عدم الاختزال (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُستخدم مفهوم عدم الاختزال بعدة طرق.

• قد تكون متعددة الحدود على حقل ما متعددة حدود غير قابلة للاختزال إذا لم يكن من الممكن تحليلها على ذلك الحقل.
• في الجبر المجرد ، يمكن أن يكون مصطلح "غير قابل للاختزال" اختصارًا لـ " عنصر غير قابل للاختزال في مجال تكاملي" ؛ على سبيل المثال، متعدد الحدود غير القابل للاختزال .
• في نظرية التمثيل ، يُعرف التمثيل غير القابل للاختزال بأنه تمثيل غير تافه لا يحتوي على تمثيلات فرعية مناسبة غير تافهة. وبالمثل، فإن الوحدة النمطية غير القابلة للاختزال هي اسم آخر للوحدة النمطية البسيطة .
• مصطلح "غير قابل للاختزال مطلقًا" يُستخدم للدلالة على عدم قابلية الاختزال ، حتى بعد أي امتداد محدود لحقل المعاملات . وينطبق هذا المصطلح في حالات مختلفة، على سبيل المثال، على عدم قابلية اختزال التمثيل الخطي ، أو التنوع الجبري ؛ حيث يعني تمامًا ما يعنيه مصطلح "غير قابل للاختزال" على الإغلاق الجبري .
• في الجبر التبادلي ، تكون الحلقة التبادلية R غير قابلة للاختزال إذا كان طيفها الأولي ، أي الفضاء الطوبولوجي Spec R ، فضاءً طوبولوجيًا غير قابل للاختزال .
• تكون المصفوفة غير قابلة للاختزال إذا لم تكن مشابهة ، عبر التبديل، لمصفوفة مثلثية علوية كتلية (تحتوي على أكثر من كتلة واحدة ذات حجم موجب). (باستبدال العناصر غير الصفرية في المصفوفة بالواحد، واعتبار المصفوفة مصفوفة تجاور لرسم بياني موجه ، تكون المصفوفة غير قابلة للاختزال إذا وفقط إذا كان هذا الرسم البياني الموجه متصلاً اتصالاً قوياً ). يرد تعريف مفصل هنا .
• كذلك، فإن سلسلة ماركوف غير قابلة للاختزال إذا كان هناك احتمال غير صفري للانتقال (حتى لو كان ذلك في أكثر من خطوة واحدة) من أي حالة إلى أي حالة أخرى.
• في نظرية المتشعبات ، يُقال عن متشعب من الرتبة n أنه غير قابل للاختزال إذا كانت أي كرة مضمنة من الرتبة ( n  -  1) تحدّ كرة مضمنة من الرتبة n . ويتضمن هذا التعريف ضمنيًا استخدام فئة مناسبة ، مثل فئة المتشعبات التفاضلية أو فئة المتشعبات الخطية القطعية. وترتبط مفاهيم عدم الاختزال في الجبر ونظرية المتشعبات. يُسمى المتشعب من الرتبة n أوليًا إذا لم يكن بالإمكان كتابته كمجموع متصل لمتشعبين من الرتبة n (لا يُمثل أي منهما كرة من الرتبة n ). وبالتالي، فإن المتشعب غير القابل للاختزال هو متشعب أولي، مع أن العكس غير صحيح. من وجهة نظر الجبر، ينبغي تسمية المتشعبات الأولية بـ "غير قابلة للاختزال"؛ ومع ذلك، يجد عالم الطوبولوجيا (وخاصة عالم طوبولوجيا المتشعبات الثلاثية ) التعريف أعلاه أكثر فائدة. المشعبات الثلاثية المدمجة ^{والمتصلة} الوحيدة التي تكون أولية ولكنها غير قابلة للاختزال هي حزمة الكرة الثنائية التافهة فوق S1 وحزمة الكرة الثنائية الملتوية فوق S1 . انظر، على سبيل المثال، ^{التفكيك} الأولي (مشعب ثلاثي) .
• الفضاء الطوبولوجي غير قابل للاختزال إذا لم يكن اتحاد مجموعتين جزئيتين مغلقتين فعليتين. يُستخدم هذا المفهوم في الهندسة الجبرية ، حيث تُزود الفضاءات بطوبولوجيا زاريسكي ؛ وهو ليس ذا أهمية كبيرة في فضاءات هاوسدورف . انظر أيضًا: المكون غير القابل للاختزال ، والتنوع الجبري .
• في الجبر الشامل ، يمكن أن يشير مصطلح "غير قابل للاختزال" إلى عدم القدرة على تمثيل بنية جبرية كتركيب لبنى أبسط باستخدام بناء الضرب؛ على سبيل المثال، غير قابل للاختزال بشكل مباشر .
• تكون المتشعبة ثلاثية الأبعاد غير قابلة للاختزال من النوع P² إذا كانت غير قابلة للاختزال ولا تحتوي على أي متشعب ثنائي الجانب.${\displaystyle \mathbb {R} P^{2}}$( المستوى الإسقاطي الحقيقي ).
• الكسر غير القابل للاختزال (أو الكسر في أبسط صورة) هو كسر عادي يكون فيه البسط والمقام أصغر من أي كسر مكافئ آخر.