منحنى التكامل

في الرياضيات ، المنحنى التكاملي هو منحنى وسيطي يمثل حلاً محدداً لمعادلة تفاضلية عادية أو نظام من المعادلات.

اسم

تُعرف المنحنيات التكاملية بأسماء أخرى مختلفة، تبعًا لطبيعة وتفسير المعادلة التفاضلية أو حقل المتجهات. في الفيزياء ، تُعرف المنحنيات التكاملية للحقل الكهربائي أو المغناطيسي بخطوط الحقل ، وتُعرف المنحنيات التكاملية لحقل سرعة المائع بخطوط الانسياب . أما في الأنظمة الديناميكية ، فتُسمى المنحنيات التكاملية للمعادلة التفاضلية التي تحكم النظام بالمسارات أو المدارات .

تعريف

لنفترض أن $F$ حقل متجهي ثابت ، أي دالة متجهة ذات مركبات $(F1 ، F2 ، ...، Fn) في نظام$ إحداثيات ديكارتية ، وأن $x (t)$ منحنى وسيطي ذو إحداثيات ديكارتية $(x1$ $($ $t$ $)$ $،$ $x2$ $($ $t$ $)، ...،$ $xn(t))$ $.$ $عندئذٍ$ $يكون$ $x$ $($ t ) $منحنى تكاملي لـ F$ إذا كان $حلاً$ لنظام المعادلات التفاضلية العادية المستقلة $.$

${\begin{aligned}{\frac {dx_{1}}{dt}}&=F_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})\\&\;\,\vdots \\{\frac {dx_{n}}{dt}}&=F_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

يمكن كتابة مثل هذا النظام على شكل معادلة متجهة واحدة،

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {x} (t)).$

تقول هذه المعادلة أن المتجه المماس للمنحنى عند أي نقطة $x (t)$ على طول المنحنى هو بالضبط المتجه $F (x (t))$ ، وبالتالي فإن المنحنى $x (t)$ يكون مماسًا عند كل نقطة لحقل المتجهات F.

إذا كان حقل متجه معين متصلًا بشرط ليبشيتز ، فإن نظرية بيكارد-ليندلوف تعني وجود تدفق فريد لفترة زمنية قصيرة.

أمثلة

إذا تم تمثيل المعادلة التفاضلية كحقل متجه أو حقل ميل ، فإن المنحنيات التكاملية المقابلة تكون مماسية للحقل عند كل نقطة.

التعميم على المشعبات القابلة للتفاضل

تعريف

ليكن $M$ متعدد شعب باناخ من الفئة $C r$ حيث $r \geq 2.$ وكما هو معتاد، يرمز $T M$ إلى حزمة المماس لـ $M$ مع إسقاطها الطبيعي $π M : T M \to M$ المعطى بواسطة

$\pi _{M}:(x,v)\mapsto x.$

الحقل المتجهي على $M$ هو مقطع عرضي للحزمة المماسية $T M$ ، أي تعيين متجه مماس لـ $M عند كل نقطة من المتشعب$ $M$ عند تلك النقطة. ليكن $X$ حقلًا متجهيًا على $M$ من الفئة $C r -1$ ، وليكن $p \in M.$ المنحنى التكاملي لـ $X$ الذي يمر بالنقطة $p$ عند الزمن $t 0$ هو منحنى $α : J \to M$ من الفئة $C r -1$ ، معرف على فترة مفتوحة $J$ من خط الأعداد الحقيقية $R$ تحتوي على $t 0$ ، بحيث

${\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)){\text{ لجميع }}t\in J.\end{aligned}}$

العلاقة بالمعادلات التفاضلية العادية

إن التعريف المذكور أعلاه لمنحنى تكاملي $α$ لحقل متجهي $X$ ، يمر بالنقطة $p$ عند الزمن $t = 0$ ، هو نفسه القول بأن $α$ هو حل محلي للمعادلة التفاضلية العادية/مسألة القيمة الابتدائية

${\begin{aligned}\alpha (t_{0})&=p;\\\alpha '(t)&=X(\alpha (t)).\end{aligned}}$

هي محلية بمعنى أنها تُعرَّف فقط للأزمنة في $J$ ، وليس بالضرورة لجميع $t \geq t 0$ (ناهيك عن $t \leq t 0$ ). وبالتالي، فإن مشكلة إثبات وجود ووحدانية المنحنيات التكاملية هي نفسها مشكلة إيجاد حلول للمعادلات التفاضلية العادية/مسائل القيم الابتدائية وإثبات أنها فريدة.

ملاحظات حول المشتق الزمني

في المثال أعلاه، يرمز $α' (t)$ إلى مشتقة $α$ عند الزمن $t$ ، أي "الاتجاه الذي تشير إليه $α " عند الزمن$ $t$ . ومن منظور أكثر تجريدًا، فإن هذا هو مشتق فريشيه :

$(\mathrm {d} _{t}\alpha )(+1)\in \mathrm {T} _{\alpha (t)}M.$

في الحالة الخاصة التي تكون فيها $M$ مجموعة جزئية مفتوحة من $R n$ ، فإن هذا هو المشتق المألوف

$\left({\frac {\mathrm {d} \alpha _{1}}{\mathrm {d} t}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} \alpha _{n}}{\mathrm {d} t}}\right),$

حيث $α 1 ، ... ، α n$ هي إحداثيات $α$ بالنسبة لاتجاهات الإحداثيات المعتادة.

يمكن صياغة الأمر نفسه بصورة أكثر تجريدًا باستخدام الدوال المستحثة . لاحظ أن الحزمة المماسية $T J$ لـ $J$ هي الحزمة التافهة $J \times R$ ، ويوجد مقطع عرضي قانوني $ι$ لهذه الحزمة بحيث يكون $ι (t) = 1$ (أو بتعبير أدق، $(t, 1) \in ι$ ) لجميع $t \in J.$ يُستحث المنحنى $α$ دالة حزمة $α * : T J \to T M$ بحيث يكون المخطط التالي تبادليًا:

ثم يكون المشتق الزمني $α'$ هو التركيب $α' = α * o ι ، و α' (t)$ هي قيمتها عند نقطة ما $t$ $\in$ $J.$

مراجع

لانغ، سيرج (1972). المشعبات التفاضلية . ريدينغ، ماساتشوستس - لندن - دون ميلز، أونتاريو: شركة أديسون-ويسلي للنشر.

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗