معادلة كبلر

معادلة كبلر القطعية هي:

أين${\displaystyle H}$هي الشذوذ الزائدي اللامركزي. تُشتق هذه المعادلة بإعادة تعريف M لتكون الجذر التربيعي لـ -1 مضروبًا في الطرف الأيمن من المعادلة الإهليلجية:

${\displaystyle M=i\left(E-e\sin E\right)}$

(التي فيها${\displaystyle E}$(أصبح الآن خيالياً) ثم استبداله${\displaystyle E}$بواسطة${\displaystyle iH}$.

معادلة كبلر الشعاعية في حالة عدم امتلاك الجسم طاقة كافية للهروب هي:

أين${\displaystyle t}$يتناسب مع الزمن و${\displaystyle x}$تتناسب هذه القيمة طرديًا مع المسافة من مركز الجذب على طول الشعاع، وتصل إلى القيمة 1 عند أقصى مسافة. تُشتق هذه المعادلة بضرب معادلة كبلر في 1/2 ووضع${\displaystyle e}$إلى 1:

${\displaystyle t(x)={\frac {1}{2}}\left[E-\sin E\right].}$

ثم إجراء الاستبدال

${\displaystyle E=2\sin ^{-1}({\sqrt {x}}).}$

المعادلة الشعاعية التي تحدد متى يمتلك الجسم طاقة كافية للهروب هي:

عندما تكون الطاقة هي الحد الأدنى المطلوب للهروب، فإن الوقت يتناسب ببساطة مع المسافة مرفوعة للأس 3/2.

معادلة كبلر العكسية هي حل معادلة كبلر لجميع القيم الحقيقية لـ${\displaystyle e}$:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\bigg (}{\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}{\bigg )}^{\!\!\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e=1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\Bigg (}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}{\bigg (}{\Big (}{\frac {\theta }{\theta -e\sin(\theta )}}{\Big )}^{\!n}{\bigg )}{\Bigg )},&e\neq 1\end{cases}}}$

ويؤدي تقييم هذا إلى:

${\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle s+{\frac {1}{60}}s^{3}+{\frac {1}{1400}}s^{5}+{\frac {1}{25200}}s^{7}+{\frac {43}{17248000}}s^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}s^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}s^{13}+\cdots {\text{ with }}s=(6M)^{1/3},&e=1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-e}}M-{\frac {e}{(1-e)^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9e^{2}+e)}{(1-e)^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225e^{3}+54e^{2}+e)}{(1-e)^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025e^{4}+4131e^{3}+243e^{2}+e)}{(1-e)^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&e\neq 1\end{cases}}}$

يمكن إعادة إنتاج هذه المتسلسلات في برنامج Mathematica باستخدام عملية InverseSeries.

InverseSeries[Series[M-Sin[M],{M,0,10}]]

InverseSeries[Series[M-eSin[M],{M,0,10}]]

هذه الدوال عبارة عن متسلسلات ماكلورين بسيطة . وتُعتبر تمثيلات متسلسلات تايلور هذه للدوال المتسامية بمثابة تعريفات لتلك الدوال. لذلك، يُعد هذا الحل تعريفًا رسميًا لمعادلة كبلر العكسية. ومع ذلك،${\displaystyle E}$ليست وظيفة كاملة لـ${\displaystyle M}$عند قيمة معينة غير صفرية${\displaystyle e}$في الواقع، المشتق

${\displaystyle \mathrm {dM} /\mathrm {d} E=1-e\cos E}$

يؤول إلى الصفر عند مجموعة لانهائية من الأعداد المركبة عندما${\displaystyle e<1,}$أقرب قيمة للصفر هي عند${\displaystyle E=\pm i\cosh ^{-1}(1/e),}$وعند هاتين النقطتين

${\displaystyle M=E-e\sin E=\pm i\left(\cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}\right)}$

(حيث يُعتبر معكوس التسارع موجباً)،${\displaystyle \mathrm {d} E/\mathrm {d} M}$تؤول إلى اللانهاية عند هذه القيم من${\displaystyle M}$وهذا يعني أن نصف قطر تقارب متسلسلة ماكلورين هو${\displaystyle \cosh ^{-1}(1/e)-{\sqrt {1-e^{2}}}}$ولن تتقارب المتسلسلة لقيم${\displaystyle M}$أكبر من ذلك. يمكن استخدام المتسلسلة أيضًا في الحالة الزائدية، وفي هذه الحالة يكون نصف قطر التقارب هو${\displaystyle \cos ^{-1}(1/e)-{\sqrt {e^{2}-1}}.}$المسلسل المناسب لـ${\displaystyle e=1}$يتقارب عندما${\displaystyle M<2\pi }$.

مع أن هذا الحل هو الأبسط من الناحية الرياضية، إلا أن هناك حلولاً أخرى أفضل في معظم التطبيقات. ويمكن بدلاً من ذلك حل معادلة كبلر عددياً.

الحل لـ${\displaystyle e\neq 1}$تم اكتشافه بواسطة كارل ستامبف في عام 1968، ^{[ 14 ]} ولكن لم يتم الاعتراف بأهميته. ^{[ 15 ]}

يمكن للمرء أيضًا كتابة سلسلة ماكلورين في${\displaystyle e}$لا تتقارب هذه المتسلسلة عندما${\displaystyle e}$وهي أكبر من حد لابلاس (حوالي 0.66)، بغض النظر عن قيمة${\displaystyle M}$(إلا إذا${\displaystyle M}$(وهو مضاعف لـ 2π )، ولكنه يتقارب لجميع${\displaystyle M}$لو${\displaystyle e}$أقل من حد لابلاس. معاملات المتسلسلة، باستثناء المعامل الأول (وهو ببساطة${\displaystyle M}$يعتمد على${\displaystyle M}$بشكل دوري بفترة 2π .

معادلة كبلر الشعاعية العكسية (${\displaystyle e=1}$) أما في حالة عدم امتلاك الجسم طاقة كافية للهروب، فيمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle x(t)=\sum _{n=1}^{\infty }\left[\lim _{r\to 0^{+}}\left({\frac {t^{{\frac {2}{3}}n}}{n!}}{\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} r^{\,n-1}}}\!\left(r^{n}\left({\frac {3}{2}}{\Big (}\sin ^{-1}({\sqrt {r}})-{\sqrt {r-r^{2}}}{\Big )}\right)^{\!-{\frac {2}{3}}n}\right)\right)\right]}$

ويؤدي تقييم هذا إلى:

${\displaystyle x(t)=p-{\frac {1}{5}}p^{2}-{\frac {3}{175}}p^{3}-{\frac {23}{7875}}p^{4}-{\frac {1894}{3031875}}p^{5}-{\frac {3293}{21896875}}p^{6}-{\frac {2418092}{62077640625}}p^{7}-\ \cdots \ {\bigg |}{p=\left({\tfrac {3}{2}}t\right)^{2/3}}}$

للحصول على هذه النتيجة باستخدام برنامج Mathematica :

InverseSeries[Series[ArcSin[Sqrt[t]]-Sqrt[(1-t)t],{t,0,15}]]

بالنسبة لمعظم التطبيقات، يمكن حساب المسألة العكسية عددياً عن طريق إيجاد جذر الدالة:

${\displaystyle f(E)=E-e\sin(E)-M(t)}$

يمكن القيام بذلك بشكل تكراري عبر طريقة نيوتن :

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {f(E_{n})}{f'(E_{n})}}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}}$

لاحظ أن${\displaystyle E}$و${\displaystyle M}$تُقاس القيم في هذه الحسابات بوحدات الراديان. وتُكرر هذه العملية حتى يتم الحصول على الدقة المطلوبة (على سبيل المثال، عندما${\displaystyle f(E)}$(الدقة المطلوبة). بالنسبة لمعظم المدارات الإهليلجية، تكون القيمة الأولية لـ${\displaystyle E_{0}=M(t)}$يكفي. بالنسبة للمدارات ذات${\displaystyle e>0.8}$، قيمة ابتدائية لـ${\displaystyle E_{0}=\pi }$يمكن استخدامها. وقد طورت العديد من الدراسات تخمينات دقيقة (وأيضًا أكثر تعقيدًا) للبداية. ^{[ 16 ]} إذا${\displaystyle e}$إذا كانت قيمة تساوي 1، فإن مشتقة${\displaystyle f}$قد تقترب قيمة ، الموجودة في مقام طريقة نيوتن، من الصفر، مما يجعل الطرق القائمة على المشتقات، مثل طريقة نيوتن-رافسون، وطريقة القاطع، وطريقة regula falsi، غير مستقرة عدديًا. في هذه الحالة، تضمن طريقة التنصيف التقارب، خاصةً وأن الحل يمكن أن يكون محصورًا في فترة أولية صغيرة. على الحواسيب الحديثة، من الممكن تحقيق دقة تصل إلى 4 أو 5 أرقام في 17 إلى 18 تكرارًا. ^{[ 17 ]} يمكن استخدام نهج مماثل للصيغة القطعية لمعادلة كبلر. ^{[ 18 ] : 66-67.} في حالة المسار المكافئ، تُستخدم معادلة باركر .

تبدأ طريقة ذات صلة بالإشارة إلى أن${\displaystyle E=M+e\sin {E}}$. استبدال التعبير الموجود على اليمين بشكل متكرر بـ${\displaystyle E}$يُقدّم الشكل على اليمين خوارزمية تكرارية بسيطة ذات نقطة ثابتة لتقييم${\displaystyle E(e,M)}$هذه الطريقة مطابقة لحل كيبلر عام 1621. ^{[ 4 ]} في الشفرة الزائفة :

دالة E ( e , M , n ) E = M من أجل k = 1 إلى n E = M + e * sin E التالي k إرجاع E

عدد التكرارات،${\displaystyle n}$، يعتمد على قيمة${\displaystyle e}$وبالمثل، فإن الشكل الزائدي له${\displaystyle H=\sinh ^{-1}\left({\frac {H+M}{e}}\right)}$.

ترتبط هذه الطريقة بحل طريقة نيوتن المذكور أعلاه من حيث أن

${\displaystyle E_{n+1}=E_{n}-{\frac {E_{n}-e\sin(E_{n})-M(t)}{1-e\cos(E_{n})}}=E_{n}+{\frac {(M+e\sin {E_{n}}-E_{n})(1+e\cos {E_{n}})}{1-e^{2}(\cos {E_{n}})^{2}}}}$

للطلب أولاً بكميات صغيرة${\displaystyle M-E_{n}}$و${\displaystyle e}$،

${\displaystyle E_{n+1}\approx M+e\sin {E_{n}}}$.