توزيع كانياداكيس الأسي

يتميز التوزيع الأسي κ من النوع الأول بعزم من الرتبة${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$معطى بواسطة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {1-\kappa ^{2}}{\prod _{n=0}^{m+1}[1-(2n-m-1)\kappa ]}}{\frac {m!}{\beta ^{m}}}}$

أين${\displaystyle f_{\kappa }(x)}$تكون محدودة إذا${\displaystyle 0<m+1<1/\kappa }$.

يُعرَّف التوقع على النحو التالي:

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}}$

والتباين هو:

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {2(1-4\kappa ^{2})^{2}-(1-\kappa ^{2})^{2}(1-9\kappa ^{2})}{(1-4\kappa) ^{2})^{2}(1-9\كابا ^{2})}}}$

يمكن حساب التفرطح لتوزيع كابا الأسي من النوع الأول من خلال ما يلي :

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{4}}{\sigma _{\kappa }^{4}}}\right]}$

وبالتالي، فإن التفرطح لتوزيع κ الأسي من النوع الأول يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(1-\kappa ^{2})(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(1-4\kappa ^{2})^{4}(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}$

أو

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {9(9\kappa ^{2}-1)^{2}(\kappa ^{2}-1)(1200\kappa ^{14}-6123\kappa ^{12}+562\kappa ^{10}+1539\kappa ^{8}-544\kappa ^{6}+143\kappa ^{4}-18\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{2}(1-4\kappa ^{2})^{2}(9\kappa ^{6}+13\kappa ^{4}-5\kappa ^{2}+1)(3600\kappa ^{8}-4369\kappa ^{6}+819\kappa ^{4}-51\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/5}$

يتم استعادة التفرطح للتوزيع الأسي العادي في النهاية${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$.

يمكن حساب معامل التواء التوزيع الأسي من النوع الأول من خلال ما يلي :

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1-\kappa ^{2}}{1-4\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}$

وبالتالي، فإن معامل التواء التوزيع الأسي من النوع الأول κ يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Shew} [X]={\frac {2(1-\kappa ^{2})(144\kappa ^{8}+23\kappa ^{6}+27\kappa ^{4}-6\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(4\kappa ^{2}-1)^{3}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

يتم استعادة التفرطح للتوزيع الأسي العادي في النهاية${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$.

يتميز التوزيع الأسي κ من النوع الثاني بعزم من الرتبة${\displaystyle m<1/\kappa }$معطى بواسطة ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \operatorname {E} [X^{m}]={\frac {\beta ^{-m}m!}{\prod _{n=0}^{m}[1-(2n-m)\kappa ]}}}$

القيمة المتوقعة والتباين هما:

${\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} [X]=\sigma _{\kappa }^{2}={\frac {1}{\beta ^{2}}}{\frac {1+2\kappa ^{4}}{(1-4\kappa ^{2})(1-\kappa ^{2})^{2}}}}$

المنوال يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle x_{\textrm {mode}}={\frac {1}{\kappa \beta {\sqrt {2(1-\kappa ^{2})}}}}}$

يمكن حساب التفرطح لتوزيع كابا الأسي من النوع الثاني من خلال ما يلي:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}}{\sigma _{\kappa }}}\right)^{4}\right]}$

وبالتالي، فإن التفرطح لتوزيع κ الأسي من النوع الثاني يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{\beta ^{4}\sigma _{\kappa }^{4}(\kappa ^{2}-1)^{4}(576\kappa ^{6}-244\kappa ^{4}+29\kappa ^{2}-1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

أو

${\displaystyle \operatorname {Kurt} [X]={\frac {3(72\kappa ^{10}-360\kappa ^{8}-44\kappa ^{6}-32\kappa ^{4}+7\kappa ^{2}-3)}{(4\kappa ^{2}-1)^{-1}(2\kappa ^{4}+1)^{2}(144\kappa ^{4}-25\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{ for }}\quad 0\leq \kappa <1/4}$

يمكن حساب معامل التواء التوزيع الأسي من النوع الثاني من خلال ما يلي :

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=\operatorname {E} \left[{\frac {\left[X-{\frac {1}{\beta }}{\frac {1}{1-\kappa ^{2}}}\right]^{3}}{\sigma _{\kappa }^{3}}}\right]}$

وبالتالي، فإن معامل التواء التوزيع الأسي κ من النوع الثاني يُعطى بالصيغة التالية:

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]=-{\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{\beta ^{3}\sigma _{\kappa }^{3}(\kappa ^{2}-1)^{3}(36\kappa ^{4}-13\kappa ^{2}+1)}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}$

أو

${\displaystyle \operatorname {Skew} [X]={\frac {2(15\kappa ^{6}+6\kappa ^{4}+2\kappa ^{2}+1)}{(1-9\kappa ^{2})(2\kappa ^{4}+1)}}{\sqrt {\frac {1-4\kappa ^{2}}{1+2\kappa ^{4}}}}\quad {\text{for}}\quad 0\leq \kappa <1/3}$

يتم استعادة انحراف التوزيع الأسي العادي في النهاية${\displaystyle \kappa \rightarrow 0}$.

يتم تحديد الكميات المئوية من خلال التعبير التالي

${\displaystyle x_{\textrm {quantile}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }{\Bigg (}{\frac {1}{1-F_{\kappa }}}{\Bigg )}}$

مع${\displaystyle 0\leq F_{\kappa }\leq 1}$، حيث يكون الوسيط هو الحالة  :

${\displaystyle x_{\textrm {median}}(F_{\kappa })=\beta ^{-1}\ln _{\kappa }(2)}$

يُعطى منحنى لورنز المرتبط بالتوزيع الأسي κ من النوع الثاني بواسطة : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\kappa }(F_{\kappa })=1+{\frac {1-\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1+\kappa }-{\frac {1+\kappa }{2\kappa }}(1-F_{\kappa })^{1-\kappa }}$

معامل جيني هو

${\displaystyle \operatorname {G} _{\kappa }={\frac {2+\kappa ^{2}}{4-\kappa ^{2}}}}$

يتصرف التوزيع الأسي κ من النوع الثاني بشكل تقاربي على النحو التالي: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }f_{\kappa }(x)\sim \kappa ^{-1}(2\kappa \beta )^{-1/\kappa }x^{(-1-\kappa )/\kappa }}$

${\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f_{\kappa }(x)=\beta }$