هندسة الوقوع

في الرياضيات ، هندسة السقوط هي دراسة هياكل السقوط . البنية الهندسية مثل المستوى الإقليدي هي كائن معقد يتضمن مفاهيم مثل الطول والزوايا والاستمرارية والوسطية والسقوط . بنية السقوط هي ما يتم الحصول عليه عند إزالة جميع المفاهيم الأخرى وكل ما يتبقى هو البيانات حول النقاط التي تقع على أي خطوط. حتى مع هذا القيد الشديد، يمكن إثبات النظريات وظهور حقائق مثيرة للاهتمام فيما يتعلق بهذا الهيكل. تظل مثل هذه النتائج الأساسية صالحة عند إضافة مفاهيم إضافية لتشكيل هندسة أكثر ثراءً. يحدث أحيانًا أن يمحو المؤلفون التمييز بين الدراسة وأغراض تلك الدراسة، لذلك ليس من المستغرب أن نجد أن بعض المؤلفين يشيرون إلى هياكل السقوط على أنها هندسة سقوط. ^[1]

تنشأ هياكل الحدوث بشكل طبيعي وقد تمت دراستها في مجالات مختلفة من الرياضيات. وبالتالي، هناك مصطلحات مختلفة لوصف هذه الكائنات. في نظرية الرسم البياني تسمى الرسوم البيانية الفائقة ، وفي نظرية التصميم التوافقي تسمى تصميمات الكتل . وبصرف النظر عن الاختلاف في المصطلحات، فإن كل مجال يتعامل مع الموضوع بشكل مختلف ويهتم بالأسئلة حول هذه الكائنات ذات الصلة بهذا التخصص. إن استخدام اللغة الهندسية، كما هو الحال في هندسة الحدوث، يشكل الموضوعات والأمثلة التي يتم تقديمها عادةً. ومع ذلك، من الممكن ترجمة النتائج من تخصص واحد إلى مصطلحات تخصص آخر، ولكن هذا غالبًا ما يؤدي إلى عبارات محرجة ومعقدة لا تبدو وكأنها نتاج طبيعي للموضوعات. في الأمثلة المختارة لهذه المقالة، نستخدم فقط تلك التي لها نكهة هندسية طبيعية.

هناك حالة خاصة أثارت اهتمامًا كبيرًا تتعلق بمجموعات محدودة من النقاط في المستوى الإقليدي وما يمكن قوله عن عدد وأنواع الخطوط (المستقيمة) التي تحددها. يمكن أن تمتد بعض نتائج هذا الموقف إلى إعدادات أكثر عمومية حيث يتم النظر فقط في خصائص السقوط.

هياكل الحدوث

تتكون بنية السقوط $(P ، L ، I)$ من مجموعة $P$ تسمى عناصرها نقاطًا ومجموعة منفصلة $L$ تسمى عناصرها خطوطًا وعلاقة سقوط $I$ بينهما، أي مجموعة فرعية من $P \times L$ تسمى عناصرها أعلامًا . ^[2] إذا كانت $(A ، l)$ علمًا، فإننا نقول إن $A$ تقع مع $l$ أو أن $l$ تقع مع $A$ (المصطلح متماثل)، ونكتب $A I l$ . بديهيًا، تكون النقطة والمستقيم في هذه العلاقة إذا وفقط إذا كانت النقطة على الخط. بالنظر إلى النقطة $B$ والمستقيم $m$ اللذان لا يشكلان علمًا، أي أن النقطة ليست على الخط، فإن الزوج $(B ، m)$ يسمى علمًا مضادًا .

المسافة في بنية السقوط

لا يوجد مفهوم طبيعي للمسافة ( مقياس ) في بنية السقوط. ومع ذلك، يوجد مقياس تركيبي في الرسم البياني للسقوط المقابل (رسم ليفي) ، أي طول أقصر مسار بين رأسين في هذا الرسم البياني ثنائي الأجزاء . يمكن تعريف المسافة بين جسمين في بنية السقوط - نقطتين أو خطين أو نقطة وخط - على أنها المسافة بين الرؤوس المقابلة في الرسم البياني للسقوط لبنية السقوط.

هناك طريقة أخرى لتحديد المسافة تستخدم مرة أخرى مفهومًا نظريًا بيانيًا في بنية ذات صلة، وهذه المرة رسم بياني للتوازي الخطي لبنية السقوط. رؤوس رسم بياني للتوازي الخطي هي نقاط بنية السقوط ويتم ربط نقطتين إذا كان هناك خط مستقيم يسقط على كلتا النقطتين. يمكن بعد ذلك تعريف المسافة بين نقطتين من بنية السقوط على أنها المسافة بينهما في رسم بياني للتوازي الخطي.

عندما يتم النظر إلى المسافة في بنية السقوط، فمن الضروري ذكر كيفية تعريفها.

المساحات الخطية الجزئية

إن هياكل السقوط التي تتم دراستها بشكل أكبر هي تلك التي تلبي بعض الخصائص الإضافية (المسلمات)، مثل المستويات الإسقاطية ، والمستويات الأفينية ، والمضلعات المعممة ، والهندسة الجزئية والمضلعات القريبة . ويمكن الحصول على هياكل سقوط عامة جدًا من خلال فرض شروط "معتدلة"، مثل:

الفضاء الخطي الجزئي هو بنية حدوث تكون فيها المسلمات التالية صحيحة: ^[3]

كل زوج من النقاط المميزة يحدد خطًا واحدًا على الأكثر.
يحتوي كل سطر على نقطتين مميزتين على الأقل.

في الفضاء الخطي الجزئي، من الصحيح أيضًا أن كل زوج من الخطوط المميزة يلتقيان في نقطة واحدة على الأكثر. لا يجب افتراض هذه العبارة لأنها يمكن إثباتها بسهولة من البديهية الأولى أعلاه.

يتم توفير المزيد من القيود من خلال شروط الانتظام:

RLk : كل خط يمر بنفس عدد النقاط. إذا كان هذا العدد محدودًا، غالبًا ما يُشار إليه بالرمز $k$ .

RPr : كل نقطة تقع على نفس عدد الخطوط. إذا كان هذا العدد محدودًا، غالبًا ما يُشار إليه بالرمز $r$ .

البديهية الثانية للفضاء الخطي الجزئي تعني أن $k > 1$ . ولا يعني أي من شرطي الانتظام الآخر، لذا يجب افتراض أن $r > 1$ .

تُسمى المساحة الخطية الجزئية المحدودة التي تلبي كلاً من شروط الانتظام مع $k و r > 1$ بالتكوين التكتيكي . ^[4] يشير بعض المؤلفين إلى هذه ببساطة باسم التكوينات ، ^[5] أو التكوينات الإسقاطية . ^[6] إذا كان التكوين التكتيكي يحتوي على $n$ نقطة و $m$ خط، فعند العد المزدوج للأعلام، يتم إنشاء العلاقة $nr = mk$ . يشير التدوين الشائع إلى $(n r ، m k)$ - التكوينات . في الحالة الخاصة حيث $n = m$ (ومن ثم، $r = k$ )، غالبًا ما يُكتب التدوين $(n k ، n k) ببساطة على النحو التالي$ $(n k)$ .

الفضاء الخطي هو فضاء خطي جزئي بحيث: ^[7]

كل زوج من النقاط المميزة يحدد خطًا واحدًا بالضبط.

يضيف بعض المؤلفين بديهية "عدم الانحطاط" (أو "عدم التفاهة") إلى تعريف الفضاء الخطي (الجزئي)، مثل:

هناك على الأقل خطين متميزين. ^[8]

تُستخدم هذه الطريقة لاستبعاد بعض الأمثلة الصغيرة جدًا (خاصةً عندما تحتوي المجموعات $P$ أو $L$ على أقل من عنصرين) والتي قد تكون عادةً استثناءات للبيانات العامة التي يتم إجراؤها حول هياكل السقوط. هناك بديل لإضافة البديهية وهو الإشارة إلى هياكل السقوط التي لا تلبي البديهية على أنها تافهة وتلك التي تلبيها على أنها غير تافهة .

تحتوي كل مساحة خطية غير تافهة على ثلاث نقاط وثلاثة خطوط على الأقل، وبالتالي فإن أبسط مساحة خطية غير تافهة يمكن أن توجد هي المثلث.

المساحة الخطية التي تحتوي على ثلاث نقاط على الأقل على كل خط هي تصميم سيلفستر-جالاي .

أمثلة هندسية أساسية

تنشأ بعض المفاهيم والمصطلحات الأساسية من الأمثلة الهندسية، وخاصة المستويات الإسقاطية والمستويات التآلفية .

الطائرات الإسقاطية

المستوى الإسقاطي هو فضاء خطي يكون فيه:

كل زوج من الخطوط المميزة يلتقيان في نقطة واحدة بالضبط،

وهذا يلبي شرط عدم الانحطاط:

هناك أربع نقاط، لا يوجد ثلاث منها متوازية .

يوجد تطابق بين $P$ و $L$ في المستوى الإسقاطي. إذا كانت $P$ مجموعة منتهية، يُشار إلى المستوى الإسقاطي على أنه مستوى إسقاطي منتهٍ . رتبة المستوى الإسقاطي المحدود هي $n = k - 1$ ، أي أقل بمقدار واحد من عدد النقاط على الخط المستقيم. جميع المستويات الإسقاطية المعروفة لها رتب قوى أولية . المستوى الإسقاطي من الرتبة $n$ هو تكوين $((n 2 + n + 1) n + 1)$ .

أصغر مستوى إسقاطي له المرتبة الثانية ويعرف باسم مستوى فانو .

طائرة فانو

تم تطوير هندسة السقوط الشهيرة هذه بواسطة عالم الرياضيات الإيطالي جينو فانو . في عمله ^[9] حول إثبات استقلال مجموعة البديهيات للفضاء الإسقاطي n الذي طوره، ^[10] أنتج فضاء ثلاثي الأبعاد منتهيًا به 15 نقطة و35 خطًا و15 مستوى، حيث كان لكل خط ثلاث نقاط فقط عليه. ^[11] تتكون المستويات في هذا الفضاء من سبع نقاط وسبعة خطوط وهي تُعرف الآن باسم مستويات فانو .

لا يمكن تمثيل مستوى فانو في المستوى الإقليدي باستخدام النقاط والقطع المستقيمة فقط (أي أنه غير قابل للتحقيق). هذه نتيجة لنظرية سيلفستر-جالاي ، والتي وفقًا لها يجب أن تتضمن كل هندسة سقوط قابلة للتحقيق خطًا عاديًا ، وهو خط يحتوي على نقطتين فقط. لا يحتوي مستوى فانو على مثل هذا الخط (أي أنه تكوين سيلفستر-جالاي )، لذا فهو غير قابل للتحقيق. ^[12]

يتكون المربع الكامل من أربع نقاط، لا توجد ثلاث نقاط منها على استقامة واحدة. في المستوى فانو، تكون النقاط الثلاث غير الموجودة على المربع الكامل هي النقاط القطرية لذلك المربع وتكون على استقامة واحدة. وهذا يتناقض مع بديهية فانو ، والتي تُستخدم غالبًا كمبدأ للمستوى الإقليدي، والتي تنص على أن النقاط القطرية الثلاث للرباعي الكامل ليست على استقامة واحدة أبدًا.

المستويات الأفينية

المستوى الأفيني هو فضاء خطي يلبي:

بالنسبة لأي نقطة $A$ والخط $l$ غير المتقاطع معها ( علم مضاد ) يوجد خط واحد $m$ متقاطع مع $A$ (أي $A I m$ )، والذي لا يفي $بـ l$ (المعروف باسم بديهية بلاي فير )،

وتلبية شرط عدم الانحطاط:

يوجد مثلث، أي ثلاث نقاط غير متوازية.

يقال إن الخطين $l$ و $m$ في بيان بديهية بلاي فير متوازيان . يمكن تمديد كل مستوى أفيني بشكل فريد إلى مستوى إسقاطي. رتبة المستوى الأفيني المحدود هي $k$ ، وهو عدد النقاط على الخط. المستوى الأفيني من الرتبة $n$ هو تكوين $((n 2) n + 1 ، (n 2 + n) n)$ .

تكوين هيسه

المستوى الأفيني من الدرجة الثالثة هو تكوين $(9 4 ، 12 3)$ . عندما يتم تضمينه في بعض الفراغات المحيطة، يُطلق عليه تكوين هيس . لا يمكن تحقيقه في المستوى الإقليدي ولكن يمكن تحقيقه في المستوى الإسقاطي المركب كنقاط انعطاف تسعة لمنحنى إهليلجي مع 12 خطًا تتقاطع مع ثلاثيات منها.

يمكن تقسيم الخطوط الاثني عشر إلى أربع فئات من ثلاثة خطوط لكل منها، حيث تكون الخطوط في كل فئة منفصلة عن بعضها البعض. تسمى هذه الفئات فئات الخطوط المتوازية . بإضافة أربع نقاط جديدة، تضاف كل منها إلى جميع خطوط فئة متوازية واحدة (لذا تتقاطع جميع هذه الخطوط الآن)، وخط جديد يحتوي فقط على هذه النقاط الأربع الجديدة ينتج المستوى الإسقاطي من الدرجة الثالثة، وهو تكوين $(13 4)$ . وعلى العكس من ذلك، فإن البدء بالمستوى الإسقاطي من الدرجة الثالثة (وهو فريد) وإزالة أي خط واحد وجميع النقاط على هذا الخط ينتج هذا المستوى التآلفي من الدرجة الثالثة (وهو فريد أيضًا).

يؤدي إزالة نقطة واحدة والخطوط الأربعة التي تمر عبر تلك النقطة (ولكن ليس النقاط الأخرى عليها) إلى تكوين $(8 3)$ موبيوس-كانتور .

الهندسة الجزئية

بالنظر إلى عدد صحيح $α \geq 1$ ، فإن التكوين التكتيكي يلبي:

لكل علم مضاد $(B, m)$ يوجد أعلام $α$ $(A, l)$ بحيث $B I l$ و $A I m$ ،

يُطلق عليه هندسة جزئية . إذا كان هناك $s + 1$ نقطة على خط و $t + 1$ خط يمر عبر نقطة، فإن صيغة الهندسة الجزئية هي $pg(s, t, α)$ .

إذا $α = 1$ فإن هذه الهندسة الجزئية هي رباعيات زوايا معممة .

إذا $α = s + 1$ فإنها تسمى أنظمة شتاينر .

المضلعات المعممة

بالنسبة لـ $n > 2$ ، ^[13]فإن $n$ -gon المعمم هو فضاء خطي جزئي حيث يكون الرسم البياني لسقوطه $Γ$ له الخاصية التالية:

محيط Γ (طول أقصر دورة ) هو ضعف قطر Γ (أكبر مسافة $بين$ رأسين، $n$ $في هذه$ الحالة ).

الشكل ثنائي الأضلاع المعمم هو بنية سقوط، وهي ليست فضاء خطي جزئي، وتتكون من نقطتين على الأقل وخطين، حيث تقع كل نقطة على كل خط. الرسم البياني للسقوط للشكل ثنائي الأضلاع المعمم هو رسم بياني ثنائي الأجزاء كامل.

لا يحتوي مضلع $n$ معمم على مضلع $m$ عادي عندما يكون $2 \leq m < n$ ولكل زوج من الأشياء (نقطتين أو خطين أو نقطة وخط) يوجد مضلع $n$ عادي يحتويهما معًا.

تُعَد الأشكال المعممة ذات الأضلاع الثلاثة مستويات إسقاطية. وتُسمى الأشكال المعممة ذات الأضلاع الأربعة بالمربعات المعممة . ووفقًا لنظرية فيت-هيجمان، فإن الأشكال المعممة المحدودة ذات الأضلاع $n$ الوحيدة التي تحتوي على ثلاث نقاط على الأقل لكل خط وثلاثة خطوط لكل نقطة لها $n$ = 2 أو 3 أو 4 أو 6 أو 8.

بالقرب من المضلعات

بالنسبة لعدد صحيح غير سلبي $d،$ فإن d-gon القريب من $2 d$ هو بنية حدوث بحيث:

المسافة القصوى (كما تم قياسها في الرسم البياني للتوازي الخطي) بين نقطتين هي $d$ ، و
لكل نقطة $X$ ومستقيم $l$ هناك نقطة فريدة على $l$ وهي الأقرب إلى $X.$

إن الشكل القريب ذو 0 ضلع هو نقطة، بينما الشكل القريب ذو ضلعين هو خط. إن الرسم البياني للتوازي الخطي للشكل القريب ذو ضلعين هو رسم بياني كامل . إن الشكل القريب ذو 4 ضلع هو رباعي معمم (ربما متحلل). كل مضلع معمم محدود باستثناء المستويات الإسقاطية هو مضلع قريب. أي رسم بياني ثنائي الأجزاء متصل هو مضلع قريب وأي مضلع قريب يحتوي على نقطتين بالضبط لكل خط هو رسم بياني ثنائي الأجزاء متصل. أيضًا، جميع المساحات القطبية المزدوجة هي مضلعات قريبة.

ترتبط العديد من المضلعات القريبة بمجموعات بسيطة منتهية مثل مجموعات ماثيو ومجموعة جانكو J2 . علاوة على ذلك، فإن المضلعات المعممة ثنائية الأبعاد ، والتي ترتبط بمجموعات من نوع لاي ، هي حالات خاصة للمضلعات القريبة ثنائية الأبعاد .

طائرات موبيوس

المستوى المجرد لموبيوس (أو المستوى العكسي) هو بنية سقوط حيث يُشار إلى الخطوط بدورات أو كتل لتجنب أي ارتباك محتمل مع مصطلحات الحالة الكلاسيكية .

على وجه التحديد، فإن المستوى موبيوس هو بنية سقوط النقاط والدورات بحيث:

كل ثلاثية من النقاط المميزة تصادف دورة واحدة على وجه التحديد.
بالنسبة لأي علم $(P ، z)$ وأي نقطة $Q$ غير واقعة مع $z$ ، توجد دورة فريدة $z *$ مع $P I z * و Q I z *$ و $z \cap z * = {P}$ . (يقال إن الدورات تتلامس عند $P.$ )
كل دورة لها ثلاث نقاط على الأقل ويوجد دورة واحدة على الأقل.

إن بنية السقوط التي يتم الحصول عليها عند أي نقطة $P من مستوى موبيوس عن طريق أخذ جميع النقاط الأخرى غير$ $P$ كنقاط وخطوط فقط تلك الدورات التي تحتوي على $P$ (مع إزالة $P$ )، هي مستوى أفيني. تسمى هذه البنية بالباقي عند P $في$ نظرية التصميم.

المستوى موبيوس المحدود من الرتبة $m$ هو تكوين تكتيكي مع $k = m + 1$ نقطة لكل دورة وهو تصميم ثلاثي ، وتحديدًا تصميم كتلة $3-(م 2 + 1، م + 1، 1)$ .

نظريات الوقوع في المستوى الإقليدي

نظرية سيلفستر-جالاي

كان السؤال الذي طرحه جيه جيه سيلفستر في عام 1893، والذي تم تسويته أخيرًا من قبل تيبور جالاي، يتعلق بحوادث مجموعة محدودة من النقاط في المستوى الإقليدي.

نظرية (سيلفستر-جالاي) : مجموعة محدودة من النقاط في المستوى الإقليدي إما أن تكون على استقامة واحدة أو يوجد خط مستقيم يقع مع اثنتين فقط من النقاط.

يُطلق على الخط الذي يحتوي على نقطتين فقط اسم الخط العادي في هذا السياق. ربما كان سيلفستر قد طرح هذا السؤال أثناء تفكيره في إمكانية تضمين تكوين هيسه.

نظرية دي بروين-إردوش

النتيجة ذات الصلة هي نظرية دي بروين-إردوس . أثبت نيكولاس جوفيرت دي بروين وبول إردوس النتيجة في الإعداد الأكثر عمومية للطائرات الإسقاطية، لكنها لا تزال صالحة في المستوى الإقليدي. النظرية هي: ^[14]

في المستوى الإسقاطي ، تحدد كل مجموعة غير متوازية من النقاط

n

على الأقل

n

خطًا مميزًا.

كما أشار المؤلفون، بما أن إثباتهم كان تركيبيًا، فإن النتيجة تنطبق على إطار أكبر، في الواقع في أي هندسة سقوط حيث يوجد خط فريد من خلال كل زوج من النقاط المميزة. كما ذكروا أنه يمكن إثبات نسخة المستوى الإقليدي من نظرية سيلفستر-جالاي باستخدام الاستقراء .

نظرية سيميريدي-تروتر

يتم تحديد الحد الأقصى لعدد الأعلام التي يتم تحديدها من خلال مجموعة محدودة من النقاط والخطوط التي تحددها بواسطة:

نظرية (سزيمريدي-تروتر) : إذا علمنا أن هناك $n$ نقطة و $m$ خط في المستوى، فإن عدد الأعلام (أزواج النقاط والخطوط الواردة) هو:

O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),

ولا يمكن تحسين هذا الحد إلا من خلال الثوابت الضمنية.

يمكن استخدام هذه النتيجة لإثبات نظرية بيك.

من المفترض وجود حد مماثل لعدد الحوادث لحوادث الدائرة النقطية، ولكن الحدود العليا الأضعف فقط هي المعروفة. ^[15]

نظرية بيك

تنص نظرية بيك على أن المجموعات المحدودة من النقاط في المستوى تقع في أحد طرفي النقيض؛ الأول حيث يقع جزء كبير من النقاط على خط واحد، والثاني حيث يلزم عدد كبير من الخطوط لربط جميع النقاط.

تؤكد النظرية وجود ثوابت موجبة $C و K$ بحيث أنه في حالة وجود $n$ نقطة في المستوى، فإن واحدة على الأقل من العبارات التالية تكون صحيحة:

يوجد خط يحتوي على الأقلن/جمن النقاط.
يوجد على الأقلن ²/كخطوط ، كل منها يحتوي على نقطتين على الأقل.

في حجة بيك الأصلية، $C$ يساوي 100 و $K$ ثابت غير محدد؛ وليس من المعروف ما هي القيم المثلى لـ $C$ و $K.$

انظر أيضا

ملحوظات

^ كما يفعل ل. ستورم، على سبيل المثال، في فصله عن الهندسة المحدودة في كتاب كولبورن ودينيتز (2007، ص 702)
^ من الناحية الفنية، هذا هيكل وقوع من الدرجة الثانية، حيث يشير الترتيب إلى عدد أنواع الكائنات قيد الدراسة (هنا، النقاط والخطوط). كما تمت دراسة الهياكل ذات الترتيب الأعلى، لكن العديد من المؤلفين يقتصرون على حالة الترتيب الثاني، وسوف نفعل ذلك هنا.
^ مورهاوس، ص5
^ ديمبوسكي 1968، ص 5
^ Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , New York: John Wiley & Sons, p. 233, ISBN 978-0-471-50458-0
^ هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال (الطبعة الثانية)، تشيلسي، ص 94-170، ISBN 978-0-8284-1087-8
^ مورهاوس، ص 5
^ هناك عدة بدائل لهذه البديهية "غير التافهة". ويمكن استبدالها بـ "هناك ثلاث نقاط ليست على نفس الخط" كما فعل باتن وبيوتلسباشر (1993، ص 1). هناك خيارات أخرى، ولكن يجب أن تكون دائمًا عبارة عن عبارات وجودية تستبعد الحالات البسيطة للغاية التي يجب استبعادها.
^ Fano، G. (1892)، “Sui postulati fondamentali della Geometria proiettiva”، Giornale di Matematiche ، 30 : 106–132
^ كولينو وكونتي وفيرا 2013، ص. 6
^ هندسة مالكيفيتش المحدودة؟ عمود مميز في AMS
^ أجنر وزيجلر (2010).
^ استخدام $n$ في الاسم هو أمر قياسي ولا ينبغي الخلط بينه وبين عدد النقاط في التكوين.
^ وايزستين، إريك دبليو، “نظرية دي بروين-إردوس” من MathWorld
^ أرونوف، بوريس؛ شارير، ميخا (1 نوفمبر 2002). "قطع الدوائر إلى أجزاء زائفة وتحسين الحدود لنسب حدوثها وتعقيد العديد من الوجوه". الهندسة المنفصلة والحسابية . 28 (4): 475-490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

مراجع

أجنر، مارتن؛ زيجلر، غونتر م. (2010)، "الخطوط في المستوى وتحليل الرسوم البيانية"، أدلة من الكتاب ، سبرينغر، ص. 63-67، doi :10.1007/978-3-642-00856-6_10، ISBN 978-3-642-00855-9
باتن، لين مارجريت (1986)، تركيبات الهندسة المحدودة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-31857-0
باتن، لين مارغريت ؛ بويتلسباخر، ألبريشت (1993)، نظرية المساحات الخطية المحدودة ، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-0-521-33317-7
بوكنهوت، فرانسيس (1995)، دليل هندسة السقوط: المباني والأساسات، إلسيفير، رقم ISBN 978-0-444-88355-1
كولبورن، تشارلز جيه؛ دينيتز، جيفري إتش. (2007)، دليل التصاميم التوليفية (الطبعة الثانية)، بوكا راتون: تشابمان وهول/ سي آر سي، رقم ISBN 978-1-58488-506-1
كولينو، ألبرتو؛ كونتي، ألبرتو؛ فيرا ، أليساندرو (2013). “عن حياة جينو فانو وعمله العلمي”. أرخايف : 1311.7177 [math.HO].
دي بروين، بارت (2016)، مقدمة في هندسة الوقوع ، فرونتيرز في الرياضيات، دار سبرينغر للنشر الدولي، doi :10.1007/978-3-319-43811-5، ISBN 978-3-319-43810-8
ديمبوفسكي ، بيتر (1968)، الهندسة المحدودة ، Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete ، الفرقة 44، برلين، نيويورك: Springer-Verlag ، ISBN 978-3-540-61786-0السيد 0233275
مالكيفيتش، جو. "الهندسة المحدودة؟" . تم الاسترجاع في 2 ديسمبر 2013 .
مورهاوس، ج. إيريك. "هندسة الحدوث" (PDF) . مؤرشف من الأصل (PDF) في 29 أكتوبر 2013. تم الاسترجاع في 20 أكتوبر 2012 .
أوبربيرج، يوهانس (2011)، أسس هندسة الحدوث ، دراسات سبرينغر في الرياضيات، سبرينغر، doi :10.1007/978-3-642-20972-7، ISBN 978-3-642-26960-8.
شولت ، إرنست إي. (2011)، النقاط والخطوط ، Universitext، سبرينغر، دوى :10.1007 / 978-3-642-15627-4، ISBN 978-3-642-15626-7.
بول، سيميون (2015)، الهندسة المحدودة والتطبيقات التوافقية، نصوص طلاب الجمعية الرياضية بلندن، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 978-1107518438.

روابط خارجية

الوسائط ذات الصلة بـ هندسة الوقوع في ويكيميديا كومنز
نظام الحدوث في موسوعة الرياضيات

Original text

Rate this translation

Your feedback will be used to help improve Google Translate

[1] كما يفعل ل. ستورم، على سبيل المثال، في فصله عن الهندسة المحدودة في كتاب كولبورن ودينيتز (2007، ص 702)

[2] من الناحية الفنية، هذا هيكل وقوع من الدرجة الثانية، حيث يشير الترتيب إلى عدد أنواع الكائنات قيد الدراسة (هنا، النقاط والخطوط). كما تمت دراسة الهياكل ذات الترتيب الأعلى، لكن العديد من المؤلفين يقتصرون على حالة الترتيب الثاني، وسوف نفعل ذلك هنا.

[3] مورهاوس، ص5

[4] ديمبوسكي 1968، ص 5

[5] Coxeter, HSM (1969), Introduction to Geometry , New York: John Wiley & Sons, p. 233, ISBN 978-0-471-50458-0

[6] هيلبرت، ديفيد ؛ كوهن-فوسن، ستيفان (1952)، الهندسة والخيال (الطبعة الثانية)، تشيلسي، ص 94-170، ISBN 978-0-8284-1087-8

[7] مورهاوس، ص 5

[8] هناك عدة بدائل لهذه البديهية "غير التافهة". ويمكن استبدالها بـ "هناك ثلاث نقاط ليست على نفس الخط" كما فعل باتن وبيوتلسباشر (1993، ص 1). هناك خيارات أخرى، ولكن يجب أن تكون دائمًا عبارة عن عبارات وجودية تستبعد الحالات البسيطة للغاية التي يجب استبعادها.

[9] Fano، G. (1892)، “Sui postulati fondamentali della Geometria proiettiva”، Giornale di Matematiche ، 30 : 106–132

[10] كولينو وكونتي وفيرا 2013، ص. 6

[11] هندسة مالكيفيتش المحدودة؟ عمود مميز في AMS

[FOOTNOTEAignerZiegler2010-12] أجنر وزيجلر (2010).

[13] استخدام $n$ في الاسم هو أمر قياسي ولا ينبغي الخلط بينه وبين عدد النقاط في التكوين.

[14] وايزستين، إريك دبليو، “نظرية دي بروين-إردوس” من MathWorld

[15] أرونوف، بوريس؛ شارير، ميخا (1 نوفمبر 2002). "قطع الدوائر إلى أجزاء زائفة وتحسين الحدود لنسب حدوثها وتعقيد العديد من الوجوه". الهندسة المنفصلة والحسابية . 28 (4): 475-490. doi : 10.1007/s00454-001-0084-1 .

ف ت هـ هياكل الحدوث
التمثيل	مصفوفة الحدوث الرسم البياني للوقوع
الحقول	التركيبات تصميم الكتل نظام شتاينر الهندسة حدوث المستوى الإسقاطي نظرية الرسم البياني هايبرجراف إحصائيات حجب
التكوينات	رباعية كاملة طائرة فانو تكوين موبيوس-كانتور تكوين بابوس تكوين هيسه تكوين ديسارج تكوين راي تكوين باش شلايفلي دبل سيكس تكوين كريمونا-ريتشموند تكوين كومر تكوين جرونباوم-ريجبي تكوين كلاين مزدوج
نظريات	نظرية سيلفستر-جالاي نظرية دي بروين-إردوش نظرية سزيميري-تروتر نظرية بيك نظرية بروك-رايسر-تشولا
التطبيقات	تصميم التجارب مشكلة تلميذة كيركمان

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗