الإجهاد (الميكانيكا)

يُعبّر عن الانفعال الهندسي ، المعروف أيضًا بانفعال كوشي ، كنسبة التشوه الكلي إلى البعد الأصلي لجسم المادة الذي تُطبّق عليه القوى. في حالة عنصر خطي أو ليف مادي مُحمّل محوريًا، يُؤدي استطالته إلى انفعال هندسي عمودي أو انفعال تمددي هندسي e ، والذي يُساوي الاستطالة النسبية أو التغير في الطول ΔL لكل وحدة من الطول الأصلي L للعنصر الخطي أو الألياف (بالمتر لكل متر). يكون الانفعال العمودي موجبًا إذا كانت ألياف المادة مُمدّدة وسالبًا إذا كانت مُضغوطة. وبالتالي، لدينا $${\displaystyle e={\frac {\Delta L}{L}}={\frac {lL}{L}}}$$، حيث e هو الإجهاد الطبيعي الهندسي ، و L هو الطول الأصلي للألياف و l هو الطول النهائي للألياف.

يُعرَّف إجهاد القص الحقيقي بأنه التغير في الزاوية (بالراديان) بين عنصرين خطيين من المادة يكونان متعامدين في البداية في الحالة غير المشوهة أو الأولية. أما إجهاد القص الهندسي فيُعرَّف بأنه ظل تلك الزاوية، ويساوي طول التشوه عند أقصى قيمة له مقسومًا على الطول العمودي في مستوى تطبيق القوة، مما يُسهِّل حسابه أحيانًا.

نسبة التمدد أو نسبة الاستطالة (رمزها λ) هي مقياس بديل يرتبط بالانفعال التمددي أو الانفعال العمودي لعنصر خطي تفاضلي مُحمّل محوريًا. تُعرَّف بأنها النسبة بين الطول النهائي l والطول الابتدائي L لخط المادة. $${\displaystyle \lambda ={\frac {l}{L}}}$$

ترتبط نسبة التمدد λ بالانفعال الهندسي e بالعلاقة التالية: $${\displaystyle e=\lambda -1}$$ تشير هذه المعادلة إلى أنه عندما يكون الإجهاد الطبيعي صفرًا، بحيث لا يكون هناك تشوه، فإن نسبة التمدد تساوي واحدًا.

تُستخدم نسبة التمدد في تحليل المواد التي تُظهر تشوهات كبيرة، مثل المطاط الصناعي ، الذي يمكنه تحمل نسب تمدد تصل إلى 3 أو 4 قبل أن ينهار. في المقابل، تنهار المواد الهندسية التقليدية، مثل الخرسانة أو الفولاذ، عند نسب تمدد أقل بكثير.

الإجهاد اللوغاريتمي ε ، ويسمى أيضًا الإجهاد الحقيقي أو إجهاد هينكي . ^{[ 5 ]} مع الأخذ في الاعتبار الإجهاد التزايدي (لودويك) $${\displaystyle \delta \varepsilon ={\frac {\delta l}{l}}}$$ يتم الحصول على الإجهاد اللوغاريتمي عن طريق تكامل هذا الإجهاد المتزايد: $${\displaystyle {\begin{aligned}\int \delta \varepsilon &=\int _{L}^{l}{\frac {\delta l}{l}}\\\varepsilon &=\ln \left({\frac {l}{L}}\right)=\ln(\lambda )\\&=\ln(1+e)\\&=e-{\frac {e^{2}}{2}}+{\frac {e^{3}}{3}}-\cdots \end{محاذاة}}}$$ حيث يمثل e الإجهاد الهندسي. يوفر الإجهاد اللوغاريتمي المقياس الصحيح للإجهاد النهائي عندما يحدث التشوه على مراحل، مع مراعاة تأثير مسار الإجهاد. ^{[ 2 ]}

يُعرَّف السلالة الخضراء على النحو التالي: $${\displaystyle \varepsilon _{G}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{L^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}(\lambda ^{2}-1)}$$

يُعرَّف سلالة أويلر-ألمانسي على النحو التالي: $${\displaystyle \varepsilon _{E}={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {l^{2}-L^{2}}{l^{2}}}\right)={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{\lambda ^{2}}}\right)}$$

لنفترض عنصرًا ماديًا ثنائي الأبعاد، متناهي الصغر، مستطيل الشكل، بأبعاد dx × dy ، والذي يتخذ شكل معين بعد التشوه . يُوصف التشوه بحقل الإزاحة u . من هندسة الشكل المجاور، لدينا $${\displaystyle \mathrm {length} (AB)=dx}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {length} (ab)&={\sqrt {\left(dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx\right)^{2}}}\\&={\sqrt {dx^{2}\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+dx^{2}\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\\&=dx~{\sqrt {\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}\right)^{2}}}\end{aligned}}}$$ بالنسبة لتدرجات الإزاحة الصغيرة جدًا، فإن مربعات مشتقة${\displaystyle u_{y}}$و${\displaystyle u_{x}}$هي ضئيلة ولدينا $${\displaystyle \mathrm {length} (ab)\approx dx\left(1+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\right)=dx+{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}$$

بالنسبة لمادة متجانسة الخواص تخضع لقانون هوك ، فإن الإجهاد العمودي سيؤدي إلى انفعال عمودي. ينتج عن الانفعالات العمودية تمددات .

يُعرَّف الإجهاد العمودي في اتجاه المحور x للعنصر المستطيل كما يلي: $${\displaystyle \varepsilon _{x}={\frac {\text{extension}}{\text{original length}}}={\frac {\mathrm {length} (ab)-\mathrm {length} (AB)}{\mathrm {length} (AB)}}={\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}}$$وبالمثل، يصبح الإجهاد الطبيعي في الاتجاهين y و z$${\displaystyle \varepsilon _{y}={\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\quad ,\qquad \varepsilon _{z}={\frac {\partial u_{z}}{\partial z}}}$$

يُعرَّف إجهاد القص الهندسي ( γxy ) بأنه التغير في الزاوية بين الخطين _AC و AB . لذلك، $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta }$$

انطلاقاً من هندسة الشكل، لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \alpha &={\frac {{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}dx}{dx+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}dx}}={\frac {\tfrac {\partial u_{y}}{\partial x}}{1+{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial x}}}}\\\tan \beta &={\frac {{\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}dy}{dy+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}dy}}={\frac {\tfrac {\partial u_{x}}{\partial y}}{1+{\tfrac {\partial u_{y}}{\partial y}}}}\end{aligned}}}$$ بالنسبة لتدرجات الإزاحة الصغيرة لدينا $${\displaystyle {\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}\ll 1~;~~{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\ll 1}$$ بالنسبة للدورات الصغيرة، أي α و β هما ≪ 1 لدينا tan α ≈ α , tan β ≈ β . لذلك، $${\displaystyle \alpha \approx {\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}~;~~\beta \approx {\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ هكذا $${\displaystyle \gamma _{xy}=\alpha +\beta ={\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}}$$ من خلال تبديل x و y و u _x و u _y ، يمكن إثبات أن γ _xy = γ _yx .

وبالمثل، بالنسبة للمستويين yz و xz ، لدينا $${\displaystyle \gamma _{yz}=\gamma _{zy}={\frac {\partial u_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial u_{z}}{\partial y}}\quad ,\qquad \gamma _{zx}=\gamma _{xz}={\frac {\partial u_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}}$$