Astronomia nova

في الجزء الأول، يدرس كيبلر العلاقة بين مختلف الفرضيات الفلكية التي كانت مستخدمة في ذلك الوقت.

في الفصول من 1 إلى 3 ، يُبين أن النماذج الشمسية المركزية والأرضية المركزية وتيكو متكافئة رياضيًا ، إذ تتنبأ جميعها بنفس المواقع الزاوية للأجرام السماوية، كما أن التغير في المسافة لأي كوكب متطابق في النماذج الثلاثة. ويعود ذلك إلى أن الدائرة التدويرية في النموذج الأرضي المركزي تؤدي نفس دور مدار الأرض في النموذج الشمسي المركزي ومدار الشمس في نموذج تيكو. ^{[ 7 ]} إلا أن حركة الكواكب تُلاحظ بأنها غير منتظمة، حتى لو تجاهلنا تأثيرات الدائرة التدويرية أو حركة الأرض. وقدّم بطليموس وكوبرنيكوس تفسيرين مختلفين لذلك. استخدم بطليموس دائرة متساوية المركز ودائرة لا مركزية، بينما أدرك كوبرنيكوس أنه يستطيع الجمع بين دائرتين تدويريتين لتفسير التأثير نفسه. ^{[ 8 ]} ومع ذلك، بيّن كبلر أن تفسير كوبرنيكوس يُعادل ببساطة نقطة متساوية المركز مع مدار غير دائري. كان الاختلاف في التوقعات بين التفسيرين طفيفًا، وهما متكافئان من الناحية العملية.

في الفصول من 4 إلى 6 ، يتناول كبلر تفسيرًا أكثر منطقية من الناحية الفيزيائية للحركة غير المنتظمة. يفترض أن سرعة الكوكب تتناسب عكسيًا مع بُعده عن الشمس. وقد أظهرت الحسابات أن هذا التفسير يتوافق مع تنبؤات المدارات المدارية أو مدارات كوبرنيكوس. لكن هذا التفسير يتطلب من كبلر افتراض أن خط الأوج لجميع الكواكب يتقاطع عند الشمس، بينما افترض بطليموس وكوبرنيكوس أن هذه النقطة هي مركز مدار الأرض/الشمس، والذي كان يُشار إليه باسم الشمس المتوسطة . الفرق بين التنبؤين طفيف، ولكنه يتضخم إذا أُخذ تأثير مدار الأرض في الحسبان، وفي هذه الحالة قد يصل الفرق إلى حد كبير.${\textstyle 1\circ }$، وهو أمر قابل للقياس بالتأكيد. ^{[ 9 ]}

في الجزء الثاني، يقدم كيبلر فرضية النقل غير المباشر ، وهي أول فرضية له لتفسير حركة المريخ.

في الفصول من 7 إلى 10 ، يروي كيبلر قصة اطلاعه على مشكلة مدار المريخ. كان تيكو ومساعده يعملان على نظرية للمريخ، لكنهما فشلا في تفسير موقعه المرصود بدقة. تضمنت بيانات تيكو الرصدية 12 تقابلًا للمريخ، حدد من خلالها موقعه في خطوط الطول والعرض على مستوى مسار الشمس . تمكنا من وضع نظرية تتوافق مع خطوط الطول المرصودة بدقة تصل إلى دقيقتين قوسيتين ، إلا أنها فشلت تمامًا في تفسير خطوط العرض. عندها كُلِّف كيبلر بوضع نظرية أكثر دقة تتوافق مع هذه البيانات الرصدية.

كانت خطوته الأولى هي وضع تعريف دقيق للتقابل. وبما أن الكواكب لا تدور في نفس المستوى ، فإنها عموماً لا تصل أبداً إلى نفس المستوى بالضبط.${\textstyle 180\circ }$في الفصل الزاوي . افترض بطليموس أن الكوكب يصل إلى التقابل عندما يكون خط طوله على دائرة البروج 180 درجة من متوسط ​​موقع الشمس . يتجاهل هذا التعريف خط عرض دائرة البروج، لذا عند إنشاء جدول التقابلات، اقترح مساعد تيكو تصحيحًا لمراعاة ذلك، وذلك بقياس الزاوية بين الشمس وإحدى العقد على دائرة البروج، لتكون مساوية للزاوية بين الكوكب والعقدة المقابلة المقاسة على طول مسار الكوكب. لكن كبلر أثبت خطأ هذا التصحيح لسببين. أولًا، مسار الكوكب كما يُرى من الأرض ليس هو نفسه كما يُرى من الشمس، وثانيًا، خط طول المريخ على دائرة البروج كما يُرى من الشمس لن يكون هو نفسه خط طول الأرض على دائرة البروج. الهدف الأساسي من استخدام التقابلات هو إزالة تأثير مدار الأرض، بحيث عندما نرصد المريخ من الأرض، يكون موقعه هو نفسه كما لو رصدناه من الشمس. لذا فإن هذا الخطأ، الذي أظهر كيبلر أنه يصل إلى 9 دقائق قوسية، يفشل الغرض من التصحيح.

يُظهر كبلر أن التصحيح الفعلي أقل من دقيقة قوسية واحدة، وهو أصغر من الخطأ في رصدات تيكو، ويمكن تجاهله عمليًا. لذا، يمكن تعريف التقابل بأنه اللحظة التي يكون فيها خط طول الشمس والمريخ على مستوى مسار الشمس صفرًا.${\textstyle 180\circ }$على الرغم من أن خط طول المريخ على دائرة البروج متساوٍ من الأرض والشمس عند هذه النقطة، إلا أن الأمر ليس كذلك بالنسبة لخط عرضه. في الرسم البياني أعلاه${\textstyle G}$هي الشمس،${\textstyle H}$هي الأرض و${\textstyle I}$هو المريخ. الخط${\textstyle GH}$تقع في مستوى دائرة البروج. الزاوية${\textstyle \beta }$هي الزاوية التي يظهر بها المريخ فوق دائرة البروج عند رؤيته من الأرض؛ وهذه هي خط عرض دائرة البروج.${\textstyle \alpha }$ هي خط العرض الظاهري الذي يُرى من الشمس، وهو أصغر من${\textstyle \beta }$تخبرنا العلاقة بين هذه الزوايا بشيء عن نسبة المسافة بين الأرض والشمس${\textstyle GH}$والمسافة بين المريخ والشمس${\textstyle GI}$[ ^{10 ]​}

في الفصل الحادي عشر ، يحاول كيبلر تحديد اختلاف المنظر للمريخ. ولأن المريخ قريب من الأرض، سيبدو موقعه في السماء متغيراً قليلاً مع تغير موقع الراصد على مدار اليوم، حتى لو كان ثابتاً في الأحوال العادية. هذا التأثير، المسمى اختلاف المنظر، يكون في أقصى حالاته عندما يكون المريخ في وضع التقابل، لأنه في ذلك الوقت يكون المريخ في أقرب نقطة له من الأرض. تشير التقديرات الحالية للمسافة إلى الشمس ، والمستندة بشكل كبير إلى طريقة أريستارخوس ، إلى أن اختلاف المنظر قد يصل إلى 6 دقائق قوسية، لكن محاولات كيبلر نفسه لتحديد اختلاف المنظر أعطت قيماً أقل من دقيقتين قوسيتين.

في الفصول من 12 إلى 14 ، يحدد كيبلر خط طول العقدة الصاعدة والهابطة للمريخ، بالإضافة إلى ميل مداره . ولإيجاد العقدتين، يبحث كيبلر عن رصد للمريخ حيث يكون خط عرضه على مستوى مسار الشمس قريبًا من${\textstyle 0}$ثم استخدم الاستيفاء لإيجاد اللحظة الدقيقة التي تكون فيها القيمة صفرًا، ثم استخدم الجداول الموجودة مثل جداول بروتينيك (التي استندت إلى نظرية كوبرنيكوس) لحساب خط طول المريخ في ذلك الوقت. حدد كيبلر العقدة الصاعدة عند ${\textstyle 225^{\circ}44{\frac {1}{2}}'}$والعقدة الهابطة عند${\displaystyle 46^{\circ }{\frac {1}{8}}'}$هذه القيم ليست دقيقة تمامًا${\displaystyle 180^{\circ }}$بشكل منفصل. تم قياس خطوط الطول في جداول بروتينيك من متوسط ​​موقع الشمس. يجادل كيبلر بأنه لو تم قياسها من الموقع الفعلي للشمس بدلاً من ذلك، لكانت القيم مختلفة.${\displaystyle 180^{\circ }}$منفصل.

وفرت جداول بروتينيك أيضًا المسافات إلى الكواكب. وهذا ما مكّن كيبلر من حل المثلث في الشكل 1 أعلاه لحساب خط العرض الشمسي المركزي من خط العرض الأرضي المركزي المرصود، ومن ثم استنتج ميل مدار المريخ برصده عندما كان خط عرضه في أقصى حد له وحساب خط عرضه الشمسي المركزي. ووجد أن ميل المدار هو${\displaystyle 1^{\circ }50'}$وقد مكّن هذا كبلر من إثبات حقيقة مهمة، وهي أن مستوى مدار المريخ لا يتذبذب بأي شكل من الأشكال، على عكس العديد من النظريات السابقة. وباستخدام ملاحظات من نقاط مختلفة، أظهر أن ميل المدار ثابت.

في الفصل الخامس عشر ، يعيد كيبلر حساب تقابلات تيكو الاثنتي عشرة، وذلك لتحديد اللحظة الدقيقة التي يكون فيها خط طول المريخ على دائرة البروج${\textstyle 180^{\circ }}$من الشمس. لكل رصد، يحدد خط الطول وخط العرض الظاهري للمريخ كما يُرى من الأرض، والوقت الذي يحدث فيه التقابل.

في الفصل السادس عشر ، يُقدّم كبلر نموذجه الأول، فرضية التبعية، لتفسير الملاحظات. يُعدّ هذا النموذج تعديلًا لنموذج نقطة التوازن لبطليموس. في هذا النموذج، يُفترض أن الكوكب يتحرك في مدار دائري ، وتتغير سرعته في هذا المدار بطريقة تجعلها تبدو منتظمة من نقطة تُسمى نقطة التوازن. يُسمى الخط الواصل بين نقطة التوازن ومركز الدائرة خط الأوج ، ويتقاطع مع الدائرة في نقطتين: الأولى حيث يتحرك الكوكب بأقصى سرعة له تُسمى الأوج، والأخرى حيث يتحرك بأبطأ سرعة له تُسمى الحضيض .

في نموذجه، افترض بطليموس أن مركز الدائرة يقع تمامًا في منتصف المسافة بين نقطة التوازن (النقطة التي يُقاس منها التقابل) ونقطة التقابل (التي تمثل الشمس عند كبلر)، ويُسمى هذا النموذج باللامركزية المنصفة. أما كبلر، فيعتمد الفرضية الأكثر عمومية التي تنص على إمكانية وضع مركز الدائرة في أي نقطة على طول خط الأوج بين الشمس ونقطة التوازن.

في الرسم البياني أعلاه، لنفترض${\textstyle A}$كن كالشمس،${\textstyle B}$أن يكون مركز المدار الدائري، و${\textstyle C}$كن نقطة التوازن. النقاط${\textstyle I}$و${\textstyle H}$هما نقطتا الحضيض والأوج على التوالي. لنفترض${\textstyle G}$ليكن موضع المريخ عند رصد معين. الزاوية${\textstyle \angle GAH}$يشير كيبلر إلى ذلك على أنه الشذوذ الحقيقي ، والزاوية${\textstyle \angle GCH}$الشذوذ المتوسط . بالنسبة لأي رصد، يمكن استنتاج الشذوذ الحقيقي إذا عرفنا خط طول الأوج ، وذلك بإيجاد الفرق بينه وبين خط طول الرصد. ويمكن استنتاج الشذوذ المتوسط ​​إذا عرفنا الوقت الذي يكون فيه المريخ في الأوج، وباستخدام حقيقة أن المريخ، عند رؤيته من نقطة التوازن، يقطع زوايا متساوية في أزمنة متساوية. إذا عُرف كل من الشذوذ الحقيقي والشذوذ المتوسط، فبإمكاننا بالمثل تحديد موقع النقطة.${\textstyle G}$من خلال تحديد مكان الخطوط المرسومة من${\textstyle B}$و${\textstyle A}$يتقاطعان. ولأغراض الحساب، يمكننا أخذ طول الخط${\textstyle {\overline {CA}}}$يكون${\textstyle 1}$.

تعتمد طريقة كيبلر على إجراء أربع عمليات رصد للمريخ عند التقابل. وبأخذ تقدير أولي لخط طول الأوج ووقت حدوثه، يمكن حساب قيم الشذوذ المتوسط ​​والشذوذ الحقيقي لكل عملية رصد، ومن ثم تحديد موقع المريخ في كل عملية رصد من خلال تقاطع الخطوط.${\textstyle {\overline {AG}}}$و${\textstyle {\overline {CG}}}$إذا لم تقع النقاط الأربع على دائرة، فإن خط الأضلاع${\textstyle HI}$يدور حول النقطة${\textstyle A}$يؤدي هذا إلى تغيير قيم الشذوذات الحقيقية، حتى تقع جميع النقاط الأربع على دائرة. ثم إذا كان مركز الدائرة${\textstyle B}$ليس على خط المنعطفات، الخط${\textstyle HI}$يدور حول النقطة${\textstyle C}$حتى النقطة${\textstyle B}$تقع النقاط على خط الأوج، مما يُغير قيم الشذوذ المتوسط. لكن هذا يُغير أيضًا مواقع النقاط بحيث لا تقع على دائرة. تُكرر هذه العملية مرارًا وتكرارًا حتى تقع جميع النقاط الأربع على دائرة ومركزها دائرة.${\textstyle B}$يقع على خط المنعطفات${\textstyle HI}$[ ^{11 ] تستغرق هذه العملية التكرارية وقتًا طويلاً حتى تتقارب} . وفي وصفه للإجراء، كتب كيبلر:

إذا كنت تشعر بالملل من هذه الطريقة المرهقة في الحساب، فاشفق عليّ، فقد اضطررت إلى تكرارها سبعين مرة على الأقل، مما أدى إلى إضاعة الكثير من الوقت. ^{[ 12 ]}

في نهاية العملية، يحسب كبلر معلمات النموذج. ويحدد خط طول الأوج على النحو التالي:${\textstyle 148^{\circ }9}$يُعرَّف انحراف الدائرة بأنه المسافة من مركز الدائرة إلى الشمس${\textstyle {\overline {AB}}}$، مقسومة على نصف قطر الدائرة${\textstyle {\overline {HB}}}$، القيمة التي حددها كيبلر${\textstyle 0.11332}$يُعرَّف انحراف مركز التساوي بأنه${\textstyle {\overline {CB}}}$يقسم على نصف قطر الدائرة، فيجد أن الناتج يساوي${\textstyle 0.07232}$يُشار إلى مجموع هذه القيم باسم الانحراف الكلي. ^{[ 13 ]}

In chapter 17, Kepler makes a small correction for the fact that the longitude of aphelion and nodes are not constant but shift slowly over time.

In chapters 18-21, Kepler compares the theory to observations. First, he compares the longitude of the remaining 8 oppositions and finds that they all fit the predicted position of Mars to within Tycho's observational accuracy of two minutes of arc. This means that the vicarious hypothesis can be taken as an accurate theory for the true anomaly. Despite this remarkable accuracy, however, Kepler shows that the theory is false. He remarks:

Who would have thought it possible? This hypothesis, so closely in agreement with the observations, is nevertheless false.^[14]

Using the latitudes of the opposition and the latitude triangle from figure 1, Kepler is able to find the ratio of the Earth and Mars distances from the sun. The Earth-Sun distances ${\textstyle GH}$ are taken from an existing theory given by Tycho Brahe in his Progymnasmata, even though these values are not precisely correct, and the goal of the next part will be to determine a more accurate theory for the Earth's motion. The angles ${\textstyle \angle IHE}$ are determined by the latitude of the observations, and the angle ${\textstyle IGH}$ is determined from the orbital inclination and the angle between Mars and the node. From this, the remaining sides can be determined, and the distances. By computing such distances, he obtained a lower and upper estimate for the eccentricity of Mars: ${\displaystyle 0.08}$–${\displaystyle 0.09943}$. The eccentricity found in the vicarious hypothesis is outside this range.

Kepler then examines another method for determining distances to Mars, by using observations of Mars when it is not at opposition and determining the longitude of Mars. The angle between the sun and Mars as viewed from Earth can be determined from observations. Tycho made many observations of Mars when it is not at opposition and determined the difference in ecliptic longitude between the sun and Mars in the sky. The angle between Mars and the Earth as viewed from the sun can be determined by calculating the heliocentric longitude of Mars from the vicarious hypothesis, and that of the Earth from Tycho's theory and taking the difference. And the distance from the Earth to the sun is given from Tycho's theory. Thus, the Earth, sun and Mars form a triangle, where two angles are known, and one side is given, the remaining sides and angles can be computed. In particular, we can determine the Earth-Mars distance. Computing these distances, Kepler once again finds an eccentricity closer to ${\displaystyle 0.09}$, half the value of the total eccentricity (sum of that of the equant plus that of the circle).

يُعيد كيبلر الحساب حيث استبدل الشمس المتوسطة بالشمس الحقيقية، ليُبيّن أن النتيجة نفسها تمامًا تحدث في هذه الحالة. لذا، لا يُمكن أن تكون فرضية الشمس الحقيقية خاطئة. وكحل أخير، ينظر كيبلر فيما سيحدث إذا استبدلنا الانحراف المركزي المُنصف في الفرضية البديلة (أي لنفترض أن انحراف الدائرة يساوي نصف الانحراف المركزي الكلي)، وهو${\textstyle 0.09282}$عندما يقارن هذا النموذج بملاحظات التقابل، يجد أن الخطأ يزداد الآن إلى 8 دقائق قوسية، وهو أكبر من خطأ تيكو في الملاحظة . ويكتب:

والآن، ولأنها لا يمكن تجاهلها، فإن هذه الدقائق الثماني وحدها ستقودنا على طريق إصلاح علم الفلك بأكمله، وهي موضوع جزء كبير من هذا العمل. ^{[ 15 ]}

إن عدم الاتساق في تحديد اللامركزية يعني أن أحد الافتراضات التي تم استخدامها في بناء الفرضية البديلة يجب أن يكون خاطئًا: إما أن المدار ليس دائريًا، أو لا توجد نقطة متساوية على مسافة ثابتة من مركز الدائرة.

في الجزء الثالث، يهدف كيبلر إلى تحديد نظرية دقيقة لحركة الأرض، والتي ستكون بمثابة حجر الأساس لتحديد نظرية أكثر دقة للمريخ في القسم التالي.

في الفصول من 22 إلى 27 ، يُبين كبلر أن الأرض لا تتحرك بشكل منتظم حول مركز مدارها. وتتمثل الملاحظات الأساسية لتحديد حركة الأرض حول الشمس في الملاحظات المباشرة للشمس؛ إذ يكون خط طولها الظاهري كما يُرى من الأرض معاكساً لخط طولها الظاهري كما يُرى من الشمس. ومن اللافت للنظر أن الحركة الدائرية المنتظمة تُطابق هذه الملاحظات بدقة تصل إلى دقيقة قوسية واحدة، وهي أقل من دقة ملاحظة تيكو. وقد حدد تيكو نفسه انحراف مدار الأرض بناءً على ملاحظاته وافتراضه أن الحركة الدائرية المنتظمة هي...${\textstyle 0.03584}$باستخدام ملاحظات المريخ، وجد كيبلر عدة طرق لإظهار أن الانحراف المركزي لمدار الأرض المحسوب على أساس الحركة الدائرية المنتظمة لا يمكن أن يكون صحيحًا.

تعتمد إحدى الطرق التي يستخدمها تلسكوب كيبلر على حقيقة أن المريخ يعود إلى موقعه الفيزيائي نفسه تمامًا بعد دورة كاملة حول الشمس. وبما أن فترة دوران المريخ حول الشمس تبلغ 687 يومًا، فإننا نجد أن رصد المريخ يفصل بين كل رصد وآخر 687 يومًا. إذا افترضنا وجود نقطة ثابتة في الفضاء تبدو حركة الأرض منها منتظمة، فإن المسافة من المريخ إلى تلك النقطة تكون ثابتة (لأن موقع المريخ ثابت أيضًا). يمكن حساب الزاوية بين الأرض والمريخ، كما تُرى من نقطة التوازن، من متوسط ​​شذوذ الأرض وحقيقة أن الزاوية المرصودة من نقطة التوازن تتغير بمعدل منتظم. يمكن حساب الزاوية بين المريخ ونقطة التوازن، كما تُرى من الأرض، من الموقع المرصود للمريخ، وحقيقة أن نقطة التوازن الوهمية هذه تبدو وكأنها تتحرك بشكل منتظم عند رؤيتها من الأرض؛ لذلك يمكننا استخدام متوسط ​​شذوذ الأرض. لهذا الغرض، يستخدم كيبلر جداول تيكو المحسوبة من متوسط ​​موقع الشمس.

انطلاقًا من مسافة معينة وزاويتين، يمكننا حل المثلث. ومن خلال الملاحظات، يُبين كبلر أن المسافة من الأرض إلى نقطة التوازن ليست ثابتة. لذا، إذا كان مدار الأرض دائريًا، فلا يمكن أن يكون مركزه النقطة التي تكون حركته منتظمة عندها. وبالتالي، فإن نقطة التوازن تختلف عن مركز مدار الأرض. ^{[ 16 ]} كما يستخدم كبلر أيضًا العديد من الإنشاءات الأخرى ليُبين أن الانحراف المركزي الحقيقي لمدار الأرض قريب من${\textstyle 0.018}$، وهو بالضبط نصف القيمة المحسوبة من افتراض الحركة الدائرية المنتظمة.

في الفصل الثامن والعشرين ، يُبيّن كيبلر طريقة لاختبار صحة فرضية مدار الأرض. وهذه في جوهرها${\textstyle 687}$طريقة الأيام بالعكس. احسب المسافة والزاوية إلى الأرض بناءً على فرضيتنا. استخدم الزوايا المرصودة للمريخ، والزوايا المحسوبة من نظريتنا لتكوين المثلث نفسه، ولكن هذه المرة معلومٌ المسافة إلى الأرض، ثم نحسب المسافة وخط الطول الشمسي للمريخ. إذا كانت فرضيتنا صحيحة، فستكون المسافة المحسوبة إلى المريخ وخط الطول الشمسي متطابقين تمامًا في كل رصد. تتيح لنا هذه الطريقة أيضًا اختبار الافتراض الأساسي بأن المريخ يعود بالفعل إلى الموضع نفسه تمامًا بعد دورة كاملة في مداره.

في الفصلين ٢٩ و٣٠ ، يذكر كيبلر بإيجاز طريقتين أخريين أثبت بهما أن انحراف مدار الأرض يجب أن يكون منصفًا. أولًا، قاس القطر الزاوي للشمس في الشتاء (قرب نقطة الحضيض) والصيف (قرب نقطة الأوج) وحسب المسافات النسبية، مما أعطى انحرافًا يتوافق مع نصف قيمة تيكو. ثانيًا، بيّن في كتابه " سر الكونيات" أن مسافات فرضيته عن المجسمات المتداخلة ستتوافق مع الملاحظات بشكل أفضل إذا افترض أن الانحراف يساوي نصف ما اقترحه تيكو.

ثم يشرع في بناء الجدول لحساب موقع الأرض بناءً على الانحراف المركزي البالغ 0.018. وهو يعترف، في بناء هذا الجدول، باستخدام مدار غير دائري، ولكن النظرية الخاصة بذلك يتم تطويرها لاحقًا.

في الفصول من 31 إلى 36 ، يتناول كيبلر سبب هذا التنصيف للانحراف المداري. وقد أثبتت الملاحظات دقة هذا التنصيف بالنسبة للأرض والمريخ. كما يُستخدم التنصيف لكوكبي المشتري وزحل في جميع النظريات منذ بطليموس. وبالمثل، أثبت تيكو براهي أن هذا النموذج ينطبق جيدًا على القمر أيضًا. عند وضع نظرية لكوكبي الزهرة وعطارد، أضاف كوبرنيكوس دائرة فلكية صغيرة إلى مداريهما، وكان زمن دورانها مساويًا لزمن دوران الأرض. يُبين كيبلر أنه يمكن إزالة هذه الدائرة الفلكية إذا قمنا بتنصيف الانحراف المداري للزهرة وعطارد أيضًا. وبالتالي، فإن فرضية تنصيف الانحراف المداري صالحة لجميع الكواكب وللقمر.

بما أن هذا يشكل قانونًا كونيًا ينطبق على جميع الكواكب، فقد رأى كيبلر ضرورة البحث عن السبب الفيزيائي لهذا التنصيف. بدأ كيبلر بحساب سرعة الكوكب عند نقطتي الأوج والحضيض باستخدام نموذج التنصيف هذا للانحراف المداري؛ وأظهرت النتيجة أن نسبة السرعات عند هاتين النقطتين تساوي النسبة العكسية للمسافات. ومن هذا المنطلق، طرح فرضية أن سرعة الكوكب تتناسب عكسيًا مع بُعده عن الشمس. ثم جادل كيبلر بأن هذا التباين في السرعة لا بد أن يكون ناتجًا عن قوة من الشمس. ولتفسير سبب اختلاف سرعة كل كوكب عما كان متوقعًا لو تم تطبيق قانون المسافة العكسية هذا على جميع الكواكب، افترض كيبلر أن لكل كوكب مقاومته الخاصة للقوة التي تولدها الشمس (مفهوم مشابه للقصور الذاتي ). وأخيرًا، رجّح كيبلر أن المغناطيسية هي السبب المحتمل لهذه القوة، نظرًا لخاصية مماثلة تتمثل في ضعف القوة مع المسافة. إضافة إلى ذلك، فقد تم اكتشاف وجود مجال مغناطيسي للأرض مؤخرًا. لذلك يقترح أن دوران الأرض يسبب حركة القمر، وبالمثل، إذا كانت الشمس تدور أيضًا ولها مجال مغناطيسي، فسيكون هذا هو سبب حركة الكواكب.

في الفصل 37، يتناول كيبلر بإيجاز موضوع نظرية القمر . يتطلب مدار القمر متباينتين إضافيتين لتفسير حركته، وهما الإزاحة والتغير . يجادل كيبلر بأن كلتيهما يمكن تفسيرهما بحقيقة أن القمر يتسارع في مداره عندما يشكل خطًا مستقيمًا مع الأرض والشمس. وبالتالي ^، تتضافر قوى الشمس والأرض لتحريك القمر عندما يكون محاذيًا لهما في هذا الوضع. ^{[ 17} ]

في الفصلين 38 و39 ، يُقدّم كبلر تفسيراً لسبب عدم تمركز مدارات الكواكب حول الشمس. فهو يرى أن لكل كوكب قوة مغناطيسية خاصة به تدفعه وتجذبه بعيداً عن الشمس، تبعاً لكيفية توجيه قطبيه بالنسبة للشمس. كما يُشير هذا التفسير الفيزيائي إلى احتمال عدم كون المدار دائرياً.

في الفصل الأربعين ، يقدم كيبلر طريقة لحساب مدار الأرض بناءً على هذه الفرضيات الفيزيائية. ويشير كيبلر إلى الصعوبة البالغة التي تنشأ عند محاولة حساب سرعة الكوكب نظرًا لتغير المسافة باستمرار. ولهذا السبب، يقدم طريقة مختصرة مستوحاة من طريقة أرخميدس في حساب قيمة باي (π) . إذا قسمنا المدار إلى مثلثات صغيرة مرسومة من الشمس، فإن المسافة التي يقطعها الكوكب تُعطى بقاعدة المثلث، والمسافة من الشمس تُعطى بارتفاع المثلث. إذا اخترنا مثلثات تقسم حركة الكوكب إلى وحدات زمنية متساوية، فإن المثلثات ستكون متساوية المساحة، لأنه كلما قل الارتفاع، زادت القاعدة بنفس المقدار، حيث يتحرك الكوكب بسرعة أكبر، والعكس صحيح. ومن ثم، يقدم كيبلر قانونه للمساحات، حيث تتناظر المساحات المتساوية مع الأزمنة المتساوية. ^{[ 18 ]}

لحساب المدار انطلاقاً من ذلك، نُعرّف متوسط ​​الشذوذ بأنه الوقت المنقضي منذ آخر وصول للكوكب إلى نقطة الأوج مقسوماً على الفترة المدارية مضروباً في 360 درجة. ^{[ 19 ]} أما الشذوذ الحقيقي فيُعرّف بأنه الزاوية بين الكوكب ونقطة الأوج كما تُرى من الشمس، والشذوذ اللامركزي هو نفس الزاوية كما تُرى من مركز المدار.

في الرسم التوضيحي أعلاه،${\textstyle A}$هي الشمس و${\textstyle B}$هو مركز الدائرة؛${\textstyle G}$هو الأوج و${\textstyle D}$هو الكوكب. مساحة القطاع${\textstyle GAD}$هي المساحة التي يغطيها الخط المرسوم من الكوكب إلى الشمس. وبحسب قانون المساحة، فإن هذه المساحة تتناسب طرديًا مع الزمن الذي استغرقه الكوكب في قطع هذه القطعة.${\textstyle GD}$في مدارها، وبالتالي الشذوذ المتوسط ​​أيضًا. ومن ثم المنطقة${\textstyle GAD}$يُعطي متوسط ​​الشذوذ. ويُعرَّف الشذوذ اللامركزي بالزاوية${\textstyle \angle GBD}$بما أن زاوية القطاع الدائري، المتمركز حول دائرة، تتناسب دائمًا مع مساحته، فيمكننا أيضًا التعبير عن ذلك بالمساحة.${\textstyle GBD}$العلاقة بين هاتين المنطقتين تعطي العلاقة بين الشذوذ المتوسط ​​(وبالتالي الوقت) والشذوذ اللامركزي.

يتضح من الرسم البياني أن الشذوذ المتوسط ​​هو ببساطة الشذوذ اللامركزي مضافًا إليه مساحة المثلث${\textstyle DAB}$قاعدة هذا المثلث${\textstyle {\overline {AB}}}$يمثل α انحراف الدائرة، وارتفاع المثلث يتناسب مع جيب زاوية الانحراف. هذه هي معادلة كبلر . إذا كتبنا${\textstyle M}$بالنسبة للشذوذ المتوسط،${\textstyle E}$بالنسبة للشذوذ اللامركزي، و${\textstyle e}$أما بالنسبة للغرابة، فيمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

$${\displaystyle M=E+e\sin(E)}$$

يُبين كيبلر كذلك أن الشذوذ الحقيقي يُعطى بواسطة الشذوذ اللامركزي بالإضافة إلى الزاوية${\textstyle \angle DBA}$يشير مصطلح كيبلر إلى الزاوية${\textstyle \angle DBA}$كما في المعادلة البصرية. بالنسبة للانحرافات المركزية المنخفضة، تكون هذه الزاوية تقريبًا ضعف مساحة المثلث${\textstyle DBA}$إذا كتبنا الشذوذ الحقيقي على النحو التالي${\textstyle \vartheta }$وهذا يعطي الصيغة التالية:

$${\displaystyle \vartheta \approx E+2e\sin(E)}$$

في الجزء الرابع، يطور كيبلر نظرية دقيقة لتفسير حركة المريخ بناءً على الملاحظات والفرضيات الفيزيائية التي تم طرحها في القسم السابق.

في الفصول من 41 إلى 44 ، يُثبت كيبلر أن مدار المريخ ليس دائرة. وتعتمد هذه الطريقة مجددًا على حقيقة أن الأرض والشمس والمريخ تُشكل مثلثًا. يُمكن الآن حساب المسافة بين الأرض والشمس بدقة باستخدام النظرية المُطورة في القسم السابق، ويتم تحديد خط الطول الشمسي المركزي للمريخ من خلال فرضية الرصد بالنيابة. لأي رصد مُحدد للمريخ، يُمكن الآن رسم موقعه بدقة باستخدام الطريقة التالية: رسم موقع الأرض باستخدام النظرية المُطورة في القسم السابق. ثم، رسم خط يمتد من الشمس في الاتجاه المُحدد بفرضية الرصد بالنيابة. رسم خط من الأرض في الاتجاه المُقابل لخط الطول الشمسي المركزي الذي يُرصد فيه المريخ. نقطة تقاطع هذين الخطين هي موقع المريخ. أخيرًا، يتم إجراء تصحيح لحقيقة أن المريخ ليس في مستوى مسار الشمس الظاهري عند رصده، وذلك باستخدام خط العرض المُحدد من الشمس. من خلال رسم عدة نقاط للمريخ على مداره، يُبين كيبلر أن مسار المريخ أصغر من دائرة العرض الأنسب. وبالتالي، فإن المسار بيضاوي الشكل .

في الفصول من 45 إلى 50 ، يحاول كبلر إيجاد السبب الفيزيائي لانحراف الكوكب عن مساره الدائري المثالي. ويطرح النموذج التالي: الأشعة المغناطيسية الصادرة من الشمس الدوارة تُحرك الكوكب في مسار دائري. لكن القوة المغناطيسية الداخلية للكوكب نفسه تجعله يتحرك في دائرة خاصة به، مُشكلاً ما يُعرف بالدائرة التدويرية. حركة الكوكب على هذه الدائرة التدويرية منتظمة، بينما حركته حول الشمس غير منتظمة، وتُحدد سرعته بقانون المساحة. من المفترض أن تُشكل هذه الحركة مسارًا بيضاويًا.

يُعدّ رسم هذا الشكل البيضاوي بالغ الصعوبة، لذا لجأ كيبلر إلى فكرة أخرى: حساب المسافة بين الكوكب ودائرة مداره، واستخدام فرضية التبعية لتحديد اتجاه الكوكب بالنسبة للشمس. يكون المسار البيضاوي الناتج بهذه الطريقة أعرض قليلاً عند نقطة الحضيض منه عند نقطة الأوج، ^{[ 20 ]} لذا فإن هذا المدار بيضاوي الشكل . وللاستفادة من قانون المساحات، يحتاج كيبلر إلى تحديد مساحة هذا الشكل البيضاوي، وهي مسألة ليست بالهينة. يُقارب كيبلر الشكل البيضاوي بقطع ناقص، مشيرًا إلى أن المساحة لا ينبغي أن تختلف اختلافًا كبيرًا عن الشكل البيضاوي.

عندما قارن كيبلر هذا النموذج بالملاحظات، وجد خطأً قدره 8 دقائق قوسية في خطوط الطول المتوقعة. وهذا هو نفس الخطأ الذي وُجد في نموذج الانحراف المركزي المنصف. مع ذلك، فبينما تنبأ نموذج الانحراف المركزي المنصف بوجود الكوكب أمام موقعه الحقيقي، تنبأ النموذج البيضاوي بوجوده خلفه، لذا كانت الأخطاء في الاتجاه المعاكس. بعد استبعاد مصادر الخطأ المحتملة في حساباته، توصل كيبلر إلى استنتاج مفاده أن المسار الحقيقي للكوكب يقع في منتصف المسافة بين نموذج الانحراف المركزي المنصف والمسار البيضاوي. وهذا بدوره يثير تساؤلات حول المبادئ الفيزيائية التي تستند إليها هذه الفرضية. ^{[ 21 ]}

في الفصول من 51 إلى 55 ، أجرى كيبلر عدة أزواج من الملاحظات للمريخ متناظرة على طول خط الأوج. أكدت هذه الملاحظات أن المسافات إلى المريخ متساوية على كلا الجانبين، وبالتالي أكدت صحة خط الأوج المرسوم عبر الشمس، مما يدعم فرضيته الفيزيائية. من خلال إجراء عدة ملاحظات، يفصل بينها 687 يومًا، تمكن كيبلر من تعديل معايير مدار المريخ حتى تتطابق المسافات. سمح له ذلك بإيجاد مسافات أكثر دقة للمريخ. لكن هذه الملاحظات دفعته أيضًا إلى التشكيك في دقة فرضية القياس غير المباشر خارج نطاق ملاحظات التقابل. لذلك، أجرى كيبلر ملاحظات للمريخ بالقرب من التقابل، حيث يمكن الوثوق بفرضية القياس غير المباشر. بعد تعديل معايير المدار حتى تتطابق المسافات، وجد أن المسافات على الجانبين تقع تمامًا في منتصف المسافة بين ما تنبأ به نموذج المدار البيضاوي ونموذج الانحراف المركزي المنصف.

في الفصول من 56 إلى 60 ، يروي كيبلر قصة كيف توصل أخيرًا إلى المسار الصحيح لمدار المريخ. لقد لاحظ أن أقصى انحراف بين الشذوذ الحقيقي والشذوذ اللامركزي كان${\displaystyle 5.3^{\circ }}$ويشير إلى هذا باسم المعادلة البصرية. وقاطع هذه المعادلة هو${\displaystyle 1.00429}$، وهو ما يمثل تطابقًا دقيقًا مع انحراف مسار المريخ عن الدائرة، والذي كان قد حدده سابقًا من الملاحظات بأنه حوالي${\displaystyle 0.43\%}$يدرس إمكانية أن تُعطى المسافات بواسطة قاطع المعادلة البصرية عند نقاط أخرى في مداره. عند حساب الأرقام، أدرك أنه رآها من قبل في حساب سابق تضمن إسقاط مدار المريخ على قطر دائرة فلكية.

وهكذا، يُعلن كيبلر أن المريخ يتحرك كما لو كان يتذبذب على قطر دائرة تدويرية. ويدرس آلية فيزيائية محتملة قد تُسبب ذلك، ويجد أن الآلية نفسها التي شرحها في الفصل 39 هي التي تعمل: فالقوة المغناطيسية للكواكب تدفع أو تجذب تبعًا لاتجاه قطبيها. وقد تبين أن هذه الحركة التذبذبية تتناسب مع${\textstyle \cos(E)}$وبالتالي فإن المسافة الشعاعية من الشمس تُعطى بالعلاقة التالية${\textstyle r=1-e\cos(E)}$، أين${\textstyle E}$هو الشذوذ الغريب، و${\textstyle e}$هو الانحراف المركزي. ما وصفه كيبلر للتو هو في جوهره صيغة القطع الناقص في الإحداثيات القطبية. ^{[ 22 ]} مع ذلك، عندما حاول رسمه، ارتكب خطأً، مما أدى إلى مدار مختلف تمامًا لا يتطابق مع الملاحظات. بعد عودته إلى طريقته السابقة، عثر مجددًا على القطع الناقص، وعندها فقط أدرك خطأه. يكتب:

لقد وضعت [المعادلة الأصلية] جانباً، وعدت إلى استخدام الحذف، معتقداً أن هذه فرضية مختلفة تماماً، بينما الفرضيتان، كما سأثبت في الفصل التالي، هما في الواقع واحدة ^... آه ، يا له من طائر أحمق كنت ! [ ^{23 ]}

في القسم الأخير، يقدم كيبلر وصفاً دقيقاً لخط عرض المريخ على مستوى مسار الشمس. كما يطرح فرضية فيزيائية لتفسير سبب عدم وقوع مدارات الكواكب في نفس المستوى تماماً.

في الفصلين 61 و62 ، يحدد كيبلر قيمتي العقدة الصاعدة والعقدة الهابطة للمريخ. وباستخدام المسافة بين الأرض والمريخ المحسوبة من القسم السابق، وخط العرض الجيومركزي المرصود للمريخ، يتمكن كيبلر من تحديد خط العرض الهيليومركزي للمريخ عند أي نقطة في مداره. ومن هذا، يحدد كيبلر كل معلمة باستخدام نفس الأساليب من الفصول 11-14. بالنسبة للعقدة الصاعدة، يجد${\textstyle 46^{\circ}32{\frac {1}{2}}'}$وبالنسبة للعقد الهابطة${\displaystyle 226^{\circ }32{\frac {1}{2}}'}$كما يحدد ميل المدار ليكون${\displaystyle 1^{\circ }49'}$.

في الفصل 63 ، يُقدّم كبلر تفسيراً فيزيائياً لعدم وقوع مدارات الكواكب في مستوى واحد. ويطرح فكرة أن دوران الشمس يُحدّد مستوى ثابتاً . تميل جميع الكواكب بزاوية معينة على هذا المستوى، لأن مجالها المغناطيسي ينجذب إلى اتجاه ثابت في الفضاء أسفل هذا المستوى.

في الفصل 64 ، يُبين كيبلر أن اختلاف المنظر للمريخ يجب أن يكون ضئيلاً. فلو كان هناك أي اختلاف ملحوظ في المنظر، لكان قد أثر على الموقع الظاهري للعقدة الصاعدة والهابطة. لكن القيم المقاسة مطابقة تمامًا${\displaystyle 180^{\circ }}$منفصل.

في الفصلين 65-66 ، يوضح كيبلر أن المريخ لا يصل إلى أقرب نقطة له من الأرض بالضبط عند التقابل، ولكن يمكن أن يكون تاريخ أقرب اقتراب قبل أو بعد التقابل ببضعة أيام.

في الفصول من 67 إلى 70 ، يتناول كيبلر عدة أسئلة تتعلق بسلوك مدارات الأرض والمريخ على المدى الطويل، وذلك بمقارنة ملاحظاته مع ملاحظات بطليموس. إن عدم دقة بعض هذه الملاحظات، بالإضافة إلى الأخطاء، يجعل من الصعب أحيانًا التوصل إلى نتائج قاطعة. ومن بين هذه الأسئلة: هل تتغير انحرافات المدارات بمرور الوقت؟ أم أن العقد تتقدم بمعدل غير منتظم؟