عدم القدرة على التنبؤ

الموسوعة الحرة

في الرياضيات والمنطق وفلسفة الرياضيات ، فإن الشيء الذي لا يمكن التنبؤ به هو تعريف يشير إلى نفسه . وبعبارة تقريبية، يكون التعريف غير تنبؤي إذا كان يستدعي (يذكر أو يقيس) المجموعة التي يتم تعريفها، أو (بشكل أكثر شيوعًا) مجموعة أخرى تحتوي على الشيء الذي يتم تعريفه. لا يوجد تعريف دقيق مقبول بشكل عام لما يعنيه أن يكون تنبؤيًا أو غير تنبؤي. قدم المؤلفون تعريفات مختلفة ولكنها ذات صلة.

إن عكس عدم القدرة على التنبؤ هو القدرة على التنبؤ، والتي تستلزم في الأساس بناء نظريات طبقية (أو متفرعة) حيث يؤدي التحديد الكمي لنوع ما على "مستوى" واحد إلى أنواع على مستوى جديد أعلى. ومن الأمثلة النموذجية على ذلك نظرية النوع الحدسية ، والتي تحتفظ بالتفرع (بدون المستويات الصريحة) بحيث تتخلص من عدم القدرة على التنبؤ. وتتوافق "المستويات" هنا مع عدد طبقات التبعية في تعريف المصطلح.

إن مفارقة راسل هي مثال مشهور للبناء غير التنبؤي ـ أي مجموعة كل المجموعات التي لا تحتوي على نفسها. والمفارقة هنا هي أن مثل هذه المجموعة لا يمكن أن توجد: فإذا كانت موجودة، فقد يكون من الممكن طرح السؤال عما إذا كانت تحتوي على نفسها أم لا ـ فإذا كانت تحتوي على نفسها، فمن الطبيعي أن لا تحتوي على نفسها، وإذا لم تكن تحتوي على نفسها فمن الطبيعي أن تحتويها.

الحد الأدنى الأعظم لمجموعة X ، glb( X ) ، له أيضًا تعريف غير تنبؤي: y = glb( X ) إذا وفقط إذا كان لجميع عناصر x من X ، y أقل من أو يساوي x ، وأي z أقل من أو يساوي جميع عناصر X أقل من أو يساوي y . يحدد هذا التعريف الكمية على المجموعة (التي قد تكون لا نهائية ، اعتمادًا على الترتيب المعني) التي يكون أعضاؤها الحدود الدنيا لـ X ، والتي يكون أحدها glb نفسه. وبالتالي فإن التنبؤية ترفض هذا التعريف. [1]

تاريخ

المعايير (التي تحتوي على متغير واحد) والتي لا تحدد الفئات أقترح أن أسميها غير تنبؤية ؛ أما تلك التي تحدد الفئات فسوف أسميها تنبؤية .

(راسل 1907، ص 34) (استخدم راسل كلمة "قاعدة" ليعني بها اقتراحًا: أي شيء تقريبًا يمكن أن يأخذ القيمتين "صحيح" أو "خطأ").

تم تقديم المصطلحين "تنبؤي" و"غير تنبؤي" بواسطة راسل (1907)، على الرغم من أن المعنى تغير قليلاً منذ ذلك الحين.

يقدم سولومون فيفرمان مراجعة تاريخية للتنبؤ، ويربطه بمشاكل البحث البارزة الحالية. [2]

تم اقتراح مبدأ الدائرة المفرغة من قبل هنري بوانكاريه ( 1905-6، 1908) [3] وبرتراند راسل في أعقاب المفارقات كشرط لمواصفات المجموعة المشروعة. المجموعات التي لا تلبي الشرط تسمى غير تنبؤية .

ظهرت أول مفارقة حديثة مع سؤال سيزار بورالي فورتي عام 1897 حول الأعداد غير المحدودة [4] وأصبحت تُعرف باسم مفارقة بورالي فورتي . ويبدو أن جورج كانتور اكتشف نفس المفارقة في نظرية المجموعات "الساذجة" (كانتور) الخاصة به وأصبحت تُعرف باسم مفارقة كانتور . نشأ وعي راسل بالمشكلة في يونيو 1901 [5] بقراءته لأطروحة فريجه في المنطق الرياضي ، كتابه Begriffsschrift عام 1879 ؛ الجملة المسيئة في فريجه هي التالية:

ومن ناحية أخرى، قد يكون من الممكن أيضًا أن تكون الحجة محددة والدالة غير محددة. [6]

بعبارة أخرى، إذا علمنا أن الدالة f (a) هي المتغيرة والدالة a هي الجزء الثابت . فلماذا لا نستبدل القيمة f ( a ) بقيمة f نفسها؟ كتب راسل على الفور رسالة إلى فريجه مشيرًا إلى أن:

"أنت تقول... إن الدالة أيضًا يمكن أن تعمل كعنصر غير محدد. كنت أعتقد ذلك سابقًا، لكن هذا الرأي يبدو لي الآن مشكوكًا فيه بسبب التناقض التالي. دع w تكون محمولًا: أي أن تكون محمولًا لا يمكن أن يُقال عن نفسه. هل يمكن أن يُقال عن w عن نفسه؟ من كل إجابة يتبع نقيضها. لذلك يجب أن نستنتج أن w ليست محمولًا. وبالمثل لا توجد فئة (ككل) من تلك الفئات التي، إذا أخذنا كل منها ككل، لا تنتمي إلى نفسها. من هذا أستنتج أنه في ظل ظروف معينة، لا تشكل مجموعة قابلة للتعريف كلًا. [7]

وكتب فريجه على الفور إلى راسل معترفًا بالمشكلة:

لقد تسبب اكتشافك للتناقض في مفاجأة كبيرة بالنسبة لي، وأود أن أقول أيضًا أنه أصابني بالذهول، لأنه هز الأساس الذي كنت أعتزم بناء الحساب عليه. [8]

في حين أن المشكلة كانت لها عواقب شخصية سلبية على كلا الرجلين (كان لدى كل منهما أعمال في المطابع كان لا بد من تصحيحها)، يلاحظ فان هيجنوورت أن "المفارقة هزت عالم المنطقيين، ولا يزال الهدير محسوسًا حتى اليوم. ... مفارقة راسل، التي تستخدم المفاهيم المجردة للمجموعة والعنصر، تندرج تمامًا في مجال المنطق. نشر راسل المفارقة لأول مرة في مبادئ الرياضيات (1903) ونوقشت هناك بتفصيل كبير ... ". [9] راسل، بعد ست سنوات من البدايات الخاطئة، سيجيب في النهاية على الأمر بنظريته في الأنواع عام 1908 من خلال "طرح بديهيته في القابلية للاختزال . تقول أن أي دالة متوازية مع ما يسميه دالة تنبؤية : وهي دالة لا تزيد فيها أنواع المتغيرات الظاهرة عن أنواع الحجج". [10] لكن هذه "البديهية" قوبلت بالمقاومة من جميع الجهات.

يؤدي رفض الكائنات الرياضية المحددة بشكل غير تنبؤي (مع قبول الأعداد الطبيعية كما تم فهمها بشكل كلاسيكي) إلى الموقف في فلسفة الرياضيات المعروف باسم التنبؤية، والذي دعا إليه هنري بوانكاريه وهيرمان ويل في كتابه الاستمرارية . زعم بوانكاريه وويل أن التعريفات غير التنبؤية لا تشكل مشكلة إلا عندما تكون مجموعة أو أكثر من المجموعات الأساسية لا نهائية.

يقدم إرنست زيرميلو في مقاله "دليل جديد على إمكانية الترتيب الجيد" [11] الصادر عام 1908 قسمًا كاملاً بعنوان "ب. اعتراض بشأن التعريف غير التنبؤي " حيث جادل ضد "بوانكاريه (1906، ص. 307) [الذي ينص على أن] التعريف "تنبئي" ومقبول منطقيًا فقط إذا استبعد جميع الكائنات التي تعتمد على المفهوم المحدد، أي التي يمكن تحديدها بأي شكل من الأشكال من خلاله". [12] ويعطي مثالين للتعريفات غير التنبؤية - (أ) مفهوم سلاسل ديديكيند و (ب) "في التحليل حيثما يتم استخدام الحد الأقصى أو الأدنى لمجموعة "مكتملة" محددة مسبقًا من الأرقام Z لمزيد من الاستدلالات. يحدث هذا، على سبيل المثال، في دليل كوشي المعروف ...". [13] ينهي قسمه بالملاحظة التالية: "قد يعتمد التعريف على مفاهيم معادلة للتعريف الذي يتم تعريفه؛ في الواقع، في كل تعريف، تكون المصطلحات المحددة والمحددة مفاهيم معادلة، والالتزام الصارم بمطالب بوانكاريه من شأنه أن يجعل كل تعريف، وبالتالي كل العلوم، مستحيلاً". [14]

يظهر مثال زيرميلو للحد الأدنى والحد الأقصى لمجموعة "مكتملة" محددة مسبقًا من الأرقام مرة أخرى في Kleene 1952:42-42، حيث يستخدم Kleene مثال الحد الأدنى الأعلى في مناقشته للتعريفات غير التنبؤية؛ لا يحل Kleene هذه المشكلة. في الفقرات التالية، يناقش محاولة Weyl في Das Kontinuum ( The Continuum ) لعام 1918 لإزالة التعريفات غير التنبؤية وفشله في الاحتفاظ بـ "نظرية أن المجموعة غير الفارغة التعسفية M من الأرقام الحقيقية التي لها حد أعلى لها حد أعلى أصغر (راجع أيضًا Weyl 1919)". [15]

زعم رامزي أن التعريفات "غير التنبؤية" يمكن أن تكون غير ضارة: على سبيل المثال، تعريف "أطول شخص في الغرفة" غير تنبؤي، لأنه يعتمد على مجموعة من الأشياء التي هو عنصر منها، أي مجموعة جميع الأشخاص في الغرفة. فيما يتعلق بالرياضيات، فإن أحد الأمثلة على التعريف غير التنبؤي هو أصغر رقم في مجموعة، والذي يتم تعريفه رسميًا على النحو التالي: y = min( X ) إذا وفقط إذا كان لجميع العناصر x من X ، y أقل من أو يساوي x ، و y في X.

يناقش بورجيس (2005) النظريات التنبؤية وغير التنبؤية بالتفصيل، في سياق منطق فريجه، وحسابات بيانو ، والحساب من الدرجة الثانية ، ونظرية المجموعة البديهية .

انظر أيضا

ملحوظات

  1. ^ كليين 1952: 42-43
  2. ^ سليمان فيفرمان، "التنبؤية" (2002)
  3. ^ التواريخ مستمدة من Kleene 1952:42
  4. ^ تعليق فان هيجنورت قبل تعليق بورالي فورتي (1897) سؤال حول الأعداد العابرة للحدود في فان هيجنورت 1967:104؛ انظر أيضًا تعليقه قبل رسالة جورج كانتور (1899) إلى ديديكيند في فان هيجنورت 1967: 113
  5. ^ تعليق فان هيجينورت قبل رسالة برتراند راسل إلى فريجه في فان هيجينورت 1967:124
  6. ^ جوتلوب فريج (1879) Begriffsschrift in van Heijenoort 1967:23
  7. ^ رسالة برتراند راسل عام 1902 إلى فريجه في فان هيجنورت 1967: 124-125
  8. ^ رسالة جوتلوب فريجه (1902) إلى راسل في فان هيجينورت 1967:127
  9. ^ تعليق فان هيجنوورت على رسالة برتراند راسل (1902) إلى فريج 1967: 124
  10. ^ تعليق ويلارد في. كوين قبل المنطق الرياضي لبرتراند راسل عام 1908 استنادًا إلى نظرية الأنواع
  11. ^ زيرميلو 1908.
  12. ^ فان هيجنورت 1967: 190
  13. ^ فان هيجينورت 1967: 190–191
  14. ^ فان هيجنورت 1967: 191
  15. ^ كليين 1952:43

مراجع

  • "التعاريف التنبؤية وغير التنبؤية"، موسوعة الفلسفة على الإنترنت
  • مقالة PlanetMath حول التنبؤية
  • جون بورجيس ، 2005. إصلاح فريج . مطبعة جامعة برينستون.
  • سولومون فيفرمان ، 2005، "التنبؤ" في كتاب أكسفورد لفلسفة الرياضيات والمنطق . مطبعة جامعة أكسفورد: 590-624.
  • راسل، ب. (1907)، "حول بعض الصعوبات في نظرية الأعداد غير المحدودة وأنواع الترتيب"، وقائع جمعية الرياضيات في لندن، المجلد 2-4 (1): 29-53، doi :10.1112/plms/s2-4.1.29
  • ستيفن سي. كلين 1952 (طبعة 1971)، مقدمة في الميتارياضيات ، شركة النشر شمال هولندا، أمستردام نيويورك، ISBN 0-7204-2103-9 . راجع على وجه الخصوص الفقرة 11 المفارقات (ص 36-40) والفقرة 12 الاستدلالات الأولى من المفارقات التعريف التنبئي (ص 42). يذكر أن أمثلته الستة (المشهورة) للمفارقات (التناقضات) هي كلها أمثلة على التعريف غير التنبؤي، ويقول إن بوانكاريه (1905-1906، 1908) وراسل (1906، 1910) "أوضحا سبب المفارقات في هذه التعريفات غير التنبؤية" (ص 42)، ومع ذلك، "تحتوي أجزاء من الرياضيات التي نريد الاحتفاظ بها، وخاصة التحليل، أيضًا على تعريفات غير تنبؤية". (نفس المصدر). حاول ويل في كتابه "الاستمرارية" عام 1918 استخلاص أكبر قدر ممكن من التحليل دون استخدام التعريفات غير التنبؤية، "ولكن ليس النظرية القائلة بأن مجموعة عشوائية غير فارغة M من الأعداد الحقيقية لها حد أعلى لها حد أعلى أصغر (راجع أيضًا ويل 1919)" (ص 43). 
  • هانز رايشنباخ 1947، عناصر المنطق الرمزي ، منشورات دوفر، نيويورك، رقم ISBN 0-486-24004-5 . راجع §40. التناقضات ونظرية الأنواع (ص 218 - حيث يوضح كيفية إنشاء التناقضات، بما في ذلك تعريف غير القابل للتنبؤ نفسه ("هل تعريف "غير القابل للتنبؤ" غير قابل للتنبؤ؟"). يدعي أنه يُظهر طرقًا لإزالة "مفارقات بناء الجملة" ("المفارقات المنطقية") - باستخدام نظرية الأنواع - و"مفارقات الدلالات" - باستخدام اللغة الفوقية ("نظريته لمستويات اللغة"). يعزو اقتراح هذا المفهوم إلى راسل وبشكل أكثر تحديدًا إلى رامزي. 
  • جان فان هيجنوورت 1967، الطبعة الثالثة 1976، من فريج إلى جودل: كتاب مصدري في المنطق الرياضي، 1879-1931 ، مطبعة جامعة هارفارد، كامبريدج ماساتشوستس، ISBN 0-674-32449-8 (غلاف ورقي). 
  • Zermelo، E. (1908)، “Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung”، Mathematische Annalen (في الألمانية)، 65 : 107–128، دوى :10.1007 / BF01450054، JFM  38.0096.02
تم الاسترجاع من "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=عدم القدرة على التنبؤ&oldid=1214798269"
Original text
Rate this translation
Your feedback will be used to help improve Google Translate