1973 ، ص 302، الجدول السادس (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: انظر عمود النتيجة

[FOOTNOTECoxeter1973156§8.7._Cartesian_Coordinates-8] 1 2 Coxeter 1973 ، ص. 156 ، §8.7. الإحداثيات الديكارتية.

[FOOTNOTECoxeter1973145–146§8.1_The_simple_truncations_of_the_general_regular_polytope-9] Coxeter 1973 ، ص 145-146 ، §8.1 القطع البسيطة للمضلع المنتظم العام.

[FOOTNOTEWaegellAravind20094–5§3.4_The_24-cell:_points,_lines_and_Reye's_configuration-10] Waegell & Aravind 2009 ، ص 4-5 ، §3.4 الخلية 24: النقاط والخطوط وتكوين ريي ؛ في الخلية 24، فإن "نقاط" ريي و"خطوطه" هي محاور وسداسيات، على التوالي.

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8._Configurations-11] Coxeter 1973 ، ص 12 ، §1.8. التكوينات.

[FOOTNOTEvan_Ittersum202078§4.2.5-12] فان إيترسوم 2020 ، ص. 78، §4.2.5.

[FOOTNOTEEgan2021-13] إيغان 2021 ؛ الرباعيات، والمجموعة الرباعية السطوح الثنائية والمجموعة الثمانية السطوح الثنائية، مع رسوم توضيحية دوارة.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiKoc2007-14] كوكا والعجمي وكوتش 2007 .

[FOOTNOTECoxeter196870§4.12_The_Classification_of_Zonohedra-15] Coxeter 1968 ، ص. 70 ، §4.12 تصنيف الزونوهيدرا.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes-16] مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4؛ تحتوي الخلية 24 على 1152 عملية تناظر (دوران وانعكاس) كما هو موضح في الجدول 2، مجموعة التناظر 𝐹₄ .

[FOOTNOTEKimRote20166§5._Four-Dimensional_Rotations-17] كيم وروت 2016 ، ص. 6، §5. الدورانات رباعية الأبعاد.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas2017§7._Conclusions-18] بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، §7. الاستنتاجات؛ "تُحدد الدورانات في ثلاثة أبعاد بمحور دوران وزاوية الدوران حوله، حيث يكون محور الدوران عموديًا على المستوى الذي تدور فيه النقاط. أما في أربعة أبعاد، فالوضع أكثر تعقيدًا. في هذه الحالة، تُحدد الدورانات بمستويين متعامدين وزاويتين، واحدة لكل مستوى. وقد أثبت كايلي أن الدوران العام في أربعة أبعاد يمكن دائمًا تحليله إلى دورانين في أربعة أبعاد، يُحدد كل منهما بزاوية دوران متساوية مع اختلاف الإشارة."

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas201712−13§5._A_useful_mapping-19] بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، ص 12-13، §5. رسم خرائط مفيد.

[FOOTNOTECoxeter199530–32(Paper_3)_''Two_aspects_of_the_regular_24-cell_in_four_dimensions''-20] كوكسيتر 1995 ، الصفحات 30-32، (الورقة 3) جانبان من الخلية المنتظمة ذات 24 خلية في أربعة أبعاد ؛ §3. الجانب ذو الاثني عشر ضلعًا؛ ينظر كوكسيتر في الدوران المزدوج 150 درجة / 30 درجة للدورة 12 والذي يحدد 12 من أصل 225 خلية مميزة ذات 24 خلية محصورة في الخلية ذات 120 خلية ، وهي متعدد السطوح منتظم رباعي الأبعاد يحتوي على 120 خلية ذات اثني عشر ضلعًا وهو الغلاف المحدب لمركب من 25 خلية منفصلة ذات 24 خلية.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas20172−3§2._Isoclinic_rotations-21] بيريز-غراسيا وتوماس 2017 ، ص 2-3، §2. الدوران متساوي الميل.

[FOOTNOTEKimRote20167–10§6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-22] كيم وروت 2016 ، ص 7-10، §6. الزوايا بين مستويين في الفضاء الرباعي.

[FOOTNOTECoxeter1973141§7.x._Historical_remarks-23] كوكسيتر 1973 ، ص 141، §7.x. ملاحظات تاريخية؛ " أدرك موبيوس ، في وقت مبكر من عام 1827، أن الدوران رباعي الأبعاد سيكون ضروريًا لجعل جسمين متماثلين ضوئيًا متطابقين. وقد وظّف إتش جي ويلز هذه الفكرة ببراعة في روايته "قصة بلاتنر ".

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"24-cell"-24] Coxeter 1973 ، ص 292-293 ، الجدول الأول (ii)؛ "24 خلية".

[FOOTNOTECoxeter1973139§7.9_The_characteristic_simplex-25] Coxeter 1973 ، ص 139 ، §7.9 المعقد المميز.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-26] Coxeter 1973 ، ص 290 ، الجدول الأول (ii)؛ "الزوايا ثنائية السطوح".

[FOOTNOTEKimRote201617–20§10_The_Coxeter_Classification_of_Four-Dimensional_Point_Groups-27] كيم وروت 2016 ، ص 17-20، §10 تصنيف كوكسيتر لمجموعات النقاط رباعية الأبعاد.

[FOOTNOTECoxeter197333–38§3.1_Congruent_transformations-28] Coxeter 1973 ، ص 33-38 ، §3.1 التحويلات المتطابقة.

[FOOTNOTECoxeter1973138-29] كوكسيتر 1973 ، ص 138؛ "نسمح لرمز شلافلي {p,..., v} أن يحمل ثلاثة معانٍ مختلفة: متعدد السطوح الإقليدي، ومتعدد السطوح الكروي، وقرص العسل الكروي. ولا داعي لأن يُسبب هذا أي لبس، طالما تم إدراك الوضع بوضوح. وتظهر الاختلافات جليًا في مفهوم الزاوية ثنائية السطوح."

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_operations-30] مامون، بيليو وليفيت 2010 ، ص 1438-1439، §4.5 متعددات الوجوه المحدبة المنتظمة 4، الجدول 2، عمليات التناظر.

[FOOTNOTECoxeter197018§8._The_simplex,_cube,_cross-polytope_and_24-cell-31] كوكسيتر 1970 ، ص 18، §8. المعقد البسيط، المكعب، متعدد السطوح المتقاطع، والخلية الرباعية والعشرون؛ درس كوكسيتر حلقات الخلايا في الحالة العامة لهندستها ونظرية الزمر ، مُعرّفًا كل حلقة خلية على أنها متعدد سطوح قائم بذاته يملأ فضاءً ثلاثي الأبعاد (مثل الكرة ثلاثية الأبعاد ) بهيكله الخلوي المقابل. ووجد أن حلقات الخلايا تتبع مضلعات بيتري ، وأن بعض حلقات الخلايا وهياكلها الخلوية (وليس كلها) ملتوية ، وتظهر في أشكال حلزونية يمينية ويسارية. وعلى وجه التحديد، وجد أنه نظرًا لأن الخلايا الثمانية السطوح في الخلية الرباعية والعشرون لها وجوه متقابلة، فإن حلقات الخلايا في الخلية الرباعية والعشرون هي من النوع غير الحلزوني (المتطابق مباشرة). كل حلقة من حلقات الخلايا الـ 24 لها قرص العسل المقابل لها في الفضاء الإقليدي (بدلاً من الفضاء الزائدي)، لذا فإن بلاطات الخلايا الـ 24 تغطي الفضاء الإقليدي رباعي الأبعاد عن طريق الإزاحة لتشكيل قرص العسل المكون من 24 خلية .

[FOOTNOTEBanchoff2013-32] بانشوف 2013 ، درس تحلل متعددات الوجوه المنتظمة ذات 4-أضلاع إلى خلايا نحل من الطارات التي ترصيع طارة كليفورد ، وأظهر كيف تتوافق خلايا النحل مع تليفات هوبف ، وأجرى دراسة خاصة لحلقات الخلايا الأربع ذات 24 خلية المكونة من 6 خلايا ثمانية الأوجه مع الرسوم التوضيحية.

[FOOTNOTEBanchoff2013265–266-33] بانشوف 2013 ، ص 265-266.

[FOOTNOTECoxeter1991-34] كوكسيتر 1991 .

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

من

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[

[ ٢٣ ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[

[

[ 33 ]

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗