مصفوفة الدوران المتناهية الصغر

مصفوفة الدوران المتناهية الصغر أو مصفوفة الدوران التفاضلية هي مصفوفة تمثل دورانًا صغيرًا للغاية .

بينما مصفوفة الدوران هي مصفوفة متعامدة${\displaystyle R^{\mathsf {T}}=R^{-1}}$يمثل عنصرًا من${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$( المجموعة المتعامدة الخاصة )، مشتق الدوران هو مصفوفة متناظرة معكوسة${\displaystyle A^{\mathsf {T}}=-A}$في الفضاء المماسي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$( الجبر المتعامد الخاص لـ Lie )، وهو ليس مصفوفة دوران بحد ذاته.

تأخذ مصفوفة الدوران المتناهية الصغر الشكل التالي:

${\displaystyle I+d\theta \,A,}$

أين${\displaystyle I}$هي مصفوفة الوحدة ،${\displaystyle d\theta }$صغير للغاية، و${\displaystyle A\in {\mathfrak {so}}(n)}$⁠ .

على سبيل المثال، إذا${\displaystyle A=L_{x}}$، وهو يمثل دورانًا ثلاثي الأبعاد متناهي الصغر حول المحور x ، عنصر أساسي من${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ثم​

${\displaystyle L_{x}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{bmatrix}},}$

و

${\displaystyle I+d\theta L_{x}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

تُطبَّق قواعد الحساب المعتادة على مصفوفات الدوران المتناهية الصغر، باستثناء حذف المتناهيات الصغر من الرتبة الثانية. وبموجب هذه القواعد، لا تُحقق هذه المصفوفات جميع خصائص مصفوفات الدوران المحدودة العادية عند التعامل المعتاد مع المتناهيات الصغر. ^{[ 1 ]} ويتضح أن ترتيب تطبيق الدورانات المتناهية الصغر غير ذي صلة .

مصفوفة الدوران المتناهية الصغر هي مصفوفة متناظرة معكوسة حيث:

• بما أن أي مصفوفة دوران لها قيمة ذاتية حقيقية واحدة، وهي تساوي +1، فإن المتجه الذاتي المقابل يحدد محور الدوران .
• تحدد وحدتها إزاحة زاوية متناهية الصغر .

يكون شكل المصفوفة كما يلي: $$$$$

لا تُحقق هذه المصفوفات جميع الخصائص نفسها التي تُحققها مصفوفات الدوران المحدودة العادية في ظل المعالجة المعتادة للمتناهيات في الصغر. ^{[ 2 ]} لفهم ما يعنيه هذا، انظر

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&-d\theta \\0&d\theta &1\end{bmatrix}}.}$

أولاً، اختبر شرط التعامد، Q ^T Q = I. الناتج هو

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{\textsf {T}}\,dA_{\mathbf {x} }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1+d\theta ^{2}&0\\0&0&1+d\theta ^{2}\end{bmatrix}},}$

تختلف مصفوفة الدوران عن مصفوفة الوحدة بمقادير متناهية الصغر من الرتبة الثانية، والتي تم تجاهلها هنا. لذا، من الرتبة الأولى، فإن مصفوفة الدوران المتناهية الصغر هي مصفوفة متعامدة.

بعد ذلك، افحص مربع المصفوفة،

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1-d\theta ^{2}&-2d\theta \\0&2\,d\theta &1-d\theta ^{2}\end{bmatrix}}.}$

مع تجاهل التأثيرات من الدرجة الثانية مرة أخرى، لاحظ أن الزاوية تتضاعف ببساطة. يشير هذا إلى الاختلاف الجوهري في السلوك، والذي يمكننا إظهاره بمساعدة دوران متناهي الصغر ثانٍ.

${\displaystyle dA_{\mathbf {y} }={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\0&1&0\\-d\phi &0&1\end{bmatrix}}.}$

قارن بين حاصل ضرب dA _x dA _y  وحاصل ضرب dA _y dA _x  ،

${\displaystyle {\begin{aligned}dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }&={\begin{bmatrix}1&0&d\phi \\d\theta \,d\phi &1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}\\dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} }&={\begin{bmatrix}1&d\theta \,d\phi &d\phi \\0&1&-d\theta \\-d\phi &d\theta &1\end{bmatrix}}.\\\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle d\theta \,d\phi }$إذا كانت من الرتبة الثانية، فإننا نتجاهلها: وبالتالي، فإن ضرب مصفوفات الدوران المتناهية الصغر يكون تبديليًا حتى الرتبة الأولى . في الواقع،

${\displaystyle dA_{\mathbf {x} }\,dA_{\mathbf {y} }=dA_{\mathbf {y} }\,dA_{\mathbf {x} },}$

مرة أخرى إلى الدرجة الأولى. بعبارة أخرى، فإن ترتيب تطبيق الدورانات المتناهية الصغر غير ذي صلة .

تُسهّل هذه الحقيقة المفيدة، على سبيل المثال، اشتقاق دوران الجسم الصلب نسبيًا. ولكن يجب دائمًا توخي الحذر للتمييز بين (المعالجة من الدرجة الأولى) لمصفوفات الدوران المتناهية الصغر هذه وبين كل من مصفوفات الدوران المحدودة وعناصر جبر لي. عند مقارنة سلوك مصفوفات الدوران المحدودة في صيغة بيكر-كامبل-هاوسدورف المذكورة أعلاه مع سلوك مصفوفات الدوران المتناهية الصغر، حيث تكون جميع حدود المُبدِّل متناهية الصغر من الدرجة الثانية، نجد فضاءً متجهيًا حقيقيًا . من الناحية الفنية، يُعدّ هذا الإهمال لأي حدود من الدرجة الثانية بمثابة انكماش المجموعة .

لنفترض أننا نحدد محور دوران بواسطة متجه الوحدة [ x , y , z ]، ولنفترض أن لدينا دورانًا متناهي الصغر بزاوية Δθ حول هذا المتجه. بتوسيع مصفوفة الدوران كعملية جمع لانهائية، وباتباع طريقة الرتبة الأولى، تُكتب مصفوفة الدوران ΔR على النحو التالي :

${\displaystyle \Delta R={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&z&-y\\-z&0&x\\y&-x&0\end{bmatrix}}\,\Delta \theta =I+A\,\Delta \theta .}$

يمكن اعتبار الدوران المحدود بزاوية θ حول هذا المحور بمثابة سلسلة من الدورانات الصغيرة حول المحور نفسه. وبتقريب Δθ إلى θ / N ، حيث N عدد كبير، يمكن تمثيل دوران بزاوية θ حول المحور كما يلي:

${\displaystyle R=\lim _{N\to \infty }\left(I+{\frac {A\theta }{N}}\right)^{N}=\exp(A\theta ).}$

يتضح أن نظرية أويلر تنص أساسًا على إمكانية تمثيل جميع الدورانات بهذا الشكل. يُعدّ حاصل ضرب Aθ "مولدًا" للدوران المحدد، وهو المتجه ( x , y , z ) المرتبط بالمصفوفة A. وهذا يُبيّن أن مصفوفة الدوران وصيغة المحور والزاوية مرتبطتان بدالة أسية.

يمكن اشتقاق صيغة بسيطة للمولد G. نبدأ بمستوى اختياري ^{[ 3 ]} مُعرَّف بزوج من متجهات الوحدة المتعامدة a و b . في هذا المستوى، يمكن اختيار متجه اختياري x عمودي على y . ثم نحل المعادلة لإيجاد y بدلالة x، وبالتعويض في صيغة الدوران في المستوى نحصل على مصفوفة الدوران R ، التي تتضمن المولد G = ba ^T − ab ^T.

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos \left(\alpha \right)+b\sin \left(\alpha \right)\\y&=-a\sin \left(\alpha \right)+b\cos \left(\alpha \right)\\\cos \left(\alpha \right)&=a^{\mathsf {T}}x\\\sin \left(\alpha \right)&=b^{\mathsf {T}}x\\y&=-ab^{\mathsf {T}}x+ba^{\mathsf {T}}x=\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)x\\\\x'&=x\cos \left(\beta \right)+y\sin \left(\beta \right)\\&=\left[I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\right]x\\\\R&=I\cos \left(\beta \right)+\left(ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\right)\sin \left(\beta \right)\\&=I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\\\\G&=ba^{\mathsf {T}}-ab^{\mathsf {T}}\\\end{aligned}}}$

لإدراج متجهات خارج المستوى في الدوران، يلزم تعديل التعبير أعلاه لـ R بإضافة عاملي إسقاط يقسمان الفضاء. ويمكن إعادة كتابة مصفوفة الدوران المعدلة هذه كدالة أسية .

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ab}&=-G^{2}\\R&=I-P_{ab}+\left[I\cos \left(\beta \right)+G\sin \left(\beta \right)\right]P_{ab}=\exp(G\beta )\\\end{aligned}}}$

غالباً ما يكون التحليل أسهل باستخدام هذه المولدات، بدلاً من مصفوفة الدوران الكاملة. يُعرف التحليل باستخدام المولدات باسم جبر لي لمجموعة الدوران.

يربط بين جبر لي ومجموعة لي التطبيق الأسي ، والذي يُعرَّف باستخدام متسلسلة المصفوفات الأسية القياسية لـ exp( A ) ^{[ 4 ].} لأي مصفوفة متناظرة معكوسة A ، فإن exp( A ) هي دائمًا مصفوفة دوران. ^{[ أ ]}

من الأمثلة العملية المهمة حالة 3 × 3. في مجموعة الدوران SO(3) ، يُبين أنه يمكن تحديد كل A ∈ so (3) بمتجه أويلر ω = θ u ، حيث u = ( x , y , z ) هو متجه ذو مقدار وحدة.

بحسب خصائص التعريف su (2) ≅ R ³ ، فإن u تقع في الفضاء الصفري لـ A. وبالتالي، فإن u تبقى ثابتة تحت تأثير exp( A ) وهي بالتالي محور دوران.

باستخدام صيغة دوران رودريغز في شكل مصفوفة مع θ = θ / 2 + θ / 2 ، بالإضافة إلى صيغ الزاوية المزدوجة القياسية ، نحصل على

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(A)&{}=\exp(\theta ({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}))=\exp \left(\left[{\begin{smallmatrix}0&-z\theta &y\theta \\z\theta &0&-x\theta \\-y\theta &x\theta &0\end{smallmatrix}}\right]\right)={\boldsymbol {I}}+2\cos {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\theta }{2}}~{\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}}+2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}~({\boldsymbol {u}}\cdot {\boldsymbol {L}})^{2},\end{aligned}}}$

هذه هي مصفوفة الدوران حول المحور u بزاوية θ بصيغة نصف الزاوية. لمزيد من التفاصيل، انظر الخريطة الأسية SO(3) .

لاحظ أنه بالنسبة للزوايا المتناهية الصغر، يمكن تجاهل الحدود من الدرجة الثانية وتبقى قيمة exp( A ) = I + A

تشكل المصفوفات المتناظرة المائلة على حقل الأعداد الحقيقية الفضاء المماسي للمجموعة المتعامدة الحقيقية${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$عند مصفوفة الوحدة؛ أو بشكل رسمي، جبر لي المتعامد الخاص . وبهذا المعنى، يمكن اعتبار المصفوفات المتناظرة المائلة بمثابة دورانات متناهية الصغر .

وبعبارة أخرى، فإن فضاء المصفوفات المتناظرة المائلة يشكل جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {o}}(n)}$من مجموعة لاي${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$. يتم تحديد قوس لي في هذا الفضاء بواسطة المبدل :

${\displaystyle [A,B]=AB-BA.\,}$

من السهل التحقق من أن مبدل مصفوفتين متماثلتين معكوسة يكون متماثلاً معكوساً أيضاً:

${\displaystyle {\begin{aligned}{[}A,B{]}^{\textsf {T}}&=(AB)^{\textsf {T}}-(BA)^{\textsf {T}}=B^{\textsf {T}}A^{\textsf {T}}-A^{\textsf {T}}B^{\textsf {T}}\\&=(-B)(-A)-(-A)(-B)=BA-AB=-[A,B]\,.\end{aligned}}}$

الدالة الأسية للمصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle A}$ثم تكون مصفوفة متعامدة${\displaystyle R}$:

${\displaystyle R=\exp(A)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{n!}}.}$

تقع صورة الخريطة الأسية لجبر لي دائمًا في المكون المتصل لمجموعة لي الذي يحتوي على عنصر الوحدة . في حالة مجموعة لي${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$، هذا المكون المتصل هو المجموعة المتعامدة الخاصة${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$، التي تتكون من جميع المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1. لذلك${\displaystyle R=\exp(A)}$سيكون لها محدد  +1. علاوة على ذلك، بما أن الخريطة الأسية لمجموعة لي المدمجة المتصلة تكون دائمًا شاملة، يتضح أن كل مصفوفة متعامدة ذات محدد يساوي واحدًا يمكن كتابتها على أنها أسية لبعض المصفوفات المتناظرة المائلة.

في الحالة المهمة بشكل خاص للأبعاد${\displaystyle n=2,}$يختزل التمثيل الأسي للمصفوفة المتعامدة إلى الشكل القطبي المعروف لعدد مركب ذي معيار يساوي واحدًا. في الواقع، إذا ⁠${\displaystyle n=2}$، مصفوفة متعامدة خاصة لها الشكل التالي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&-b\\b&\,a\end{bmatrix}},}$

مع​${\displaystyle a^{2}+b^{2}=1}$لذلك ، فإن وضع${\displaystyle a=\cos \theta }$و​${\displaystyle b=\sin \theta }$، يمكن كتابتها

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \,\theta &-\sin \,\theta \\\sin \,\theta &\,\cos \,\theta \end{bmatrix}}=\exp \left(\theta {\begin{bmatrix}0&-1\\1&\,0\end{bmatrix}}\right),}$

وهو ما يتوافق تمامًا مع الشكل القطبي${\displaystyle \cos \theta +i\sin \theta =\exp(i\theta )}$عدد مركب ذو معامل وحدة.

في ثلاثة أبعاد، تكون الدالة الأسية للمصفوفة هي صيغة دوران رودريغز في تدوين المصفوفات ، وعند التعبير عنها عبر صيغة أويلر-رودريغز ، فإن جبر معلماتها الأربعة يؤدي إلى ظهور الكواترنيونات .

التمثيل الأسي لمصفوفة متعامدة من الرتبة${\displaystyle n}$ويمكن الحصول على ذلك أيضًا انطلاقًا من حقيقة أنه في البعد${\displaystyle n}$أي مصفوفة متعامدة خاصة${\displaystyle R}$ يمكن كتابتها على النحو التالي :${\displaystyle R=QSQ^{\textsf {T}}}$، حيث${\displaystyle Q}$هي متعامدة و S هي مصفوفة قطرية كتلية مع${\textstyle \lfloor n/2\rfloor }$كتل من الرتبة  2، بالإضافة إلى كتلة واحدة من الرتبة 1 إذا${\displaystyle n}$عدد فردي؛ ولأن كل كتلة منفردة من الرتبة 2 هي أيضًا مصفوفة متعامدة، فإنها تقبل صيغة أسية. وبناءً على ذلك، يمكن كتابة المصفوفة S على شكل أسي لمصفوفة كتلية متناظرة معكوسة. ${\displaystyle \Sigma }$بالشكل المذكور أعلاه ،${\displaystyle S=\exp(\Sigma )}$، بحيث​${\displaystyle R=Q\exp(\Sigma )Q^{\textsf {T}}=\exp(Q\Sigma Q^{\textsf {T}})}$، الدالة الأسية للمصفوفة المتناظرة المائلة${\displaystyle Q\Sigma Q^{\textsf {T}}}$⁠ . على العكس من ذلك، فإن خاصية الشمولية للخريطة الأسية، إلى جانب عملية التقطير الكتلي المذكورة أعلاه للمصفوفات المتناظرة المائلة، تستلزم التقطير الكتلي للمصفوفات المتعامدة.

• مولدات الدوران
• دورانات متناهية الصغر
• موتر الدوران المتناهي الصغر
• التحويل المتناهي الصغر
• مجموعة الدوران SO(3)# دورانات متناهية الصغر

• جولدشتاين، هربرت ؛ بول، تشارلز ب.؛ سافكو، جون ل. (2002)، الميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثالثة)، أديسون ويسلي ، ISBN 978-0-201-65702-9
• ويدربورن، جوزيف إتش إم (1934)، محاضرات في المصفوفات ، الجمعية الأمريكية للرياضيات ، رقم ISBN 978-0-8218-3204-2{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )