تناسق

📅 آخر تحديث: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ١٧ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 67 صور
الموسوعة الحرة

في المنطق الاستنتاجي ، النظرية المتسقة هي التي لا تؤدي إلى تناقض منطقي . [ 1 ] نظريةتي{\displaystyle T}يكون متسقًا إذا لم تكن هناك صيغةφ{\displaystyle \varphi }بحيث يكون كلاهماφ{\displaystyle \varphi }ونفيها¬φ{\displaystyle \lnot \varphi }هي عناصر من مجموعة نتائجتي{\displaystyle T}. يتركأ{\displaystyle A}أن تكون مجموعة من الجمل المغلقة (أو "البديهيات" بشكل غير رسمي) و⟨أ⟩{\displaystyle \langle A\rangle }مجموعة الجمل المغلقة التي يمكن إثباتها منأ{\displaystyle A}في ظل نظام استنتاجي رسمي (محدد، وربما ضمني). مجموعة البديهياتأ{\displaystyle A}يكون متسقًا عندما لا توجد صيغةφ{\displaystyle \varphi }بحيثφ∈⟨أ⟩{\displaystyle \varphi \in \langle A\rangle }و¬φ∈⟨أ⟩{\displaystyle \lnot \varphi \in \langle A\rangle }النظرية التافهة (أي التي تثبت كل جملة في لغتها) هي نظرية متناقضة بوضوح. وعلى العكس، في نظام صوري متفجر (مثل المنطق الافتراضي الكلاسيكي أو الحدسي أو منطق الرتبة الأولى)، فإن كل نظرية متناقضة هي نظرية تافهة. [ 2 ] : 7 اتساق النظرية مفهوم نحوي ، ونظيره الدلالي هو قابلية الإرضاء . تكون النظرية قابلة للإرضاء إذا كان لها نموذج ، أي إذا وُجد تفسير تكون بموجبه جميع بديهيات النظرية صحيحة. [ 3 ] هذا ما كان يُقصد بالاتساق في المنطق الأرسطي التقليدي ، مع أن مصطلح قابلية الإرضاء يُستخدم بدلاً منه في المنطق الرياضي المعاصر.

في نظام صوري سليم ، تكون كل نظرية قابلة للإرضاء متسقة، ولكن العكس غير صحيح. إذا وُجد نظام استنتاجي تكون فيه هذه التعريفات الدلالية والنحوية متكافئة لأي نظرية مصاغة في منطق استنتاجي معين ، يُسمى هذا المنطق كاملاً . وقد أثبت بول بيرنايز اكتمال حساب القضايا عام 1918 [ 4 ] وإميل بوست عام 1921 [ 5 ] ، بينما أثبت كورت غودل اكتمال حساب المسندات (من الرتبة الأولى) عام 1930 [ 6 ] ، وأثبت أكرمان (1924) وفون نيومان (1927) وهيربراند (1931) براهين الاتساق للحسابات المقيدة بمخطط بديهية الاستقراء [ 7 ] . أما المنطق الأقوى، كمنطق الرتبة الثانية ، فهو غير كامل.

برهان الاتساق هو برهان رياضي يثبت اتساق نظرية معينة. [ 8 ] وقد انطلقت المراحل الأولى لتطوير نظرية البرهان الرياضي من الرغبة في تقديم براهين اتساق نهائية لجميع فروع الرياضيات كجزء من برنامج هيلبرت . تأثر برنامج هيلبرت بشدة بنظريات عدم الاكتمال ، التي بينت أن نظريات البرهان القوية بما يكفي لا تستطيع إثبات اتساقها (بشرط أن تكون متسقة).

على الرغم من إمكانية إثبات الاتساق باستخدام نظرية النماذج، إلا أنه غالبًا ما يتم ذلك بطريقة نحوية بحتة، دون الحاجة إلى الرجوع إلى أي نموذج منطقي. إن حذف القطع (أو ما يعادله من توحيد الحساب الأساسي إن وجد) يستلزم اتساق الحساب: فبما أنه لا يوجد برهان على الزيف دون قطع، فلا يوجد تناقض بشكل عام.

الاتساق والشمول في الحساب ونظرية المجموعات

في نظريات الحساب، مثل حساب بيانو ، توجد علاقة معقدة بين اتساق النظرية واكتمالها . تُعتبر النظرية كاملة إذا كان لكل صيغة φ في لغتها، على الأقل إحدى الصيغتين φ أو ¬φ، نتيجة منطقية لها.

حساب بريسبرغر هو نظام بديهي للأعداد الطبيعية تحت عملية الجمع. وهو نظام متسق وكامل.

تُظهر نظريات عدم الاكتمال لغودل أن أي نظرية حسابية قوية بما يكفي وقابلة للتعداد التكراري لا يمكن أن تكون كاملة ومتسقة في آن واحد. تنطبق نظرية غودل على نظريات حساب بيانو (PA) والحساب التكراري البدائي (PRA)، ولكنها لا تنطبق على حساب بريسبرغر .

علاوة على ذلك، تُظهر نظرية عدم الاكتمال الثانية لغودل أن اتساق نظريات الحساب القوية بما يكفي والقابلة للتعداد التكراري يُمكن اختباره بطريقة خاصة. تكون هذه النظرية متسقة إذا وفقط إذا لم تُثبت جملة معينة، تُسمى جملة غودل للنظرية، وهي عبارة عن بيان رسمي يُؤكد أن النظرية متسقة بالفعل. وبالتالي، لا يُمكن إثبات اتساق نظرية حساب قوية بما يكفي وقابلة للتعداد التكراري ومتسقة في النظام نفسه. وينطبق الأمر نفسه على النظريات القابلة للتعداد التكراري التي يُمكنها وصف جزء قوي بما يكفي من الحساب - بما في ذلك نظريات المجموعات مثل نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات (ZF). لا يُمكن لهذه النظريات إثبات جملة غودل الخاصة بها - بشرط أن تكون متسقة، وهو أمر شائع.

لأن اتساق ZF غير قابل للإثبات في ZF، فإن المفهوم الأضعفيُعدّ الاتساق النسبي ذا أهمية في نظرية المجموعات (وفي الأنظمة البديهية الأخرى ذات التعبير الكافي). إذاكانتTنظريةًوAبديهيةًإضافية،يُقال إنّT+AT(أو ببساطة أنّAمتسقة معT) إذا أمكن إثبات أنّه إذاTمتسقة، فإنّT+Aمتسقة. إذا كان كلٌّ منAو¬Aمتسقين معT،يُقالAمستقلةعنT.

منطق الرتبة الأولى

الترميز

في سياق المنطق الرياضي التالي ، رمز البوابة الدوارة⊢{\displaystyle \vdash }ويعني "قابل للإثبات من". أي،أ⊢ب{\displaystyle a\vdash b}يقرأ: يمكن إثبات b من a (في نظام رسمي محدد).

تعريف

  • مجموعة من الصيغΦ{\displaystyle \Phi }في منطق الرتبة الأولى يكون متسقًا (مكتوبًا)كون⁡Φ{\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }) إذا لم تكن هناك صيغةφ{\displaystyle \varphi }بحيثΦ⊢φ{\displaystyle \Phi \vdash \varphi }وΦ⊢¬φ{\displaystyle \Phi \vdash \lnot \varphi }. خلاف ذلكΦ{\displaystyle \Phi }غير متسق (مكتوب)شركة⁡Φ{\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }).
  • Φ{\displaystyle \Phi }يقال إنه متسق ببساطة حتى بدون صيغةφ{\displaystyle \varphi }لΦ{\displaystyle \Phi }، كلاهماφ{\displaystyle \varphi }ونفي​​φ{\displaystyle \varphi }هي نظرياتΦ{\displaystyle \Phi }.
  • Φ{\displaystyle \Phi }يُقال إنها متسقة تمامًا أو متسقة بعديًا إذا كانت هناك صيغة واحدة على الأقل في لغةΦ{\displaystyle \Phi }ليست نظرية منΦ{\displaystyle \Phi }.
  • Φ{\displaystyle \Phi }يُقال إنها متسقة إلى أقصى حد إذاΦ{\displaystyle \Phi }متسقة ولكل صيغةφ{\displaystyle \varphi }،كون⁡(Φ∪{φ}){\displaystyle \operatorname {Con} (\Phi \cup \{\varphi \})}يشير إلىφ∈Φ{\displaystyle \varphi \in \Phi }.
  • Φ{\displaystyle \Phi }يقال إنها تحتوي على شهود إذا كان لكل صيغة من الصيغة∃xφ{\displaystyle \exists x\,\varphi }يوجد مصطلحت{\displaystyle t}بحيث(∃xφ→φتx)∈Φ{\displaystyle (\exists x\,\varphi \to \varphi {t \over x})\in \Phi }، أينφتx{\displaystyle \varphi {t \over x}}يشير إلى استبدال كلx{\displaystyle x}فيφ{\displaystyle \varphi }بواسطةت{\displaystyle t}انظر أيضًا منطق الرتبة الأولى .

النتائج الأساسية

  1. ما يلي متكافئ:
    1. شركة⁡Φ{\displaystyle \operatorname {Inc} \Phi }
    2. للجميعφ،Φ⊢φ.{\displaystyle \varphi ,\;\Phi \vdash \varphi .}
  2. كل مجموعة من الصيغ القابلة للإرضاء تكون متسقة، حيث تكون مجموعة الصيغΦ{\displaystyle \Phi }تكون قابلة للتحقيق إذا وفقط إذا كان هناك نموذجأنا{\displaystyle {\mathfrak {I}}}بحيثأنا⊨Φ{\displaystyle {\mathfrak {I}}\vDash \Phi }.
  3. للجميعΦ{\displaystyle \Phi }وφ{\displaystyle \varphi }:
    1. وإلاΦ⊢φ{\displaystyle \Phi \vdash \varphi }، ثمكون⁡(Φ∪{¬φ}){\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}؛
    2. لوكون⁡Φ{\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }وΦ⊢φ{\displaystyle \Phi \vdash \varphi }، ثمكون⁡(Φ∪{φ}){\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}؛
    3. لوكون⁡Φ{\displaystyle \operatorname {Con} \Phi }، ثمكون⁡(Φ∪{φ}){\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\varphi \}\right)}أوكون⁡(Φ∪{¬φ}){\displaystyle \operatorname {Con} \left(\Phi \cup \{\lnot \varphi \}\right)}.
  4. يتركΦ{\displaystyle \Phi }لتكن مجموعة من الصيغ المتسقة إلى أقصى حد، ولنفترض أنها تحتوي على شهود . لكلφ{\displaystyle \varphi }وψ{\displaystyle \psi }:
    1. لوΦ⊢φ{\displaystyle \Phi \vdash \varphi }، ثمφ∈Φ{\displaystyle \varphi \in \Phi }،
    2. أيضاًφ∈Φ{\displaystyle \varphi \in \Phi }أو¬φ∈Φ{\displaystyle \lnot \varphi \in \Phi }،
    3. (φ∨ψ)∈Φ{\displaystyle (\varphi \lor \psi )\in \Phi }إذا وفقط إذاφ∈Φ{\displaystyle \varphi \in \Phi }أوψ∈Φ{\displaystyle \psi \in \Phi }،
    4. لو(φ→ψ)∈Φ{\displaystyle (\varphi \to \psi )\in \Phi }وφ∈Φ{\displaystyle \varphi \in \Phi }، ثمψ∈Φ{\displaystyle \psi \in \Phi }،
    5. ∃xφ∈Φ{\displaystyle \exists x\,\varphi \in \Phi }إذا وفقط إذا كان هناك مصطلحت{\displaystyle t}بحيثφتx∈Φ{\displaystyle \varphi {t \over x}\in \Phi }.

نظرية هينكين

يتركS{\displaystyle S}لتكن مجموعة من الرموز .Φ{\displaystyle \Phi }أن تكون مجموعة متسقة إلى أقصى حد منS{\displaystyle S}- الصيغ التي تحتوي على شهود .

حدد علاقة التكافؤ∼{\displaystyle \sim }في موقع تصويرS{\displaystyle S}-شروط بواسطةت0∼ت1{\displaystyle t_{0}\sim t_{1}}لوت0≡ت1∈Φ{\displaystyle \;t_{0}\equiv t_{1}\in \Phi }، أين≡{\displaystyle \equiv }يدل على المساواة . ليكنت¯{\displaystyle {\overline {t}}}تشير إلى فئة التكافؤ للمصطلحات التي تحتويت{\displaystyle t}ودعتيΦ:={ت¯|ت∈تيS}{\displaystyle T_{\Phi }:=\{\;{\overline {t}}\mid t\in T^{S}\}}أينتيS{\displaystyle T^{S}}هي مجموعة المصطلحات القائمة على مجموعة الرموزS{\displaystyle S}.

عرّفS{\displaystyle S}- بناءتيΦ{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\Phi }}زيادةتيΦ{\displaystyle T_{\Phi }}، ويطلق عليه أيضًا اسم بنية المصطلح المقابلة لـΦ{\displaystyle \Phi }، بواسطة:

  1. لكلن{\displaystyle n}رمز العلاقة -aryR∈S{\displaystyle R\in S}، يُعرِّفRتيΦت0¯...تن-1¯{\displaystyle R^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}{\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}}لوRت0...تن-1∈Φ؛{\displaystyle \;Rt_{0}\ldots t_{n-1}\in \Phi ;} [ 9 ]
  2. لكلن{\displaystyle n}رمز الدالة -aryو∈S{\displaystyle f\in S}، يُعرِّفوتيΦ(ت0¯...تن-1¯):=وت0...تن-1¯؛{\displaystyle f^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}({\overline {t_{0}}}\ldots {\overline {t_{n-1}}}):={\overline {ft_{0}\ldots t_{n-1}}};}
  3. لكل رمز ثابتج∈S{\displaystyle c\in S}، يُعرِّفجتيΦ:=ج¯.{\displaystyle c^{{\mathfrak {T}}_{\Phi }}:={\overline {c}}.}

حدد تعيين متغيرβΦ{\displaystyle \beta _{\Phi }}بواسطةβΦ(x):=x¯{\displaystyle \beta _{\Phi }(x):={\bar {x}}}لكل متغيرx{\displaystyle x}. يتركأناΦ:=(تيΦ،βΦ){\displaystyle {\mathfrak {I}}_{\Phi }:=({\mathfrak {T}}_{\Phi },\beta _{\Phi })}تفسير المصطلح المرتبط بـΦ{\displaystyle \Phi }.

ثم لكلS{\displaystyle S}-صيغةφ{\displaystyle \varphi }:

أناΦ⊨φ{\displaystyle {\mathfrak {I}} _ {\Phi }\vDash \varphi }إذا وفقط إذاφ∈Φ.{\displaystyle \;\varphi \in \Phi .}

رسم تخطيطي للإثبات

هناك عدة أمور يجب التحقق منها. أولاً، أن∼{\displaystyle \sim }هي في الواقع علاقة تكافؤ. بعد ذلك، يجب التحقق من أن (1) و(2) و(3) مُعرَّفة تعريفًا جيدًا. وينتج هذا عن حقيقة أن∼{\displaystyle \sim }هي علاقة تكافؤ، وتتطلب أيضًا إثبات أن (1) و(2) مستقلتان عن اختيارت0،...،تن-1{\displaystyle t_{0},\ldots ,t_{n-1}}ممثلو الصفوف. وأخيراً،أناΦ⊨φ{\displaystyle {\mathfrak {I}} _ {\Phi }\vDash \varphi }يمكن التحقق من ذلك عن طريق الاستقراء على الصيغ.

نظرية النموذج

في نظرية المجموعات ZFC مع منطق الرتبة الأولى الكلاسيكي ، [ 10 ] نظرية غير متسقةتي{\displaystyle T}هو واحد بحيث توجد جملة مغلقةφ{\displaystyle \varphi }بحيثتي{\displaystyle T}يحتوي على كليهماφ{\displaystyle \varphi }ونفيهاφ′{\displaystyle \varphi '}النظرية المتسقة هي تلك التي تتحقق فيها الشروط المتكافئة منطقياً التالية

  1. {φ،φ′}⊈تي{\displaystyle \{\varphi ,\varphi '\}\not \subseteq T}[ 11 ]
  2. φ′∉تي∨φ∉تي{\displaystyle \varphi '\not \in T\lor \varphi \not \in T}

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ يذكر تارسكي (1946) ذلك على النحو التالي: "تُسمى النظرية الاستنتاجية متسقة أو غير متناقضة إذا لم يتناقض أي من عبارتيها، أو بعبارة أخرى، إذا لم يكن بالإمكان إثبات أي من جملتين متناقضتين... على الأقل" (ص 135). ويُعرّف تارسكي التناقض على النحو التالي: "باستخدام كلمة "لا " تُشكل جملة واحدة نفيًا لأي جملة؛ تُسمى جملتان، تكون الأولى منهما نفيًا للثانية، جملتين متناقضتين " (ص 20). ويتطلب هذا التعريف مفهوم "الإثبات". يُعرّف غودل (1931) المفهوم على النحو التالي: "تُعرَّف فئة الصيغ القابلة للإثبات بأنها أصغر فئة من الصيغ التي تحتوي على البديهيات وتكون مغلقة تحت علاقة "النتيجة المباشرة"، أي أن الصيغة ج من أ و ب تُعرَّف على أنها نتيجة مباشرة من حيث القياس المنطقي أو الاستبدال؛ انظر غودل 1931 ، فان هيجينورت 1967 ، ص 601. يُعرّف تارسكي "الإثبات" بشكل غير رسمي بأنه "عبارات تتبع بعضها البعض بترتيب محدد وفقًا لمبادئ معينة ... ومصحوبة باعتبارات تهدف إلى إثبات صحتها [النتيجة الصحيحة] لجميع المقدمات الصحيحة - رايشنباخ 1947 ، ص 601". 68 ]" انظر تارسكي 1946 ، ص 3. يُعرّف كلين 1952 المفهوم فيما يتعلق إما بالاستقراء أو (بتعبير آخر) سلسلة منتهية من الصيغ بحيث تكون كل صيغة في السلسلة إما بديهية أو "نتيجة مباشرة" للصيغ السابقة؛ "يقال إن البرهان هو برهان على صيغته الأخيرة، ويقال إن هذه الصيغة قابلة للإثبات (رسميًا) أو أنها نظرية (رسمية)" انظر كلين 1952 ، ص 83 .    
  2. ↑ كارنيلي، والتر؛ كونيلو، مارسيلو إستيبان (2016). المنطق المتناقض: الاتساق والتناقض والنفي . المنطق، نظرية المعرفة، ووحدة العلم. المجلد  40. تشام: سبرينغر. doi : 10.1007/978-3-319-33205-5 . ISBN 978-3-319-33203-1. السيد 3822731 . زبل 1355.03001 .  
  3. ↑ هودجز، ويلفريد (1997). نظرية نموذجية مختصرة . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 37. ليكن ل{\displaystyle L}أن يكون توقيعًا،تي{\displaystyle T}نظرية فيل∞ω{\displaystyle L_{\infty \أوميغا }}وφ{\displaystyle \varphi }جملة فيل∞ω{\displaystyle L_{\infty \أوميغا }}نقول ذلكφ{\displaystyle \varphi }هو نتيجة لـتي{\displaystyle T}أو ذلكتي{\displaystyle T}يستلزمφ{\displaystyle \varphi }، بالرموزتي⊢φ{\displaystyle T\vdash \varphi }، إذا كان كل نموذج منتي{\displaystyle T}هو نموذج لـφ{\displaystyle \varphi }(خاصةً إذاتي{\displaystyle T}ليس لديه نماذج إذنتي{\displaystyle T}يستلزمφ{\displaystyle \varphi }تحذير : لا نشترط ذلك إذاتي⊢φ{\displaystyle T\vdash \varphi }ثم هناك دليل علىφ{\displaystyle \varphi }منتي{\displaystyle T}على أي حال، في اللغات غير المحدودة، ليس من الواضح دائمًا ما الذي يشكل برهانًا. يستخدم بعض الكتّابتي⊢φ{\displaystyle T\vdash \varphi }بمعنى أنφ{\displaystyle \varphi }يمكن استنتاجه منتي{\displaystyle T}في بعض حسابات البرهان الرسمية المحددة، ويكتبونتي⊨φ{\displaystyle T\models \varphi }بالنسبة لمفهومنا للاستلزام (وهو تدوين يتعارض مع مفهومنا).أ⊨φ{\displaystyle A\models \varphi }بالنسبة لمنطق الرتبة الأولى، يتطابق نوعا الاستلزام وفقًا لنظرية الاكتمال لحساب البرهان المعني. نقول إنφ{\displaystyle \varphi }صحيح ، أو نظرية منطقية ، بالرموز⊢φ{\displaystyle \vdash \varphi }، لوφ{\displaystyle \varphi }هذا صحيح في كلل{\displaystyle L}-البنية. نقول ذلكφ{\displaystyle \varphi }يكون متسقًا إذاφ{\displaystyle \varphi }هذا صحيح في بعض الحالاتل{\displaystyle L}-البنية. وبالمثل، نقول إن النظريةتي{\displaystyle T}تكون متسقة إذا كان لها نموذج. نقول إن نظريتين S و T في L∞ω متكافئتان إذا كان لهما نفس النموذج، أي إذا كان Mod(S) = Mod(T).(يرجى ملاحظة تعريف Mod(T) في الصفحة 30 ...)
  4. ↑ يذكر فان هيجينورت 1967 ، ص 265 أن بيرنايز حدد استقلال بديهيات كتاب Principia Mathematica ، وهي نتيجة لم تُنشر حتى عام 1926، لكنه لا يقول شيئًا عن إثبات بيرنايز لاتساقها . 
  5. ↑ يثبت بوست اتساق واكتمال حساب القضايا في نظرية القضايا الأولية، انظر تعليق فان هيجينورت ومقدمة بوست لنظرية عامة للقضايا الأولية في فان هيجينورت 1967 ، الصفحات 264 وما بعدها . انظر أيضًا تارسكي 1946 ، الصفحات 134 وما بعدها .  
  6. ↑ انظر تعليق فان هيجينورت وغودل 1930 اكتمال بديهيات الحساب الوظيفي للمنطق في فان هيجينورت 1967 ، ص 582 وما بعدها . 
  7. ^ راجع تعليق فان هيجنورت و هيربراند 1930 حول اتساق الحساب في فان هيجنورت 1967 ، ص 618 وما يليها . 
  8. ↑ غالبًا ما يفترض برهان الاتساق اتساق نظرية أخرى. في معظم الحالات، تكون هذه النظرية الأخرى هي نظرية زيرميلو-فرانكل للمجموعات مع أو بدون بديهية الاختيار (وهذا متكافئ لأن هاتين النظريتين قد ثبت اتساقهما المتكافئ؛ أي إذا كانت إحداهما متسقة، فإن الأمر نفسه ينطبق على الأخرى).
  9. ↑ هذا التعريف مستقل عن اختيارتأنا{\displaystyle t_{i}}بسبب خصائص الاستبدال لـ≡{\displaystyle \equiv }والاتساق الأقصى لـΦ{\displaystyle \Phi }.
  10. ↑ الحالة الشائعة في العديد من التطبيقات في مجالات أخرى من الرياضيات، بالإضافة إلى طريقة التفكير العادية في الرياضيات غير الرسمية في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتها في الفيزياء والكيمياء والهندسة
  11. ↑ وفقًا لقوانين دي مورغان

مراجع

  • جودل ، كورت (1 ديسمبر 1931). "Über الرسمي unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I". Monatshefte für الرياضيات والفيزياء . 38 (1): 173-198 . دوى : 10.1007 / BF01700692 .
  • كلين، ستيفن (1952). مقدمة في ما وراء الرياضيات . نيويورك: نورث هولاند. ISBN 0-7204-2103-9.{{cite book}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) الطبعة العاشرة 1991.
  • رايشنباخ، هانز (1947). عناصر المنطق الرمزي . نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-24004-5.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  • تارسكي، ألفريد (1946). مقدمة في المنطق ومنهجية العلوم الاستنتاجية (  الطبعة الثانية). نيويورك: دوفر. ISBN 0-486-28462-X.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  • فان هيجينورت، جان (1967). من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي . كامبريدج، ماساتشوستس: مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 0-674-32449-8.(غلاف ورقي)
  • "الاتساق". قاموس كامبريدج للفلسفة .
  • إيبينغهاوس، إتش دي؛ فلوم، جيه؛ توماس، دبليو. المنطق الرياضي .
  • جيفونز، دبليو إس (1870). دروس تمهيدية في المنطق .