عدم المساواة عند جنسن

بالنسبة لدالة محدبة حقيقية${\displaystyle \varphi }$الأرقام${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$في نطاقها، والأوزان الموجبة${\displaystyle a_{i}}$يمكن صياغة متباينة جنسن على النحو التالي:

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}}$

1

وتنعكس المتباينة إذا${\displaystyle \varphi }$مقعر ، وهو

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\geq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}.}$

2

تتحقق المساواة إذا وفقط إذا${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}$أو${\displaystyle \varphi }$خطي على نطاق يحتوي${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$.

كحالة خاصة، إذا كانت الأوزان${\displaystyle a_{i}}$إذا كانت جميعها متساوية، فإن ( 1 ) و( 2 ) تصبحان

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}}$

3

${\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}}$

4

على سبيل المثال، الدالة log( x ) مقعرة ، لذا فإن استبدالها${\displaystyle \varphi (x)=\log(x)}$في الصيغة السابقة ( 4 ) يتم إثبات متباينة (لوغاريتم) المتوسط ​​الحسابي/المتوسط ​​الهندسي المألوفة :

$${\displaystyle \log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\geq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}}$$$${\displaystyle \exp \!\left(\log \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{n}}\right)\right)\geq \exp \!\left({\frac {\sum _{i=1}^{n}\log \!\left(x_{i}\right)}{n}}\right)}$$$${\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}}$$

في أحد التطبيقات الشائعة، يكون x دالةً لمتغير آخر (أو مجموعة من المتغيرات) t ، أي${\displaystyle x_{i}=g(t_{i})}$. كل هذا ينتقل مباشرة إلى الحالة العامة المستمرة: يتم استبدال الأوزان a _i بدالة قابلة للتكامل غير سالبة f ( x ) ، مثل توزيع احتمالي ، ويتم استبدال المجاميع بالتكاملات.

يترك${\displaystyle (\Omega ,A,\mu )}$ليكن فضاء احتمالي .${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} }$كن${\displaystyle \mu }$- وظيفة قابلة للتكامل و${\displaystyle \varphi$ إذا كانت المجموعة {R} محدبة، فإن: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \varphi \left(\int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ f\,\mathrm {d} \mu }$$

في التحليل الحقيقي ، قد نحتاج إلى تقدير لـ

${\displaystyle \varphi \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)}$

أين${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$، و${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} }$هي دالة غير سالبة قابلة للتكامل وفقًا لمقياس ليبيغ. في هذه الحالة، يكون مقياس ليبيغ لـ${\displaystyle [a,b]}$ليس بالضرورة أن يكون 1. ومع ذلك، من خلال التكامل بالتعويض، يمكن إعادة قياس الفترة بحيث يكون قياسها 1. ثم يمكن تطبيق متباينة جنسن للحصول على ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \varphi \left({\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}\varphi (f(x))\,dx.}$

يمكن التعبير عن النتيجة نفسها بشكل مكافئ في إطار نظرية الاحتمالات ، من خلال تغيير بسيط في الترميز. ليكن${\displaystyle (\Omega ,{\mathfrak {F}},\operatorname {P} )}$ليكن فضاء احتمالي ، و X متغيرًا عشوائيًا حقيقيًا قابلًا للتكامل، و${\displaystyle \varphi }$دالة محدبة . ثم ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \varphi {\big (}\operatorname {E} [X]{\big )}\leq \operatorname {E} [\varphi (X)].}$$

في هذا السياق الاحتمالي، يُقصد بالمقياس μ أن يكون احتمالًا${\displaystyle \operatorname {P} }$، التكامل بالنسبة إلى μ كقيمة متوقعة${\displaystyle \operatorname {E} }$، والوظيفة${\displaystyle f}$كمتغير عشوائي X.​

لاحظ أن المساواة تتحقق إذا وفقط إذا${\displaystyle \varphi }$هي دالة خطية على مجموعة محدبة ما${\displaystyle A}$بحيث${\displaystyle P(X\in A)=1}$(والذي يتبع ذلك من خلال فحص البرهان النظري للقياس أدناه).

بشكل أعم، ليكن T فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا حقيقيًا ، و X متغيرًا عشوائيًا قابلًا للتكامل ذو قيم في T. في هذا السياق العام، تعني قابلية التكامل وجود عنصر${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$في T ، بحيث يكون لأي عنصر z في الفضاء الثنائي لـ T :${\displaystyle \operatorname {E} |\langle z,X\rangle |<\infty }$، و${\displaystyle \langle z,\operatorname {E} [X]\rangle =\operatorname {E} [\langle z,X\rangle ]}$ثم، لأي دالة محدبة قابلة للقياس φ وأي جبر جزئي من نوع σ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$:

${\displaystyle \varphi \left(\operatorname {E} \left[X\mid {\mathfrak {G}}\right]\right)\leq \operatorname {E} \left[\varphi (X)\mid {\mathfrak {G}}\right].}$

هنا${\displaystyle \operatorname {E} [\cdot \mid {\mathfrak {G}}]}$يرمز إلى التوقع المشروط بجبر سيجما${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$يؤول هذا البيان العام إلى البيانات السابقة عندما يكون الفضاء المتجهي الطوبولوجي T هو المحور الحقيقي ، و${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$هي الجبر التافه σ {∅, Ω} (حيث ∅ هي المجموعة الفارغة ، و Ω هي فضاء العينة ). ^{[ 8 ]}

ليكن X متغيرًا عشوائيًا أحادي البعد بمتوسط${\displaystyle \mu }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$. يترك${\displaystyle \varphi (x)}$لتكن دالة قابلة للتفاضل مرتين، ولنعرف الدالة

${\displaystyle h(x)\triangleq {\frac {\varphi \left(x\right)-\varphi \left(\mu \right)}{\left(x-\mu \right)^{2}}}-{\frac {\varphi '\left(\mu \right)}{x-\mu }}.}$

ثم ^{[ 9 ]}

${\displaystyle \sigma ^{2}\inf {\frac {\varphi ''(x)}{2}}\leq \sigma ^{2}\inf h(x)\leq E\left[\varphi \left(X\right)\right]-\varphi \left(E[X]\right)\leq \sigma ^{2}\sup h(x)\leq \sigma ^{2}\sup {\frac {\varphi ''(x)}{2}}.}$

على وجه الخصوص، عندما${\displaystyle \varphi (x)}$إذا كان محدبًا، فإن${\displaystyle \varphi ''(x)\geq 0}$ويترتب على ذلك مباشرةً الشكل القياسي لمتباينة جنسن في الحالة التي يكون فيها${\displaystyle \varphi (x)}$ويفترض أيضاً أنها قابلة للتفاضل مرتين.

يمكن إثبات متباينة جنسن بعدة طرق، وسنقدم ثلاثة براهين مختلفة تتوافق مع العبارات المختلفة المذكورة أعلاه. قبل الخوض في هذه الاشتقاقات الرياضية، يجدر تحليل حجة بيانية بديهية تستند إلى الحالة الاحتمالية حيث يكون X عددًا حقيقيًا (انظر الشكل). بافتراض توزيع افتراضي لقيم X ، يمكن تحديد موضعها مباشرةً.${\displaystyle \operatorname {E} [X]}$وصورتها${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$في الرسم البياني. بملاحظة أنه بالنسبة للتطبيقات المحدبة Y = φ ( x ) لبعض قيم x ، فإن التوزيع المقابل لقيم Y يزداد "امتدادًا لأعلى" مع ازدياد قيم X ، فمن السهل أن نرى أن توزيع Y يكون أوسع في الفترة المقابلة لـ X > X₀ وأضيق في X < X₀ لأي قيمة لـ _X₀ ؛ _{وعلى وجه} الخصوص، ينطبق هذا أيضًا على${\displaystyle X_{0}=\operatorname {E} [X]}$وبالتالي، في هذه الصورة، ستتحرك القيمة المتوقعة لـ Y دائمًا إلى الأعلى بالنسبة لموقع${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])}$وينطبق منطق مماثل إذا كان توزيع X يغطي جزءًا متناقصًا من الدالة المحدبة، أو جزءًا متناقصًا وآخر متزايدًا منها. وهذا "يثبت" المتباينة، أي

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X])\leq \operatorname {E} [\varphi (X)]=\operatorname {E} [Y],}$

مع المساواة عندما لا يكون φ ( X ) محدبًا تمامًا، على سبيل المثال عندما يكون خطًا مستقيمًا، أو عندما يتبع X توزيعًا منحطًا (أي ثابتًا).

تُضفي البراهين التالية طابعاً رسمياً على هذا المفهوم البديهي.

إذا كان _λ₁ و λ₂ عددين حقيقيين غير سالبين بحيث يكون λ₁ ₊ λ₂ = 1 _، فإن تحدب _φ يستلزم

${\displaystyle \forall x_{1},x_{2}:\qquad \varphi \left(\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}\right)\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2}).}$

يمكن تعميم ذلك: إذا كانت _λ₁ ، ...، _λₙ أعدادًا _حقيقية غير سالبة بحيث يكون _λ₁ + ... + λₙ = 1 ، فإن

${\displaystyle \varphi (\lambda _{1}x_{1}+\lambda _{2}x_{2}+\cdots +\lambda _{n}x_{n})\leq \lambda _{1}\,\varphi (x_{1})+\lambda _{2}\,\varphi (x_{2})+\cdots +\lambda _{n}\,\varphi (x_{n}),}$

لأي x ₁ ، ... ، x _n .

يمكن إثبات الصيغة المحدودة لمتباينة جنسن بالاستقراء : بناءً على فرضيات التحدب، تكون العبارة صحيحة عندما n  =  2. لنفترض أن العبارة صحيحة لبعض قيم n ، إذن

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\varphi \left(x_{i}\right)}$

لأي λ ₁ ، ... ، λ _n بحيث يكون λ ₁ + ... + λ _n = 1 .

يجب إثبات ذلك لـ n + 1. على الأقل أحد قيم λ _i أصغر تمامًا من${\displaystyle 1}$لنفترض أن λ _{n +1} ؛ وبالتالي، بحسب متباينة التحدب:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&=\varphi \left((1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}+\lambda _{n+1}x_{n+1}\right)\\&\leq (1-\lambda _{n+1})\varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1}).\end{aligned}}}$

بما أن lect ₁ + ... + lect _n + lect _{n +1} = 1 ,

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}=1}$،

بتطبيق الفرضية الاستقرائية نحصل على

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}x_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})}$

لذلك

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}x_{i}\right)&\leq (1-\lambda _{n+1})\sum _{i=1}^{n}{\frac {\lambda _{i}}{1-\lambda _{n+1}}}\varphi (x_{i})+\lambda _{n+1}\,\varphi (x_{n+1})=\sum _{i=1}^{n+1}\lambda _{i}\varphi (x_{i})\end{aligned}}}$

نستنتج أن المتباينة صحيحة لـ n + 1 ، وبالاستقراء يتبع أن النتيجة صحيحة أيضًا لجميع الأعداد الصحيحة n الأكبر من 2.

للحصول على المتباينة العامة من هذه الصيغة المحدودة، يلزم استخدام حجة الكثافة. ويمكن إعادة كتابة الصيغة المحدودة على النحو التالي:

${\displaystyle \varphi \left(\int x\,d\mu _{n}(x)\right)\leq \int \varphi (x)\,d\mu _{n}(x),}$

حيث μ _n هو مقياس معطى بواسطة تركيبة محدبة عشوائية من دلتا ديراك :

${\displaystyle \mu _{n}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\delta _{x_{i}}.}$

بما أن الدوال المحدبة متصلة ، وبما أن التركيبات المحدبة لدلتا ديراك كثيفة بشكل ضعيف في مجموعة مقاييس الاحتمال (كما يمكن التحقق منه بسهولة)، فإن البيان العام يتم الحصول عليه ببساطة عن طريق إجراء تقريبي.

يترك${\displaystyle g}$كن ذا قيمة حقيقية${\displaystyle \mu }$دالة قابلة للتكامل على فضاء احتمالي${\displaystyle \Omega }$ودع${\displaystyle \varphi }$لتكن دالة محدبة على الأعداد الحقيقية.${\displaystyle \varphi }$محدبة، عند كل عدد حقيقي${\displaystyle x}$لدينا مجموعة غير فارغة من المشتقات الفرعية ، والتي يمكن اعتبارها خطوطًا تلامس الرسم البياني لـ${\displaystyle \varphi }$في${\displaystyle x}$، ولكنها تقع أسفل الرسم البياني لـ${\displaystyle \varphi }$في جميع النقاط (خطوط الدعم في الرسم البياني).

الآن، إذا قمنا بتعريف

${\displaystyle x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,}$

بسبب وجود المشتقات الجزئية للدوال المحدبة، يمكننا اختيار${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$بحيث

${\displaystyle ax+b\leq \varphi (x),}$

لكل حقيقي${\displaystyle x}$و

${\displaystyle ax_{0}+b=\varphi (x_{0}).}$

لكن لدينا ذلك

${\displaystyle \varphi \circ g(\omega )\geq ag(\omega )+b}$

بالنسبة للجميع تقريباً${\displaystyle \omega \in \Omega }$بما أن لدينا مقياس احتمالي، فإن التكامل يكون رتيبًا مع${\displaystyle \mu (\Omega )=1}$لهذا السبب.

${\displaystyle \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu \geq \int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu =a\int _{\Omega }g\,d\mu +b\int _{\Omega }d\mu =ax_{0}+b=\varphi (x_{0})=\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right),}$

حسب الرغبة.

ليكن X متغيرًا عشوائيًا قابلًا للتكامل يأخذ قيمًا في فضاء متجهي طوبولوجي حقيقي T. بما أن${\displaystyle \varphi :T\to \mathbb {R} }$محدبة، لأي${\displaystyle x,y\in T}$الكمية

${\displaystyle {\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }},}$

تتناقص القيمة كلما اقتربت θ ^{من 0+} . على وجه الخصوص، التفاضل الجزئي لـ${\displaystyle \varphi }$يتم تعريف الدالة عند النقطة x في الاتجاه y بشكل جيد بواسطة

${\displaystyle (D\varphi )(x)\cdot y:=\lim _{\theta \downarrow 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}=\inf _{\theta \neq 0}{\frac {\varphi (x+\theta \,y)-\varphi (x)}{\theta }}.}$

من السهل ملاحظة أن التفاضل الجزئي خطي في y (وهذا خطأ، ويتطلب هذا الادعاء إثبات نظرية هان-باناخ)، وبما أن القيمة الدنيا المأخوذة في الطرف الأيمن من الصيغة السابقة أصغر من قيمة الحد نفسه عندما θ = 1 ، نحصل على

${\displaystyle \varphi (x)\leq \varphi (x+y)-(D\varphi )(x)\cdot y.}$

على وجه الخصوص، بالنسبة لجبر فرعي عشوائي من نوع σ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$يمكننا تقييم المتباينة الأخيرة عندما${\displaystyle x=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}],\,y=X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]}$للحصول على

${\displaystyle \varphi (\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\leq \varphi (X)-(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]).}$

الآن، إذا أخذنا التوقع المشروط بـ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$على جانبي التعبير السابق، نحصل على النتيجة لأن:

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left[(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot (X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\right]\mid {\mathfrak {G}}\right]=(D\varphi )(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}])\cdot \operatorname {E} [\left(X-\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}]=0,}$

وذلك من خلال خطية التفاضل الجزئي في المتغير y ، والخاصية المعروفة التالية للتوقع الشرطي :

${\displaystyle \operatorname {E} \left[\left(\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}]\right)\mid {\mathfrak {G}}\right]=\operatorname {E} [X\mid {\mathfrak {G}}].}$

لنفترض أن Ω هي مجموعة جزئية قابلة للقياس من خط الأعداد الحقيقية، وأن f ( x ) دالة غير سالبة بحيث

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1.}$

في لغة الاحتمالات، f هي دالة كثافة الاحتمال .

عندئذٍ تصبح متباينة جنسن العبارة التالية حول التكاملات المحدبة:

إذا كانت g أي دالة قابلة للقياس ذات قيم حقيقية و${\textstyle \varphi }$إذا كانت الدالة محدبة على مدى الدالة g ، فإن

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (g(x))f(x)\,dx.}$

إذا كانت g ( x ) = x ، فإن هذا الشكل من المتباينة يختزل إلى حالة خاصة شائعة الاستخدام:

${\displaystyle \varphi \left(\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx\right)\leq \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,f(x)\,dx.}$

يتم تطبيق هذا في طرق بايز المتغيرة .

إذا كانت g ( x ) = x²ⁿ ^، و X متغير عشوائي، فإن g تكون محدبة عندما

${\displaystyle {\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}(x)=2n(2n-1)x^{2n-2}\geq 0\quad \forall \ x\in \mathbb {R} }$

وهكذا

${\displaystyle g(\operatorname {E} [X])=(\operatorname {E} [X])^{2n}\leq \operatorname {E} [X^{2n}].}$

على وجه الخصوص، إذا كان أحد العزوم الزوجية 2n للمتغير العشوائي X محدودًا، فإن X له متوسط ​​محدود. ويُظهر امتداد هذه الحجة أن X له عزوم محدودة من كل رتبة.${\displaystyle l\in \mathbb {N} }$قسمة ن .

لنفترض أن Ω = { x ₁ , ... x _n }، ولنأخذ μ كمقياس العد على Ω ، فإن الشكل العام يختزل إلى عبارة حول المجاميع:

${\displaystyle \varphi \left(\sum _{i=1}^{n}g(x_{i})\lambda _{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\varphi (g(x_{i}))\lambda _{i},}$

بشرط أن يكون λ _i ≥ 0 و

${\displaystyle \lambda _{1}+\cdots +\lambda _{n}=1.}$

يوجد أيضاً شكل منفصل لانهائي.

تُعدّ متباينة جنسن ذات أهمية خاصة في الفيزياء الإحصائية عندما تكون الدالة المحدبة دالة أسية، مما يُعطي:

${\displaystyle e^{\operatorname {E} [X]}\leq \operatorname {E} \left[e^{X}\right],}$

حيث تكون القيم المتوقعة بالنسبة لتوزيع احتمالي معين في المتغير العشوائي X.

إذا كانت p ( x ) هي دالة الكثافة الاحتمالية الحقيقية لـ X ، و q ( x ) هي دالة كثافة أخرى، فإن تطبيق متباينة جنسن للمتغير العشوائي Y ( X ) = q ( X )/ p ( X ) والدالة المحدبة φ ( y ) = −log( y ) يعطي

${\displaystyle \operatorname {E} [\varphi (Y)]\geq \varphi (\operatorname {E} [Y])}$

لذلك:

${\displaystyle -D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {q(x)}{p(x)}}\right)\,dx\leq \log \left(\int p(x){\frac {q(x)}{p(x)}}\,dx\right)=\log \left(\int q(x)\,dx\right)=0}$

نتيجة تسمى متباينة جيبس .

يُظهر ذلك أن متوسط ​​طول الرسالة يُقلل إلى أدنى حد عند تعيين الرموز بناءً على الاحتمالات الحقيقية p بدلاً من أي توزيع آخر q . تُسمى الكمية غير السالبة تباعد كولباك-لايبير لـ q عن p ، حيث${\displaystyle D(p(x)\|q(x))=\int p(x)\log \left({\frac {p(x)}{q(x)}}\right)dx}$.

بما أن −log( x ) دالة محدبة تمامًا لـ x > 0 ، فإنه يترتب على ذلك أن المساواة تتحقق عندما يكون p ( x ) مساويًا لـ q ( x ) في كل مكان تقريبًا.

إذا كانت L دالة محدبة و${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$إذن، من خلال الصيغة الشرطية لمتباينة جنسن، نحصل على جبر سيجما الفرعي

${\displaystyle L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))\mid {\mathfrak {G}}]\quad \Longrightarrow \quad \operatorname {E} [L(\operatorname {E} [\delta (X)\mid {\mathfrak {G}}])]\leq \operatorname {E} [L(\delta (X))].}$

إذا كان δ( X ) مُقدِّرًا لمعلمة غير مُلاحظة θ مُعطى متجهًا من المُتغيرات المُلاحظة X ؛ وإذا كانت T ( X ) إحصائية كافية لـ θ؛ فإنه يُمكن الحصول على مُقدِّر مُحسَّن، بمعنى أن يكون له خسارة مُتوقعة أقل L ، عن طريق حساب

${\displaystyle \delta _{1}(X)=\operatorname {E} _{\theta }[\delta (X')\mid T(X')=T(X)],}$

القيمة المتوقعة لـ δ بالنسبة إلى θ، مأخوذة على جميع متجهات المشاهدات X الممكنة المتوافقة مع نفس قيمة T ( X ) التي تمت ملاحظتها. علاوة على ذلك، ولأن T إحصائية كافية،${\displaystyle \delta _{1}(X)}$لا يعتمد على θ، وبالتالي يصبح إحصائية.

تُعرف هذه النتيجة باسم نظرية راو-بلاكويل .

يمكن التعبير عن العلاقة بين النفور من المخاطرة وتناقص المنفعة الحدية للنتائج العددية بشكل رسمي باستخدام متباينة جنسن: يمكن تعريف النفور من المخاطرة بأنه تفضيل لنتيجة معينة${\displaystyle u(E[x])}$إلى مقامرة عادلة ذات نتائج محتملة أكبر ولكنها غير مؤكدة${\displaystyle u(x)}$:

${\displaystyle u(E[x])>E[u(x)]}$.

لكن هذه ببساطة متباينة جنسن لدالة مقعرة${\displaystyle u(x)}$: دالة منفعة تُظهر تناقصًا في المنفعة الحدية. ^{[ 11 ]}